Apunte Pandeo de Cilindros de Paredes Delgadas con Presion ...

Facultad de IngenieríaUniversidad Nacional de La PlataESTRUCTURAS IVANALISIS DE ESTRUCTURAS CILINDRICASCILINDROS DE PAREDES DELGADAS SOMETIDOS ACOMPRESION Y PRESION INTERNAAutores:Ing. Juan Pablo DurrutyDr. Ing. Marcos D. Actis2009

CILINDROS DE PAREDES DELGADAS SOMETIDOS A COMPRESION Y PRESION INTERNAANALISIS DE ESTRUCTURAS CILINDRICASResistencia a la compresión de cilindros circulares de paredes delgadas noreforzadosUna estructura cilíndrica circular ensayada a una carga de compresión paralela a uneje, puede fallar en una de las tres formas siguientes.1) Si el cilindro es corto y grueso, la falla puede ocurrir debido a que la carga sobrepasela carga última de compresión del material y solo es función de las propiedadesmecánicas del material.2) Si el cilindro es muy largo y tiene un diámetro pequeño, la falla tiene lugar comocolumna. La tensión última de estas estructuras dependerá de la relación L/ρ y delmódulo E del material.3) Hay un tercer tipo de fallas que se encuentra en estructuras que tienen dimensionescorrespondientes a las modernas estructuras semimonocasco. En este caso el cilindroserá comparativamente de gran diámetro y paredes delgadas y la falla es unainestabilidad local de la sección delgada.En este apunte nos dedicaremos a resolver este último caso. Primero se desarrolla elproblema en forma analítica.Página 1 de 25

CILINDROS DE PAREDES DELGADAS SOMETIDOS A COMPRESION Y PRESION INTERNACILINDROS A COMPRESION1) Estado de equilibrio de una lámina cilíndrica:Si tomamos un diferencial de placa cilíndrica dθ dx, podemos plantear las 6ecuaciones de equilibrio del diferencial cargado con una carga uniforme q (figura 1.1).Figura 1.11.1)r Nx N z 2∂ ∂ ϕ ∂ w v v wwrQx rNxϕ ∂ 2Qϕ ∂ 2∂Nϕ∂ 2∂∂x + ∂ϕ− ∂x− ∂x− ⎛∂x+⎞ ⎛ ⎞22 ⎜ ⎟ − ⎜ − ⎟ = 0⎝ ∂∂ϕ x ⎠ ⎝∂∂ϕx ∂x⎠1.2)∂Nϕ∂ ϕ ∂ ∂ ∂ϕ∂ ∂r Nx 22 2v ⎛ v w ⎞ ⎛ v w⎞+ + rNx 2− Qx⎜+ ⎟ + N x⎜− ⎟∂ϕ ∂x∂x⎝∂x∂∂ϕ x ⎠ ⎝∂∂ϕx ∂x⎠2⎛ ∂v∂ w ⎞− Qϕ⎜1+ +2 ⎟ = 0⎝ r∂ϕr∂ϕ⎠1.3)∂r Qx∂x∂Qϕv w wvNxϕ ∂ 2 2⎛ ∂ ⎞ ∂∂+ + ⎜ + rNx Nϕ∂ϕ ⎝∂x∂∂ϕ x ⎠⎟ + ∂x+ ⎛⎜⎝+ r∂ϕ+21v wNϕx∂ 2⎛ ∂ ⎞+ ⎜ + ⎟ + qr = 0⎝∂x∂∂ϕ x ⎠2∂ w ⎞2 ⎟r∂ϕ⎠Página 2 de 25

