Cálculo de series y transformadas de Fourier usando Mathematica

DCálculo de series y transformadas deFourier usando MathematicaEn este apéndice se presenta una forma sencilla de calcular los coeficientes de Fouriery las transformadas usando Mathematica. No pretende ser una introducción a un programatan sofisticado, sino proveer algunas herramientas para evitar laboriosos cálculosmanuales.La principal función a utilizar es Integrate[]. El comandoIntegrate[f, {x, xmin, xmax}]devuelve la integral definida R x máxx mínsiguiente ejemplo.f (x) dx. El uso de otros comandos se ilustra en elFig. D.1. Señal periódica ˜x(t).EJEMPLO D.1. Cálculo de la serie de Fourier de un tren de pulsos triangularesSe desea calcular los coeficientes de Fourier del tren de pulsos triangulares que se muestra en laFig. D.1. La expresión de los coeficientes está dada por la ecuación (2.30), (página 85)c k = 1 T 0ZT 0x(t)e−j 2πT 0kt dt,y en este caso es necesario separar la integral en seis partes, una para cada una de las rectas de293

294 D. Cálculos con MathematicaFig. D.2. Detalle de un período del tren de pulsos triangular.pendientes ±12A/T 0 como se representa en la Fig. D.2. Entonces,c k = 1 T 0Z −T0 /61T 0Z 0−T 0 /4−T 0 /121T 0Z T0 /6T 0 /12 12A−j 2πT kt 1T0t + 3A e 0 dt + 12A −j 2πT kt 1T0t + A e 0 dt +12AT0t − AeZ −T0 /12 T 0 −T 0 /6Z T0 /12 T 0 0ZT kt 1 T0 /4 0 dt + − 12ATT 0 T 0 /6 0−j 2π− 12AT 0− 12AT 0−j 2πT ktt − A e 0 dt +−j 2πT ktt + A e 0 dt +−j 2πT ktt + 3A e 0 dt.El código en Mathematica para calcular esta integral es casi una copia de la expresión anterior:In[1]:= ck = (Integrate[((12 A /T0)t + 3A)Exp[-(I 2 π k/T0)t], {t, -T0/4, -T0/6}] +Integrate[(-(12 A/T0)t - A)Exp[-(I 2 π k/T0)t], {t, -T0/6, -T0/12}] +Integrate[((12 A/T0)t + A)Exp[-(I 2 π k/T0)t], {t, -T0/12, 0}] +Integrate[(-(12 A/T0)t + A)Exp[-(I 2 π k/T0)t], {t, 0, T0/12}] +Integrate[((12 A/T0)t - A)Exp[-(I 2 π k/T0)t], {t, T0/12, T0/6}] +Integrate[(-(12 A/T0)t + 3A)Exp[-(I 2 π k/T0)t], {t, T0/6, T0/4}])/T0Las letras griegas se pueden ingresar utilizando la tecla ‹Esc› y la letra latina equivalente: porejemplo, π se ingresa como ‹Esc›p‹Esc›, α como ‹Esc›a‹Esc›, etc. La etiqueta “In[1]:=” esagregada por el programa cuando comienza a evaluar el comando, lo que ocurre apenas se presionala tecla ‹Intro› del teclado numérico, o la combinación ‹Mayus›+‹Intro› del teclado común.Luego de algunos segundos, el programa responde con:Out[1]:= ck= 1T00!A 6− 6B e I −I kπ T06 kπ@−2k 2 π 2A −6+6e I 6 kπ −I kπ T02e I +3 kπ k 2 π 2A 6−6e I 6 kπ +I kπ T0 Ae I k 36−6e π I 6 kπ +I kπ T0++2k 2 π 2 2k 2 π 2Ae I 6−6+e kπ I 6 kπ (6−I k π) T0 A −6+e I 16 kπ (6−I kπ) T0+2k 2 π 2 2e I A2 kπ k 2 π 2Esta expresión se puede reducir utilizando el comando Simplify[] o FullSimplify[]:In[2]:=Ck = Simplify[ck]y, nuevamente, luego de algunos segundos, se obtieneOut[2]:=Ck = 12A 1 + 2Cos[ πk 3 ] Sin[ πk12 ]2k 2 π 2Procesamiento Digital de Señales U.N.S. 2011

