CÁLCULO DIFERENCIAL

CÁLCULO DIFERENCIALAmaury Camargo y Favián Arenas A.Universidad de CórdobaFacultad de Ciencias Básicas e IngenieríasDepartamento de Matemáticas

Cálculo DiferencialUNIDAD 35. Derivada y Continuidad.5.1. Recta tengente y recta normal.Idea intuitiva de recta tangente. Todo el mundo tiene una idea clara de lo que es la rectatangente a una circunferencias en uno de sus puntos, pero si tratamos de generalizar esa idea aotras curvas nos encontramos con cuestiones que esa idea no resuelve.-¿Puede la recta tangente cortar a la curva en más de un punto?-¿Puede atravesar la recta tangente a la curva por el punto de tangencia?Denición .15 Se llama tangente a una curva en un punto P a la recta que pasa por P con lamisma dirección que la curva.En un punto de inexión la tangente atraviesa la curva. Pudiéndose distinguir tres tiposde puntos de inexión: De tangente vertical, horizontal y oblicua.En un punto anguloso, de desvío brusco o de retroceso, la curva o bien no tiene tangente o latangente es vertical ( ver gura de recta vertical). La tangente no puede ser oblicua, ya que esteArenas A. 52 Camargo B.

5.1 Recta tengente y recta normal. Cálculo Diferencialcaso la correspondencia no sería función.En los puntos de discontinuidad no se dene la recta tangenteEl valor aproximado de la pendiente de la recta tan-La pendiente de la recta tangente.gente sería:Y su valor exacto:tan w f (x) f (x 0)x x 0tan w lmx !x 0f (x) f (x 0 )x x 05.1.1. Denición de derivada.Denición .16es nito.Se llama derivada de la función f en el punto x 0 al siguiente límite si existe yf (x) f (x 0 )lmx !x 0 x x 0Observaciones:Arenas A. 53 Camargo B.

5.1 Recta tengente y recta normal. Cálculo DiferencialCuando dicho límite sea innito se dice que la función no es derivable, aunque tiene unaderivada innita. (grácamente signica que la recta tangente en ese punto es vertical)Para que la derivada exista, la función tiene que estar denida en un entorno del punto.No olvidar que la derivada es un límite, aunque buscaremos reglas para calcular derivadassin tener que hacer dicho límite.A la expresión f (x) f (x 0)x x 0, se llama cociente incremental y se expresa de la forma:fx = yx = f (x) f (x 0)x x 0Con lo cual la derivada no es más aue el límite del cociente incremental cuando el incrementode x tiende a cero.f 0 f (x 0 )(x 0 ) = lmx !0 xOtra forma de la derivada.De la gura tenemos que :Llamando xf 0 (x 0 ) = lmx !x 0f (x) f (x 0 )x x 0x 0 = h, será x = x 0 + h, con lo cual resulta:f 0 f (x 0 + h) f (x 0 )(x 0 ) = lmh !0 hEjemplo .21 Calcular, aplicando la denición en las dos formas, la derivada de la funciónf (x) = 3x 2 , en el punto x = 2.Arenas A. 54 Camargo B.

5.1 Recta tengente y recta normal. Cálculo DiferencialSolución:f 0 f (x) f (2)(2) = lmx !2 x 212f 0 f (2 + h) f (2)(2) = lmh !0 h= lmh !012 + 12h + 3h 2 12h= lmx !23x 2 12x 2= lmx !23 (x 2 4)x 2= lmh !03 (2 + h) 2 12h= lmh !0(12 + 12h) = 12 + 0 = 12= lmx !x 03 (x + 2) (x 2)x 2= lmh !03 (4 + 4h h 2 ) 12h=5.1.2. Derivadas laterales.Si el límite que dene la derivada lo tomamos sólamente por la derecha o por la izquierda,obtemnemos las derivadas laterales.Denición .17 Se llaman derivada por la derecha y derivada por la izquierda, respectivamente,a los siguientes límites, si existen y son nitos:f 0 (x 0 +) =f 0 (x 0 ) = lmx !0f (x) f (x 0 )lmx !0+ xf (x) f (x 0 )xf (x 0 + h) f (x 0 )= lmh !0+ h= lmh !0f (x 0 + h) f (x 0 )hPara que la función sea derivable las dos derivadas laterales tienen que coincidir.Ejemplo .22coordenadas.Solución:Calcular las derivadas laterales de la función valor absoluto, en el origen dey = jxjf (x) = jxjf 0 (x 0 +) =f (x) f (0)lmx !0+ x 0f 0 (x 0 ) = lmx !0f (x) f (0)x 0jxj= lmx !0+= lmx !0x =jxjx =lmx !0+lmx !0xx = 1xx = 1Arenas A. 55 Camargo B.

5.1 Recta tengente y recta normal. Cálculo DiferencialDerivada y continuidad.Teorema .9 Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en dicho punto. Sinembargo, existen funciones que son continuas pero que no son derivables.Ejemplo .23 Comprobar que la función f (x) = jx 2 4j es continua en el punto x = 2, perono es derivable en dicho punto. Comprobar el resultado grácamente. ¿En qué otro punto seráderivable?Solución: f (x) = jx 24jy = jx 24j1. f es continua en x = 2 ; lm f (x) = lm jx 2x !2 x !24j = j0j = 0 = f (0)2. f no es derivable en x = 2f (x) f (2)lmx !2 x 2= lm=x !2jx 28>: 4j 0x 2 = 0jx 2 4jlmx !2+lmx !2x 2 = lmx !2+4jjx 2) lm f(x) 6= lmx !2+x 2 = lmx !2x !2f(x)(x + 2) (x 2)= 4x 2(x + 2) (x 2)x 2= 4Luego la función no es derivable en x = 2.Ejemplo .24 Comprobar que la función f (x) = 3p x es continua en el punto x = 0, pero no esderivable en ese punto. Comprueba el resultado grácamente.Solución:Arenas A. 56 Camargo B.

5.1 Recta tengente y recta normal. Cálculo Diferencialy = x sin 1 xy = x sin 1 xy = x 2 sin 1 xy = x 2 sin 1 xLa ecuación de la recta tangente La pendiente de la recta tangente coincide con la derivadade la función, con lo cual; tenemos que:de todo resulta la siguiente:Ecuación de la recta tangente:9tan = f 0 (x 0 ) =tan = y f (x y f (x 0 )0)= f 0 (x 0 ); x xx x 00y f (x 0 ) = f 0 (x 0 ) (x x 0 )Ejemplo .26 Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y = p x en el punto x = 1.Comprobar el resultado grácamente.Solución: Tenemos que:f (x) = p x =) f (1) = 1f 0 (x) = 1 p x=) f 0 (1) = 1 29=; y 1 = 1 2(x 1) =) y =x + 12Arenas A. 58 Camargo B.