CILINDROS DE PAREDES DELGADAS SOMETIDOS A COMPRESION Y PRESION INTERNA1.4) r Mx 2∂ ϕ ∂Mϕ∂ v v wrMx Mϕx∂ 2⎛ ∂ ⎞− − 2 − ⎜ − ⎟ + rQϕ= 0∂x∂ϕ ∂x⎝∂∂ϕx ∂x⎠1.5)∂Mϕx∂ϕ∂ϕ ∂ ϕ∂ ∂r Mx22v ⎛ v w⎞+ + rMx 2 − M ⎜ − ⎟ − rQx = 0∂x∂x⎝∂∂ϕx ∂x⎠1.6)⎛∂vMx⎜⎝∂x2∂ wwvrMxϕ ∂ 2⎞∂+Mϕx∂∂ϕ x ⎠⎟ + ∂x+ ⎛⎜⎝+ r∂ϕ+21Mv wϕ ∂ 2⎛ ∂ ⎞− ⎜ + ⎟ + rNx ( ϕ − Nϕx)= 0⎝∂x∂∂ϕ x ⎠2∂ w ⎞2 ⎟r∂ϕ⎠En el caso de un cilindro, por simetría, los esfuerzos cortantes Nxϕ = Nϕx se anulan yNϕ es constante a lo largo de la circunferencia, en este caso Nx = cte (como cargaexterna). Por simetría también los esfuerzos cortantes transversales Qx son los únicosque no se anulan, los momentos torsores Mxϕ = Mϕx = 0 y los Mϕ se mantienenconstantes a lo largo de la circunferencia (figura 1.2).Figura 1.2Anulamos también el producto de los esfuerzos por los desplazamientos elementales u,v y z. Por lo tanto las ecuaciones de equilibrio quedarán:Página 3 de 25

CILINDROS DE PAREDES DELGADAS SOMETIDOS A COMPRESION Y PRESION INTERNA1.1)∂Nx∂x= 0 ⇒ Nx = cte.1.3)∂Qx∂x2∂ w Nϕ+ Nx + +q =∂xr201.4)∂Mϕ= 0 ⇒ Mϕ= cte.∂ϕ1.5)∂Mx− Qx =0∂xLas ecuaciones 1.2) y 1.6) se anulan.Luego derivando la ecuación 1.5) respecto de x y reemplazando en esta dQx/dx de la1.3) obtenemos:1.7)22∂ Mx ∂ w Nϕ2+ Nx + + q =∂x∂xr20Sabiendo que ε ϕ = -w/r y ε x = du/dxPor Hooke:EtEt ⎛∂uw⎞Nx = ( x + ) = ⎜ − ⎟−2 ε νεϕ−2 ν1 ν1 ν ⎝∂xr ⎠EtEt ⎛ w u ⎞Nϕ= ( + x)= ⎜− + ⎟1 −2 εϕνε1 −2 ν ∂ νν ⎝ r ∂x⎠De la primera obtenemos:∂u∂x=Nx2( 1−ν )Etw+ νrReemplazando en la segunda: Nϕ =− Et w + νNxrPágina 4 de 25

CILINDROS DE PAREDES DELGADAS SOMETIDOS A COMPRESION Y PRESION INTERNACon respecto a los momentos flectores, por simetría no hay cambio de la curvatura enel sentido de la circunferencia. La curvatura en la dirección x vale -d 2 w/dx 2 . Por lo tantode placas tenemos:Mx = -D d 2 w/dx 2 y D = Et 3 /12(1-ν 2 )Reemplazando Mx y Nϕ en la ecuación 1.7):41.8) D w2∂ ∂ w wNxx x r Et Nx4−2+2− ν = q∂ ∂rEsta es la ecuación diferencial de la elástica para un cilindro sometido a presión internay a tracción.2) Determinación de la carga crítica de pandeo para un cilindro a compresión:En este caso de la ecuación 1.8) tenemos q = 0 y medimos el corrimiento w, no desdela superficie media antes de la deformación, sino a partir de la superficie mediadespués de haber aplicado la compresión uniforme. Reemplazamos w porw - νNx r/Et, (donde νNx r/Et es la elástica del punto medio de un cilindro para unacarga de compresión) cambiando de signo a Nx en la ecuación 1.8) ya que ésta sededujo para tracción.42.1) D w2∂ ∂ w w Nx4+ Nx + Et + ν =∂x∂xr r2 20Reemplazando w obtenemos:42.2) D w2∂ ∂ w w4+ Nx + Et =∂x∂xr2 20Ecuación diferencial que representa el pandeo simétrico de una lámina cilíndrica.Página 5 de 25

