CÁLCULO DIFERENCIAL

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo DiferencialEjemplo .46 Si f (x) = x 2 3x 4, determinar todos los números c entre 1 y 3 que satisfacenla ecuación:f 0 f (3) f (1)(c) =3 ( 1)Solución: Según el teorema del valor medio:f (3) f (1)3 ( 1)= (32 3 3 4) [( 1) 2 3 ( 1) 4]4= 1Es la pendiente de la recta que pasa por los puntos de abcisas 1 y 3. Ahora f 0 (x) = 2x 3.Si esxiste c 2 ( 1; 3) se debe cumplir que f 0 (c) = 1, pero f 0 (c) = 2c 3, luego:2c 3 = 1 =) c = 1Ejemplo .47 Determinar todos los valores de c entre a y b que satisfacen f 0 (c) = f (b)bsi y = x + 2x 2 ; a = 3 y b = 0.f (a) ,aSolución:f (b)bf (a)a=f (0) f ( 3)3=0 + 20 233 + 23 2=653 = 2 5Ahora f 0 (x) = dy (x 2) (x + 2) 4=dx (x 2) 2 =(x 2) 2f 0 (c) = dydx j 4x=c =(c 2) 2 y el teorema del valor medio dice que f 0 (c) =Luego,4(c 2) 2 =25=) 20 = 2 (c 2)2=) c 2 4c 6 = 0=) c = 4 p 16 + 242= 2 p 10= 4 2p 102f (b) f (a)b aSi 2 p 10, tenemos que c =2 (3; 0) y por tanto no es solución al problema:c = 2p10 =) c 2 ( 3; 0)y por tanto cumple las exigencias del teorema del valor medio.Arenas A. 75 Camargo B.