apuntes

La ecuación diferencial de las líneas de curvatura en P es:
(v 0 (t)) 2 u 0 (t)v 0 (t) (u 0 (t)) 2
0 =
1 0 1
2 0 2 = 4u0 (t)v 0 (t)
Esto es, u 0 (t) = 0 ó v 0 (t) = 0. Por tanto, las líneas de curvatura son u(t) = u 0
ó v(t) = v 0 , con u 0 y v 0 constantes. Como estamos en el punto P = ~r(0; 0),
tenemos u(0) = 0 y v(0) = 0, por tanto, las líneas de curvatura son:
~r(0; v) = 0; v; v 2 ;
~r(u; 0) = u; 0; u 2 :
La ecuación diferencial de las líneas asintóticas en P es:
0 = 2 (u 0 (t)) 2 2 (v 0 (t)) 2 =) 0 = u 0 (t) + v 0 (t) ó 0 = u 0 (t) v 0 (t)
Integrando obtenemos: u(t) = v(t) + k. Como u(0) = v(0) = 0, se tiene:
u = v. Las líneas asintóticas son:
~r(u; u) = (u; u; 0)
~r(u; u) = (u; u; 0)
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