CILINDROS DE PAREDES DELGADAS SOMETIDOS A COMPRESION Y PRESION INTERNASuponemos una solución de la ecuación diferencial:w = -A sen (mπx/L)Reemplazando en 2.2)Figura 2.14 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎜ ⎞DA m π mπxANx m π mπxA⎟ =l ll l r Et mπxsen sen senl ⎠20Haciendo sen(mπx / L) = 0 y despejando Nx:Nx D m 2⎛⎛π ⎞= ⎜⎜⎟ +⎝⎝l ⎠EtDr2⎛ l ⎞⎜ ⎟⎝ mπ⎠2⎞⎟⎠Dado que Nx es una fuerza por unidad de longitud, si dividimos por t obtenemos2.3) σπcr D m 2⎛⎛⎞ 1= ⎜⎜⎟ +⎝⎝l ⎠ tEDr2⎛ l ⎞⎜ ⎟⎝ mπ⎠2⎞⎟⎠Página 6 de 25

CILINDROS DE PAREDES DELGADAS SOMETIDOS A COMPRESION Y PRESION INTERNASi tomamos a σ cr como una función de mπ / L, minimizamos la expresión 2.3)derivando respecto a este valor, por lo tanto:mlπ =42Etr D2.4)σcrη2= EDt =rtrEt( −ν)312Donde η es la corrección por plasticidadPara ν = 0,32.5)σcrη= 0,605E t =rKE t rEsta ecuación da una solución independiente de la longitud del cilindro, lo cual esaproximadamente cierto si se supone que la longitud es grande comparada con lalongitud de las ondulaciones.Otros investigadores propusieron otras formas de onda obteniendo diferentes valoresde K (0,375 ≤ K ≤ 0,605)Los ensayos realizados investigadores demostraron que K era un valor mucho menorque el teórico y que era una función de r/t, además la mejor correlación entre losvalores experimentales y los teóricos corresponde al menor valor de K = 0,375 (Tsien)para pequeñas relaciones de r/t. Para grandes valores de r/t (r/t ≥ 1500) K decrece del15 al 20% del valor teórico (figura 2.2).Se trató de explicar esta diferencia entre el valor teórico y experimental en base aerrores encontrados en los ensayos; pero investigaciones posteriores demostraron queun pequeño porcentaje de diferencia entre ambos valores puede explicarse de estemodo.Página 7 de 25

CILINDROS DE PAREDES DELGADAS SOMETIDOS A COMPRESION Y PRESION INTERNALa gran discrepancia entre la teoría y la práctica se debe a la forma de onda que sepresenta en la realidad, no siendo esta simétrica respecto al eje del cilindro ypresentando una forma tipo "diamante". Además se determinó que las imperfeccionesiniciales reducían enormemente la carga crítica de pandeo, siendo una medidaindicativa de estas la relación r/t.Figura 2.2Página 8 de 25

CILINDROS DE PAREDES DELGADAS SOMETIDOS A COMPRESION Y PRESION INTERNACilindros sin presurizarCilindros presurizadosPágina 9 de 25

CILINDROS DE PAREDES DELGADAS SOMETIDOS A COMPRESION Y PRESION INTERNABatdorf encontró una solución a la ecuación diferencial de octavo orden de Donnell,que dá la tensión crítica en función del coeficiente de pandeo Kc, la cual para bordessimplemente apoyados está definida por la ecuación:2.6)⎡Kc = ⎢⎣⎢( m + β )2 2 2m2⎤ ⎡ Z m⎥⎦⎥ + 12⎢⎣π+2 2( m β )4 2 2⎤⎥⎦Donde:m = número de medias ondas en la dirección longitudinalβ = L / λλ = longitud de medias ondas en la dirección circunsferencialLa tensión crítica está dada por:2.7) 2η 12( 1−ν )σcr⎡= Kc⎢⎣2π E⎤ t⎥ ⎛ ⎦ ⎝ ⎜ L22⎞⎟⎠Minimizando la ecuación 2.6) respecto al parámetro (m 2 + β 2 ) 2 / m 2coeficiente Kc para cilindros largos:se obtiene elL2.8) Kc = ⎛ ⎞Z Z Z⎝ ⎜ ⎟ = = ⎛ 24 3⎠⎝ ⎜ ⎞220, 702 donde ⎟ 1−νπrt ⎠Página 10 de 25

CILINDROS DE PAREDES DELGADAS SOMETIDOS A COMPRESION Y PRESION INTERNASustituyendo la 2.8) en la 2.7) para ν = 0,3 se obtiene la clásica ecuación:σcrη= 0,605E t rNuevamente se ve la independencia de la constante de la relación r / t, por lo que serequiere de métodos experimentales para resolver este problema.Página 11 de 25