5.1 Recta tengente y recta normal. Cálculo DiferencialEjemplo .27 Demostrar que la recta y =y = x 3x es tangente a la cueva dada por la ecuación:6x 2 + 8xHallar el punto de tangencia.Solución: La pendiente de la recta tangente ha de ser y 0 = 1. Como y 0 = 3x 2 12x + 8.Resulta, 3x 2 12x + 8 = 1, de donde, 3x 2 12x + 9 = 0, con lo que, simplicando, resulta:x 2 4x + 3 = 0 =) x = 4 p 16 122= 4 22= 3 =) y = 3 =) P (3; 3)1 =) y = 3 =) Q (1; 3)Comprobamos las posibles soluciones:P (3; 3) =) y + 3 = (x 3) =) y + 3 = x + 3 =) y = xQ (1; 3) =) y 3 = (x 1) =) y 3 = x + 1 =) y = x + 4 NoLas dos soluciones de la ecuación obedecen a que la curva tiene dos rectas tangentes con lamisma pendiente y 0 = 1, una en el punto P (3; 3) y otra en el punto Q (1; 3).La ecuación de la recta normal.Ejemplo .28 Hallar grácamente, un vector perpendicualr al vector ! v = (2; 3) e indicar larelación que existe entre sus componentes y sus pendientes.Solución: Tenemos que:)!v = (2; 3)!Las componentes se cambian de orden y una de ellas de signo.v p = ( 3; 2)Y para las pendientes:m = 3 2m 0 = 3 29>=>; m0 = 1mla inversa cambiada de signo.Proposición .1 Dos rectas perpendiculares tienen pendientes inversas y cambiadas de signo.Denición .18 Se llama recta normal a una curva, en un punto de la misma, a la pertendiculaa la recta tangente en dicho punto.La pendiente de la recta tangente coincide con la derivada de la función, y la de la recta normalcon su inversa cambiada de signo, con lo cual resulta lo siguiente:Ecuación de la recta tangente:y f (x 0 ) = f 0 (x 0 ) (x x 0 )Ecuación de la recta normal:y f (x 0 ) =1f 0 (x 0 ) (x x 0)Arenas A. 59 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo DiferencialCurvas de tangente horizontal y curvas de tangente vertical. Cuando la derivada se hacecero en un punto, entonces la tangente es una recta horizontal y = y 0 , y la recta normal es larecta vertical que pasa por el punto x = x 0 . Cuando la derivada se hace innita en un punto,entonces la tangente es la recta vertical que pasa por el punto x = x 0 , y la recta horizontal quepasa por el punto y = y 0 .5.2. Función derivada y Reglas de derivación.5.2.1. Función derivada.Dada una función y = f (x), si hallamos la derivada en cada uno de los puntos en los que seaderivable se obtiene una nueva función llamada función derivada de la anterior.Para hallar la fórmula de la función derivada basta con aplicar la denición de derivada en unpunto genérico:f 0 f (x + h)(x) = lmh !0 hf (x)f 0 (x) =lm4x !04f4xy 0 =lm4x !04f4x = dydxEjemplo .29 Hallar, aplicando la denición, la derivada de la función: f (x) = x 2Solución: Podemos aplicar la denición de derivada en cualquiera de sus formas:f (c)cf 0 f (x + h)(x) = lmh !0 h=) lm = x2 + 2hx + h 2 x 2h !0 hf 0 f (x)(c) = lmx !c xx 2 c 2= lmx !cx c = lmf (x)x !c(x + c) (x c)x c= lmh !0(x + h) 2 x 2h= lm= (2x + h) = 2xh !0= 2c =)Ejemplo .30 Hallar, aplicando la denición, la derivada de la función: f (x) = p xSolución: Podemos aplicar la denición de derivada en acualquiera de sus dos formas:p pf 0 f (x) f (c) x c ( p p p px c) ( x + c)(c) = lm= lm = lmx !c x c x !c x c x !c (x c) ( p x + p c)x c= lmx !c (x c) ( p x + p c) = lm 1p p = 1x !c x + c 2 p c =) f 0 (c) = 12 p xp p p p p p f 0 f (x + h) f (x) x + h x x + h x x + h + x(c) = lm= lm= lmh !0 hh !0 hh !0 h p x + h + p x x + h x= lmh !0h (x + h p x) = lm 1p p = 1h !0 x + h + x 2 p cArenas A. 60 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo Diferencial5.2.2. Reglas de derivación.Derivada y operaciones:Función Derivadarf rf 0f g f 0 g 0f g f 0 g + fg 01 g 0g g 2f f 0 g fg 0gg 2Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena:h (x) = g [f (x)] =) h 0 (x) = g 0 [f (x)] f 0 (x) =) dhdx = dg dfdf dxDerivada de una función recíproca o inversa:y = f (x) = dxdy = 1dydxEjemplo .31 Derivar las siguientes funciones:1. y = x p 22. y = p 2 x3. y = e 3x4. y = 2 3x+15. y = x 2 3 xSolución:1. y 0 = p 2x p 2 12. y 0 = p 2 xlnp23. y 0 = 3e 3x4. y 0 = 3 2 3x+1 ln 25. y 0 = 2x3 x x 2 3 x ln 3 = (2x x 2 ln 3) 3 xEjemplo .32 Derivar las siguientes funciones:1. y = (4x + 7x 2 ) 102. y = sin 3 2x cos 3x=) x 0 y = 1 y 0 xdz=)dx = dz dydy dxArenas A. 61 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo Diferencial3. y = sin 2 (x + sin x) 2Solución:1. y 0 = 10 (4x 3 + 7x 2 ) 9 (12x 2 + 14x)2. y 0 = 3 sin 2 2x 2 cos 2x cos 3x 3 sin 3 2x sin 3x3. y 0 = 2 sin (x + sin x) 2 cos (x sin x) 2 2 (x + sin x) (1 + cos x)Ejemplo .33 Derivar f (x) = ln sin2 3xx 3Solución: Aplicamos las propiedades de los logaritmos, antes de derivar, con lo cual,f (x) = 2 ln (sin 3x)3 ln xde donde,f 0 3 cos 3x(x) = 2sin 3x3x = 6 cot 3x 3xDerivada de funciones con un punto aparte. Supongamos una función denida con unpunto aparte g (x) si x 6= af (x) =k si x = ase nos presenta la duda de cuál será el valor de f 0 (a), es decir, gf 0 (x) =0 (x) si x 6= a? si x = aDerivada de funciones elementales:Función Derivada