3.1 Sistemas de Lienard

3.1. SISTEMAS DE LIENARD 13.1 Sistemas de LienardLos sistemas de Lienard responden a la ecuación diferencialẍ + f(x)ẋ + g(x) =0 (3.1)que es una generalización de la ecuación diferencial que rige el comportamiento de un sistemamecánico de segundo orden con fricción f(·) yfuerzasg(·) debidas a funciones potenciales, bajosuposiciones adecuadas sobre f(·) y g(·).Efectuando el cambio de variables x 1 = x, x 2 = ẋ + F (x), donde f(x) = F 0 (x) la ecuacióndiferencial (3.1) se puede escribir como el sistema planarẋ 1 = x 2 − F (x 1 ),ẋ 2 = −g(x 1 ).(3.2)Lienard estableció en 1928 que, bajo ciertas condiciones sobre F (·) y g(·), la ecuación diferencial(3.1) o el sistema planar (3.2) sólo pueden tener un único ciclo límite.En la prueba de éste y otros resultados de interés será útil definir las funcionesy la función energíaF (x) =Z xf(σ)dσ, G(x) =Z x00g(σ)dσ,V (x 1 ,x 2 )= 1 2 x2 2 + G(x 1 ). (3.3)Abusando ligeramente de la notación, se indicará indistintamente V (x) o V (x 1 ,x 2 ) según convenga.Teorema 1 (Lienard). Bajolashipótesis(i) F y g son funciones reales continuas i.e. F, g ∈ C 1 (R);(ii) F y g son impares: F (x) =−F (−x); g(x) =−g(−x), lo que implica que F (0) = g(0) = 0;(iii) xg(x) > 0 para x 6= 0, i.e. g(·) está contenida en el primer y tercer cuadrante;(iv) F 0 (0) < 0;(v) F tiene ceros sólo en x =0,yenx = ±a, a ∈ R;(vi) F tiende monótonamente a infinito para x ≥ a, cuando x →∞;el sistema de Lienard (3.2) tiene un único ciclo límite y es estable. 2Bajo las hipótesis del teorema, el sistema posee las siguientes propiedades:• El origen es el único punto de equilibrio de (3.2).• La curvas de pendiente nula (nullclinas) están dadas porẋ 1 = 0 ⇒ x 2 = F (x 1 ),ẋ 2 = 0 ⇒ g(x 1 )=0 ⇒ x 1 =0.Sobre x 1 =0(el eje x 2 ),elflujo tiene dirección horizontal y hacia la derecha si x 2 > 0, ycambia de sentido para x 2 < 0. Sobre la curva x 2 = F (x 1 ) el flujo tiene dirección vertical (yaque sobre ella ẋ 1 =0)y orientada hacia abajo si x 1 > 0, y hacia arriba si x 1 < 0.• El sistema (3.2) es invariante bajo el cambio de coordenadas (x 1 ,x 2 ) → (−x 1 , −x 2 ). Por lotanto, si [x 1 (t),x 2 (t)] es una solución de (3.2), también lo es [−x 1 (t), −x 2 (t)]. En consecuencia,si Γ es una trayectoria cerrada del sistema, es simétrica respecto al origen.

4Fig. 3.2: Ciclolímiteparaelsistema(3.7)conα =1/10.En 1958 el matemático chino Z. Zhang probó el siguiente teorema que complementa al de Lienard.Teorema 2 (Zhang) Bajo las hipótesis(i) a−1, y no es constante en un entorno del origen. Enconsecuencia, el teorema de Zhang permite asegurar que el sistema tiene a lo sumo un único ciclo límiteestable (Fig. 3.2). 2En 1981 Zhang probó otro interesante teorema relacionado al número de ciclos que puede exhibirel sistema de Lienard (3.2).

