Notas para el Curso de Lógica y Conjuntos - Universidad del Cauca

Notas para el Curso de Lógica y ConjuntosLuz Victoria De La PavaLuis Recalde1. La Lógica no Formalizada1.1. IntroducciónAunque los seres humanos, en la mayoría de los casos, actuamos de manera automática,es claro que no podemos sobrevivir sin re‡exión alguna. Esto se debe a que nuestras vidasno se mantienen indiferentes ante el corrosivo tiempo. Si bien somos animales de costumbre,estamos sometidos a imprevistos que nos exigen tomar decisiones no sólo de tipo individual,sino en relación con los demás. En la mayoría de ocasiones debemos intercambiar con losotros para solucionar con‡ictos o argumentar en favor de una causa que nos interese. Estono siempre es fácil; en general se hace necesario argumentar en favor de nuestra posición ohacer ver a los otros la idoneidad de nuestras propuestas.El vehículo por medio del cual comunicamos nuestros puntos de vista es el lenguaje; lohacemos a través de un discurso cuyos elementos básicos son los enunciados.Hay enunciados cuya veracidad o falsedad es fácilmente veri…cable. Entre algunos de ellostenemos: La capital de Francia es París, la selección de Italia quedó campeona de la Eurocopa2004, Alemania fue derrotada en la segunda guerra mundial. Hay enunciados que aceptamosa pesar de no tener una veri…cación directa, porque con…amos en la autoridad de la historiao porque existe un razonamiento que lo sustenta, como cuando expresamos: la tierra giraalrededor del sol, Homero escribió la Iliada, la suma de los ángulos de un triángulo es 180grados, la suma de dos números pares es un número par. En cambio, hay enunciados a loscuales no tiene sentido asignarles un carácter de verdad o falsedad, como sucede con laspasiones, deseos o exclamaciones. A este género pertenecen: ¡ojalá América quede campeón!,me gusta el chocolate amargo, hace mucho frío.De los tres tipos de enunciados nos interesan los del segundo tipo. Es decir, aquelloscuya veracidad o falsedad no podemos determinar de manera directa, sino que exigen laexistencia de otros enunciados que le sirvan de fundamento. Son enunciados que se debendemostrar a través de un proceso argumentativo. Sabemos que no necesariamente los procesosargumentativos son expeditos y que en muchos casos debemos cambiarlos de acuerdo a nuevosdatos. Recordemos, por ejemplo, que en la antigüedad se creía en la teoría geocéntrica, segúnla cual era el sol quien giraba alrededor de la inmóvil tierra. De hecho el lector puede detenersea pensar un poco en este hecho y concientizarse de las di…cultades para refutarlo, dado quela evidencia sensorial parece mostrarnos lo contrario.De esta forma, existen enunciados que en principio se consideraban evidentes hasta querevisiones críticas nos revelan lo contrario. Muy similar a lo que ocurre con las llamadasilusiones ópticas en las que la primera información sensorial nos puede llevar a malas interpretaciones.Finalicemos este apartado insistiendo en aquellos enunciados de los que nos ocuparemosen este curso, y que son determinantes en las investigaciones cientí…cas, históricas, jurídicas y1

en cualquier tipo de conocimiento sistemático o en muchas de nuestras prácticas cotidianas.Se trata de aquellos enunciados que para probarlos debemos apoyarnos en otros enunciadosconcatenados a través de diversos elementos de juicio. Este es precisamente el objetivo generalde la lógica.¿Qué es entonces la Lógica? Cada uno de nosotros tiene ideas sobre la lógica y su uso,incluso sin haber abordado estudios formales sobre el tema. Expresiones como eso no eslógico, lógicamente, póngale lógica al asunto, evidencian la presencia de una lógica inmersaen lo cotidiano y que hace parte de nuestro diario acontecer. En palabras de EstanislaoZuleta 1 :La lógica no es una alternativa por la que podamos optar; no podemos decirsi vamos a emplearla o no. Resulta inevitable y está presente en cada frase quepronunciamos ya que continuamente estamos enunciando proposiciones lógicas.Cuando decimos por ejemplo que algo es necesario -que una cosa depende deotra, que un evento es la causa de otro- cuando indicamos una contradicción ouna imposibilidad, una implicación o una dependencia, estamos haciendo lógica,aunque no seamos conscientes de ello. La lógica siempre se supone de antemano.1.2. Concepto de lógicaNo es fácil precisar una de…nición absoluta y universal sobre el concepto de lógica. Etimológicamente,la palabra lógica proviene del vocablo griego logos. El logos, que se puedetraducir como razón, pensamiento o ciencia, sintetiza la experiencia del pensar …losó…co. Esel instrumento por medio del cual el hombre produce pensamiento re‡exivo. La re‡exión notiene su asidero en la información inmediata de los sentidos (producto de una experienciacomún y consuetudinaria), sino que proviene del compromiso con el pensamiento trascendente.En este sentido la lógica sería una ciencia o tratado del pensamiento humano.Sin embargo, la anterior es una de…nición demasiado general de la lógica y no nos proporcionadatos sobre las especi…cidades de la disciplina. Además la lógica, como productohistórico, ha evolucionado en cuanto a sus métodos, procedimientos y contenidos. A lo largode los siglos, se han producido cambios y ampliaciones por parte de un cúmulo de pensadoresde diferentes latitudes.Es de aceptación general que la lógica, en el sentido que hoy la conocemos, se inicia conAristóteles. Durante más de veinte siglos la lógica aristótelica no sufrió cambios sustancialesal extremo de ser presentada por el …lósofo alemán Enmanuel Kant, en su Crítica de laRazón Pura, como una ciencia perfecta. Los cambios más signi…cativos se dieron a …nalesdel siglo XIX y a principios del siglo XX, principalmente a partir de las investigacionesdel norteamericano Charles Sanders Pierce, del británico George Boole, del alemán GottlobFrege y del inglés Bertrand Russell.Para que el lector tenga una idea de los cambios de perspectiva, a continuación, se presentanalgunas de…niciones que se han dado de la lógica.1 ZULETA, Estanislao. Lógica y Crítica, Editorial Universidad del Valle, Cali, 1996. pp. 16-17.2

La lógica es la ciencia de la demostración, pues sólo se preocupa de formular reglaspara alcanzar verdades a través de la demostración. (Aristóteles)La lógica o arte de razonar es la parte de la ciencia que enseña el método para alcanzarla verdad. (San Agustín)La lógica es la ciencia de las leyes necesarias del entendimiento y la razón. (Kant)La lógica es la ciencia de la idea pura, de la idea en el elemento abstracto del pensamiento.(Hegel)La lógica es la ciencia de las aspiraciones intelectuales que sirven para la estimaciónde la prueba. (J. S. Mill)Hemos llegado al punto en el cual es necesario plantear la concepción de lógica que nosinteresa. En primer lugar, parece indiscutible la relación entre lógica y pensamiento humano.Pero no es de incumbencia de la lógica formal todos los aspectos y leyes del pensamiento. Porejemplo, escapan a su jurisprudencia los pensamientos de ensoñación, elucubración o deseo.Algunos de los aspectos del pensamiento son tratados por la psicología y el materialismodialéctico.A la psicología le interesa la manera como se produce el pensamiento en la mente y lascausas que lo hacen funcionar. Su objetivo es desentrañar las condiciones de funcionamientonormal, así como las trabas, complejos o neurosis en los individuos.Al materialismo dialéctico le interesa la relación entre el pensamiento y la realidad materialy social.De acuerdo a los intereses de este curso, el objetivo central de la lógica es el concepto deargumento. La lógica tiene por objeto el estudio de los métodos y principios que permitendistinguir entre los argumentos correctos y los argumentos incorrectos.Cuando …jamos una posición o defendemos una idea, recurrimos a un razonamiento opresentamos evidencia que respalda nuestras opiniones. Este razonamiento o evidencia, presentadacon el propósito de demostrar algo, es un argumento. La cuestión fundamental esdeterminar cuándo un argumento es correcto o no. Es importante señalar que la lógica noofrece un método único, que permita decidir la correctud de cualquier argumento. Pero permiteconstruir sistemas formales diferentes mediante los cuales podemos dar cuenta de lacorrectud de los distintos tipos de argumentos.En general un argumento 2 está formado por un conjunto de una o más proposiciones, laúltima de ellas se denomina conclusión y las anteriores se llaman premisas. Una proposiciónes un enunciado declarativo del cual podemos decidir, sin ambigüedades, su verdad o falsedad,en un contexto especí…co.Antes de continuar, es necesario establecer algunas cuestiones respecto a las proposiciones.En primer lugar, las proposiciones son oraciones, que a diferencia de las preguntas, órdenes y2 Aquí sólo nos referiremos a lo que comúnmente se denomina argumento deductivo. En general, losargumentos se clasi…can en deductivos e inductivos.3