Función Derivadak 0u 0u u 0lg b uu ln b = u0 lg u b eu r ru r 1 a ua u u0 ln ap u 0u2 p f gf g g 0 ln f + g f 0fu sin u u 0 cos unp u 0un np cos uu 0 sin uu n 1u 0u 0tan uln ucos 2 xu = u0 sec 2 uue u e u u 0 sec u = 1 sin ucos u cos 2 u = u0 sec u tan uArenas A. 62 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo DiferencialFuncióncsc u = 1sin ucot uarcsin uarc cos uarctan uDerivadacos usin 2 u = u0 csc u cot u1 + u 2 tanh uFunción Derivadaarcsec uu 0u 0u 0 csc 2 uuarccsc usin uu 0arccot u1 + u 2sinh u u 0 cosh uu 0cosh u u 0 sinh uu 0p1 u2u 0p1 u2juj p u 2 1juj p u 2 1u 0cosh 2 usi la función tiene, en la fórmula, un punto aparte, la derivada es ese punto no tiene porquéser cero, ya que la derivada depende de los valores que tome la función en los alrededores delpunto. Además, a cualquier función le podemos un punto de su fórmula, sin que por ello se hagasu derivada cero en dicho punto. Por ejemplo,f (x) = x 2 = x 2 si x 6= 39 si x = 3=) f 0 (x) = 2x = 2x si x 6= 36 si x = 3o bien:f (x) = x = x si x 6= 21 si x 6= 22 si x = 2 =) f 0 (x) = 1 =1 si x = 2Si la función tiene un punto aparte, para derivarla, podemos seguir dos caminos:1. Aplicar la denición de derivada.2. Comprobar si es continua, si no es continua no es derivable, y si es continua podemoscalcular la derivada en ese punto mediante el límite, en ese punto, de la derivada en losdemás, en el caso que exista. Si el límite no existe habrá que aplicar la denición.Es decir:f (x) = g 0 (x) si x 6= ak si x = af 0 (x) = lmx !a g0 (x)(g 0 (x) si x 6= a=) f 0 (x) =lmx !a g0 (x) si x = aBien entendido que si dicho límite no existe entonces hay que aplicar la denición.Ejemplo .34 Hallar la derivada de la función:( sin xsi x 6= 0f (x) = x1 si x = 0Arenas A. 63 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo DiferencialSolución: La derivada para x 6= 0 no tiene ningún problema,g (x) = sin xx =) x cos x sin xg0 (x) =x 2Para hallar la derivada en el origen procedemos de la siguiente forma:1. Estudiamos la continuidad en el origen:sin xlm f (x) = lmx !0 x !0 x= 1 = f (0) =) f es continua en x = 02. Calculamos la derivada en x = 0, aplicando la denición:sin xf 0 f (x) f (0)1xsin x x 0(0) = lm= lm = lm = =x !0 x 0 x !0 x x !0 x 02aplicando L'Hopital, dos veces resulta,= lmx !0cos x 12xCon lo cual la función derivada es:f 0 (x) = 0=0= lmx !0sin x2( x cos x sin xx 2 si x 6= 00 si x = 0En este caso, la derivada en el punto x = 0 también se podía haber calmado a partir de laderivada en los puntos x 6= 0, en efecto,f 0 x cos x sin x 0(0) = lm=x !0 x 02 cos x x sin x cos x 0= lm=x !0 2x0x sin x sin x= lm = lm = 0x !0 2x x !0 2El hecho de que f 0 (0) = 0, signica que la gráca tiene tangente horizontal en el punto x = 0,si hubiéramos inclinado la curva habriámos obtenido otro resultado.= 0y = sin xxArenas A. 64 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo DiferencialEJERCICIOS .4 En cada caso halle la derivada de la función que se da; el lector deberátener en cuenta que: a; b; c; m; n; '; y son constantes reales.1. y = sin (x 2 5x) + tan p xr3 sin (x) 2 cos (x)2. y =x3. x = csc 2 t + sec 2 t4. y = 3p 2e x 2 x + 1 + ln 5 x5. y = 2x + 5 cos 3 x16. y =(1 3 cos x) 27. y = p tan 1 x sin 1 x 38. y = p ln x + 1 + ln ( p x + 1)9. y = tan 1 (ln x) + ln (tan 1 x)10. y = ln e x + 5 sin x 4 sin 1 x 11.1y =tan 1 x12. y = 2x + 5 cos 3 x13. x = cos sec 2 t + sec 2 t114. y =6 (1 3 cos x) 21 115. y =3 cos 3 x cos xr3 sin x 2 cos x16. y =517. y = 3p sin 2 x + 1cos 2 x18. y = p 1 + sin 1 (x)q19. y = sin 1 tan (x) sin 1 (x) 320. y =1tan 1 (x)21. y = p xe x + x22. y = 3p 2e x 2x + 1 + ln 5 x23. y = sin 3x + cos x 5 + tan p x24. y = sin (x 2 5x + 1) + tan a x25. y = cos (x + )26. f (t) = sin t sin (t + ')27. y =1 + cos 2x1 cos 2x28. y = a cot x a ;29. y = 1 20 cos (5x2 )30. y = sin 1 2x31. y = sin 1 1 x 232. y = cos 1 ( p x)1cos x2433. y = tan 1 1 x34. y = tan 1 1 + x1 x35. y = ln e x + 5 sin x 4 sin 1 (x) 36. y = cot 1 (ln x) ln cot 1 (x)37. y = p ln x + 1 + ln p x + 1 38. y = cos 1 e x39. y = ln (2x + 7)40. y = lg sin x41. y = ln (1 x 2 )42. y = ln 2 x ln (ln x)43. y = sin 3 5x cos 2 x 344.11 4y =2 (x 2) 2 x 215 1045. y =4 (x 3) 4 3 (x 3) 312 (x 2) 246. y =x 88 (1 x 2 ) 4Arenas A. 65 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo Diferencialp2x22x + 147. y =68. y = sin 1 xpx1 + x2x 348. y = q69. y = cos 1 (x)p3 (1 + x 2 ) 31 x249. y = 3 3px2 + 182 7 x 6p x + 9 5 x 3p x 2 70. y = 1 rbp sin+1 xb a!6 6p 13 x2 x71. y = p xa 2 x 2 + a sin 150. y = 1 qqa3(1 + x83 ) 8 1 3(1 + x53 ) 572. y = x p xa 2 x 2 + a 2 sin 151. y = 4 r a4 x 173. y = sin 1 (1 x) + p 2x x 23 x + 2174. y = x275. y = ln sin 1 (5x) 76. y = sin 1 (ln x) x sin x77. y = tan 1 1 x cos x55. y = (a + x) p a x78. y = 2 5 tan x56. y = p 3 cot 1 2 + 43r(x + a) (x + b) (x + c);x57. x = 3p y + p 79. y = cot 1y58. y = ln p 1 + e x 1 -(3b + 2x) p bx x 2ln p 1 + e x + 1 80. y = p 2 cot 1 tan p x x 259. y = (tan2 x 1) (tan 4 x + 10 tan 2 x + 1)3 tan 3 x81. y = p e ax60. y = tan 2 (5x)82. y = e sins x61. y = 3 sin x cos 2 x + sin 3 x62. y = 1 83. y = 1 10 e x (3 sin 3x cos 3x)3 tan3 x tan x + x84. y = x n a x2cos x63. y =3 sin 3 x + 4 3 cot x85. y = p cos xa p cos x64. y = p 86. y = ln (ax 2 + bx + c) sin 2 x + cos 2 x87. y = ln x + p a 2 + x 265. y = sin 1 (x 2 ) + cos 1 (x 2 )66. y = 1 2 sin 1 (x) 88. y = x 2 p x + 2 ln (1 + p x)2cos 1 (x) 89. y = ln a + x + p 2ax + x 267. y = sin 1 x2 190. y = 1x 2 ln 2 x52. y = x 4 (a 2x 3 ) 2 a + bxn m53. y =a bx n 9354. y =5 (x + 2) 5 (x + 2) 4 +2 1(x + 2) 3 2 (x + 2) 2sin 1 p x + 1 2px x2Arenas A. 66 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo Diferencial91. y = ln cos x 1x(x 2)592. y = ln(x + 1) 393. y = ln (x 1)3 (x 2)x 3194. y =sin 2 + ln tan xx95. y = ln ln (3 2x 3 )96. y = 5 ln 3 (ax + b)px2 + a97. y = ln2 + xpx2 + a 2 x98. y = m 2 ln (x2 a 2 ) + n 2a ln x ax + a99. y = 1 2 ln tan x 1 cos x2 2 sin 2 x100. y = p x 2 + 1 ln 1 p x 2 + 1x101. y = 1 3 ln x2 2x + 1x 2 + 2x + 1102. y = 2 sin 1 (3x) + (1 cos 1 3x) 2sin ax103. y = 3 cos bx + 1 3sin 3 axcos 3 bx104. y = p 1 tan xln 2 + 2 p33 tan x 2 + 2 + p 3105. y = cot 1 ln x106. y = ln sin 1 (x) + sin 1 (ln x)107. y = cot 1 ln 1 x108. y =p23 tan 1 x p2+ 1 6 ln x 1x + 1109. y = ln 1 + p sin xp + 2 tan p 1 sin x1 sin xDerivada de funciones denidas a trozos. Para derivar una función denida a trozos f (x) si x ch (x) =g (x) si x > c1. Se deriva la función en cada uno de los intervalos abiertos en los que esté denida.2. Se estudia la derivabilidad de la función en los puntos de separación y en los extremos delos intervalos cerrados, si los hubiera.Para hallar la derivabilidad en los puntos de separación se estudia primero si es continua, Si noes continua no es derivable, y si es continua se calcula la derivada, bien aplicando la deniciónde derivada, o lo que es más fácil, por sustitución directa por la derecha y por la izquierda (siobtenemos dos valores iguales, esa es la derivada, y si obtenemos valores diferentes, entoncesla función no es diferenciable). fh 0 (x) =0 (x) si x < c [o bien x c]g 0 (x) si x > cObservación .1 Si la función es derivable ponemos x c y si no es derivable x < c.Observación .2 No debe olvidarse comprobar previamente la continuidad, ya que el hecho deque los valores laterales de la derivada sean iguales, por si solo, no signica que la funciónsea derivable, sino que la función entra y sale con la misma pendiente en x = c, pero pudieraser en puntos diferentes.Arenas A. 67 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo DiferencialEjemplo .35 Derivar la siguiente función: 2x + 3 si x 2f (x) =x 2 2x si x > 2Solución: Primero hallamos la derivada en los intervalos abiertos:f 0 2 si x 2(x) =2x 2 si x > 2Para ver si es derivable en x = 2, estudiamos previamente la continuidad:f (2 ) = 7f (2 + no es continua =) no es derivable) = 0Al no ser derivable en x = 2 no podemos poner x 2, sino x < 2. En este caso, el hecho deque f (2 ) = f (2 + ) no tiene ningún valor.Ejemplo .36 Derivarf (x) = x jx2jSolución: Eliminamos el valor absoluto de la formula expresándola a trozos. x22x si x 2f (x) = x jx 2j =x 2 + 2x si x < 2Con lo cual la función derivada es:f (2 + ) = 0f (2 ) = 0f 0 (x) =Comprobamos la derivabilidad en el punto x = 2.no es continua 2x 2 si x > 22x + 2 si x < 2f (2 + ) = 2f (2 ) = 2Ejemplo .37 Determinar los coecientes a; b para que la función xf (x) =2 + 1 si x 1ax + b si x < 1no es derivableSea derivable en el punto x = 1. Comprobar el resultado grácamente.2x si x 1Solución: La función derivada ha de ser f 0 (x) =para lo cual ha de cumplira si x < 1: f (1 ) = f (1 + ) =) a + b = 2 a = 2f 0 (1 ) = f 0 (1 + ) =) a = 2 b = 0Arenas A. 68 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo DiferencialLuego:f (x) = x 2 + 1 si x 12x si x < 1f 0 (x) = 2x si x 12 si x < 1La continuidad signica que los dos tramos de la curva están empalmados. La derivabilidadsignica que le empalme se ha hecho con suavidad, es decir, con una tangente común.Derivación de funciones implicitas. Una función es uns relación entre dos magnitudes, cuandoen la fórmula que las relaciona, una de las magnitudes viene despejada en función de la otra,entonces se dice que la función viene denida de manera explicita.y = f (x)Cuando ninguna de las dos magnitudes está despejada en función de la otra, sino que las magnitudesestán relacionadas mediante una ecuación, se dice que la función está denida de maneraimplícita.f (x; y) = 0Las funciones denidas de manera implícita se pueden derivar directamente, sin necesidad dedespejar una de las variables. Para ello basta con tener en cuenta que la variable y es funciónde la de x y que, por tanto, cada vez que la derivemos hay que multiplicarla por su derivada (setrata de derivar una función compusta). Pueden derivarse ecuaciones que no son funciones, peroque podrían descomponerse en varias funciones, sin necesidad de descomponerlas, la derivadaobtenida vale para todas las funciones.Ejemplo .38 Derivar la ecuación:x 2 + y 2 = 48>< y 1 = + p 4 x 2 ! ySolución: x 2 + y 2 1 0 == 4>: y 2 = p 4 x 2 ! y2 0 =xp = x4 x2y 1xp = x4 x2 y 2Sin embargo, no es necesario despejar la función, sino que podemos derivar directamente en laecuación,x 2 + y 2 = 4 ! 