apuntes

Ejemplo 4
Se considera la siguiente parametrización del toro:
~r : [0; 2) [0; 2) ! R 3 ;
~r(; ) = ((cos + 2) cos ; (cos + 2) sin ; sin ) :
Se pide:
1. Curvatura normal en el punto P de coordenadas (2; 0; 1).
2. Direcciones principales en el punto P .
3. Curvaturas principales en el punto P .
4. Curvatura de Gauss en el punto P .
5. Curvatura media en el punto P .
6. Clasi…car los puntos del toro.
Solución.
El punto P se alcanza para los valores de los parámetros = =2 y = 0.
Tenemos:
y
~r (; ) = ( sin cos ; sin sin ; cos ) ;
~r (; ) = ( (cos + 2) sin ; (cos + 2) cos ; 0) ;
~N(; ) = ~r (; ) ^ ~r (; )
k~r (; ) ^ ~r (; )k
Por tanto,
y
E(; ) = ~r (; ) ~r (; ) = 1;
F (; ) = ~r (; ) ~r (; ) = 0;
= ( cos cos ; cos sin ; sin ) :
G(; ) = ~r (; ) ~r (; ) = (cos + 2) 2 ;
L(; ) = ~r (; ) ~ N(; ) = 1;
M(; ) = ~r (; ) ~ N(; ) = 0;
N(; ) = ~r (; ) ~ N(; ) = cos (cos + 2) :
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