Notas para el Curso de LÃ³gica y Conjuntos - Universidad del Cauca

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6. Argumentos con predicadosPara determinar la validez o no de argumentos en el lenguaje de la L.P.O. se usan denuevo las reglas de inferencia de la lógica proposicional y se anexan las siguientes cuatroreglas:Instanciación universal (IU)8xP (x)P (a)donde a representa un elemento del universo en el que x toma valores.Lo que dice esta regla es que de una propiedad universal se pueden deducir casos particulares.Es decir, si es cierto que la propiedad P se satisface para cada elemento del universo,entonces es cierto que se satisface para el elemento a.Generalización universal (GU)P (y)8xP (x)valores.donde y es cualquier elemento no especi…cado del universo en el que x tomaSi y es un elemento cualquiera (sin especi…car) del universo que satisface la propiedad Pentonces toodos lo elementos del universo satisfacen la propiedad P .Instanciación existencial (IE)9xP (x)P (a)donde a un elemento particular del universo que satisface el predicado P .Si se sabe que hay un elemento en el universo que satisface la propiedad P y si se sabeque dicho elemento es a entonces se puede deducir que a satisface la propiedad P .Generalización existencial (GE)P (a)9xP (x)donde a es cualquier elemento del universo que satisface el predicado PSi es cierto que en particular a satisface la propiedad P entonces se puede deducir quehay al menos un elemento del universo que satisface la propiedad P .Utilizando estos principios se pueden validar algunos razonamientos. Veamos.Ejemplos42
1. Simbolicemos el siguiente argumento y construyamos una prueba formal de la validezdel mismoTodos los hombres son mortalesSócrates es hombrePor lo tanto, Sócrates es mortal.Recordemos que si tomamos como universo el conjunto de los seres vivos, los predicadosH(x) : x es hombre, M(x) : x es mortal y la constante s que representa a Sócrates, elrazonamiento quedará:8x(H(x) ! M(x))H(s)M(s)La deducción es la siguienteP 1 : 8x(H(x) ! M(x))P 2 : H(s)P 3 : H(s) ! M(s) (IU: P 1 )C : M(s) (MPP: P 2 ; P 3 )2. Construya una prueba formal de la validez del siguiente argumento8x(P (x) ! Q(x))8x(Q(x) ! R(x))8x(P (x) ! R(x))Demostración:P 1 : 8x(P (x) ! Q(x))P 2 : 8x(Q(x) ! R(x))P 3 : P (a) ! Q(a) (IU: P 1 )P 4 : Q(a) ! R(a) (IU: P 2 )P 5 : P (a) ! R(a) (SH: P 3 ; P 4 )C : 8x(P (x) ! R(x)) (GU: P 5 )3. Simbolice y construya una prueba formal de la validez del siguiente argumentoTodos los políticos son deshonestosAlgunos académicos son políticosPor lo tanto, algunos académicos son deshonestosSi tomamos como universo el conjunto de los seres humanos y los predicadosP (x) : x es político, D(x) : x es deshonesto y A(x) : x es académico, el razonamientoquedará:P 1 : 8x(P (x) ! D(x))P 2 : 9x(A(x) ^ P (x))C : 9x(A(x) ^ D(x))43
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