exclamaciones, son verdaderas o falsas. El hecho de que una proposición sea falsa o verdaderano signi…ca que necesariamente conozcamos su asignación. A esta especie pertenecen lasconjeturas; por ejemplo el enunciado: Cali posee 2´ 578.532 habitantes es una proposición; ellaes falsa o verdadera; pero seguramente encontraremos obstáculos insalvables para especi…carla asignación. Tenemos, entonces que toda proposición es una oración, pero existen oracionesque no se las puede catalogar como proposiciones.Intuitivamente, un argumento es un conjunto de premisas, hechos o proposiciones queconducen a una conlusión. Las premisas son las evidencias o razones que nos deben convencerde la veracidad de la conclusión. El argumento es la concatenación de las premisas con laconclusión.1.3. Estructura Lógica de los ArgumentosReiteramos en el hecho de que el interés de la lógica es el estudio de los argumentoscorrectos. Consideremos por ejemplo el siguiente argumento, en el cual la conclusión se haseparado de las dos premisas por medio de una línea horizontal. En él no se requiere más queel signi…cado de términos como todos y es para aceptar que la conclusión se sigue lógicamentede las premisas; es decir, para determinar que el argumento es correcto.Todos los campeones olímpicos consumen esteroidesBen Jhonson es un campeón olímpicoLuego, Ben Jhonson consume esteroidesPodemos asegurar que cualquier argumento que tenga la misma estructura es un argumentocorrecto. Por ejemplo, los argumentos siguientes son correctos por analogía con elargumento anterior:Todos los topólogos tienden a ser algebristasMarino es un topólogoLuego, Marino tiende a ser algebristaTodos los perros tienen cinco patasLucas es un perroLuego, Lucas tiene cinco patasObsérvese que la forma del argumento garantiza la validez del mismo, a pesar del desconocimientoque se pueda tener acerca de los términos empleados en el mismo e independientede que las proposiciones implicadas sean verdaderas o falsas. La validez de un argumentodepende de la estructura del mismo, es decir, de la forma en que se relacionan las oracionesque los componen, y no de su contenido semántico. De tal manera que para decidir la validezde un argumento, no es relevante conocer el signi…cado de lo que se expresa ni la veracidado falsedad de las proposiciones implicadas.El último argumento tiene la misma forma o estructura lógica que el argumento anteriorque se re…ere a los topólogos y algebristas. Dado que el uno es correcto, el otro debe serlo.Sin embargo, en nuestro universo, la conclusión, Lucas tiene cinco patas, es falsa cuando la4

premisa, Lucas es un perro, es verdadera. Según el contexto habitual, la primera premisa esfalsa, por lo tanto se obtiene, bajo esta estructura lógica de argumento, una conclusión falsa.Obsérvese que la falsedad o veracidad de las proposiciones consideradas en el argumento encuestión depende de la realidad o del universo en el que sean enunciadas. Una proposición noes verdadera o falsa en sí misma, sino que depende del contexto. Por ejemplo, la proposiciónla ecuación x 2 + 1 = 0 no tiene solución,es verdadera si consideramos el universo de los números reales, pero es falsa si consideramosel universo de los números complejos.Es conveniente, entonces, que quede por sentado que legislamos la validez o correctudde un argumento por su forma lógica, no por las asignaciones que hagamos a las premisas.El siguiente argumento (que es el mismo que hemos venido usando) es correcto, aunque nosabemos sobre qué se está hablando.Todos los glup son plov.Cariteno es un glup.Luego, Cariteno es un plov.1.4. Relación entre verdad y validezVeamos claramente cuáles son los elementos de un argumento. En primer lugar, es necesarioinsistir en que un argumento no es falso ni verdadero; tales apelativos corresponden alas proposiciones. Se dice de un argumento que es válido o no válido. También decimos quees correcto o incorrecto.Como hemos dicho, a la lógica formal no le interesa el contenido de las proposiciones,sino la manera como están relacionadas. La validez o no de un argumento depende de lainterrelación entre las premisas y la conclusión.La forma de determinar la validez o no de un argumento no es algo sencillo. Para elloes necesario referir la legislación que rige la lógica clásica. Estos principios provienen de lalógica aristotélica y son los tres siguientes:1. Principio de no contradicción.2. Principio del tercero excluído.3. Principio de identidad.El principio del tercero excluído establece que sólo existen dos posibles asignaciones deverdad para las proposiciones: Falso y Verdadero; cualquier otra posibilidad está prohibida.El principio de no contradicción prohibe que una proposición, en un determinado contexto,sea considerada al mismo tiempo como falsa y verdadera.El principio de identidad dice que cada cosa es igual (idéntica) a ella misma.5

En general, para determinar la validez o no de un argumento hay que recurrir al procesodemostrativo, tal como lo mostraremos en los capítulos siguientes. En este capítulo nos interesadesarrollar procesos intuitivos que nos permitan validar algunos argumentos y ademásestablecer algunos procedimientos para determinar la conclusión que se obtendría a partirde unas premisas particulares. Estos aspectos los estudiaremos a partir de algunos ejemplostípicos.Ejemplo 1. En una cueva se encuentran tres cofres, de tal manera que sólo uno de ellos contiene untesoro. Sobre cada cofre hay una inscripción, y hay una y sólo una de esas a…rmacionesque es verdadera.Cofre A Cofre B Cofre CEl tesoro está El tesoro no está El tesoro no estáen este cofre en este cofre en el cofre APara descubrir dónde está el tesoro, la estrategía consiste en darle asignaciones a cadauna de las frases que aparecen en los cofres teniendo en cuenta que una y sólo una de ellases verdadera. Podemos, en extenso, obtener la siguiente tabla:Cofre A Cofre B Cofre C(1) V V V(2) V V F(3) V F V(4) V F F(5) F V V(6) F V F(7) F F V(8) F F FComo sabemos que sólo una de ellas es verdadera, descartamos (1), (2), (3), (5) y (8).Así que nos quedamos con (4), (6) y (7). De otro lado, al examinar las inscripciones de loscofres A y C, observamos que la una es la negación de la otra, así que las dos no puedentener el mismo valor de verdad. Esto descarta (6) y quedan sólo (4) o (7). Sin importar cualde los dos casos se cumple, observamos que en ambos la inscripción del cofre B es falsa. Esosigni…ca que es falsa la frase que aparece en B: El tesoro no está aquí (en B). Por lo tanto,el tesoro está en B.Ejemplo 2: Alonso, Carlos, Rodolfo y William son cuatro artistas creativos de gran talento.Uno de ellos es bailarín, otro pintor, otro cantante y uno de ellos es escritor, aunqueno necesariamente en ese orden. Contamos con los siguientes hechos1. Alonso y Rodolfo estaban en el recital en el que debutó el cantante.2. Carlos y el escritor han encargado sus retratos al pintor.6

3. El escritor, cuya biografía de William fue un éxito, está planeando escribir una biografíade Alonso.4. Alonso nunca ha oído de Rodolfo.¿A qué se dedica cada uno de ellos?Aunque, obviamente, no es el único método de resolver el problema, utlizaremos la estrategiatípica de aplicar la información al siguiente arreglo:AlonsoCarlosRodolfoWilliamBailarín Pintor Cantante EscritorSi utilizamos la primera información podemos ir descartando posibilidades marcando conuna equis (X) los cuadros correspondientes, pues sabemos que el cantante no es ni Alonso niRodolfo.AlonsoCarlosRodolfoWilliamBailarín Pintor Cantante EscritorXXLa información dada en los apartados (2) y (3) nos permite obtener el siguiente arreglo:Bailarín Pintor Cantante EscritorAlonso X XCarlos X XRodolfoXWilliamXDe este arreglo podemos deducir que Rodolfo es el escritor, y obtener el siguiente arreglo:Bailarín Pintor Cantante EscritorAlonso X XCarlos X XRodolfo X X X SíWilliamXDe (2) sabemos que el pintor tiene un retraro del escritor, que es Rodolfo, pero por (4)sabemos que Alonso no conoce a Rodolfo, por lo tanto Alonso no es el pintor y obtenemosla información de…nitiva para llenar el cuadro y resolver el problema, así:7

