apuntes

= 0; esto es, existe una dirección a lo largo de la cual k N = 0. En
este caso el punto de contacto de la super…cie con el plano tangente se
dice que es un punto parabólico.
< 0 Entonces II P es inde…nida. Por lo tanto la matriz de II P tiene un
autovalor positivo y otro negativo; esto es, existe una dirección a lo
largo de la cual k N > 0 y otra a lo largo de la cual k N < 0. El plano
tangente a S en P interseca a la super…cie en dos direcciones. El punto
P se dice que es un punto hiperbólico.
1.5 Curvaturas de una super…cie
De todas las direcciones del plano tangente a la super…cie S en un punto P ,
es interesante determinar aquellas en las que la curvatura normal en el punto
alcanza sus valores extremos.
1.5.1 Direcciones principales
Se llaman direcciones principales de S en P a las direcciones del plano tangente
a S en P en las que la curvatura normal toma sus valores extremos. A
las curvaturas correspondientes las denominaremos curvaturas principales.
Cálculo de las direcciones principales Vamos a hallar las direcciones
principales de una super…cie S en un punto P con curvatura normal:
k N ((h; k)) = II P ((h; k))
I P ((h; k)) = Lh2 + 2Mhk + Nk 2
Eh 2 + 2F hk + Gk 2 :
En las direcciones ~v = (h; k) 2 T P S principales se debe cumplir:
@k N
(h; k)
@h
= 0;
@k N
(h; k)
@k
= 0:
Por tanto las direcciones principales (h; k) 2 T P S deben satisfacer el siguiente
sistema de ecuaciones:
(L kN E) h + (M k N F ) k = 0; Lh + Mk = kN (Eh + F k) ;
=)
(M k N F ) h + (N k N G) k = 0; Mh + Nk = k N (F h + Gk) :
(1)
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