CILINDROS DE PAREDES DELGADAS SOMETIDOS A COMPRESION Y PRESION INTERNA2.1) METODOS DE RESOLUCION2.1.1) Kanemitsu y Nojima determinaron experimentalmente la forma de onda al iniciodel pandeo. Recogieron todos los datos experimentales confiables sobre cilindros bajocompresión, cubriendo no solo el amplio rango de relaciones r/t, sino también el rangode relaciones L/r y propusieron una ecuación empírica para la determinación de lacarga crítica:⎡ ⎛ tt2.1.1.1) σcr = E ⎜ ⎞ ⎝ r ⎠ ⎟ ⎛ ⎞⎢9 + 016 , ⎜ ⎟⎣⎝ L ⎠16 , 13 ,⎤⎥⎦2.1.1.2)σcrE⎛r⎜ ⎞ Ko⎝ t ⎠ ⎟ = =⎡ ⎛ tt⎜ ⎞ ⎝r⎠ ⎟ ⎛⎢9 + 016 , ⎜ ⎞⎣⎝r⎠ ⎟06 , 03 , 13 ,⎛ r ⎞⎜ ⎟⎝ L ⎠⎤⎥⎦(figura 2.1.1.1)0.30.250.2Ko0.150.10.050 0.5 1 1.5 2 2.5L/rr/t = 500 r/t = 1000 r/t = 1500 r/t = 2000 r/t = 2500 r/t = 3000Figura 2.1.1.1Esta fórmula se usa en los rangos de 500 ≤ r/t ≤ 3000 y 0,1 ≤ L/r ≤ 2,5 adoptandoa Ko = cte. para r/t = cte. y L/r ≥ 2,5 y Ko = 0,3 para relaciones r/t ≤ 500.Página 12 de 25

CILINDROS DE PAREDES DELGADAS SOMETIDOS A COMPRESION Y PRESION INTERNAFigura 2.1.2.1De la figura se observa que para relaciones L/r ≥ 0,75 (Z >0,5 r/t para μ = 0,3) lascurvas se hacen independientes de las condiciones de borde.El método propuesto se basa en utilizar las curvas de la figura 2.1.2.1 para relacionesL/r < 0,75, donde se manifiesta la influencia de las condiciones de borde y paraL/r ≥ 0,75 usar:Kc = 1,15 C Zdonde C se obtiene de la figura 2.1.2.2 (esta curva se obtuvo en base a los datos deKanemitsu y Nojima).Esta curva es usada en el BOEING DESIGN MANUAL.Página 14 de 25

CILINDROS DE PAREDES DELGADAS SOMETIDOS A COMPRESION Y PRESION INTERNA0.240.20.16C0.120.080.0400 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200r/tFigura 2.1.2.22.1.3) Harris, Suer, Skene y Benjamin trabajaron con la solución de Batdorf y graficaronel coeficiente de pandeo Kc en función de Z.El análisis consistió en los siguientes pasos:a) Graficar la curva Kc(Z)b) Plotear los resultados de ensayos para determinadas relaciones r / tc) Obtener la curva del 90%, paralela a Kc(Z), para las distintas relaciones r/t (figura2.1.3.1)d) Definir la transición entre el rango de cilindros largos y cortos (Esta transición es lamisma que ya fue definida en el punto 2.1.2).Corrigiendo esta curva para cada valor de r/t se obtiene la curva de diseño de la figura2.1.3.2:Página 15 de 25

CILINDROS DE PAREDES DELGADAS SOMETIDOS A COMPRESION Y PRESION INTERNAFigura 2.1.3.1Página 16 de 25

CILINDROS DE PAREDES DELGADAS SOMETIDOS A COMPRESION Y PRESION INTERNAFigura 2.1.3.2Página 17 de 25

CILINDROS DE PAREDES DELGADAS SOMETIDOS A COMPRESION Y PRESION INTERNA2.1.4) El Manual de Estructuras Aeronáuticas, Parte II, sección C3 da la tensión críticade pandeo como:2.1.4.1)σcrη=rγEt2( ν )31−σcrηEt= 0 605γr, (para ν = 0,3)Donde el factor γ puede ser obtenido de: γ = 1− 0 901( 1− −φ ), e (2.1.4.2)Donde: φ = 116rtpara r/t < 1500La ecuación 2.1.4.2) se ve en la figura 2.1.4.1. Esta información debe ser usada concuidado para cilindros con una relación L/r > 5 dado que no se ha verificado conexperimentos para este rango. Para cilindros muy largos debe ser chequeado con lateoría de Euler para columnas.10.90.80.7γ0.60.50.40.30.20.101E0 1E1 1E2 1E3 1E4r/tFigura 2.1.4.1Página 18 de 25

