Contraejemplo de la Conjetura de Aizerman

Contraejemplo de la Conjetura de AizermanEl sistema de una entrada y una salida (SISO)cuya representación en el espacio de estados ess + 1hs () = , (1)2s⎡0 1⎤ ⎡0⎤x= ⎢ x u,0 0⎥ + ⎢1⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦y = 1 1 x,[ ]se realimenta negativamente desde la salida, u =−φ ( y), dondeLa no linealidad φ( ⋅ ) pertenece al sector−1 −1⎧ ⎪e (1 + e) y, si y ≤1,φ ( y)= ⎨−yy −1⎪⎩ e (1 + e ) , si y > 1.−1 −1(0, e (1 e) ]+ (véase la Fig. 1).Fig. 1. Función φ .Si, de acuerdo con la conjetura de Aizerman, se reemplaza la no linealidad por una ganancia lineal (es decir,−1 −1u =− ky, con k∈ (0, e (1 + e) ] ), la función transferencia del sistema realimentado eshCLhs () s+1() s = =21 + kh( s)s + ks+ k.Los polos del sistema de lazo cerrado son las raíces del polinomio denominador s 2 + ks+ k , es decirp1,2 = ( k 2)( − 1± 1− 4 k), que yacen el semiplano izquierdo para k ∈(0, ∞ ) , tal como se puede apreciar enel lugar de las raíces de la Fig. 2. De modo que el sistema de lazo cerrado (con la ganancia lineal) es exponencialmenteestable para k ∈(0, ∞ ) .Fig. 2. Lugar de las raíces.1

Sin embargo, el sistema con la realimentación no lineal u =−φ ( y)x1= x2,x=−φ ( x + x ),2 1 21 1y con condiciones iniciales x 1(0) e −(1 e −1= + ) , x (0) 2= e−1() 2()tiene como solución () x t x tx2 t = e − −, que es mayorque cero para todo t ≥ 0 . Por lo tanto, como x 1() t = x2()t , se observa que x1( t ) crece sin límite para t →∞. Demodo que el sistema con la realimentación propuesta no es exponencialmente estable: es inestable (Fig. 3).Fig. 3. (a) Evolución temporal; (b) proyección en el plano x1 − x2.Análisis de la estabilidad absoluta en base al criterio del círculo y al criterio de PopovEn la Fig. 4 (a) se muestra el diagrama de Nyquist del sistema (1), dibujado para frecuencias positivas. Se observaque no encierra el disco D(a,b); los parámetros a y b deben elegirse de modo de maximizar la amplitud del−1 −1sector que comprende la no linealidad. Se fijó b en un valor igual a la máxima pendiente de φ ( b= e (1 + e)),y se determinó a por prueba y error de modo que el disco D(a,b) sea casi tangente al diagrama de Nyquist. Seencuentra entonces que a = 0.12 . De modo que el criterio del círculo permite determinar que el sistema (1) es−1 −1globalmente exponencialmente estable para cualquier no linealidad comprendida en el sector [0.12, e (1 + e) ] .−1 −1Como la no linealidad φ pertenece al sector (0, e (1 + e) ] , el sistema no es estable con esta realimentación.−1 −1Obsérvese que si se elimina el requisito que b= e (1 + e), pueden obtenerse otros sectores, como por ejemplo,los que se muestran en la Fig. 4 (b): [0.091,0.18] , [0.18,0.5] y [0.5,4], Esto no significa que el sistema sea globalmenteexponencialmente estable cuando φ pertenece al sector [0.091,4] (la unión de los tres sectores anteriores,véase Vidyasagar, p. 229).−1 −1Fig. 4: Criterio del círculo para el sistema (1). (a) Sector [0.12, e (1 + e) ] . (b) Tres sectores distintospara el mismo sistema.El comportamiento del sistema también puede analizarse aplicando el criterio de Popov. En este caso, el sistemase puede reescribir en la forma de la ecuación 5.6.41−42, p. 230:2