Bailarín Pintor Cantante EscritorAlonso Sí X X XCarlos X X Sí XRodolfo X X X SíWilliam X Sí X X1.5. Acertijos LógicosA través de un razonamiento válido resuelva los siguientes acertijos lógicos:1. Tres amigas, Rosa, Blanca y Celeste se encuentran en una …esta. En un momento dadoRosa dijo: -¿Se dieron cuenta de que las tres nos pusimos vestidos de color rosa, blancoy celeste?-. -Si - le contestó la que vestía de blanco, - pero ninguna se vistió con uncolor igual al de su nombre- agregó. ¿De que color estaba vestida cada una?2. Tres amigos participaron recientemente del último Torneo antártico de resolución deacertijos. No les fue muy bien porque los tres no pudieron resolver un acertijo porculpa de un inconveniente. Deduzcan cuál fue el acertijo que no resolvió cada uno, quéinconveniente tuvo y en qué posición quedó en el certamen.a) Quien no resolvió el acertijo matemático se quedó dormido y llegó tarde a lacompetenciab) El que rompió sus anteojos no quedó en el octavo puestoc) Cabel quedó décimod) Quien no resolvió el acertijo lógico olvidó su lapicerae) Abel no tuvo problemas en resolver el cazabobosf ) Babel que no fue quien llegó tarde, no quedó sexto3. Hay cinco mujeres de espalda, tres de las cuales tienen ojos azules y dos, ojos negros.El único dato que se tiene es que las que tienen los ojos azules dicen siempre mentiras ylas que tienen los ojos negros dicen siempre la verdad. El objetivo es determinar cuálesson las mujeres de ojos negros y cuáles las de ojos azules con la siguiente informaciónadicional. Se tiene la oportunidad de hacer una única pregunta a tres de las cincomujeres. Suponiendo que las mujeres están en orden se le preguntó a la primera: ¿Dequé color tiene usted los ojos? Ella contestó en un idioma desconocido, así que noera posible conocer su respuesta. Se decide entonces preguntar a la segunda: ¿De quécolor dijo la primera que tenía los ojos? Ella responde: la primera dijo que tenía losojos azules. Como sólo queda una pregunta, se le preguntó a la tercera: ¿De qué colortienen los ojos las dos primeras mujeres? Ella responde: la primera los tiene negros yla segunda los tiene azules.4. Durante una antigua guerra tres prisioneros fueron llevados a un cuarto. En el lugarhabía una gran caja que contenía tres sombreros blancos y dos sombreros negros. Acada prisionero se le vendaron los ojos y le fue puesto en la cabeza uno de los sombreros.8

Los hombres fueron ubicados en …la, uno tras otro, con su rostro hacia la pared. Alprisionero que se encontraba más alejado de la pared le fue quitado el vendaje y se lepermitió mirar los sombreros de los dos prisioneros que se encontraban delante de él.Si deducía el color del sombrero colocado en su cabeza, sería puesto en libertad. Sinembargo, fue incapaz de decirlo. Luego le fue quitado el vendaje al siguiente prisionero,quien podía ver sólo el sombrero del hombre ubicado delante de él. A este prisionerotambién se le dio la misma oportunidad del anterior, pero tampoco pudo deducir elcolor de su sombrero. El hombre restante, dijo a los guardias que el color del sombrerosobre su cabeza era blanco y entonces fue dejado en libertad. ¿Cómo dedujo el colorde su sombrero?5. Alicia en el Bosque del Olvido: Cuando Alicia entró en el Bosque del Olvido noolvidó todo, solamente ciertas cosas. A menudo olvidaba su nombre, y una de las cosasque más disposición tenía a olvidar era el día de la semana. Ahora bien, el León y elUnicornio visitaban frecuentemente el bosque. Los dos eran criaturas extrañas. El Leónmentía los lunes, martes y miércoles y decía la verdad los otros días de la semana. ElUnicornio, por otra parte, mentía los jueves, viernes y sábados, pero decía la verdadlos restantes días de la semana. Un día Alicia se encontró con el León y el Unicornioque descansaban bajo un árbol. Ellos dijeron lo siguiente:León: Ayer fue uno de los días en los que me tocaba mentir.Unicornio: Ayer también fue uno de los días en los que me tocaba mentir.A partir de estos dos enunciados Alicia (que era una chica muy lista) fue capaz dededucir el día de la semana, ¿Qué día era éste?6. Se dice que Immanuel Kant era de costumbres tan regulares que los habitantes deKönigsberg aprovechaban su paso por determinados lugares para poner en hora susrelojes.Una tarde, Kant tuvo la desagradable sorpresa de encontrarse con que el relojde su casa se había parado. era evidente que su criado, que tenía el día libre, sehabía olvidado de darle cuerda. El gran …lósofo no se atrevió a ponerlo en la horaporque su reloj de bolsillo estaba en reparación, y no tenía modo de saber la horaexacta. Le dió cuerda y de inmediato se fue caminando hasta la casa de su amigoSchmidt, un comerciante que vivía a un par de kilómetros de su casa. Al entraren casa de su amigo se …jó en la hora que marcaba un reloj de pared que estabaen el pórtico. Tras pasar algunas horas en casa de Schmidt, Kant se fue de regresoa su casa por el mismo camino por el que había venido. Paseaba, como siempre,con el mismo paso constante y regular que no había cambiado en veinte años. Notenía la menor idea de cuanto había tardado en hacer el camino de regreso, puesSchmidt se había mudado recientemente y Kant no había cronometrado aún eltrayecto. Sin embargo, apenas llegó a su casa, puso el reloj en hora. ¿Cómo pudosaber Kant qué hora era exactamente?7. Un joyero tiene diez diamantes, nueve de ellos son exactamente del mismo peso; eldécimo ligeramente diferente. Todos están revueltos y el problema consite en seleccionar9

el que es diferente y determinar si es más pesado o más liviano que los otros. ¿Cómopuede hacerse esto usando sólo tres veces la balanza?8. El mismo ejercicio anterior con 12 diamantes.9. Alicia, Betty, Carol y Dorotea tienen una sóla de las siguientes profesiones: salvavidas,abogada, piloto o profesora. Cada una viste un traje blanco, amarillo, rosa o azul. Lasalvavidas le ganó a Betty en tenis, y Carol y la piloto frencuentemente juegan cartascon la mujer vestida de rosa y con la de azul. Alicia y la profesora envidian a la mujer deazul, quien no es la abogada porque ésta siempre viste de blanco. ¿Cuál es la ocupacióny el color de vestido de cada una?10. La tripulación de cierto tren consiste del guardafrenos, el fogonero y el ingeniero. Susnombres listados alfabéticamente son: Juan, Robinson y Luis. En el tren, hay tambiéntres pasajeros con los nombres de Juan, Robinson y Luis. Se conocen los siguienteshechos:El señor Robinson vive en Cali.El guardafrenos vive a medio camino entre Cali y Buga.El señor Luis gana exactamente once millones de pesos al año.Luis golpeó una vez al fogonero en el billar.El vecino del guardafrenos, uno de los tres pasajeros mencionados, gana exactamentetres veces más que el guardafrenos.El pasajero que vive en Buga tiene el mismo nombre que el guardafrenos.¿Cuál es el nombre del ingeniero?11. Daniel fue asesinado en una carretera solitaria, dos millas arriba de Palmira, a las tresy media de la mañana, del 17 de marzo del último año. Orlando, Carlos, Saúl, Marcosy Nico fueron arrestados una semana después en Cali y fueron interrogados. Cada unode ellos hizo cuatro declaraciones, tres de las cuales eran verdaderas y sólo una falsa.Una y sólo una de estas cinco personas mató a Daniel. Sus declaraciones fueron:Orlando: Yo estaba en Bogotá cuando Daniel fue asesinado. Yo nunca he matado anadie. Nico es el culpable. Marcos y yo somos amigos.Carlos: Yo no maté a Daniel. Yo nunca he tenido un revólver. Nico me conoce. Yoestaba en Cali la noche del 17 de marzo.Saúl: Carlos mintió cuando dijo que nunca había tenido un revólver. El asesinato secometió el día de San Patricio. Orlando estaba ese día en Bogotá. Uno de nosotros esculpable.Marcos: Yo no maté a Daniel. Nico nunca ha estado en Palmira. Yo nunca antes habíavisto a Orlando. Carlos estaba en Bogotá conmigo la noche del 17 de marzo.Nico: Yo no maté a Daniel. Yo nunca he estado en Palmira. Nunca vi a Carlos antes.Orlando miente cuando a…rma que yo soy culpable.10