CILINDROS DE PAREDES DELGADAS SOMETIDOS A COMPRESION Y PRESION INTERNACarga última en cilindros circulares:El cálculo teórico nos lleva a una ecuación que da la tensión a la cual ocurre el pandeoen un cilindro cargado axialmente. La pregunta que surge es saber si resulta posible ono exceder la tensión de pandeo de tal estructura. Las experiencias demuestran que entodos los casos de cilindros completos, la carga a la cual pandea es también la cargaúltima que puede soportar, ya que en tales estructuras el pandeo es de característicascatastróficas y tienen lugar grandes deformaciones axiales repentinas.3) Determinación de la carga crítica de pandeo para un cilindro sometido acompresión y presión interna:Investigaciones experimentales han determinado un significativo incremento de latensión crítica de pandeo en cilindros con presión interna.Lo, Create y Schwartz han analizado el problema de largos cilindros presurizadosusando una extensión de la teoría de las grandes deflexiones de von Kármán y Tsien.Dibujando estos resultados en términos de los parámetros adimencionales (p/E)(r/t) 2 y(σcr/E)(r/t) se ve el incremento del coeficiente de pandeo desde el valor de Tsien de0,375 a presión cero hasta el clásico valor máximo de 0,605 a (p/E)(r/t) 2 = 0,169 (figura3.1).Se puede observar que un cilindro presurizado tiende a alcanzar el valor de K = 0,605.Esto se debe a que la presión interna fuerza al cilindro a tomar la forma de onda, quese propuso en el primer análisis teórico ( w = -A sen (mπx/L) ). De igual manera en losexperimentos, además de que la presión interna "plancha" las imperfecciones inicialesdel cilindro.Comparando la teoría con los resultados experimentales se observan grandesdiscrepancias, debidas a la forma de onda al inicio de pandeo. Lo, Create y Schwartzobtubieron una mejor correlación con los experimentos graficando el incremento de latensión crítica (Δσcr/E)(r/t) = ΔK = K - Ko donde Ko es el coeficiente a presión cero(figura 3.2). De esta forma la teoría predecía en forma muy aproximada el incrementode la tensión debida a la presurización.Página 19 de 25

CILINDROS DE PAREDES DELGADAS SOMETIDOS A COMPRESION Y PRESION INTERNA0.6Teoría de Lo0.5σcrσcrr= = kE t0.40.30.20.1t = 0,001 in (p crec.)t = 0,001 in (p decrec.)t = 0,003 in00 0.5 1 1.5 2 2.5p =pE⎛r⎜ ⎞ 2⎝ t ⎠ ⎟Figura 3.10.30.250.2Δσ cr=Δk0.150.10.0500 0.5 1 1.5 2 2.5p =pE⎛r⎜ ⎞ 2⎝ t ⎠ ⎟Figura 3.2Página 20 de 25

CILINDROS DE PAREDES DELGADAS SOMETIDOS A COMPRESION Y PRESION INTERNA3.1) METODOS DE RESOLUCION:3.1.1) Harris, Suer, Skene y Benjamin trabajaron estadísticamente con la curva delincremento del coeficiente de pandeo dada por Lo, Create y Schwartz, haciendo lacorrelación de los resultados experimentales y calculando la curva del 90 % deprobabilidad para ser usada como curva de diseño.Figura 3.1.1.1Para obtener la tensión crítica de pandeo a una determinada presión, debe calcularsetensión crítica para el cilindro sin presurizar (figura 2.1.3.1) y sumarle el valor delincremento dado por la figura 3.1.1.1Página 21 de 25

