apuntes

Luego,
II P (h; k) = h 2 + cos (cos + 2) k 2 :
Por tanto, la matriz de la primera forma fundamental de S en el punto
P es:
E (=2; 0) F (=2; 0) 1 0
=
F (=2; 0) G (=2; 0) 0 4
y la matriz de la segunda forma fundamental de S en el punto P es:
L (=2; 0) M (=2; 0) 1 0
= :
M (=2; 0) N (=2; 0) 0 0
La curvatura normal en la dirección del vector ~w 2 T P S con coordenadas
(h; k) es:
k N (h; k) = II P (h; k)
I P (h; k) = h 2
h 2 + 4k : 2
Las direcciones principales (1; ) en P son las soluciones de la ecuación:
2 1
0 =
1 0 4
= 4 =) = 0.
1 0 0
Si tomamos el vector de coordenadas (; 1), entonces la ecuación se escribe:
1 2
0 =
1 0 4
= 4 =) = 0.
1 0 0
Por tanto, las direcciones principales son las de los vectores de coordenadas
(1; 0) y (0; 1).
Las curvaturas principales son:
k N (1; 0) = II P (1; 0)
I P (1; 0) = 1;
k N (0; 1) = II P (0; 1)
I P (0; 1) = 0:
Si consideramos la ecuación de las curvaturas principales:
1 0
1 0
0 4 k2 N
0 0 + 1 0
0 4 k N +
1 0
0 0
= 0
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