Notas para el Curso de Lógica y Conjuntos - Universidad del Cauca

M(x; y) : x es el padre de yG(x; y; z) : x < y < zH (z; x; w) : z es hijo de x y de wPara estos casos tenemos que S(2; 3) es verdadera pues 2 + 3 efectivamente es 5, S(2; 2)es falsa, pues 2 + 2 6= 5, G(1; 7; 20) es verdadera, pues 1 < 7 < 20, mientras que G(2; 1; 7) esfalsa pues 2 1.Para los predicados considerados en los ejemplos anteriores, también podemos construirenunciados como los que siguen, y para los cuales también podemos decidir si son verdaderoso falsos:Ningún ser humano es extraterrestre.Todos los perros son mamíferos.No todos los seres humanos tienen un hijo.Algún animal es mamífero.Algún animal no es mamífero.Este tipo de enunciados serán de interés en lo que sigue.4. Los cuanti…cadoresEn esta sección nos ocuparemos de enunciados en los que intervengan expresiones deltipo para cada, para todo, para cualquier, algún, hay algún, existe un y similares.Consideremos el enunciado todos los hombres son mortales. Podemos decir de él que esverdadero, pues si se toma como universo el conjunto de los seres humanos, lo que se estáexpresando es que cuando en el predicado P (x) : x es mortal, la variable x se sustituye porcada ser humano, el enunciado resultante, en cada caso, es verdadero. Su simbolización enel lenguaje de la L.P.O. es 8x (P (x)).El enunciado, algún animal es mamífero, también es verdadero, pues si se toma el universode variación como el conjunto de los animales, se expresa que cuando en el predicado M(x 1 ),la variable x 1 se sustituye por algún caso particular del universo, por ejemplo un perro, seobtiene un enunciado verdadero. Su simbolización en el lenguaje de la L.P.O. es 9x 1 M(x 1 ).4.1. El cuanti…cador universalFijemos un Universo o Dominio de variación y enunciemos predicados sobre sus elementos.Para dar cuenta de las proposiciones que contengan frases que establezcan propiedadessobre todos los elementos del universo usamos el símbolo 8, que se lee para todo, para cada,para cualquier(a) u otra asignación equivalente a estas.Ejemplos34