Placas Planas Rectangulares - Universidad Nacional de La Plata

Quedando le ecuación general de la siguiente forma:Estructuras III∞ ∞4 4⎛ m π ⎞ m xCsin n y ∞ ∞4 4⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ n π ⎞ ⎛mπ x⎞⎛∑∑mn⎜4 ⎟ sin ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + Csin n π y ⎞∑∑mn⎜4 ⎟ sin ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ +m=1 n=1 ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ m=1 n=1 ⎝ b ⎠ ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠∞ ∞2 2 2 2⎛ m π ⎞ n π mπ x+ 2 Csin n π ymn⎜2 ⎟ ⎛ 2m 1 n 1 ⎝ a ⎠ ⎝ ⎜⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∑∑⎟ sin ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = q= =a ⎠ ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ DReemplazando la aproximación de la carga distribuida q(x,y) propuesta en serie deFourier tenemos que operando matemáticamente se puede despejar C mn siendo,Cmn=a⎛D ⎜m ⎝ aπ 4 2mn2n+b22⎞⎟⎠2El desplazamiento total queda,1W =π D∞∞∑∑4 2m=1 n=1⎛m⎜⎝ a2amnn+b22⎞⎟⎠2⎛sin m π x ⎞ ⎛sin n π⎜y ⎞⎟ ⎜ ⎟⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠Como para nuestro caso habíamos considerado solo una carga distribuidauniformemente, los coeficientes a mn se pueden hallar integrando de la siguiente manera,f(x,y) = q o = cte.amnabqsin m x sin n yoqo=4 ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞∫ ∫ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ dxdy =162ab ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ π mn00Donde m y n son números naturales impares, lo cual al sustituir en la expresión deldesplazamiento total tenemos que;16qoW =π D∞∑∞∑⎛sin m π x ⎞ ⎛sin n π y ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠mn m 2 2⎛ n ⎞⎜ 2+2 ⎟⎝ a b ⎠6 2m=135 , , n=135 , ,Siendo la máxima deflexión en el centro de la placa, dado su valor por,Wmaxqo=16 ∞ ∞( −∑ ∑1 )6π D m=n=⎛mn⎜m 2135 , , 135 , ,2⎝ am+ n − 12n+b22⎞⎟⎠2Página 12 de 17