x= Ax+buξ= uy = cx+ dξu =−φ( y)resultandox1= ξ + uξ= uy = x1u =−φ( y)que no es exactamente la forma propuesta (obsérvese la ecuación de x1, que depende de ξ y no de x1). De modoque la matriz A no es Hurwitz, como pide el Teorema 5.6.46 (p. 231) o el Teorema 5.6.63 (p. 233). Para ello,se modifica la ecuación de x 1, sumando y restando un término de la forma α x1, con α> 0 , y definiendo unnuevo control v =α x1+ u . Entonces⎧x1 =−α x1+ξ +α x1+ u =−α x1+ξ + v ⎧x1 =−α x1+ξ + v⎪ ξ=−α x1 + v ⎪ ξ=−α x1+ v⎨⇒ ⎨⎪ y = x1 ⎪ y = x1⎪ v [ ( y) x1] ( x1) ⎪⎩ =−φ −α =−ψ ⎩ v =−ψ( x1)Observe que ahora el sistema no presenta la integración de la entrada; de hecho, la función trasferencia del sistemamodificado ess + 1hα() s =2s +α s+α . (2)También debe tenerse presente que si la no linealidad φ pertenece al sector ( α, β ) , la no linealidad ψ perteneceal sector (0, β −α ) . La idea es analizar el sistema (2) para valores decrecientes de α , tal que α→ 0 .Para efectuar el gráfico de Popov debe representarse ωIm{ ha( jω } en función de Re{ hα ( jω )} . Es sencillo determinarquey algunos valores particulares son2 4α+ ( α−1)ω −ωRe{ hα( jω )} = , ωIm{ h ( j )} .2 2 2 2 αω =2 2 2 2( α−ω ) +α ω ( α−ω ) +α ω1Re{ hα( jω )} = , ωIm{ h ( )} 0,0 αjω =ω= ω= 0α1Re{ h ( j )} 0, Im{ h ( j )} ,αω α = ωαω α =−ω= ω=1−α1−ααRe{ h ( jω )} = 0, ωIm{ h ( jω )} =−1.αω→∞En la Fig. 5 se muestra el gráfico de Popov para distintos valores de α . Del gráfico se observa que siempre esposible trazar una recta con pendiente positiva, que pase por 1 k = 0 de modo que el grafo de Popov quede a laderecha de la recta. Esto asegura que el sistema es globalmente asintóticamente estable para una no linealidadψ()⋅ perteneciente al sector (0, k ) = (0, ∞ ) , o bien para φ( ⋅ ) perteneciente al sector ( α∞ , ) .αω→∞Fig. 5. Gráficos de Popov para distintos valores de α .Finalmente, si α→ 0 , el grafo de Popov resulta una semirrecta de pendiente cero, ya que para α= 0 ,3