2x + 2yy 0 = 0 ! y 0 = xyArenas A. 69 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo DiferencialObservación .3 : Hay que evitar derivar funciones que no existen. Por ejemplo la ecuaciónx 2 + y 2 = 2 no representa ningún punto del plano y por tanto no tiene ningún signicadoanalítico. No obstante, al ser una expresión algebraica podríamos aplicarle las reglas dederivación y derivarla 2x + 2yy 0 = 0, y podríamos pensar que y 0 =x , sin embargo, estasyoperaciones no tienen ningún sentido.Ejemplo .39 Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia:(x 2) 2 + 2 (y 2) y 0 = 0 ! y 0 = x 2y 2en los puntos en que x = 3. Comprobar el resultado grácamente.Solución: Derivamos de manera implícita,2 (x 2) + 2 (y 2) y 0 = 0 ! y 0 = x 2y 2hallamos los puntos correpondientes es a x = 3x = 3 ! 1 + (y 2) 2= 2 ! (y 2) 2= 1 ! y 2 = 1 3! y = 2 1 =1Con lo cual, para x = 3 tenemos dos puntos de la circurferencia P (3; 1) y Q (3; 3). Hallamosla tangente en cada uno de ellos.P (3; 1) ! y 1 = 1 (x 3)1! y 1 = x 3 ! y = x 2Q (3; 3) ! y 3 = 1 (x 3)1! y 3 = x + 3 ! y = x + 6y3.752.51.25001.252.53.755xArenas A. 70 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo DiferencialDerivación logarítmica. Dada una función y = f (x), la derivación logarítmica conciste entomar ln en los dos miembros de la igualdad y derivar, después de simplicar.La derivación logarítmicas se aplica:1. Para derivar funciones exponenciales.2. Para simplicar la derivación de productos y cocientes.Observación .4 La derivación logarítmica se puede aplicar incluso si la función toma valoresnegativos.Ejemplo .40 Derivar y = x tan xSolución: Tomando ln y derivando en ambos miembros resulta:ln y = ln x tan x ! ln y = tan x ln x ! y0y = 1cos 2 x ln x + tan x 1 x ! ln xy 0 = ycos 2 x + tan x ln x= x tan xxcos 2 x + tan x xObservación .5 La derivación logarítmica también se puede hacer aplicando la identidadlogarítmica y = e ln y .Así, el ejemplo anterior tendríamos:Ejemplo .41 Derivary = x tan x = e ln xtan x = e tan x ln x ; entonces ln xy 0 = e tan x ln x cos 2 x + tan x ln x= x tan xxcos 2 x + tan x xy =x 3 sin 2 x(x + 1) (x 2) 2Solución: Tomando ln en los dos miembros de la igualdad:ln y = lnx 3 sin 2 x(x + 1) (x 2) 2Aplicando las propiedades de los logaritmos resulta,ln y = 3 ln x + 2 ln (sin x) ln (x + 1) 2 ln (x 2)Derivandoy 0y = 3 x + 2 cos xsin xde donde, despejamos y 0 resulta:y 0 =1x + 1x 3 sin 2 x 3(x + 1) (x 2) 2 x + 2 cos xsin x2x 21x + 12x 2Arenas A. 71 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo DiferencialDerivadas de orden superior A las derivadas de una función se le llama derivada primera; ala derivada de la derivada primera, derivada segunda; y así sucesivamente.y 00 = (y 0 ) 0 = ddx (y0 ) = ddxEjemplo .42 Hallar la derivada tercera de la función:Solución:f 0 (x) = cos x x sin xf (x) = x cos xdydx = d2 ydx 2f 00 (x) = sin x sin x x cos x = x cos x 2 sin xf 000 (x) = cos x + x sin x 2 cos x = x sin x 3 cos xEjemplo .43 Hallar, por inducción, una fórmula para la derivada nsima de la función:f (x) = ln xSolución:f 0 (x) = 1 x = x 1f 00 (x) = x 2f 000 (x) = +2x 3f iv (x) = 3 2x 4Luego, podemos suponer que,f (n) (x) = ( 1) n 1 (n 1)!x nPara que quede demostrarlo tenemos que probar que f (n+1) (x) sigue la misma regla. En efecto,f (n+1) (x) = f (n) (x) 0= ( 1)n 1 (n 1)! ( n) x n 1 = ( 1) n n!x (n+1)con lo que queda demostrada la proposición.Teorema .10 (de rolle)Supóngase que:1. f es una función continua sobre el intervalo [a; b]2. f 0 (x) existe para cada x 2 ( a; b)3. f (a) = f (b) = 0Arenas A. 72 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo DiferencialEntonces existe al menos un punto c 2 (a; b) tal que f 0 (c) = 0, es decir, donde la rectatangente en un punto de la curva de abcisa c es paralela al eje x.Ejemplo .44 Si la función f está dada por y = 2x1 y 1 tales que f 0 (c) = 0.2x 3 , determinar todos los números c entreSolución: La gura siguiente ilustra la gráca de la función f (x) = 2x 2x 3 .Sabemos que f es continua en [ 1; 1], entonces debemos vericar que f ( 1) = f (1) = 0, enefecto:f ( 1) = 2 ( 1) 2 ( 1) 3 = 2 + 2 = 0f (1) = 2 (1) 2 (1) 3 = 2 2 = 0Si determinamos la derivada de f, obtenemos: dydx = f 0 (x) = 2para algún valor de x = c, se tiene:6x 2 . Al tomar dydx = f 0 (x) = 0Luego, f 0 (c) = 0 para c = 1 p3y c =Observamos que 1 p3ydydx j x=c = f 0 (c) = 2 6c 2 = 0 =) c 2 = 1 31p31p3pertenecen al intervalo ( 1; 1).En la gura anterior aparecen las dos rectas tangentes.Observación .6 Si nos pidieran determinar c entre 0 y 1, encontramos que sólo c = p 131pertenece a dicho intervalo, y por tanto p