¿Quién fue el asesino?12. Los hijos del matemático.Un hombre se encuentra en la calle con un amigo, matemático él, al que no ve desdehace cinco años. Le pregunta cuántos hijos tiene y el matemático, que gusta de losacertijos, le responde:Tengo tres hijos. La suma de sus edades es igual al número de ventanas en el edi…ciode aquí enfrente, y el producto de sus edades es 36.Y el amigo le responde:Necesito algo más de información.A lo que el matemático replica, con una sonrisa:Mi hijo más chico tiene ojos azules.¿Cuáles son las edades de los hijos del matemático?13. Hay tres cajas, una contiene tornillos, otra tuercas y otra clavos. La persona que hapuesto las etiquetas de lo que contiene cada caja se ha equivocado y no ha acertadocon ninguna. Abriendo una sola caja y sacando una sola pieza ¿Cómo se puede ponera cada caja su etiqueta correcta?14. Cinco Casas:Hechos:a) Hay 5 casas, cada una de un color diferente (5 colores).b) En cada casa vive una persona con una nacionalidad determinada. Todos loshabitantes tiene nacionalidad diferente.c) Cada habitante bebe alguna bebida, fuma una cierta marca de cigarillos y tienealguna mascota.d) Ningún dueño de casa tiene la misma mascota ni fuma la misma marca de cigarillosni bebe el mismo tipo de bebida que otro.Detalles:a) El Inglés vive en la casa roja.b) La mascota del Sueco es un perro.c) El Danés bebé té.d) La casa verde es la inmediata de la izquierda de la casa blanca.e) El dueño de la casa verde toma café.f ) La persona que fuma Pall Mall tiene pájaros.g) El dueño de la casa amarilla fuma Dunhill.h) El hombre que vive en la casa del centro toma leche.i) El Noruego vive en la primera casa.j ) La persona que fuma Blend vive junto a la que tiene gatos.k) El hombre que tiene caballos vive junto al hombre que fuma Dunhill.11

l) La persona que fuma Blue Master bebe cerveza.m) El Alemán fuma Prince.n) El Noruego vive junto a la casa azul.ñ) El hombre que fuma Blend tiene un vecino que toma agua.¿Quién tiene como mascota un pez?12

2. La Lógica Proposicional2.1. IntroducciónUna proposición es una oración aseverativa de la cual se puede decir, en un contexto determinado,si es verdadera o falsa. Por ejemplo:1. El conjunto de los números naturales es in…nito.2. 45 + 30 = 483. log 3 27 = 34. El conjunto de los números irracionales es …nito.5. La capital de Francia es París6. Gabriel García Márquez escribió El Amor en los Tiempos del Cólera.7. Ernesto Sábato escribió El Túnel.8. La ecuación 3x 2 2x + 1 = 0 tiene una raíz real.No toda oración es una proposición. Por ejemplo, las siguientes oraciones no son proposiciones:1. Me gusta el chocolate amargo.2. Puede que hoy llueva.3. ¿Qué estudia la topología?4. Juan es un buen hijo.5. Debes estudiar lógica.Ejercicio 1 Explique por qué las oraciones anteriores no son proposiciones. ¿Qué tipo deoración es cada una?Las proposiciones exhibidas como ejemplo al inicio de esta sección se llaman proposicionessimples o atómicas. A partir de las proposiciones atómicas se pueden formar proposicionescompuestas o moleculares. Esto se hace a través de los términos: “no”, “y”, “o”, “si ...entonces ...”y “...si y sólo si...”.El enunciado Homero no escribió la Iliada es la negación del enunciado Homero escribió laIliada, el cual es atómico.El enunciado Zenón descubrió la dialéctica y Aristóteles la lógica se denomina conjuncióny se forma insertando el vocablo “y” entre dos enunciados simples. Vocablos tales comoademás, también, pero, aún, aunque, sin embargo, el punto y coma, entre otros, también seinterpretan como conjunciones.13

Cuando dos proposiciones se combinan insertando el vocablo “o”se consigue una proposicióncompuesta denominada disyunción. Las disyunciones pueden ser de dos tipos: inclusivas yexclusivas. Por ejemplo, respecto al siguiente texto: Se ofrece recompensa a quien entregueun portátil Toshiba con número 871651XN o la información que contiene, quien tenga elcomputador, puede interpretar que devuelve sólo el computador, sin la información, o sólola información que contiene o puede devolver el portátil con su información. En este caso,la disyunción es inclusiva. Pero cuando expresamos, cinco es un número par o cinco es unnúmero impar, pero no ambos, se interpreta que sólo uno de los dos enunciados se cumple yno ambos; este tipo de disyunción es exclusiva.De singular importancia son aquellas proposiciones donde aparece caracterizada la acciónde consecuencia. Por ejemplo, la proposición: si Alex es madre entonces Alex es mujer, lacual podemos pensar como compuesta de las proposiciones: Alex es madre y Alex es mujer,combinadas en la forma “si ... entonces ...”. En este caso hablaremos de una implicación.Las implicaciones juegan un papel fundamental en los desarrollos lógicos, pues es a travésde éstas que se intenta caracterizar el sentido de consecuencia lógica.Otro conectivo de relevancia en lo que nos interesa es el ...si y sólo si... Un ejemplo es laproposición Soy ciudadano colombiano si y sólo si puedo elegir libremente el presidente deColombia.Más adelante veremos algunos ejemplos concretos con proposiciones matemáticas.2.2. SimbolizaciónEn general, los argumentos que se expresan en lenguaje cotidiano, presentan muchas ambigüedades.Las palabras utilizadas tienen diversas connotaciones y las frases pueden recargarsede emociones, deseos o ilusiones. Estas cuestiones, unidas a los giros idiomáticos,en muchas ocasiones hacen difícil establecer signi…cados precisos. Una misma frase puedesigni…car cosas diferentes, dependiendo de si se dice con ironía, placer o alegría. Ésta es unade las causas por las cuales se hace necesario constituir un lenguaje arti…cial con su propiasimbología.Otro de los aspectos que sustenta la necesidad de un lenguaje especial tiene que ver conla facilidad operativa. Nadie discute la potencia del lenguaje algebraico en la solución deecuaciones. Aclaremos este aspecto a partir de un ejemplo. Se nos pide calcular la edad delgran matemático griego Diofanto (275 d. C.) conociendo los siguientes datos de su productivavida que aparecen en su tumba:Esta tumba contiene a Diofanto. !oh gran maravilla! Y la tumba dice conarte la medida de su vida. Dios hizo que fuera niño una sexta parte de su vida.Añadiendo un doceavo, las mejillas tuvieron la primera barba. Le encendió el fuegonupcial después de un séptimo, y en el quinto año después de la boda concebióun hijo. Pero, !ay! niño tardío y desgraciado, en la mitad de la medida de la vidade su padre, lo arrebató la helada tumba. Después de consolar su pena en cuatroaños con esta ciencia del cálculo, llegó al término de su vida. 33 El epita…o original dice:14

Este problema, que se torna difícil de solucionar siguiendo procedimientos retóricos, se vuelvesencillo si acudimos a la maquinaria algebraica. Si se designa por x la edad de Diofanto, elproblema consistirá en solucionar la siguiente ecuación:16 x + 112 x + 1 7 x + 5 + 1 2 x + 4 = xEn esta dirección, presentaremos ahora la lógica proposicional desde una perspectiva simbólicamoderna.2.3. SintaxisEl lenguaje de la lógica proposicional está conformado por los símbolos que aparecen acontinuación:Símbolo Nombre Se lee( paréntesis izquierdo) paréntesis derecho negación no_ disyunción o^ conjunción y! condicional (implicación) si ... entonces ...$ bicondicional si y sólo sip, q, r, ... letras proposicionalesLos símbolos exhibidos en la tabla constituyen el alfabeto con el que trabajaremos. Con estossímbolos formaremos palabras, expresiones, y luego estableceremos algunas reglas que nospermiten decidir cuáles expresiones serán aceptadas como gramaticalmente correctas. Porejemplo, si construimos la palabra qtyaugia con el alfabeto de la lengua española, sabemosque ésta no es una palabra del español. No es gramaticalmente correcta, no es aceptada porla Real Academia de la Lengua Española.Decimos entonces que cualquier yuxtaposición de los símbolos de la lógica proposicional,repetidos o no, es lo que se denomina una palabra del lenguaje proposicional. Al igual que enel idioma español, no todas las palabras construidas así tienen sentido. Por ello es necesarioprecisar algunas reglas sintácticas para obtener las proposiciones.Los cinco símbolos s , _, ^, !, $ se llaman conectivos lógicos. Las fórmulas bien formadasse construyen de acuerdo a las siguientes reglas:"Hic Diophantus habet tumulum, qui tempora vitaeillius mire denotat arte tibi:Egit sextantem juvenis; lanugine malesvestire hinc coepit parse duodecima;septante uxori post haec sociatur et annoformosus quinto nascitur, vice, puer.Heminam aetatis postquam attigit ille paternae,infelix, subita morte peremptus, obit.Quattuor aestates genitor lugere superstes.Cogitur hinc annos illius assequere".15

