Notas para el Curso de LÃ³gica y Conjuntos - Universidad del Cauca

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k) Hay exactamente un satélite: 9x(S(x) ^ 8y(S(y) ! x t y)):Para decir que x es el único satélite, decimos que x es satélite y cualquier satélitees igual a x.5. Cuanti…cación Numérica:En ocasiones debemos simbolizar enunciados del tipo “hay un único número natural talque ...”o “hay exactamente dos números reles tales que ...”o “hay al menos n números talesque ...”o “hay como máximo n números tal que ...”, entre otros. Veamos:1. Hay al menos un T ...se simboliza: 9x (T (x))2. Hay como máximo un T ...se simboliza: 8x8y (T (x) ^ T (y) ! x = y)Esto es, si hay dos cosas con la misma propiedad, como a lo más hay una, entoncesdeben ser la misma. Observe que esto es compatible con que no exista ninguna cosaque tenga la propiedad T .3. Hay exactamente un T ...se simboliza: 9x (T (x)) ^ 8x8y (T (x) ^ T (y) ! x = y)Observe que es exactamente la conjunción de los dos enunciados anteriores y que tambiénse puede escribir así: 9x (T (x) ^ 8y (T (y) ! x = y)).4. Hay al menos dos T ...se simboliza: 9x9y (T (x) ^ T (y) ! x = y)Esto es, hay dos cosas diferentes con la propiedad T .5. Hay a lo más dos T ...se simboliza: 8x8y8z ((T (x) ^ T (y) ^ T (z)) ! (x = y _ x = z _ y = z))Observe que lo que dice el enunciado es que si hay tres cosas que tiene la propiedad Tentonces dos de ellas deben ser iguales, porque máximo hay dos.Ejercicios: En cada caso simbolizar cada una de los enunciados utilizando un universopreviamente …jado.1. Todos los pájaros son bípedos.2. Algunas plantas no dan frutos.3. Hay estudiantes de ingeniería que son apasionados por las matemáticas.4. Todos los matemáticos son buenos lectores.5. Todos son amigos de Juan.6. Todos son amigos de Pedro.7. Todas las águilas vuelan.38
8. Juan es hermano de Pedro y de María.9. Todos son hermanos de Pedro y de María.10. Existe al menos un hermano de Pedro y de María.11. Todos son hermanos de Juan y de Roberto.12. Todo amigo de Juan y de Pedro es amigo de todo el mundo.13. Todo lo que me gusta es inmoral ó ilegal ó engorda.14. Todo político honesto de…ende sus ideales.15. Todo el mundo quiere a alguien, pero nadie quiere a todo el mundo.16. Juan puede engañar a alguna gente algunos días y puede engañar a toda la gentealgunos días, pero no puede engañar a toda la gente todos los días.5.1. Negación de los cuanti…cadoresSea un fórmula en el lenguaje de la L.P.O. Las negaciones de los cuanti…cadores estándadas por las siguientes dos reglas (8x) es equivalente a 9x ( ) (9x) es equivalente a 8x ( )La negación de un enunciado universal se obtiene cambiando el cuanti…cador universal porel existencial y negando la fórmula que le sucede. Recíprocamente, un enunciado existencialse niega cambiando el cuanti…cador existencial por el universal y negando la fórmula que lesucede.Ejemplos:1. La negación del enunciado: todos los …lósofos son geniales, es el enunciado No todos los…lósofos son geniales o equivalentemente existe al menos un …lósofo que no es genial.Así, si tomamos como universo el conjunto de seres humanos y hacemosF (x) : x es …lósofo y G(x) : x es genial, tendremos que el enunciado No todos los…lósofos son geniales se simbolizael cual es equivalente al enunciado 8x (F (x) ! G(x))9x ( (F (x) ! G(x)))que por lógica proposicional sabemos que es equivalente a9x(F (x)^ G(x))cuya traducción es hay …lósofos que no son geniales.39
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