no sería solución al problema.3Arenas A. 73 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo DiferencialEjemplo .45 Sea f la función deni9da por y = x 2 3 1 y continua en [ 1; 1]. Tenemos que:f (1) = f (1) = 0 y dydx = 2 3 x 13 = 23 2p xAhora, para dydx = 2dy3 2p no existe ningún x tal quex dx = 0. Por tanto, f 0 (x) = dy no estádxdenida en x = 0, y el teorema de Rolle no se puede aplicar por no cumplir la 2 codición. Elsiguiente teorema es una generalización del teorema de Rolle.Teorema .11 (del valor medio)Supongamos que:1. f es una función continua sobre el intervalo [a; b]2. f 0 (x) existe para todo x 2 (a; b)Entonces existe un número c 2 (a; b) tal que f 0 (c) = f (b) f (a)b aAl igual que el teorema de Rolle, la demostración del teorema del valor medio se hace enun priemer curso de ánalisis a nivel universitario. Sin embargo, daremos una interpretacióngeométrica de este importante teorema, en la gura siguiente tenemos la gráca de una supuestafunción f entre los puntos de abcisas a y b.Los puntos p y r tienen como coordenadas (a; f (a)) y (b; f (b)). La pendiente de la recta porp y r es:f (b) f (a)b aEl teorema nos indica que la recta tangente a lacurva de f en c es paralela (por tener igualpendiente) a la recta determinada por p y r, donde c 2 (a; b)Arenas A. 74 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo DiferencialEjemplo .46 Si f (x) = x 2 3x 4, determinar todos los números c entre 1 y 3 que satisfacenla ecuación:f 0 f (3) f (1)(c) =3 ( 1)Solución: Según el teorema del valor medio:f (3) f (1)3 ( 1)= (32 3 3 4) [( 1) 2 3 ( 1) 4]4= 1Es la pendiente de la recta que pasa por los puntos de abcisas 1 y 3. Ahora f 0 (x) = 2x 3.Si esxiste c 2 ( 1; 3) se debe cumplir que f 0 (c) = 1, pero f 0 (c) = 2c 3, luego:2c 3 = 1 =) c = 1Ejemplo .47 Determinar todos los valores de c entre a y b que satisfacen f 0 (c) = f (b)bsi y = x + 2x 2 ; a = 3 y b = 0.f (a) ,aSolución:f (b)bf (a)a=f (0) f ( 3)3=0 + 20 233 + 23 2=653 = 2 5Ahora f 0 (x) = dy (x 2) (x + 2) 4=dx (x 2) 2 =(x 2) 2f 0 (c) = dydx j 4x=c =(c 2) 2 y el teorema del valor medio dice que f 0 (c) =Luego,4(c 2) 2 =25=) 20 = 2 (c 2)2=) c 2 4c 6 = 0=) c = 4 p 16 + 242= 2 p 10= 4 2p 102f (b) f (a)b aSi 2 p 10, tenemos que c =2 (3; 0) y por tanto no es solución al problema:c = 2p10 =) c 2 ( 3; 0)y por tanto cumple las exigencias del teorema del valor medio.Arenas A. 75 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo DiferencialEjemplo .48 Si f (x) = 2x + 1 y g (x) = 3x 4 determinar los números c entre 1 y 3 talesque:f (3) f (1)g (3) g (1) = f 0 (c)g 0 (c)Solución:f (3) f (1) = (2 3 + 1) (2 1 + 1) = 7 3 = 4g (3) g (1) = (3 3 4) (3 1 4) = 5 + 1 = 6Luego,Ahora:Como:f (3) f (1)g (3) g (1) = 4 6 = 2 3f 0 (x) = 2; g 0 (x) = 3Por tantose cumple para todo c 2 (1; 3)f 0 (x) = 2; g 0 (x) = 3=) f 0 (c) = 2; g 0 (c) = 3=) f 0 (c)g 0 (c) = 2 3f (3) f (1)g (3) g (1) = f 0 (c)g 0 (c) = 2 3Ejemplo .49 Si f (x) = x 2 y g (x) = 1 , determinar los números c entre 1 y 2 tales que:xf (2) f (1)g (2) g (1) = f 0 (c)g 0 (c)(1)Solución:f (2) f (1) = 4 1 = 3g (2) g (1) = 1 21 = 1 2Luegof (2) f (1)g (2) g (1) = 3 12= 6Arenas A. 76 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo DiferencialAhoraf 0 (x) = 2x =) f 0 (c) = 2cg 0 (x) = 1 x 2 =) g0 (c) = 1 c 2Luego:f 0 (c)g 0 (c) =Por (1) 6 = 2c 3 =) c 3 = 3 =) c = 3p 32c1= 2c 3c 2EJERCICIOS .5 En los ejercicios del 1 al 6, determinar los valores de c entre a y b quesatisfacen:f 0 (c) = f (b) f (a)b a1. y = x 2 + 1; a = 0; b = 22. y = x 2 + x + 2; a = 1; b = 33. y = x 3 2x 2 + 3x 2; a = 0; b = 24. y = 1 + 2x + x 2 ; a = 1; b = 45. y = x 3 ; a = 4; b = 46. y = x 3x + 3 ; a = 0; b = 4son dos puntos sobre la curva y = x517. Si p (1; 4) y r 2; , determinar las coordenadasdel punto sobre pr donde la tangente a la curva es paralela a la recta determinada22por p y r.8. Dada la función f (x) = x + 2 ; a = 1 y b = 2, discutir la validez del teorema del valor2x + 1medio.9. Discutir al igual que en el ejercicio anterior, para f (x) = 1 con a = 0 y b = 2.x 1f (b) f (a)10. Determinar los valores de c estrictamente entre a y b que satisfacen:g (b) g (a) = f 0 (c)g 0 (c)si:a) f (x) = x 2 + 2x + 1; g (x) = x 2 ; a = 1; b = 2b) f (x) = p x + 16; g (x) = p x; a = 0; b = 9c) f (x) = x 3 + 3x 2 + 3x; g (x) = x 3 ; a = 0; b = 3Arenas A. 77 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo Diferencial5.2.3. Formas indeterminadas Y Reglas de L'Hopital.Formas indeterminadas. Las reglas del L'Hopital pretenden resolver los siete casos de indeterminacióndel límite:00 ; 1 1 ; 0 1; 11 ; 0 1 ; 1 1Hay que hacer notar que las Reglas de L'Hopital sólo se pueden aplicar directamente a los doscasos 0 y 1 . Para resolver los cinco casos restantes habrá que transformarlos en uno de los dos01tipos anteriores.No son indeterminados las siguientes expresiones:Cte1 = 0 0 Cte = 0 0+1 = 0 0 1 1 0 = 1+1 +1 +1 2 3= 0= 1 (0 0 d) +1 = 0 (1 0 d) +1 = 132 1= +1= 1 1= 1= 0 (0 0 d) 1 = +1 (1 0 d) 1 = 0 23 3 3 222 33 +1 = 1 3 1 = 0 1 0 = 1 7 0 = 1Los siguientes límites no están denidos (por oscilación):lm sin xx !