Notas para el Curso de Lógica y Conjuntos - Universidad del Cauca

2.4. Semántica: Asignaciones de VerdadComo ya hemos dicho antes, la lógica clásica se encuentra regida por el principio del terceroexcluido; esto signi…ca que sólo existen dos asignaciones posibles para las proposiciones:Verdadero (V ) y Falso (F ).Estos valores no representan más que dos opciones y bien pueden reemplazarse por 1 y 0,respectivamente. El hecho de usar sólo dos valores, signi…ca que hemos optado por la llamadalógica bivalente. Otras lógicas de importancia, pero que no serán consideradas aquí son lasllamadas lógicas polivalentes en las cuales se consideran tres o más valores, esto es, que cadaproposición tuviera posibilidad de tomar valores entre 0, 1 y 1, o entre una cantidad …nita2de valores o incluso entre una cantidad in…nita de valores.Una vez …jados los valores V y F se busca asignar un valor de verdad a cualquier proposiciónconociendo los valores de las fórmulas atómicas. Esto que pareciera muy difícil de lograr, esrelativamente simple a través de un proceso recursivo. A partir de la asignación de valoresde verdad a los símbolos proposicionales, incorporamos unas reglas para la negación, ladisyunción, la conjunción, el condicional y el bicondicional, de manera que cada proposicióntenga asignado un valor de verdad. Veamos:Sean y proposiciones. Denotamos por v () el valor de verdad de . V si v () = F1. v (s ) =F si v () = V V si v () = V y v () = V2. v ( ^ ) =F en otro caso F si v () = F y v () = F3. v ( _ ) =V en otro caso F si v () = V y v () = F4. v ( ! ) =V en otro caso V si v () = v ()5. v ( $ ) =F en otro casoNote que la de…nición es en efecto recursiva, por cuanto el valor de verdad de cada fórmuladepende del valor de verdad de las proposiciones que la componen.Para el caso de la negación, observe que se intrepreta a partir del valor de verdadde . Así si es verdadera, es falsa y si es falsa entonces es verdadera.Para las otras proposiciones que involucran un conectivo binario, es decir, para cualquierproposición donde y son proposiciones y es cualquier conectivo binario (^; _; !; $),el valor de verdad de depende de los valores de verdad de y . Así,Para la conjunción se tiene que la proposición ^ es verdadera sólo si y sonverdaderas.18