Pruebas no paramétricas para comparar curvas de supervivencia ...

64 C. Martínez et al / Revista Ingeniería UC, Vol. 16, No. 3, diciembre 2009, 58-71propusieron una prueba con una ponderación w z =S PM (t z ), que también da mayor peso a las primerasdiferencias entre los eventos observados y los eventosesperados de los primeros tiempos de supervivencia.S PM (t z ) representa la estimación de la función desupervivencia a través del método de Prentice–Marek,la cual disminuye desde uno a cero en la medida queaumentan los tiempos de supervivencia. El resto de laspruebas son modificaciones de las pruebas anteriores ogeneralizaciones de las anteriores, como la de Fleminget al. y la de Harrington–Fleming.5. PropuestasEn una investigación bibliográfica sobre pruebas decomparación en fenómenos con eventos recurrentes,sólo se logró detectar tres trabajos que consideranel tema: Pepe–Cai (1993), Glyn–Buring (1996)y Doganaksoy–Nelson (1998). La metodología decomparación más cercana a las propuestas de estainvestigación es la indicada por Pepe–Cai.5.1. Problema de InvestigaciónSupóngase que estamos interesados en comparar lascurvas de supervivencia de dos grupos poblacionalesque experimentan un evento recurrente, cuyas curvashan sido estimadas usando el modelo GPLE y cuyosgrupos han sido definidos a través de la estratificaciónde una variable de interés, por ejemplo sexo, edad oestrato social. Nuestro problema consiste en compararlas curvas y determinar si éstas difieren significativamente.Para realizar la comparación de las curvas nosplanteamos el siguiente contraste de hipótesis:H 0 : S 1 (t)=S 2 (t)H 1 : S 1 (t)S 2 (t)Para efectuar dicho contrate es necesario evaluar ladiferencia que existe entre el número observado deeventos en cualquiera de los grupos y el númeroesperado de eventos en el grupo combinado, bajo elsupuesto que la hipótesis nula es cierta. Si ambas curvasson iguales, el número observado de eventos en el gruposeleccionado (en todos los momentos de ocurrencia)es igual al número esperado de eventos del grupocombinado. Así, comparar las curvas de ambos gruposes equivalente a comparar la curva de cualquiera delos grupos con la curva de supervivencia esperada delgrupo combinada, Mantel–Haenszel (1959). Nuestraidea consiste en introducir ciertas modificaciones enlos conceptos y en los modelos del AS clásico, paraextender el uso de los estadísticos de comparación alcaso recurrente. Para ello, se utilizaran los conceptos ynotaciones propuestas por Peña et al. (2001).5.2. Notación básicaUtilizaremos la letra r para denotar los grupos(r = 1, 2), n r representará el total de unidades bajoestudio en el r–ésimo grupo, con n = n 1 + n 2 . K idenota el total de ocurrencias del evento en la i–ésimaunidad bajo estudio en el grupo combinado y K ri eltotal de eventos experimentados por la i–ésima unidaden el r–ésimo grupo. K es el total de eventos en todaslas unidades en el grupo combinado y K r el totalde eventos en las unidades pertenecientes al r–ésimogrupo. Entonces (Ec. 23):K=K 1 + K 2 +...+ K n o K=K 1 + K 2 (23)o también (Ec. 24)K=2∑ ∑n rK ri (24)r=1 i=1Estas últimas notaciones están escritas en negrillas,para diferenciar los K i de los K r . El subíndice i seutiliza para identificar a la i–ésima unidad en losgrupos. El subíndice j se utiliza para indicar a la j–ésima ocurrencia del evento en cualesquiera de las nunidades bajo estudio, con j = 1, 2,..., K i o j =1, 2,..., K ri dependiendo de si se está considerandoel grupo combinado o el r–ésimo grupo. T i j describeel j–ésimo tiempo de interocurrencia del evento en lai–ésima unidad bajo estudio en el grupo combinadoy T ri j el j–ésimo tiempo de interocurrencia de la i–ésima unidad en el r–ésimo grupo. Los tiempos T i jse asumen independientes e idénticamente distribuidos.La función de distribución de los T i j viene dada por:F(t) = P(T i j ≤ t). Donde, S i j se define como eltiempo transcurrido desde el momento inicial hastaque se produce la j–ésima repetición del evento en elindividuo i del grupo combinado (tiempo calendario).Se conviene en establecer que S i0 = 0 y T i0 = 0 paratodo i=1, 2,...n. Se tiene, entonces que (Ec. 25):S i j =j∑T i j ′ (25)j ′ =0∀i=1, 2,...,n∧ j=1, 2,..., K iS i j se define como el j–ésimo tiempo calendario de lai–ésima unidad en el r–ésimo grupo, y se asume queRevista Ingeniería UC