+1lm sin 1x !0 + xsin xlmx !+1 43lm cos xx !+1lmx !0 + cos 1 xlm tan xx !+1lmx !0 + tan 1 xReglas de L'Hopital.Las reglas de L'Hopital se pueden resumir en el siguiente esquema:lm f (x) 0g (x) = 0 ó 1 = lm f 0 (x)1 g 0 (x)1. La Regla sólo es aplicable mientras se mantiene la indeterminación 0; o 1 , por lo que01antes de derivar siempre hay que comprobar.2. Si la indeterminación se mantiene indenidamente, entonces la regla no es aplicable.3. En cualquier momento se pueden hacer manipulaciones algebráicas o aplicar innitésimoscon objeto de simplicar las derivadas.Formalmente una Regla de L'Hopital puede enunciarse de la siguiente manera.Teorema .12 (Regla de L'Hopital) Si f y g son funciones continuas en el intervalo [a; b)y derivables en el intervalo (a; b), con límite cero por la derecha del punto a, y además laderivada de la función g no se anula en ningún púnto del intervalo (a; b), entonces, si existe elf 0 (x)lm también existe elx !a + g 0 (x) lmf (x)y además ambos coinciden.x !a + g (x)Arenas A. 78 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo DiferencialEjemplo .50 Calcula los siguientes límites: e x 1 01. lmx !0 sin 2x = e x= lm0 x !a + 2 cos 2x = 1 2 1 x + ln x 0 1 + 12. lmx !1 1 + cos x = = lm x0 x !1 sin x = 0x + 10= lmx !1 x sin x = 00=1= lmx !1 sin x 2 x cos x = 1 2sin x3. lmx !0 x + x = 0cos x0= lm2 x !0 1 + 2x = 1 = 1 14. lmx !15. lmx !1e x h 1ix 2 + x = e x h 1i= lm1 x !12x + 1 = 1x 1 h3 1i1ln x = = lmx 2 33x1 x !11= lmx !1x 3x 2 3e x= lmx !1 2 = +1 2x 1 3= lmx !1 3 = +1= +1Simplicación de límites. Siempre que sea posible, antes de abordar la Regla de L'Hôpital,es conveniente intentar simplicar el límite con objeto de que no complique con la derivación.Para ello se sacan fuera del límite los factores que tengan un valor númerico.Ejemplo .51 Calcular el siguiente límite(1 + cos x) (x 3 3) sin xlmx !0 (x 2 x) cos xSolución:(1 + cos x) (x 3 3) sin xlmx !0 (x 2 x) cos x 0 (1 + cos x) (x= = lm03 3) sin x lmx !0 cos xx !0 x 2 x= 2 ( 3) cos x1lm1 x !02x 1 = ( 6) = 61El primer límite lo hemos resuelto directamente por sustitución, y sólo hemos aplicado L'Hôpitalen el segundo límite, lo que ha simplicado notablemente los cálculos.Indeterminaciones del tipo 0 1 Se transforman en un indeterminación del tipo 0 0 ; 11 ,mediante operaciones algebraicas, o bien, mediante las siguientes transformaciones.f (x) g (x) = f (x)1g (x)f (x) g (x) = g (x)1f (x)Arenas A. 79 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo DiferencialEjemplo .52 Calcular: x 1lm x lnx !+1 x + 1Solución: x 1lm x lnx !+1 x + 1 x 1lnx + 1= [1 0] = lmx !+1 1 xd x 1lndx x + 1= lmx !+1ddx 1x 0=0= lmx !+1= lmx !+1= lmx !+12(x 1) (x + 1)1x 22x 2 h 1x 2 1 = 14x2x = 42 = 2i; derivando de nuevo, quedaIndeterminaciones del tipo 1 1 Se transforman en una indeterminación del tipo 0 0 ; o 1 1 ,mediante operaciones algebraicas, como puede ser: Buscando un común denominador, multiplicandoy dividiendo por el conjugado; o bien, mediante las siguientes transformaciones.AAB = A 1 1B = ABB BB= 1 AA 11=AA1B1A1ABEjemplo .53 Calcular los siguientes límites: 1 11. lmx !+0 x sin xp2. lm x2 + 3x x x !+1Arenas A. 80 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo DiferencialSolución:1.2.lmx !+0 1x1sin xplm x2 + 3x xx !+1 sin x x 0= [1 1] = lmx !+0 x sin x = 0sin x x 0 cos x 1= lm = = lmx !+0 x 02 x !+0 2xsin x= lm = 0x !+0 2= [1 1] = lmx !+1 x= lmx !+1 x r1 + 3 x= lmx !+11px2 + 3x!q3x 2 2 1 + 3 x11xx= lmx !+1= lmx !+11! 0=0= [1 0]q1 + 3 x11x3x 22x 2 q1 + 3 x 0=0Este límite también podía haberse resuelto multiplicando por le conjugado, o bien, aplicandoinnitésimos.Indeterminación del tipo 0 0 ; 1 0 ; 1 1 Se transforman en un indeterminación del tipo 0 0 ; o1, tomando logaritmos neperianos. En efecto, llamando y al límite en cuestión:1y = lm f (x) g(x)tomando ln en ambos miembros y operando, resulta,ln y = ln lm f (x) g(x) = lm ln f (x) g(x)= lm g (x) ln f (x)Que es un límite del tipo 0 1, y una vez resuelto, resulta:lm g(x) ln f(x)y = eEl límite también puede resolverse aplicando directamente la identidad logarítmica y = e ln x ,lm f (x) g(x) ln lm f(x)g(x)= elm ln f(x)g(x)= elm g(x) ln f(x)= eArenas A. 81 Camargo B.= 3 2

