Cálculo de series y transformadas de Fourier usando Mathematica

296 D. Cálculos con MathematicaFig. D.4. Reconstrucción del tren de pulsos triangulares a partir de la suma de 2 × 10 + 1 (a)y 2 × 50 + 1 (b) términos de la serie de Fourier.EJEMPLO D.2. Cálculo de los coeficientes de Fourier del tren de pulsos triangulares utilizandopropiedadesLa idea en este caso es calcular la transformada X( f ) de un período de la señal periódica (porejemplo, la que se muestra en la Fig. D.2), y a partir de ella calcular los coeficientes de la serie,c k = 1 T 0X( f )| f =k/T0.La manera más sencilla parecer ser comenzando con la transformada de Fourier del pulso triangularque se extiende desde −T 0 /12 hasta T 0 /12. Esta transformada se puede calcular a partir de laconvolución de dos pulsos rectangulares de ancho T 0 /12, y alto √ A, como se propone en el Ejercicio17. Aplicando la propiedad de convolución, se encuentra que la transformada de este único pulsotriangular esX 1 ( f ) = AT 012hsincT012 f i 2.Los transformadas de los dos pulsos triangulares a la izquierda y a la derecha del pulso centralse calculan aplicando la propiedad de desplazamiento. El pulso de la izquierda está adelantadoτ = −T 0 /6 unidades de tiempo y el pulso de la derecha está atrasado en la misma cantidad. Porlo tanto, la transformada del pulso de la izquierda esy la del pulso de la derechaCombinando estos tres resultados,X( f ) = AT 012= AT 012X 2 ( f ) = e j2π T 06 f X 1 ( f )X 3 ( f ) = e −j2π T 06 f X 1 ( f ).1 + e j2π T 0 f 6 + e −j2π T 0 h i 26 fsinc T012 fh i h i 21 + 2 cos 2π T 06f sinc T012 f .Finalmente, evaluando la transformada en f = k/T 0 , y escalando por 1/T 0 se encuentra quec k = A 12h i h i 21 + 2 cos π3k sinc k12,que evidentemente coincide con el resultado del ejemplo anterior.Procesamiento Digital de Señales U.N.S. 2011