Pruebas no paramÃ©tricas para comparar curvas de supervivencia ...

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C. Martínez et al / Revista Ingeniería UC, Vol. 16, No. 3, diciembre 2009, 58-71 65S ri0 = 0 y T ri0 = 0, para todo i=1, 2,...,n r y paratodo r=1, 2. Se tiene, entonces que (Ec. 26):S ri j =j∑T ri j ′ (26)j ′ =0∀r=1, 2; i=1, 2,...,n∧ j=1, 2,..., K riτ i yτ ri denotan el tiempo de observación de la i–ésimaunidad bajo estudio en el grupo combinado y en elr–ésimo grupo respectivamente. Para cada unidad sedispone de un tiempo de observación igual a [0,τ i ] o[0,τ ri ], dependiendo de si se está considerando el grupocombinado o el grupo r. El tiempo de observaciónτes una variable aleatoria con función de probabilidadesdesconocida igual a: G(t) = P(τ ≤ t). Si denotamosel tiempo de censura de la i–ésima unidad como C i ,tenemos (Ec. 27):C i =τ i − S iKi ∀i=1, 2,...,n (27)Para referirnos a los grupos se utiliza la notación C rique es el tiempo de censura de la i–ésima unidad en elgrupo r (Ec. 28):C ri =τ ri − S riKri ∀i=1, 2,...,n∧ r=1, 2 (28)Asumiremos independencia entre las censuras y lostiempos de interocurrencias, y sólo consideraremoscensuras por la derecha. Al igual que Peña et al.(2001), definiremos procesos contadores en cada unode los grupos. En el modelo GPLE, N i (s, t) representael número de eventos observados en la i–ésimaunidad en el tiempo calendario [0, s] con tiemposde interocurrencias menores o iguales a t e Y i (s, t)representa el número de eventos observados en la i–ésima unidad en el tiempo calendario [0, s] con tiemposde interocurrencias mayores o iguales a t. Definiremosaquí (Ec. 29 y 30):N i (s, t j )=j∑I { }T i j ′≤ t jj ′ =1∀ i=1, 2,...,n∧ j=1, 2,..., K i (s−) (29)j∑Y i (s, t j )= I { }T i j ′≥ t jj ′ =1+ I { min(s,τ i )−S iKi(s−) ≥ t j}∀ i=1, 2,...,n∧ j=1, 2,..., K i (s−) (30)Los autores del modelo GPLE también definieron dosprocesos agregados: N(s, t) que representa el númerode eventos observados en todas las unidades en eltiempo calendario [0, s] con tiempos de interocurrenciasmenores o iguales a t e Y(s, t) que representa elnúmero de eventos observados en todas la unidades enel tiempo calendario [0, s] con tiempos de interocurrenciasmayores o iguales a t (Ec. 31 y 32):N(s, t)=Y(s, t)=n∑N i (s, t) (31)i=1n∑Y i (s, t) (32)i=1Utilizando estos conceptos, ellos plantearon y desarrollaronel estimador GPLE de la función del AS tipolimite–producto de Kaplan–Meier:∏[ŝ(t)= 1− N(s,∆z) ](33)Y(s,∆z)z≤1Donde, la variable N(s,∆z) es el número de eventosobservados en las unidades bajo estudio en el tiempocalendario [0, s] con tiempos de interocurrenciasiguales a z, donde, el índice z representa los tiemposde interocurrencias de los eventos ordenados. z={T i j :con T i j ordenados en forma creciente i = 1,...,n yj=1,...,k i }En forma análoga, definiremos en este trabajo lossiguientes procesos contadores: N ri (s, t) que representael número de eventos observados en la i–ésima unidaddel r–ésimo grupo en el tiempo calendario [0, s] contiempos de interocurrencias menores o iguales a t:N ri (s, t j )=j∑I { }T ri j ′≤ t j ∀⎧⎪⎨⎪⎩j ′ =1r=1, 2i=1, 2,...,nj=1, 2,..., K ri (s−)(34)Y ri (s, t) que representa el número de eventos observadosen la i–ésima unidad en el r–ésimo grupo en eltiempo calendario [0, s] con tiempos de interocurrenciasmayores o iguales a t:j∑Y ri (s, t j )= I { } { }T ri j ′≤ t j + I min(S,τri )−S riKri (s−)≥ t j⎧⎪⎨∀⎪⎩j ′ =1r=1, 2i=1, 2,...,nj=1, 2,..., K ri (s−)(35)De modo que los procesos agregados en los gruposquedan definidos, como: N(s, t; r) que es el númeroRevista Ingeniería UC
