Notas para el Curso de LÃ³gica y Conjuntos - Universidad del Cauca

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2. Sea el predicadoLa expresiónque también podemos escribirQ(x; y) : x + y = 09x9yQ(x; y)9x9y (x + y = 0)traduce existen dos números enteros cuya suma es cero. Por ejemplo, si hacemos x = 3y y = 3, tenemos que Q(3; 3) es verdadero. Y de aquí que el enunciado 9x9yQ(x; y)también es verdadero.Hasta ahora todas las proposiciones con predicados han sido a…rmativas; para el caso delas negativas se usa el signo de negación s de la lógica proposicional. De esta forma, tomandoel predicado P (x) del ejemplo anterior, se tiene que el enunciado 9x(s P (x)) traduce existeun número entero que no es par.Más ejemplos1. Se nos pide simbolizar el enunciado:Nada es perfectoNo es difícil comprobar que es equivalente al enunciado:Todo es imperfectoEn primer lugar, debemos explicitar un universo en el cual el enunciado tenga sentido.Como no tenemos ninguna restricción, podemos tomar como universo el conjunto delas cosas terrenales. Por otro lado la expresión imperfecto es la negación de la expresiónperfecto. De esta manera podemos simbolizar así:y el enunciado quedará:P (x) : x es perfecto8x (s P (x))para el cual se pueden suprimir los paréntesis para obtenerNote que una simbolización equivalente es8x s P (x) 9xP (x)2. Hay cuatro enunciados que aparecen con frecuencia en los argumentos. En el sentidoariatotélico, estos son llamados enunciados categóricos. A continuación los presentamoscon su simbolización respectiva:a) Todo A es B: 8x (A (x) ! B (x))36
) Algún A es B: 9x (A (x) ^ B (x))c) Algún A no es B: 9x (A (x) ^ B (x))d) Ningún A es B: 9x (A (x) ^ B (x)) o 8x (A (x) ! B (x))3. Consideremos como universo el conjunto de los cuerpos celestes. Para los objetos especí…cos,luna, sol y tierra asociamos símbolos de constantes así:l : lunas : solt : tierraAdemás, dados los siguientes predicados:P (x) : x es planetaS (x) : x es satéliteG (x; y) : x gira alrededor de ytenemos las siguientes simbolizaciones:a) La tierra es un planeta: P (t)b) La luna no es un planeta: P (l)c) La tierra gira alrededor del sol: G(t; s)d) Todo planeta es un satélite: 8x(P (x) ! S(x))Al a…rmar que todo planeta es un satélite estamos a…rmando que cualquier objetoque es planeta, es también satélite, es decir, que para todo objeto x, si x es unplaneta entonces x es un satélite.e) Todo planeta gira alrededor del sol: 8x(P (x) ! G(x; s)).Es decir, para todo objeto x, si x es planeta entonces x gira alrededor del sol.f ) Algún planeta gira alrededor de la luna: 9x(P (x) ^ G(x; l)).Es decir, hay un objeto que es un planeta, y gira alrededor de la luna.g) Hay por lo menos un satélite: 9xS(x)h) Ningún planeta es un satélite: 9x(P (x) ^ S(x)) ó 8x(P (x) ! S(x))Lo que se quiere expresar es que no hay objetos que sean al mismo tiempo planetay satélite. En la primera simbolización decimos directamente que no hay objetoscon las dos propiedades consideradas, y en la segunda que todo objeto que seaplaneta no es un satélite que es equivalente a la anterior.i) Ningún objeto celeste gira alrededor de sí mismo: 9x(G(x; x))Señalemos que no es necesario expresar la propiedad de ser objeto celeste, puestoque el universo, el dominio de los objetos que hablamos, es precisamente el conjuntode los objetos celestes. De modo que al decir para todo x estamos diciendopara todo objeto celeste.j ) Alrededor de los satélites no giran objetos celestes: 8x(S(x) ! 9zG(z; x)) ótambién 9x(S(x) ^ 9zG(z; x)).37
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