Pruebas no paramÃ©tricas para comparar curvas de supervivencia ...

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C. Martínez et al / Revista Ingeniería UC, Vol. 16, No. 3, diciembre 2009, 58-71 591. IntroducciónEn el análisis de supervivencia (AS) se dispone deun conjunto de herramientas estadísticas para estudiarla aparición de eventos en el tiempo. Este lapso detiempo se mide desde un momento inicial, (inicio de untratamiento, diagnóstico, operación, entre otros) hastael momento de la ocurrencia de un evento terminalpredefinido (evento que puede representar muerte, falla,aparición de tumores, mejoras, entre otras). Los datosdel AS esta formada; además, de una serie de variablesmedidas en las unidades bajo estudio, de tiemposde supervivencia completos (unidades con eventosterminales ocurridos en el tiempo de observación) yde tiempos de supervivencia censurados (con eventosterminales no ocurridos en el tiempo de observación).Cuando el AS es aplicado al estudio de eventos detipo biológico asociados con la ocurrencia de eventosque provienen de plantas, animales o seres humanos, esllamado análisis de supervivencia y cuando el análisises dirigido a las industrias o seres inanimados, se leconoce como análisis de confiabilidad.El uso del AS se ha extendido a otras áreasde investigación como: la sicología, bioingeniería,medicina, física, astronomía, estudio de eventos devida, entre otras. Tradicionalmente los estudios desupervivencia se orientaron al análisis de una únicaocurrencia de un evento por unidad bajo estudio (ASclásico). Sin embargo, desde hace cuatro décadas losestudios se han extendido a la aparición de eventosrecurrentes (AS recurrente). Los eventos recurrentesson sucesos que pueden presentarse en muchas áreas,cabe mencionar: fallas en maquinarias y equipos,reaparición de tumores en personas enfermas concáncer, ataques de epilepsia, fiebre provocada porenfermedades infecciosas, accidentes automovilísticos,accidentes laborales, delitos, matrimonios, divorcios,nacimientos, entre otros. En el AS se pueden enumerardos conjuntos de modelos, los modelos tradicionalesy los modelos para eventos recurrentes. En los modelosrecurrentes; se incluyen, tanto los trabajos dePrentice et al [1] que son modelos de regresióntipo Cox adaptados al caso recurrente; como losmodelos propuesto por Peña et al [2]. Los modelosde regresión tipo Cox son modelos que consideraan elefecto de covariables y son conocidos como modelossemiparamétricos, mientras que los modelos que no∗ Autor para correspondenciaCorreo-e:cmartinez@uc.edu.ve (Carlos Martínez)consideran los efectos de covariables son conocidoscomo modelos no paramétricos. En los modelos tipoCox se asume que los tiempos entre ocurrencias delevento son independientes e idénticamente distribuidose independientes de los tiempos de censura, conexcepción del modelo de Wang–Chang [3] y el modelosde fragilidad de Peña et al [2], donde estos datos puedeno no estar correlacionados.2. Metodología2.1. Notación básica del análisis de supervivenciaLa variable aleatoria principal de un estudio en elAS es el tiempo (T). Esta variable se utiliza paramedir el lapso de tiempo que transcurre desde unmomento inicial definido hasta la aparición del evento,la cual tiene asociada una serie de funciones; entrelas que se encuentran: La función de densidad deprobabilidades (fdp o f ), la función (F) o función dedistribución acumulada (fda), la función (S ) o funciónde supervivencia, la función de riesgo instantáneo,(h o λ) y la función de riesgos acumulados, (Ho ∧). Funciones que definimos a continuación: Si,T la variable aleatoria que representa el tiempo deocurrencia del evento de estudio y F es la fda dela variable T, entonces: F(t) = P(T ≤ t); y enconsecuencia, S (t)=1− F(t), (Ec. 1 y 2)F(t)=F(t)=∫ t0∫ ∞tf (s)ds (1)f (s)ds (2)para funciones discretas (Ec. 3 y 4)∑F(t)= f (s)∆t (3)s≤t∑F(t)=1− f (s)∆t (4)Sea, h la razón instantánea de ocurrencia de un eventode estudio, definida como en (Ec. 5):Asís≤tP(t≤T< t+∆t/T≥ t)lím∆t→0 th(t)= f (t)S (t)Y si, H la función de riesgo acumulado (Ec. 7):H(t)=∫ t0(5)(6)h(s)ds (7)Revista Ingeniería UC