CILINDROS DE PAREDES DELGADAS SOMETIDOS A COMPRESION Y PRESION INTERNA3.1.2) Fung y Sechler corrigieron la curva del incremento del coeficiente de pandeo deLo, Create y Schwartz, trazando una recta desde ΔK = 0 a (p/E)(r/t) 2ΔK = 0,229 a (p/E)(r/t) 2 = 1,20 y luego para valores de (p/E)(r/t) 2 > 1,20= 0 hastatomandoΔK = 0,229 = cte. (figura 3.1.2.1)El método que propusieron es calcular la tensión crítica para un cilindro sin presurizarpor intermedio de la fórmula de Kanemitsu y Nojima (figura 2.1.1.1) y sumarle elincremento obtenido de la curva corregida.Esto se podría aplicar igualmente para el método de Batdorf (2.1.2), ya que este corrigela curva teórica con la ecuación de Kanemitsu y Nojima.0.30.250.2Δσ cr=Δk0.150.10.0500 0.5 1 1.5 2 2.5p =pE⎛r⎜ ⎞ 2⎝ t ⎠ ⎟Figura 3.1.2.1Página 22 de 25

CILINDROS DE PAREDES DELGADAS SOMETIDOS A COMPRESION Y PRESION INTERNA3.1.3) El Manual de Estructuras Aeronáuticas, Parte II, sección C3 da la tensión críticade pandeo para cilindros comprimidos y presurizados como:3.1.3.1)σcrη=rγEt2( −ν)31+ Δ γσcrηEt=0605 , γ Δγr+ (para ν = 0,3)Donde el factor γ se obtiene de igual manera que el cilindro sin presurizar y Δγ = ΔK seobtiene de la figura 3.1.2.1Se debe tener en cuenta que esta tensión calculada no incluye el efecto de traccióngenerado por la presión interna.Página 23 de 25

CILINDROS DE PAREDES DELGADAS SOMETIDOS A COMPRESION Y PRESION INTERNA4. EJEMPLOS DE CALCULOEn la siguiente tabla se observan los valores obtenidos por los distintos métodos parauna dada relación r/t y distintas longitudes.E = 750000 Kg/cm 2 r = 10 cm t = 0,02 cm r/t = 500σ cr (1) σ cr (2) σ cr (3) σ cr (4) L L/r r/t ZArtic. Emp. Artic. Emp. Artic. Emp. Artic. Emp. (cm)1066.5 868 1274 325 1085 292 1 0.1 500 4.77625.73 540 610 280 420 292 2 0.2 500 19.08416 412 327.2 280 280 292 5 0.5 500 119.25361.5 327.2 280 292 10 1 500 477340 327.2 280 292 20 2 500 1908335.6 327.2 280 292 40 4 500 7632Las tensiones críticas están dadas en Kg/cm 2 Z = L 2 (1-μ 2 ) 0.5(1) Método 2.1.1(2) Método 2.1.2(3) Método 2.1.3(4) Método 2.1.4r tPara distintos valores de presión interna los incrementos en la carga crítica serán:Δσ cr (1) Δσ cr (2) r/t P (Kg/cm 2 ) P/E (r/t) 2210 71.5 500 0.75 0.25270 143 500 1.5 0.5300 300 500 3 1330 343.5 500 6 2(1) Método 3.1.1(2) Método 3.1.2Página 24 de 25

CILINDROS DE PAREDES DELGADAS SOMETIDOS A COMPRESION Y PRESION INTERNABIBLIOGRAFIA:• S. Timoshenko, Teoría de la estabilidad elástica, EDIAR 1961.REFERENCIAS:• Batdorf S. B., Schilderout M. and Stein M., Critical Stress of Thin-Walled in AxialCompresion, NACA TN 1343, June 1947.• Lo H., Crate H. and Schwartz E. B., Buckling of Thin-Walled Circular Cylinders UnderAxial Compresion and Internal Pressure, NACA Report 1027, 1951.• Fung Y. C. and Sechler E. E., Buckling of Thin-Walled Circular Cylinders Under AxialCompresion and Internal Pressure, Journal of the Aeronautical Sciences, May 1957.• Harris L. A., Suer H. S., Scene W.T. and Benjamin R. J., Buckling of Thin-WalledCircular Cylinders Under Axial Compresion and Internal Pressure, Journal of theAeronautical Sciences, August 1957.• George C. Marshall Space Flight Center, Astronautic Structures Manual, Vol II,section C3.0, August 1975.Página 25 de 25