1. Las proposiciones simples son el tipo de proposición más básico y se denotan con letrasproposicionales: p, q, r, s, ..., o p 1 , p 2 , p 3 , ...2. Si es una proposición, también lo es s .3. Si y son proposiciones, también lo son ( _ ), ( ^ ), ( ! ), ( $ ).4. Sólo se pueden construir proposiciones con alguno de los pasos anteriores.Ejemplos:1. La expresión p q _ ^r) no es una proposición. Observe que no se puede obtener apartir de ninguna fórmula por las reglas 1 3, pues no es una letra proposicional, no esuna negación de otra fórmula y tampoco se obtiene al conectar dos fórmulas por algúnconectivo binario.2. La expresión (s p ! q) sí es una proposición, pues observe que se obtiene de conectarlas fórmulas p y q por el conectivo binario !. Además la expresión p es tambiénuna proposición porque se obtiene negando la fórmula p que es una proposición por seruna letra proposicional.Ejercicio 2 Dar cinco ejemplos de proposiciones construidas a partir de las letrasproposicionales p, q y r.Ejercicio 3 Dar cinco ejemplos de fórmulas o palabras, construidas a partir de lasletras proposicionales p, q y r, que no sean proposiciones.Es conveniente evitar el uso exagerado de paréntesis. Esto se hace, por ejemplo, cuando lanegación no lleva a equívocos y también en cadenas de símbolos, de acuerdo a la siguientejerarquía: _; ^ en un primer nivel; !; $ en un segundo nivel. En este sentido, debemostener en cuenta que el símbolo de negación actúa sobre la proposición más cercana. Deigual manera la conjunción ^ y la disyunción _ afectan sólo a las fórmulas más cercanas.Ejemplos1. s p es una proposición. No se necesita escribir ( p) pues esta expresión resulta recargadasimbólicamente.2. (s p^q) es una proposición. En este caso =s p, = q. En esta expresión se entiendeque la negación actúa sólo sobre la proposición p que es la fórmula más cercana.3. ((s p ^ q) ! r) es una proposición, donde = s p ^ q, = r. Podemos sólo escribir(s p ^ q) ! r. En este caso los paréntesis externos son innecesarios.4. ((s p ^ (q _ r)) ! (s (s q ! r))) es una proposición, en la cual: = (s p ^ (q _ r)), = (s (s q ! r)). La proposición se obtiene de 1 = s p y 2 = (q _ r), cada unade las cuales son proposiciones. A su vez se obtiene de 1 = (s q ! r), y ésta de 2 = s q, y 3 = r.16

5. La expresión p _ ^q no es una proposición, pues no se puede obtener aplicando lasreglas indicadas. Las expresiones s ! (q s) y ($)(q _ p) tampoco son proposiciones.Ejercicio 4 Explique por qué las expresiones del ejemplo 5. no son proposiciones.Usaremos el lenguaje descrito anteriormente para traducir proposiciones del lenguaje naturalal lenguaje de la lógica proposicional. Esto no siempre es fácil. Recordemos que el lenguajesimbólico es muy limitado. Sin embargo, los ejemplos que consideramos aquí son suceptiblesde ser simbolizados.Ejemplo: Simbolizar la siguiente proposiciónSi en Colombia hay pobreza y desigualdad social, hay delincuencia.Para simbolizar la proposición anterior, primero identi…camos las proposiciones simples y lassimbolizamos con letras porposicionales así:p : En Colombia hay pobrezaq : En Colombia hay desigualdad socialr : En Colombia hay delincuenciaObservamos que la proposición a simbolizar es una implicación cuyo antecedente es unaconjunción. Así que la traducción …nal es: p ^ q ! r.Ejemplo: Simbolizar el siguiente argumentoSi Juan tiene 17 años, entonces Juan tiene la misma edad de María. Si Carlos notiene la misma edad de Juan, entonces Carlos no tiene la misma edad de María. Juantiene 17 años y Carlos tiene la misma edad que María. Por lo tanto, Carlos tiene lamisma edad que Juan y Juan tiene la misma edad que María.En primer lugar se identi…can las proposiciones simples así:p : Juan tiene 17 añosq : Juan tiene la misma edad de Maríar : Carlos tiene la misma edad de Juans : Carlos tiene la misma edad de MaríaLuego el argumento queda así:p ! q r ! sp ^ sr ^ qHasta ahora, nos hemos ocupado de simbolizar argumentos y proposiciones sin ocuparnos desu signi…cado. En la siguiente sección dotaremos de una semántica a las proposiciones y nosocuparemos de estudiar la validez de los argumentos en esta lógica.17

2.4. Semántica: Asignaciones de VerdadComo ya hemos dicho antes, la lógica clásica se encuentra regida por el principio del terceroexcluido; esto signi…ca que sólo existen dos asignaciones posibles para las proposiciones:Verdadero (V ) y Falso (F ).Estos valores no representan más que dos opciones y bien pueden reemplazarse por 1 y 0,respectivamente. El hecho de usar sólo dos valores, signi…ca que hemos optado por la llamadalógica bivalente. Otras lógicas de importancia, pero que no serán consideradas aquí son lasllamadas lógicas polivalentes en las cuales se consideran tres o más valores, esto es, que cadaproposición tuviera posibilidad de tomar valores entre 0, 1 y 1, o entre una cantidad …nita2de valores o incluso entre una cantidad in…nita de valores.Una vez …jados los valores V y F se busca asignar un valor de verdad a cualquier proposiciónconociendo los valores de las fórmulas atómicas. Esto que pareciera muy difícil de lograr, esrelativamente simple a través de un proceso recursivo. A partir de la asignación de valoresde verdad a los símbolos proposicionales, incorporamos unas reglas para la negación, ladisyunción, la conjunción, el condicional y el bicondicional, de manera que cada proposicióntenga asignado un valor de verdad. Veamos:Sean y proposiciones. Denotamos por v () el valor de verdad de . V si v () = F1. v (s ) =F si v () = V V si v () = V y v () = V2. v ( ^ ) =F en otro caso F si v () = F y v () = F3. v ( _ ) =V en otro caso F si v () = V y v () = F4. v ( ! ) =V en otro caso V si v () = v ()5. v ( $ ) =F en otro casoNote que la de…nición es en efecto recursiva, por cuanto el valor de verdad de cada fórmuladepende del valor de verdad de las proposiciones que la componen.Para el caso de la negación, observe que se intrepreta a partir del valor de verdadde . Así si es verdadera, es falsa y si es falsa entonces es verdadera.Para las otras proposiciones que involucran un conectivo binario, es decir, para cualquierproposición donde y son proposiciones y es cualquier conectivo binario (^; _; !; $),el valor de verdad de depende de los valores de verdad de y . Así,Para la conjunción se tiene que la proposición ^ es verdadera sólo si y sonverdaderas.18

Para la disyunción se tiene que la proposición _ es falsa sólo cuando y sonfalsas.La implicación ! es falsa sólo cuando es verdadera y es falsa.El bicondicional $ es verdadero sólo cuando tanto como tienen el mismo valorde verdad.En muchas ocasiones se utilizan las tablas de verdad como herramientas que nos permitenvisualizar y memorizar las asignaciones para una proposición de una manera sencilla, aunqueen ocasiones dispendiosa. A continuación presentamos algunas de estas tablas.2.4.1. La NegaciónSi es falsa, s es verdadera. Si es verdadera entonces s es falsa. La tabla de verdadqueda: s V FF V2.4.2. La Conjunción ^ es verdadera si y sólo si y son, ambas, verdaderas. La tabla de verdad de ^ está dada por: ^ V V VV F FF V FF F F2.4.3. La Disyunción _ es verdadera si y sólo si es verdadera o es verdadera. Es equivalente también decirque _ es falsa si y sólo si tanto como son falsas. La tabla de verdad de _ estádada por: _ V V VV F VF V VF F FLa tabla anterior corresponde a la disyunción inclusiva. Observe que basta con que al menosuna de o sea verdadera para que _ sea verdadera.El conectivo de disyunción exclusiva se simboliza así Y. Este conectivo no se incluyó en latabla de símbolos por cuanto se puede expresar en términos de los conectivos , _ y ^. Laidea intuitiva de la expresión Y es que alguna de las dos, o , sean verdaderas pero noambas. Así Y abrevia ( _ ) ^ ( ^ ).19

