Sistemas Hamiltonianos y Gradiente. Método analítico para la ...

12Fig. 3.8: Familias de trayectorias cerradas. Péndulo simple (a) . Sistema predador-presa (b) .Ejemplo 3.8 Sistema predador-presa (Volterra)Las ecuaciones del sistema predador-presa sonẋ 1 = −x 1 + x 1 x 2 ,ẋ 2 = x 2 − x 1 x 2 .Se intenta calcular las posibles trayectorias cerradas planteando una función V de la formaV (x 1,x 2)=h 1(x 1)+h 2(x 2),donde h 1 (·) y h 2 (·) se elegirán de modo de anular ˙V sobre las trayectorias del sistema (3.15). Entonces,˙V (x 1 ,x 2 ) = h 0 1(x 1 )ẋ 1 + h 0 2(x 2 )ẋ 2Para que ˙V sea idénticamente cero es necesario que= h 0 1(x 1)(−x 1 + x 1x 2)+h 0 2(x 2)(x 2 − x 1x 2).h 0 1(x 1 )x 1 (x 2 − 1) = h 0 2(x 2 )x 2 (1 − x 1 )=0,(3.15)que puede escribirse comoh 0 x 11(x 1)(1 − x 1 ) = x 2h0 2(x 2)(1 − x 2 ) .El miembro izquierdo de la ecuación es sólo función de x 1 e independiente de x 2 , mientras que el de laderecha es función sólo de x 2 e independiente de x 1 . En consecuencia ambos deben ser iguales a unaconstante k; en otras palabrasLa solución de (3.16) esx 1x 2h 0 1(x 1 )(1 − x = k, 1) h0 2(x 2 ) = k. (3.16)(1 − x 2)h 1 (x 1 )=k(ln x 1 − x 1 ), h 2 (x 2 )=k(ln x 2 − x 2 ).Por lo tanto una función V apropiada para este ejemplo esV (x 1,x 2)=lnx 1 − x 1 +lnx 2 − x 2,donde, sin pérdida de generalidad, se ha supuesto que k =1. Para esta elección de V cualquier conjuntoS c de la forma (3.13) (con c>0) es una curva cerrada, de manera que la familia de curvas definidas porln x 1 − x 1 +lnx 2 − x 2 = constanteconstituyen un conjunto de trayectorias cerradas para el sistema predador-presa como muestra la Fig. 3.8(b).En este ejemplo V está definida solamente en el primer cuadrante (x 1 > 0, x 2 > 0). 2