apuntes

Por tanto,
Y
~N(; ) = ~r (; ) ^ ~r (; )
k~r (; ) ^ ~r (; )k
luego
= ( cos sin ; sin sin ; cos ) :
~r (; ) = ( a cos sin ; a sin sin ; 0) ;
~r (; ) = ( a sin cos ; a cos cos ; 0) ;
~r (; ) = ( a cos sin ; a sin sin ; a cos ) ;
E(; ) = ~r (; ) ~r (; ) = a 2 sin 2 sin 2 + a 2 cos 2 sin 2
= a 2 sin 2 ;
F (; ) = ~r (; ) ~r (; ) = 0;
G(; ) = ~r (; ) ~r (; ) = a 2 cos 2 cos 2 + a 2 sin 2 cos 2 + a 2 sin 2
= a 2 ;
L(; ) = ~r (; ) ~ N(; ) = a cos 2 sin 2 + a sin 2 sin 2 = a sin 2 ;
M(; ) = ~r (; ) ~ N(; ) = 0;
N(; ) = ~r (; ) ~ N(; ) = a cos 2 sin 2 + a sin 2 sin 2 + a cos 2
Por tanto,
= a sin 2 + a cos 2 = a:
k N ((h; k)) = Lh2 + 2Mhk + Nk 2
Eh 2 + 2F hk + Gk 2 = a sin2 h 2 + ak 2
a 2 sin 2 h 2 + a 2 k 2 = 1 a :
Luego la curvatura normal es constante en cada punto de la super…cie y en
cada dirección del plano tangente. La indicatriz de Dupin en cada punto de
la esfera es:
a 2 = x 2 + y 2 :
Ejemplo 10 Se considera la super…cie con ecuación cartesiana z = x 2 y 2 .
Se pide:
1. Clasi…car los puntos de la super…cie.
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