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo DiferencialEl tercer caso 1 1 admite una forma simplicada de resolución que elimina el ln y puede facilitarla derivación, en efecto, aplicando innitésimos, resulta,lm f (x) g(x) lm g(x) ln f(x)= eo bien, teniendo en cuenta la denición del número elm g(x) ln(1+f(x) 1)= elm g(x) ln(f(x) 1)= eresulta,e = lmz !0(1 + z) 1 2lm f (x) g(x) = [1 1 ] = lm (1 + f (x) 1) g(x)= lm (1 + f (x) 1)= e lm g (x) [f (x) 1]1g(x)[f(x) 1]f(x) 1Ejemplo .54 Calcular, por lo dos métodos, el siguiente límite:Solución:lmx !0 (cos x) 1 x 21. lmx !0(cos x) 1 x 2 = [1 1 ]Llamamos y al límite : lm (cos x) 1 x 2 , tomamos ln y operamos, con lo que resulta,x !0ln y = ln lm (cos x) 1 0x 2 =x !0 0de donde el límite pedido es:2. Por el otro método sería:ln cos x= lmx !0 x 2x= lmx !0 2x cos x = 12y = e 12 = 1 p2lm (cos x) 1 x 2 = [1 1 ]x !0= lm (cos x 1)x2 sin x= lm = e 12e x !0 2xe x !0 1Arenas A. 82 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo DiferencialEjemplo .55 Calcular:lmx !0+ xtan xSolución: lmx !0+ xtan x = [0 0 ]Llamando y al límite: y = lmx !0+ xtan x , tomando ln y operando, resulta,de donde,ln y = ln lmx !0+ xtan x = lm x tan x ln x = [0 1]x !0+ln xh 1i= lmx !0+ cot x = 11= lm x sin 2 x= lmx !0+ 1 x !0+ xsin 2 xx 2= lmx !0+ x = 0y = e 0 = 1Ejemplo .56 Calcular los siguientes límites:1. lmx !0(1 + 2 x + 3 x ) 1 x2. lmx !+1 (1 + 2x + 3 x ) 1 x3. lm (1 +x ! 1 2x + 3 x ) 1 xSolución:1.luego el límite no existe.lmx !0 (1 + 2x + 3 x ) 1 x= 1 + 2 0 + 3 0 1 0 = 3 1 08< 3 10+ = 3 +1 = +1=: 3 10 = 3 1 = 1 = 03 +1Arenas A. 83 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo Diferencial2.lm (1 +x !+1 2x + 3 x ) 1 x = 1 + 2 +1 + 3 +1 0 = 10; Entoncesy = lmx !+1 (1 + 2x + 3 x ) 1 xluego,ln y = lmx !+1 ln (1 + 2x + 3 x ) 1 x= lmx !+1= lmx !+1= lmx !+1= lmx !+1= lmx !+1ln (1 + 2 x + 3 x )h 1=x 1i2x ln 2 + 3x ln 31 + 2 x + 3 x12x ln 2 + 3x ln 3h 1=1 + 2 x + 3 1ix2 xln y = ln 3 ! y = 33xln 2 +3x 3 ln 3 x1 x 2 33 3 + x 30 + ln 30 + 0 + 1 = ln 3 x3. lmx ! 1 (1 + 2x + 3 x ) 1 x = (1 + 0 + 0) 0 = 1 0 1Ejemplo .57 Calcular:Solución:lm 2x !alm 2x !ax x tan2aax x tan2aa= [1 1 ]x= lm tan 1ex !a 2ax1= lm ae x !a cos x2a = lm1ae x !a x2a 1sin 2 x2axa2a sin 2 x= lm 2a = e 2e x !a aArenas A. 84 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo DiferencialEjemplo .58 Estudiar el dominio y continuidad de la función:8Solución:>:12+cos xx1si x 6= 0x2si x = 031. Dominio.La función está denida en todo R, ya que si 3 + ex = 0, resulta ex =no es posible.2. Continuidad. La función es continua en todo R, salvo quizás en x = 0,3+e113 que2 + cos 1 xlmx !0 +f(x) = lmx !0 + 13 + ex= 2 + Ac1 = Ac1 = 0lmx !0f (x) = lmx !0Luego la función no es continua en x = 0.= 2 + Ac3 + 02 + cos 1 x13 + ex=Sin límite3= Sin límiteEjemplo .59 Dada la función:8>:Hallar f 0 (0) y f 00 (0)xsin xsi x 6= 0x13 si x = 06Solución:Continuidad: La función es continua en todo R, salvo quizás en x = 0,x sin x 0lm=x !0 x 031= lmx !0cos x 0=3x 02x 2= lmx !0 2 3x = 1 2 6Arenas A. 85 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo Diferencialluego la función es continua en todo R.Derivada en x = 0: Aplicamos la denición.f 0 f (x) f (0)(0) = lm= lmx !0 x6x 6 sin x x 3 0= lm=x !0 6x 046 6 cos x 3x 2 0= lm=x !0 24x 036 sin x 6x 0= lm=x !0 72x 026 sin x 6= lmx !0 144x= lmx !06 sin x144= 0 0=0Derivada segunda en x = 0: Hallamos f 0 (x), para x 6= 0x !0xsin xxx16f 0 (x) = (1 cos x) x3 (x sin x) 3x 2=x 6x cos x 3x + 3 sin xx 4 =Para calcular f 00 (0), aplicamos la denición de derivada:2x x cos x + 3 sin xx 42x x cos x + 3 sin xf 00 f 0 (x) f 0 (0)0(0) = lm= lm x 4x !0 xx !0 x2x x cos x + 3 sin x 0= lm=x !0 x 052 cos x + x sin x + 3 cos x= lmx !0 5x 42 + 2 cos x + x sin x 0= lm=x !0 5x 042 sin x + sin x + x cos x= lmx !0 20x 3sin x + x cos x 0= lm=x !0 20x 03= lmx !0cos x + cos x x sin x60x 2x 2= lmx !0 60x = 12 60= lmx !0x sin x 0=60x 02Arenas A. 86 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo DiferencialEjemplo .60 Dada la función:Hallar f 0 (0) y f 00 (0).Solución:luego,de donde,( sin xsi x 6= 0f (x) = x1 si x = 0f 0 f (x) f (0)(0) = lmx !0 xx sin x1= lm xx !0 x sin x x 0= lm =x !0 x 02f (x) =f 00 (0) = lmx !0f 0 (x) f 0 (0)x= lmx !0cos x x sin x cos x3x 2= lmx !0cos x 1= lmx !0x 2sin x2= 0( x cos x sin xx 2 si x 6= 00 si x = 0x cos x sin x0= lm x 2 x cos x sin x 0= lm=x !0 xx !0 x 03x sin x x 2= lm = lmx !0 3x 2 x !0 3x = 12 3La gráca de una sucesión es un conjunto de innitos puntos sepaados (aislados) unos de otros.Límites de sucesiones considerándolas como funciones. Si unimos los puntos que representanuna sucesión obtenemos la gráca de una función. Sin embargo, podemos obtener innitasfunciones que contienen los puntos de una misma sucesión. Lo normal es coger la función quetiene la misma fórmula que la sucesión, es decir considerar que la variable n es continua y nodiscreta.Si la función que representa a la sucesión tiene límite, ese es el límite de la sucesión, pero si lafunción no tiene límite, entonces la sucesión si puede tenerlo.Por tanto, se pueden aplicar los innitésimosy las reglas de L'Hôpital a las sucesiones, el límiteque encontremos será el límite de la sucesión y si la sucesión considerada como función notiene límite entonces habrá que aplicar otro criterio.Arenas A. 87 Camargo B.

5.2 Función derivada y Reglas de derivación. Cálculo Diferencial3:) lmn !1 n np an 1 p a = lmn !1 n np a 10= lm n np Ba @1 an !1= lm n np a 1 an !1= lmn !1 n np aa 1n 1a 1 n1n 1!11n CA !n n+1n(n 1)ln a= 0n (n 1)Arenas A. 89 Camargo B.