295Fig. D.3. Gráfico de los 10 primeros coeficientes de Fourier, para A = 1.En Mathematica, los nombres de las funciones se escriben con mayúscula, y el argumento quedaencerrado entre corchetes. Por ejemplo, la expresion Cos[π/2] devuelve 0, pero cos(π/2) devuelve(cos π)/2, que evidentemente es incorrecta.La expresión de los coeficientes c k se puede simplificar aún más (esta vez “a mano”), y finalmentese obtiene quec k = A h i i 21 + 2 cos πk123hsinc k12La función Sinc[] no está disponible en Mathematica, pero se puede definir de la siguiente manera:In[3]:= Sinc[x_]:=If[x==0,1,Sin[πx]/(πx)];De esta forma, se puede definir los coeficientes de Fourier como:In[4]:= Ck = A 121 + 2Cosh πk3i Sinch k12i 2;Algunos valores de los coeficientes se pueden generar utilizando el comando Table[]. En el siguientefragmento de código, este comando está incluido dentro de la instrucción FullSimplify[] paraobtener expresiones numéricas más sencillas:In[5]:= TCk = FullSimplify[Table[Ck,{k,0,10}] ]Out[5]:=(A12 , − 6(−2 + √ 3)Aπ 2 , 0, − 2A3π 2 , 0, 6(2 + √ 3)A25π 2 ,Aπ 2 , − 6(2 + √ 3)A49π 2, 0, − 2A27π 2 , 0 )Los coeficientes se pueden graficar en función de k utilizando el comando ListPlot[]:ListPlot[Table[{k,Ck/.A->1},{k,0,10}], PlotStyle -> PointSize[0.02] ]obteniéndose el gráfico que se muestra en la Fig. D.3.Finalmente, se puede graficar la aproximación utilizando el comando Plot[]. En este caso, dentrodel comando Plot[] se efectúa la suma de un número finito de términos de la serie. Si se suponeA = 1 y T 0 = 1, las instrucciones necesarias para graficar la aproximación son:Plot[Sum[ 112 (1+2Cos[ kπ 3 ]) (Sinc[ k 12 ])2 Exp[I 2 π k t], {k, -10, 10}], {t, -1, 1},PlotPoints -> 50, PlotRange -> All]El gráfico de la aproximación para la suma de 21 términos de la serie se muestra en la Fig. D.4(a) ,y para 101 términos en la Fig. D.4(b) .Este ejemplo también muestra que el uso de las propiedades de la serie y la transformadafacilita el cálculo de los coeficientes, como se detalla a continuación.Procesamiento Digital de Señales U.N.S. 2011

296 D. Cálculos con MathematicaFig. D.4. Reconstrucción del tren de pulsos triangulares a partir de la suma de 2 × 10 + 1 (a)y 2 × 50 + 1 (b) términos de la serie de Fourier.EJEMPLO D.2. Cálculo de los coeficientes de Fourier del tren de pulsos triangulares utilizandopropiedadesLa idea en este caso es calcular la transformada X( f ) de un período de la señal periódica (porejemplo, la que se muestra en la Fig. D.2), y a partir de ella calcular los coeficientes de la serie,c k = 1 T 0X( f )| f =k/T0.La manera más sencilla parecer ser comenzando con la transformada de Fourier del pulso triangularque se extiende desde −T 0 /12 hasta T 0 /12. Esta transformada se puede calcular a partir de laconvolución de dos pulsos rectangulares de ancho T 0 /12, y alto √ A, como se propone en el Ejercicio17. Aplicando la propiedad de convolución, se encuentra que la transformada de este único pulsotriangular esX 1 ( f ) = AT 012hsincT012 f i 2.Los transformadas de los dos pulsos triangulares a la izquierda y a la derecha del pulso centralse calculan aplicando la propiedad de desplazamiento. El pulso de la izquierda está adelantadoτ = −T 0 /6 unidades de tiempo y el pulso de la derecha está atrasado en la misma cantidad. Porlo tanto, la transformada del pulso de la izquierda esy la del pulso de la derechaCombinando estos tres resultados,X( f ) = AT 012= AT 012X 2 ( f ) = e j2π T 06 f X 1 ( f )X 3 ( f ) = e −j2π T 06 f X 1 ( f ).1 + e j2π T 0 f 6 + e −j2π T 0 h i 26 fsinc T012 fh i h i 21 + 2 cos 2π T 06f sinc T012 f .Finalmente, evaluando la transformada en f = k/T 0 , y escalando por 1/T 0 se encuentra quec k = A 12h i h i 21 + 2 cos π3k sinc k12,que evidentemente coincide con el resultado del ejemplo anterior.Procesamiento Digital de Señales U.N.S. 2011