Pruebas no paramétricas para comparar curvas de supervivencia ...

C. Martínez et al / Revista Ingeniería UC, Vol. 16, No. 3, diciembre 2009, 58-71 65S ri0 = 0 y T ri0 = 0, para todo i=1, 2,...,n r y paratodo r=1, 2. Se tiene, entonces que (Ec. 26):S ri j =j∑T ri j ′ (26)j ′ =0∀r=1, 2; i=1, 2,...,n∧ j=1, 2,..., K riτ i yτ ri denotan el tiempo de observación de la i–ésimaunidad bajo estudio en el grupo combinado y en elr–ésimo grupo respectivamente. Para cada unidad sedispone de un tiempo de observación igual a [0,τ i ] o[0,τ ri ], dependiendo de si se está considerando el grupocombinado o el grupo r. El tiempo de observaciónτes una variable aleatoria con función de probabilidadesdesconocida igual a: G(t) = P(τ ≤ t). Si denotamosel tiempo de censura de la i–ésima unidad como C i ,tenemos (Ec. 27):C i =τ i − S iKi ∀i=1, 2,...,n (27)Para referirnos a los grupos se utiliza la notación C rique es el tiempo de censura de la i–ésima unidad en elgrupo r (Ec. 28):C ri =τ ri − S riKri ∀i=1, 2,...,n∧ r=1, 2 (28)Asumiremos independencia entre las censuras y lostiempos de interocurrencias, y sólo consideraremoscensuras por la derecha. Al igual que Peña et al.(2001), definiremos procesos contadores en cada unode los grupos. En el modelo GPLE, N i (s, t) representael número de eventos observados en la i–ésimaunidad en el tiempo calendario [0, s] con tiemposde interocurrencias menores o iguales a t e Y i (s, t)representa el número de eventos observados en la i–ésima unidad en el tiempo calendario [0, s] con tiemposde interocurrencias mayores o iguales a t. Definiremosaquí (Ec. 29 y 30):N i (s, t j )=j∑I { }T i j ′≤ t jj ′ =1∀ i=1, 2,...,n∧ j=1, 2,..., K i (s−) (29)j∑Y i (s, t j )= I { }T i j ′≥ t jj ′ =1+ I { min(s,τ i )−S iKi(s−) ≥ t j}∀ i=1, 2,...,n∧ j=1, 2,..., K i (s−) (30)Los autores del modelo GPLE también definieron dosprocesos agregados: N(s, t) que representa el númerode eventos observados en todas las unidades en eltiempo calendario [0, s] con tiempos de interocurrenciasmenores o iguales a t e Y(s, t) que representa elnúmero de eventos observados en todas la unidades enel tiempo calendario [0, s] con tiempos de interocurrenciasmayores o iguales a t (Ec. 31 y 32):N(s, t)=Y(s, t)=n∑N i (s, t) (31)i=1n∑Y i (s, t) (32)i=1Utilizando estos conceptos, ellos plantearon y desarrollaronel estimador GPLE de la función del AS tipolimite–producto de Kaplan–Meier:∏[ŝ(t)= 1− N(s,∆z) ](33)Y(s,∆z)z≤1Donde, la variable N(s,∆z) es el número de eventosobservados en las unidades bajo estudio en el tiempocalendario [0, s] con tiempos de interocurrenciasiguales a z, donde, el índice z representa los tiemposde interocurrencias de los eventos ordenados. z={T i j :con T i j ordenados en forma creciente i = 1,...,n yj=1,...,k i }En forma análoga, definiremos en este trabajo lossiguientes procesos contadores: N ri (s, t) que representael número de eventos observados en la i–ésima unidaddel r–ésimo grupo en el tiempo calendario [0, s] contiempos de interocurrencias menores o iguales a t:N ri (s, t j )=j∑I { }T ri j ′≤ t j ∀⎧⎪⎨⎪⎩j ′ =1r=1, 2i=1, 2,...,nj=1, 2,..., K ri (s−)(34)Y ri (s, t) que representa el número de eventos observadosen la i–ésima unidad en el r–ésimo grupo en eltiempo calendario [0, s] con tiempos de interocurrenciasmayores o iguales a t:j∑Y ri (s, t j )= I { } { }T ri j ′≤ t j + I min(S,τri )−S riKri (s−)≥ t j⎧⎪⎨∀⎪⎩j ′ =1r=1, 2i=1, 2,...,nj=1, 2,..., K ri (s−)(35)De modo que los procesos agregados en los gruposquedan definidos, como: N(s, t; r) que es el númeroRevista Ingeniería UC