1Re{ hα( jω )} = , ωIm{ h ( j )} 1.2αω =−−ωAún en este caso es posible graficar una recta de pendiente positiva tal que el grafo de Popov quede a la derechade la recta, (Fig. 6), y en consecuencia, el sistema (1) es uniformemente asintóticamente estable para no linealidadesφ( ⋅ ) perteneciente al sector ( α∞ , ) , donde α> 0 . Obsérvese que la no linealidad φ( ⋅ ) no queda comprendidaen este caso pues inf φ ( y) = 0 .y>0Fig. 6. Gráfico de Popov para α= 0 .Este ejemplo está tomado de Sepulchre, R., Jankovic, M., y Kokotovic, P., Constructive Nonlinear Control,Springer-Verlag, London, 1997, p. 75, y es una elaboración del propuesto por Krasovskii (en Narendra K. S. yTaylor, H. H., Frequency Domain Criteria for Absolute Stability, Academic Press, New York, 1973, citado porAtherton, D. P., Stability of Nonlinear Systems, Research Studies Press, Llechworth 1981, p. 133), en el cual⎧⎡ − + ⎤≤hs () , ( )ys + s+ 1 ⎪ 1− y e ( 1 + e ) y, si y > 1.⎩⎣ ⎢⎥ ⎦−1 −11 e (1 e) y, si y 1,− ( s + 1)⎪= φ y = ⎣ ⎦2 ⎨ ⎡ −1−1− y ⎤(3)−1 −1donde 1 − e (1 + e) ≈ 0.901062 . Según Atherton, es el único ejemplo conocido de un sistema que no cumple laconjetura de Aizerman sin exhibir una respuesta oscilatoria, como los ejemplos presentados en el Capítulo 4. Lafunción hs ( ) realimentada con una ganancia k resulta en el sistema de lazo cerradohCLhs () − ( s+1)() s = =21 + kh( s) s + ( k− 1) s+ ( k−1)que tiene polos con parte real negativa para todo k ∈−∞ ( ,1) . Aunque la no linealidad φ( ⋅ ) pertenece al sector[0.901062,1) , para algunas condiciones iniciales, por ejemplo x 0= (1, 0) , la respuesta no es acotada (Fig. 7).Nuevamente, es un ejemplo cuestionable pues la ganancia de la no linealidad tiende asintóticamente a la unidadpara entradas de gran magnitud , y con ganancia de lazo unitaria el sistema tiene un par de polos en el origen.Los resultados de simulación indican que si se restringe φ( ⋅ ) de modo que pertenezca al sector [ α,1 −ε ], paradistintos valores de α en el rango −∞ < α < 1− ε , donde ε es pequeño y positivo, el sistema es estable.Este sistema también puede analizarse aplicando el criterio del círculo y/o el criterio de Popov. En la Fig. 8 (a)se muestra el diagrama de Nyquist del sistema (3), y se observa que es aplicable el caso (i) del Teorema del círculo(Teorema 5.6.37, p. 227). En este caso se pueden determinar varios sectores, tales como [0.8, 0.901062] ,[0.901062, 0.94] y [0.94, 0.96] .La aplicación del caso (ii) (Fig. 8 (b)) permite obtener − 1 b =− 1.35, o bienb = 0.74 , lo que permite asegurar que el sistema es globalmente exponencialmente estable para φ∈ [0, 0.74] .Note que este sector no contiene a la no linealidad (3) original.,Fig. 7. Evolución temporal del ejemplo de Krasovskii.4

Fig. 8. Criterio del círculo para el ejemplo de Krasovskii. (a) Caso i: 0 < a< b. (b) Caso ii: 0 = a < b.El caso (iii) (Fig. 9) también permite determinar distintos sectores tales como [ − 1,0.65] (Fig. 9 (a)) o−1 −1= + pues el disco intersec-[ − 100,0.1] (Fig. 9 (b)). En todos los casos es muy difícil alcanzar el valorta el diagrama de Nyquist.b e (1 e)Fig. 9. Criterio del círculo para el ejemplo de Krasovskii (Caso iii). (a) φ∈[ − 1,0.65] . (b) φ∈[ − 100,0.1] .Para el análisis de estabilidad absoluta también puede aplicarse el criterio de Popov (Teorema 5.6.63, p. 233), talcomo se muestra en la Fig. 10. En esta figura se muestran dos rectas posibles (a) r = 3, − 1 k =− 1.5 , que aseguraque el sistema es globalmente asintóticamente estable para φ∈ (0, k) = (0,2 3) , y (b) r =∞, − 1 k =− 1.35 , queasegura que el sistema es globalmente asintóticamente estable para φ∈ (0, k) = (0, 0.74) . Obsérvese que en estecaso, no se obtiene una mejor estimación que la calculada con el caso (ii) del criterio del círculo (Fig. 8 (b)).Fig. 10. Criterio de Popov para el ejemplo de Krasovskii. En este caso, no se obtiene una estimaciónmejor que la calculada don el criterio del círculo (Caso ii, 0 = a < b, Fig. 8 (b)).5