Notas para el Curso de LÃ³gica y Conjuntos - Universidad del Cauca

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2. La negación del enunciado: existen …lósofos geniales pero incoherentes, es el enunciado:todos los …lósofos geniales, no son incoherentes. En símbolos tenemos,F (x) : x es …lósofo e I(x) : x es incoherente, y entonces el enunciado quedaque es equivalente al enunciado 9x(F (x) ^ I(x))8x (F (x) ^ I(x))el cual por lógica proposicional es equivalente aque también se puede escribir como8x ( F (x)_ I(x))8x (F (x) ! I(x))40
Observación: ¿Se pueden intercambiar el cuanti…cador existencial y universal?En general un cuanti…cador universal no se puede conmutar con un cuanti…cadorexistencial, es decir el enunciado:8x9yR(x; y)no es equivalente al enunciado:9y8xR(x; y)Ejemplo: Sea R(z; w) : z es madre de w.Observe que los siguientes dos enunciados no son equivalentes:a) Todo ser humano tiene una madre que se simboliza como 8x9yR(y; x)b) Hay una madre para todo ser humano que se simboliza así 9y8xR(y; x)El enunciado a) es verdadero, pues cada ser humano tiene una madre. Sin embargo, elenunciado b) es falso porque no hay un individuo que sea madre de todos los seres humanos.Por esta razón se tiene que:8x9yR(x; y) = 9y8xR(x; y) donde = se puede leer como "no es equivalente a".Ejercicios1. Simbolizar los siguientes enunciados:a) Ningún hombre es a la vez loco y cuerdo.b) Todo hombre es mortal.c) Ningún número es a la vez par e impar.d) Todo número real es positivo si y sólo si es mayor que cero.e) No todos los números reales son positivos.2. Fijando como universo el conjunto de los seres vivos, simbolizar los predicados:a) x es hombreb) x es mujerc) x es madre de yd) x es padre de y3. Con las simbolizaciones del item anterior, de…nir los predicados:a) x es hijo de yb) x es abuela paterna de yc) x no tiene hijasd) x es hermano de y por parte de padre y madre4. Usando los items anteriores simbolizar el adagio popular A quien Dios no le da hijos,el Diablo le da sobrinos.41
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