3.1. SISTEMAS DE LIENARD 5Fig. 3.3: Función f(x) (a) y los dos ciclos límite del sistema (3.8) (b).Teorema 3 (Zhang) Bajo las hipótesis(i) g(x) =x;(ii) F ∈ C 1 (R);(iii) f(x) =F 0 (x) es una función par con exactamente dos ceros positivos a 1 0 y F (a 2 ) < 0;(v) f(x) es monótonamente creciente para x>a,el sistema (3.2) tiene a lo sumo dos ciclos límite. 2Ejemplo 3.3 Sistema con dos ciclosEn el sistema cuadráticoẋ 1 = x 2 − ( 825 x5 1 − 4 3 x3 1 + 4 x 5 1),(3.8)ẋ 2 = −x 1 ,es F (x) = 825 x5 − 4 3 x3 + 4 x yentonces,f(x) =F 0 5(x) = 8 5 x4 − 4x 2 + 4 5. La Fig. 3.3(a) muestra que lap √ p √función f(x) es par; sus raíces positivas son a 1 = 1 2 5 − 17 ' 0.47, a2 = 1 2 5+ 17 ' 1.51, yseverifica que F (a 1 ) ' 0.245,F(a 2 ) ' −0.87. En consecuencia se satisfacen todas las hipótesis del teorema,y el sistema tiene a lo sumo dos ciclos límite. En realidad, el sistema posee exactamente dos ciclos (cf.Teorema 6) como se muestra en la Fig. 3.3(b). 2Por supuesto, cuanto mayores sean requisitos impuestos sobre las funciones F (x) y g(x) tanto másespecífico se puede ser respecto al número de ciclos que tenga el sistema (3.2). Por ejemplo, sig(x) =x y F (x) es un polinomio, se tiene los siguientes resultados:Teorema 4 (Lins, de Melo y Pugh): El sistema (3.2) con g(x) =x y F (x) =a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3con a 1 a 3 < 0 tiene exactamente un ciclo límite, que es estable si a 1 < 0 einestablesia 1 > 0. 2El matemático ruso Rychkov mostró que el sistema de Lienard (3.2) con g(x) =x y F (x) =a 1 x + a 3 x 3 + a 5 x 5 tiene a lo sumo dos ciclos límites.Si un sistema no lineal en un punto de equilibrio se comporta como un foco múltiple, de multiplicidadm, pueden bifurcarse desde él hasta m ciclos límite, que se denominan ciclos límitelocales.Teorema 5 (Blows y Lloyd): El sistema (3.2) con g(x) =x y F (x) =a 1 x + a 2 x 2 + ··· +a 2m+1 x 2m+1 tiene a lo sumo m ciclos límite locales, y existen coeficientes con a 1 ,a 3 ,a 5 , ...,a 2m+1 alternando en signo tal que (3.2) tiene m ciclos límite locales. 2

8El origen es un punto de equilibrio, y existen infinitos ciclos límites Γ n formados por los círculos de radior =1/(nπ). Estos ciclos límites se acumulan en el origen; cada uno de los ciclos Γ 2n es estable mientrasque los Γ 2n+1 son inestables. 2El teorema de Dulac asegura que H n (a, b) < ∞. El número de Hilbert H n se define comoH n =sup H n (a, b).(a,b)∈R (n+1)(n+2)Los sistemas lineales no tienen ciclos límites en R 2 de donde resulta que H 1 =0. En cambio, parael caso más simple de sistemas no lineales, los sistemas planares cuadráticos [(3.12) con n =2],no se ha podido determinar el número de Hilbert H 2 . En 1952, el matemático ruso N. V. Buatinprobó que cualquier sistema planar cuadrático tiene a lo sumo 3 ciclos límites locales. Durantecierto tiempo se creyó que H 2 =3;sin embargo, en 1979 los matemáticos chinos S. L. Shi, L. S.ChenyM.S.Wangprodujeronejemplosdesistemas planares cuadráticos con 4 ciclos límites. Porlo tanto, H 2 ≥ 4. Basado en la evidencia disponible hasta el momento, se cree que H 2 =4. En1984 Y. X. Chin aseguró haber probado este resultado; sin embargo, una serie de errores fueronencontrados en este trabajo por Y. L. Cao.Respecto de H 3 , se sabe que un sistema planar cúbico puede tener al menos 11 ciclos límite(Zoladek, 1995). En 1986 J. B. Li y Q. Huang hallaron un sistema planar cúbico con once cicloslímite. Hasta este momento, todo lo que puede decirse es que H 3 ≥ 11. El Problema 16 de Hilbertpara sistemas planares ha despertado mucho interés en los últimos años, y probablemente continúehaciéndolo por algún tiempo más.3.2.1 ReferenciasN. Bautin, On the number of limit cycles which appear with a variation of coefficients from anequilibrium position of a focus or center type, Mat. Sb., 30, 1952, pp. 181-196. A.M.S. TranslationNo. 100, 1954, pp. 3-19.T. Blows, N. Lloyd, The number of small amplitude limit cycles of Lienard equations, Math. Proc.Cambridge Phil. Soc., 95, 1984, pp. 751-758.H. Dulac, Sur les cycles limites, Bull.Soc.Math.France, 51, 1923, pp. 45-188.H. K. Khalil, Nonlinear Systems, 3ra ed., Prentice-Hall, New Jersey, 2002.J. Li, Q. Huang, Bifucation of limit cycles forming compound eyes in the cubic system. ChineseAnn. Math, 8B(4), 1987, pp. 391-403.A. Lins, W. de Melo, C. Pugh, On Lienard’s equation, Lecture Notes in Mathematics, 597,Springer-Verlag, 1977, pp. 335-357.L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, 2da. Ed., Texts in Applied Mathematics7, Springer-Verlag, New York, 1996.Shi Songling, A concrete example of the existence of four limit cycles for plane quadratic systems,Sci. Sinica, 23, 1980, pp. 153-158.Zhang Ziefen, On the uniqueness of limits cicles of certain equations of nonlinear oscillations, Dokl.Akad. Nauk. SSSR, 19, 1958, pp. 659-662.Zhang Ziefen, On the existence of exactly two limit cycles for the Lienard equation, Acta Math.Sinica, 24, 1981, pp. 710-716.H. Zoladek, Eleven small limit cycles in a cubic vector field, Nonlinearity, 8, 1995, pp. 843-860.