2.4.4. La ImplicaciónDe las reglas anteriores, ! es falsa sólo cuando es verdadera y falsa. Su tabla deverdad está dada por: ! V V VV F FF V VF F VLa proposición ! , ( implica ), se conoce como proposición condicional; se llamaantecedente y consecuente.Decir que implica , es equivalente a decir que es condición su…ciente para y a su vez equivalente a decir que es condición necesaria para .También podemos decir que es la hipótesis y es la conclusión o que de se sigue .Por ejemplo, en el lenguaje natural, la expresión Si Mildred es madre entonces Mildred esmujer se puede expresar de las siguientes formas:Es su…ciente que Mildred sea madre para que sea mujerEs necesario que Mildred sea mujer para que sea madreSólo si Mildred es mujer entonces Mildred puede ser madre.Mildred es madre, sólo si es mujer.Mildre es mujer, si es madre.No es posible que Mildred sea madre y no sea mujer.Que Mildred sea mujer es condición necesaria para que Mildred sea madre.Que Mildred sea madre es condición su…ciente para que Mildred sea mujer.En este sentido llama la atención el hecho de que la implicación ! es verdadera cuando elantecedente es falso. Esto se puede interpretar diciendo que de una falsedad se puede inferircualquier cosa, sea esta última verdadera o falsa. En este sentido, vale la pena reiterar queestas asignaciones no excluyen cierta arbitrariedad, puesto que se pueden dar ejemplos que noconcuerden con tal valoración 4 . Sin embargo, vale la pena insistir en que, como construccióncultural, estas asignaciones proporcionan una herramienta fundamental en la implementaciónde algunos aspectos teóricos básicos de las matemáticas. En particular, esta interpretaciónde la implicación permite sustentar formalmente, en una demostración matemática, que elconjunto vacío es subconjunto de todo conjunto.4 Recordemos que la lógica proposicional sólo es un modelo para cierto tipo de argumentos, y no tiene quedar cuenta de todas las inferencias posibles.20

Ejercicios1. Dé un ejemplo de dos proposiciones con sentido preciso en un cierto contexto (escogidopor usted). Escoja una de ellas como antecedente y la otra como consecuente, de talforma que el antecedente se interprete como falso y el consecuente como verdadero,con lo cual la implicación es verdadera, pero que en dicho contexto tal interpretaciónpara la implicación resulte absurda.2. Dé un ejemplo de dos proposiciones con sentido preciso en un cierto contexto (escogidopor usted). Escoja una de ellas como antecedente y la otra como consecuente, de talforma que tanto antecedente como el consecuente se interpreten falsos, con lo cual laimplicación es verdadera, pero que en el contexto tal interpretación para la implicaciónresulte absurda.2.4.5. La doble implicación (o bicondicional)La proposición $ es verdadera si y son verdaderas o si y son falsas. Su tablade verdad está dada por: $ V V VV F FF V FF F VObserve que con la ayuda de las tablas de verdad anteriores, si asignamos valores de verdada un conjunto de letras proposicionales, quedan determinados de manera única los valoresde verdad para cualquier fórmula que contenga dicha letras proposicionales.EjemploSea fp; q; r; sg un conjunto de letras proposicionales. Consideremos la siguiente asignaciónde valores para estas letras: v (p) = V; v (q) = F; v (r) = F y v (s) = V . Podemos entoncesdeterminar con precisión los valores de verdad para las fórmulas: = (s p ! r) _ (p ^ s) y = (q^ s s) $ p. Nótese que tanto como dependen de todas o algunas de las letrasproposicionales p; q; r; s. Así, v () = V y v () = F .La proposición ! se llama la recíproca de la proposición ! .Obsérvese que si ! es verdadera, no necesariamente ! lo es. Veamos los siguientesejemplos:1. La proposición Si María es madre entonces María es mujer es verdadera si se aplica acualquier mujer llamada María. Sin embargo, su recíproca, Si María es mujer entoncesMaría es madre es falsa para algunas mujeres.2. La proposición x = 3 ! x 2 = 9 es verdadera; sin embargo, su recíproca x 2 = 9 ! x = 3es falsa.21

La proposición s !s se llama la contrarrecíproca de la proposición ! .La contrarrecíproca de la proposición Si María es madre entonces María es mujer es laproposición Si María no es mujer entonces María no es madre que resulta ser verdadera.La proposición x 2 6= 9 ! x 6= 3 es la contrarrecíproca de la proposición presentada enel anterior ejemplo 2. Observe que esta proposición también es verdadera; más adelantemostraremos que esto se cumple en general, es decir, toda implicación es lógicamente equivalentea su contrarrecíproca.2.5. TautologíasUna proposición es una tautología si es verdadera para cualquier asignación de verdad de lasletras proposiciones que la componen.Ejemplos1. La doble negaciónp s p s (s p) p $ s (s p)V F V VF V F V2. La proposición (p ! q) $ (s p _ q) es una taulología.p q s p s p _ q p ! q (p ! q) $ (s p _ q)V V F V V VV F F F F VF V V V V VF F V V V V3. La proposición s (p ! q) $ p^ s q es una taulología.Si $ es una tautología, decimos que las porposiciones y son lógicamente equivalentes.Es decir, y son indistinguibles desde el punto de vista semántico de la lógica. En estesentido, las proposiciones s (p ! q) y p^ s q son lógicamente equivalentes. Del mismomodo las proposiciones p ! q y s p _ q.Observe que decir que s (p ! q) y p ^ s q son lógicamente equivalentes signi…ca, intuitivamente,que si la implicación p ! q es no se da es porque se da el antecedente p y no se dael consecuente q.4. La contrarrecíprocaNote que las columnas correspondientes a las proposiciones p ! q y s q ! s p son iguales. Esdecir, la proposición (p ! q) $ (s q ! s p) es una tautología y por tanto, las proposicionesp ! q y s q ! s p son lógicamente equivalentes.p q s p s q p ! q s q !s p (p ! q) $ (s q !s p)V V F F V V VV F F V F F VF V V F V V VF F V V V V V22

En general, si y son proposiciones, la implicación ! es lógicamente equivalentea la implicación s ! s . En otras palabras, toda implicación es equivalente a sucontrarrecíproca, ambas proposiciones expresan lo mismo desde el punto de vista de la lógica.Por ejemplo, las siguientes implicaciones son la una la contrarrecíprca de la otra, por lo queson lógicamente equivalentes y por tanto expresan lo mismo:Si hoy es martes o jueves entonces tengo clase de lógica.Si hoy no tengo clase de lógica entonces hoy ni es martes ni es jueves.Ejercicio 5 Demostrar que las siguientes fórmulas son tautologías:1. s (p ! q) $ p^ s q2. (p ! q) $ ((p^ s q) ! (r^ s r)) (reducción al absurdo)3. s (p _ q) $ (s p^ s q) (ley de De Morgan).4. s (p ^ q) $ (s p_ s q) (ley de De Morgan).El uso de las tablas de verdad, para demostrar que una proposición es una tautología, puederesultar bastante dispendioso, especialmente si se tienen muchos símbolos proposicionales.En el caso de 2 símbolos proposicionales se tienen 4 casos a considerar, es decir, 4 posiblesasignaciones de verdad; para 3 símbolos se tienen 8 casos y para 4 símbolos, 16 casos. Engeneral, para n símbolos proposicionales se tienen 2 n casos. Si n es un número pequeño, porejemplo, n = 8, se tiene que 2 n = 256. Note que no es nada práctico construir una tabla deverdad con 256 …las. Sin embargo, para decidir si una proposición es o no una tautología,no es necesario considerar todas las posibles asignaciones; basta con tener en cuenta ciertoscasos. En particular, para demostrar que una proposición no es una tautología es su…cientemostrar una asignación que la haga falsa.Ejemplos1. La proposición, : ((p ! q) ^ r) ! (q ^ r) no es una tautología porque para laasignación v (p) = F , v (q) = F , y v (r) = V , ella es falsa. Ilustremos:p q r (p ! q) ^ r ((p ! q) ^ r) ! (q ^ r)F F V V FEn este caso, basta encontrar una asignación de valores para p; q y r, de las 8 posibles,que haga que la proposición sea falsa. Esto demuestra que no es tautología.2. En este ejemplo, veremos cómo demostrar que una proposición es una tautología sinusar tablas de verdad. Es útil usar el método de reducción al absurdo.23