60 C. Martínez et al / Revista Ingeniería UC, Vol. 16, No. 3, diciembre 2009, 58-71Entonces, para funciones continuas (Ec. 8):H(t)=∫ t0dF(s)S (s)y para funciones discretas (Ec. 9):∑H(t)=s≤t∆F(s)S (s)2.2. Modelos clásicos de supervivencia(8)(9)Los modelos del AS clásicos más conocidos, son: losmodelos actuariales, el modelo de Kaplan–Meier [4] yel modelo de riesgos proporcionales de Cox [5]. Entrelos modelos actuariales más utilizados, se encuentran:Bhomer [6], Berkson–Gage [7] y Cutler–Ederer [8].Los modelos actuariales son útiles en aquellos casosdonde no se dispone de los tiempos exactos deocurrencia del evento. Por ello, la información sepresenta agrupada en intervalos de tiempo. Kaplan–Meier [4] proponen un estimador de la S , en presenciade datos censurados u observaciones incompletas,conocido hoy en día como estimador ✭✭Límiteproducto✮✮.Este modelo es de tipo clásico no paramétricos. Elestimador Kaplan–Meier con tiempos de supervivenciano repetidos, esta dado por (Ec. 10):S (t j )=j∏i=1n i − d in i(10)Donde, d i representa el numero total de ocurrenciaen el i–ésimo momento y n i representa el numero deunidades a riesgo justo antes del tiempo t j . El modelode riesgos proporcionales propuesto por Cox [5],supone que existe un conjunto de covariables, digamos:X = (x 1 , x 2 ,..., x p ) ′ , que afectan el comportamientodel tiempo de ocurrencia de los eventos. El modeloasume independencia entre las observaciones de cadaunidad y entra en la clasificación de los modelosclásicos, semiparamétricos y multivariante. Para estemodelo, la función de riesgo condicionada, esta dadapor (Ec. 11 y 12):h(t/X)=h o (t)e ( q ∑β j X j )j=1(11)S (t/X)=S o (t) e(β′ j X) (12)Donde, h 0 (t) es la función de riesgo base, S 0 (t) esla función de supervivencia base yβes el vector deparámetros desconocidos que miden los efectos de lascovariables.2.3. Otros modelos clásicos del análisis de supervivenciaEn la Tabla 1 se agrupan otro conjunto de modelosclásicos, no paramétricos útiles para estimar S coneventos no recurrentes.Tabla 1: Estimadores clásicos no paramétricos del ASAutor Año Estimador de S (t)∏Kaplan–Meier 1958 S (t j )= j n i−d in ii=1 ( )∏Alshuler 1970 S (t j )= j exp− din ii=1Prentice 1978 S (t j )= j ∏n in i+1i=1Prentice–Marek∏1979 S (t j )= jAndersen et al[ i=1j∏1982 S (t j )=i=1Harris–Albert∏1991 S (t j )= ji=1Moreau et al 1992 S (t j )= j ∏Hosmer–Lemeshow 1999 S (t j )=n i−d i+1n i+1n i−d i+1n i+1n i+d i−1n i+d in in i+d ii=1 [ ∏j−1n i−d i+1n i+1i=1]n jn j+1]n jn j+12.4. Otros modelos para análisis de supervivenciacon eventos recurrentesMartínez–Borges (2008) propusieron un conjuntode modelos no paramétricos del AS con eventosrecurrentes. Propuestas que se fundamentan en eltrabajo de Peña et al. (2001), quienes derivaron elestimador GPLE para eventos recurrentes, a partirde los estimadores clásicos Nelson–Aalen y Kaplan–Meier. Los autores del estimador GPLE diseñarondos procesos contadores a los que denotaron, con lasiguiente notación: N(s, t) y Y(s, t). La Tabla 2 ilustralos modelos propuestos por Martínez–Borges [9].3. Modelos de supervivencia para eventos recurrentesLos primeros aportes del AS recurrente datan desdelos años ochenta, con los trabajos de Prentice etal [1], Andersen–Gill [10] y Wei et al [11]. Losaportes más recientes, se incluyen los trabajos de:Wang–Chang [3], Peña et al [2], Nelson [12], HollanderSetruraman [13], González–Peña [14], González–Peña [15], Peña-Slate [16], Peña E. [17] y Martínez–Borges [9]. Wayne Nelson [12] publicó un trabajodonde resuelve problemas de modelación de fallas ensistemas industriales de tipo mecánico y eléctrico.Revista Ingeniería UC
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