66 C. Martínez et al / Revista Ingeniería UC, Vol. 16, No. 3, diciembre 2009, 58-71de eventos observados en las unidades del r−−ésimogrupo en el tiempo calendario [0, s] con tiempos deinterocurrencias menores o iguales a t:∑n rN(s, t; r)= N ri (s, t) ∀r=1, 2 (36)i=1Y(s, t; r) que es el número de eventos observados en lasunidades del r–ésimo grupo en el tiempo calendario[0, s] con tiempos de interocurrencias mayores oiguales a t:∑n rY(s, t; r)= Y ri (s, t) ∀r=1, 2 (37)i=1Los procesos agregados generales quedan definidoscomo:N(s, t)=Y(s, t)=2∑ ∑n rN ri (s, t) o N(s, t)=r=1 i=12∑ ∑n rY ri (s, t) o Y(s, t)=r=1 i=12∑N(s, t; r)r=1(38)2∑Y(s, t; r)r=1(39)y los estimadores de las funciones de supervivenciapara cada grupo, queda definido como:∏ŝ r (t)=z≤1[1−]N(s,∆z; r)Y(s,∆z; r)∀r=1, 2 (40)Y el estimador de la función del AS para el grupocombinado, s C (t), queda definido como:∏[ŝ C (t)= 1− N(s,∆z) ]Y(s,∆z)z≤1(41)5.3. Propuestas para la comparación de dos gruposSea N(s,∆z; 1) el número de eventos observados enlas unidades del 1er grupo en el tiempo calendario [0, s]y con tiempos de interocurrencias iguales z en un totalde eventos observados igual a N(s,∆z). Donde, N(s,∆z)es el número de eventos observados en las unidadesdel grupo combinado en el tiempo calendario [0, s] contiempos de interocurrencias iguales a z. De la definiciónde la variable N(s,∆z; 1) se desprende que se trata deuna variable aleatoria con distribución hipergeométricaH(Y(s, z), Y(s, z, 1), N(s,∆z)), cuyas media y varianzason iguales a:{ }Y(s, z; 1)E N(s,∆z; 1) = N(s,∆z)Y(s, z){ }[Y(s, z)− N(s,∆z)]var N(s,∆z; 1) =N(s,∆z)[Y(s, z)−1]Y(s, z; 1)Y(s, z)[1−(42)]Y(s, z; 1)Y(s, z)(43)La Tabla 4 muestra la variable que representa elnúmero de eventos observados en [0, s] con tiemposde interocurrencias iguales a z, tanto en el grupocombinado como para los grupos, así como la variabledel número de eventos experimentados por todas lasunidades con tiempos de interocurrencias mayores oiguales a z.Tabla 4: Número de ocurrencias del evento en el momento z–ésimopara los grupos 1 y 2Grupos Y(s, z; r) N(s,∆z; r) Y(s, z; r)− N(s,∆z; r)1 Y(s, z; 1) N(s,∆z; 1) Y(s, z; 1)− N(s,∆z; 1)2 Y(s, z; 2) N(s,∆z; 2) Y(s, z; 2)− N(s,∆z; 2)Combinados Y(s, z) N(s,∆z) Y(s, z)− N(s,∆z)El estadístico de prueba se define como:Z=∑z=t{ }]w z[N(s,∆z; 1)− E N(s,∆z; 1)√∑z=t{ }w 2 z Var N(s,∆z; 1)≈ N(0, 1)(44)El estadístico propuesto es un estadístico de contrasteponderado que puede ser utilizado para comparar gruposdel AS con eventos recurrentes. Se define como unacombinación lineal de las diferencias que existen entreel número de eventos experimentados por las unidadesen un grupo determinado en todos los momentosde ocurrencias del evento y su valor esperado. Estacombinación lineal es una suma ponderada de variablesaleatorias estandarizadas que se asumen independientes.El estadístico Z tiene un comportamiento asintóticonormal, ver Childs–Balakrishan (2000). Su cuadradotendrá un comportamiento aproximado chi–cuadradoRevista Ingeniería UC
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