Para mostrar que la proposición (p ! q) ! (s p _ q) es una tautología, supongamos locontrario, que existe una asignación de valores que la hace falsa.En este caso, de acuerdo a las reglas de asignación expuestas antes, tenemos que, p ! qdebe ser verdadera y s p _ q debe ser falsa. Pero s p _ q es falsa sólo si s p es falsa y qfalsa, es decir, si p es verdadera y q falsa. Esto signi…ca que p ! q debe ser falsa; lo cual nopuede ser, pues p ! q no puede ser verdadera y falsa a la vez 5 . Nos encontramos con unaimposibilidad (un absurdo) que surge de suponer que la proposición en cuestión no es unatautología. Así que (p ! q) ! (s p _ q) no puede ser, en ningún caso, falsa. Esto signi…caque es siempre verdadera, y por tanto es una tautología.La fórmula es consecuencia lógica del conjunto de fórmulas 1 , 2 , ..., n , si ( 1 ^ 2 ^ ::: ^ n ) ! es una tautología.Por ejemplo, la proposición q es consecuencia lógica de las proposiciones p y p ! q(compruébelo).2.6. ContradicciónCuando una proposición es falsa para cualquier asignación de sus letras porposicionales,decimos que es una contradicción o falacia.Ejemplo1. La proposición p ^ s p es una contradicción.p s p p ^ s pV F FF V F2. Es inmediato ver que si una proposición es una tautología, entonces su negación s es una contradición (y viceversa).2.7. Razonamiento e InferenciaUn razonamiento o argumento es una cadena de proposiciones 1 ; 2 ; :::; n , . Es usual lanotación 1 2. nLas proposiciones 1 ; 2 ; :::; n se llaman premisas y la proposición se llama conclusión.Si es consecuencia lógica de 1 ; 2 ; :::; n decimos que el razonamiento es válido. En casocontrario se dice que el razonamiento no es válido.vez.5 Recuerde que por el principio de no contradicción, una proposición no puede ser verdadera y falsa a la24

Ejemplo: Modus Ponendo Ponensp ! qpqEste razonamiento tiene dos premisas: p ! q y p; la conclusión es q. Es un razonamientoválido puesto que ((p ! q) ^ p) ! q es una tautología.El razonamiento,p ! r p rno es válido, puesto que ((p ! r)^ s p) ! s r no es una tautología. Este razonamiento, seconoce como la falacia de la negación del antecedente.Usaremos razonamientos válidos cortos, como los dos anteriores, para determinar la validez deciertos razonamientos más extensos. Es fácil ver que estos razonamientos cortos son válidos.Los llamaremos reglas de inferencia.Ejercicios1. Muestre que la proposición s (p ! q) $ (p^ s q) es una taulología.2. Usted debe recordar la respuesta a las siguientes preguntas:a) ¿Qúe es una tautología?b) ¿Cúando dos proposiciones son lógicamente equivalentes?c) ¿Cuándo decimos que una proposición es una contradicción?3. Muestre que el siguiente razonamiento, conocido como falacia de la a…rmación delconsecuente, no es correctop ! rrpFijamos las siguientes reglas de inferencia para efectos de hacer deducciones y probar lavalidez de argumentos extensos. Para la lógica proposicional es su…ciente la regla de ModusPonens; sin embargo, listaremos algunas otras reglas que usaremos con frecuencia. Entre másreglas tengamos, más sencillo será demostrar la validez de los razonamientos.Regla 1 (PP)(Modus Ponendo Ponens)p ! qpqRegla 2 (TT)(Modus Tollendo Tollens)p ! qs qs p25

Regla 3 (TP)Modus Tollendo Ponensp _ q p _ qs ps qqpRegla 4 (S)Simpli…caciónp ^ q p ^ qp qRegla 5 (DN)Doble negacións (s p)pRegla 6 (A)Ley de Adjunciónp qq pp ^ q q ^ pRegla 7 (HS)Silogismo Hipotéticop ! qq ! rp ! rRegla 8 (DP)Simpli…cación disyuntivap _ ppRegla 9 (De Morgans)s (p ^ q) s (p _ q)s p _ s q s p ^ s qRegla 10 (Leyes conmutativas)p ^ q p _ qq ^ p q _ pEstas son sólo algunas de las reglas más usadas, se pueden acordar o agregar otras. Inclusoalgunas de las que exhibimos, se pueden deducir de las otras.La siguiente regla es útil: si es una contradicciónp _ pIntuitivamente, lo que tenemos es que frente a una disyunción verdadera, si una de suscomponentes es falsa, la otra tiene que ser verdadera.Ejemplo: Demostrar la validez del siguiente razonamiento:Pedro estudia matemáticas o ingeniería.Pedro no estudia matemáticas.Si Pedro estudia ingeniería, añora de por vida las matemáticasPedro añora de por vida las matemáticasEl primer paso es simbolizar las proposiciones atómicas:p: Pedro estudia matemáticasq: Pedro estudia ingenierías: Pedro añora de por vida las matemáticasAsí el razonamiento queda:p _ qs pq ! ss26

Ahora identi…quemos las premisas y la conclusión; usaremos las abreviaciones P i para laspremisas y C para la conclusión, así:P 1 : p _ qP 2 :s pP 3 : q ! sC : sUna manera de validar este resultado es demostrar que:((p _ q)^ s p ^ (q ! s)) ! ses una tautología. Sin embargo, este proceso resulta como ya se ha señalado un poco abstrusodebido a que debemos manejar tres variables y combinar valoraciones. En este caso vamos avalidar el razonamiento descomponiendo en pasos simples para después unirlos.Paso 1P 1 : p _ qP 2 : s pC 1 : qResultado que se obtiene aplicando la regla de inferencia 3, MTP.Paso 2C 1 : qP 3 : q ! sC : sEl cual se obtiene aplicando la regla de inferencia 1, MPP.En general, cada paso no se hace independiente sino que se presenta integrado, escribiendoal lado la justi…cación correspondiente, así:P 1 : p _ qP 2 : s pP 3 : q ! sP 4 : q (TP P 1 ; P 2 )C : s (MPP P 3 ; P 4 )Ejemplo Se nos pide demostrar la validez del siguiente razonamiento:Si aplico las reglas de inferencia y tengo cuidado, entonces gano el exameno me siento bien. Si me siento bien o no tengo cuidado, entonces no aplico lasreglas de inferencia. Aplico las reglas de inferencia. Por lo tanto, gano el examen.27

El primer paso es simbolizar las proposiciones atómicas:p : aplico las reglas de inferenciaq : tengo cuidador : gano el examens : me siento bien.A continuación, identi…camos las premisas y la conclusión:P 1 : (p ^ q) ! (r _ s)P 2 : (s _ s q) ! s pP 3 : pC : rRecordemos que una manera de validar este resultado es demostrar que(((p ^ q) ! (r _ s)) ^ ((s_ s q) !s p) ^ p) ! res una tautología. Sin embargo, el uso de las reglas de inferencia nos conduce más rápido ala conclusión. Vale la pena resaltar también que una tabla de verdad exigiría considerar 16asignaciones posibles, lo cual no es práctico.El razonamiento a validar es el siguiente:P 1 : (p ^ q) ! (r _ s)P 2 : (s _ s q) ! s pP 3 : pC : rUsando las reglas de inferencia se llega a la conclusión a partir de las premisas. Estudie concuidado las justi…caciones de cada paso.P 1 : (p ^ q) ! (r _ s)P 2 : (s_ s q) ! s pP 3 : pP 4 :s (s_ s q) (TT: P 2, P 3 )P 5 :s s ^ q (De Morgan P 4)P 6 : q (Simpli…cación P 5)P 7 : p ^ q (Adjunción P 3, P 6 )P 8 : r _ s (PP: P 1, P 7 )P 9 :s s (Simpli…cación P 5)C : r (TP: P 8,P 9 )Ejemplo Consideremos el siguiente razonamiento y veamos que es válido. El objetivo esmostrar que la conclusión es consecuencia lógica de las premisas. Apliquemos las reglasde inferencia.Si Juan tiene 17 años, entonces Juan tiene la misma edad de María. Si Carlosno tiene la misma edad que Juan, entonces Carlos no tiene la misma edad deMaría. Juán tiene 17 años y Carlos tiene la misma edad que María. Por lo tanto,Carlos tiene la misma edad que Juan y Juan tiene la misma edad que María.28

Simbolizando obtenemos,P 1 : p ! q (Premisa)P 2 :s r ! s s (Premisa)P 3 : p ^ s (Premisa)P 4 : p (Simpli…cación en P 3 )P 5 : q (PP: P 4 y P 1 )P 6 : s (Simpli…cación en P 3 )P 7 : r (TT: P 2 y P 6 )P 8 : r ^ q (Adjunción: P 7 y P 5 )2.8. Para Trabajar1. Pruebe que las reglas de inferencia presentadas son razonamientos válidos.2. Decida si cada uno de los siguientes razonamientos es o no válido.a) Si José es más alto que Pedro, entonces María es más baja que Juana. María noes más baja que Juana. Si José y Luis tienen la misma estatura entonces José esmás alto que Pedro. Por lo tanto José y Luis no tienen la misma estatura.b) Si esta es una sociedad matriarcal, entonces el hermano de la madre es la cabezade familia. Si el hermano de la madre es cabeza de familia entonces el padre notiene ninguna autoridad. Esta es una sociedad matriarcal. Por lo tanto el padreno tiene ninguna autoridad.c) Si Dios quisiera prevenir el mal pero fuera incapaz de hacerlo, no sería todopoderoso;sifuera capaz de prevenir el mal pero no quisiera hacerlo, sería malévolo. El malexiste sólo si Dios es malévolo o incapaz de prevenirlo. Si Dios existe, entonces estodopoderoso y no es malévolo. El mal existe. En consecuencia, Dios no existe.d) Si le pago a la modista, no me quedará dinero. Solamente puedo invitar a minovio en su cumpleaños si tengo dinero. Si no lo invito en su cumpleaños, sesentirá triste. Pero si no le pago a la modista, no me entregará el vestido y sinéste no puedo invitar a mi novio en su cumpleaños. Le pago a la modista o no lepago. Finalmente, mi novio se sentirá triste.e) Si voy al cine entonces me divierto y estoy feliz.No me divierto o no estoy feliz.Si voy al cine me siento descansado.Por tanto, no me siento descansado.f ) Voy a San Andrés o no voy a Cartagena.No voy a San Andrés y no voy a Barranquilla.Si voy a Santa Marta entonces voy a Barranquilla.Si voy a Medellín entonces voy a Cartagena ó voy a Santa Marta.Por tanto, No voy a Medellín.3. En los siguientes ejercicios las premisas están dadas en forma simbólica. Dé una deduccióncompleta de la proposición que se quiere demostrar. Si en algún caso, la conlcusión29

no se puede deducir de las premisas, explique por qué.Demostrar sP 1 :s t _ rP 2 :s s !s rP 3 : tDemostrar s tP 1 :s pP 2 : q_ s rP 3 : q $ pP 4 : t ! rDemostrar s sP 1 :s r ^ tP 2 : s ! rDemostrar qP 1 : s ! p _ qP 2 : sP 3 :s pDemostrar p ^ qP 1 : qP 2 : q !s sP 3 : p _ sDemostrar sP 1 : t ! rP 2 :s rP 3 : t _ s30

3. Lógica de Primer Orden (L.P.O)3.1. IntroducciónEn el capítulo anterior estudiamos aquellos argumentos compuestos de proposiciones. Lalógica proposicional estudia los argumentos dependiendo de las conexiones entre los enunciadosque los componen. Sin embargo, la lógica proposicional no es su…ciente para determinarla validez de ciertos argumentos en los que tiene relevancia la estructura interna de cadaenunciado. Consideremos, por ejemplo, el siguiente argumento:Todo hombre es mortalSócrates es hombreSócrates es mortal(1)Es fácil ver que el argumento (1) es válido. Sin embargo, si usamos la lógica proposicionalpara simbolizarlo, tendremos el siguiente argumentopqrque no es válido, pues si hacemos v (p) = v (q) = V y v (r) = F se muestra que la fórmula(p ^ q) ! r no es una tautología.La lógica proposicional no es su…ciente para simbolizar argumentos que contengan unaestructura del mismo tipo de (1). Note que en dicho argumento hay enunciados que se re…erena un colectivo (todos) y se enuncian propiedades de ese colectivo. Para simbolizar este tipode enunciados se requiere ampliar el lenguaje que se tenía e introducir nuevos símbolos, demanera que cada enunciado se simbolice con mayor exactitud.3.2. Lenguaje de la Lógica de Primer OrdenSímbolo Nombre Se lee( paréntesis izquierdo) paréntesis derecho negación no_ disyunción o^ conjunción y! condicional (implicación) si ... entonces ...$ bicondicional si y sólo si8 cuanti…cador universal para todo, para cada, etc.9 cuanti…cador existencial para algún, existe, hay algún, etc.x; y; z; :::o x 1 ; x 2 ; ::: variablesa; b; c; :::o a 1 ; a 2 ; ::: constantesP; Q; R; :::o P 1 ; P 2 ; ::: predicadosSimbolicemos ahora, con el lenguaje anterior, el argumento (1):31

Paso 1: Fijamos un universo (un conjunto) al cual pertenezcan los elementos de loscuales se va a predicar algo. Para el argumento que nos ocupa podemos pensar en el universode los seres vivos.Paso 2: Simbolizamos las propiedades que aparecen en el argumento, así:H (x) : x es hombreM (x) : x es mortalPaso 3: Simbolizamos los individuos particulares del universo que ocurran en el argumento,así:s : SócratesPaso 4: Simbolizamos el argumento:8x (H (x) ! M (x))H (s)M (s)Note que los símbolos H (x) y M (x) son símbolos de predicados en una variable. Es decir,H y M simbolizan propiedades de un individuo. En el ejemplo anterior están simbolizandola propiedad de ser humano y la de ser mortal, respectivamente.Veamos otros ejemplos de propiedades y sus respectivas simbolizaciones en el lenguajede la L.P.O.1. x es un extraterrestre2. y + 20 = 43. z tiene un hijo4. w es …lósofo5. x 1 es mamífero6. x es mayor que yNinguno de estos enunciados es una proposición puesto que el sujeto sobre el que recae laacción no está especi…cado. No podemos asignarles ninguna valoración. Así, cuando decimosy + 20 = 4, no tiene sentido decir si esta a…rmación es falsa o verdadera, pues dependedel valor que se le asigne a y, en un conjunto particular. Los enuciados indeterminados sesimbolizan utilizando variables para designar los sujetos ausentes y otras letras para denotarde alguna manera lo que se quiere predicar de dichas variables, así:1. E(x) : x es estraterrestre2. Q(y) : y + 20 = 43. H(z) : z tiene un hijo32

4. F (w) : w es …lósofo5. M(x 1 ) : x 1 es mamífero6. R (x; y) : x es mayor que yE(x); Q(y); H(z); F (w); M(x 1 ) y R (x; y) se denominan proposiciones libres, funcionesproposicionales, enunciados predicativos o simplemente predicados. Ellos no son proposiciones,pero se transforman en proposiciones cuando reemplazamos la(s) variable(s) por casosparticulares. Para los predicados anteriores se pueden construir las siguientes proposiciones:1. E(la profesora de lógica)2. Q (6)3. H(García Márquez)4. F (Platón)5. M(Mi loro Tobias)6. R (45; 28)que se leen así:1. La profesora de lógica es extraterrestre.2. 6 + 20 = 43. García Márquez tiene un hijo4. Platón es …lósofo5. Mi loro Tobias es mamífero6. 45 es mayor que 28De acuerdo a lo anterior, y estableciendo para cada enunciado un universo que acordemos,podemos decir que E(la profesora de lógica) es falso, Q(6) es falso, H(García Márquez) esverdadero, F (Platón) es verdadero, M(Mi loro Tobias) es falso y R (45; 28) es verdadero.Es importante que las variables pertenezcan a universos especiales preestablecidos paraque los predicados tengan sentido. Si por ejemplo consideramos Q(Maradona), H(3) oM(vaso), las proposiciones que resultan, carecen de sentido para nosotros.Observe que el predicado R (x; y) relaciona dos variables. Se dice que R es un predicadobinario. Un predicado también puede relacionar tres o más variables. Si un predicado Prelaciona n variables se dice que es n ario. Los siguientes son ejemplos de predicados querelacionan dos o más variables:S(x; y) : x + y = 533

M(x; y) : x es el padre de yG(x; y; z) : x < y < zH (z; x; w) : z es hijo de x y de wPara estos casos tenemos que S(2; 3) es verdadera pues 2 + 3 efectivamente es 5, S(2; 2)es falsa, pues 2 + 2 6= 5, G(1; 7; 20) es verdadera, pues 1 < 7 < 20, mientras que G(2; 1; 7) esfalsa pues 2 1.Para los predicados considerados en los ejemplos anteriores, también podemos construirenunciados como los que siguen, y para los cuales también podemos decidir si son verdaderoso falsos:Ningún ser humano es extraterrestre.Todos los perros son mamíferos.No todos los seres humanos tienen un hijo.Algún animal es mamífero.Algún animal no es mamífero.Este tipo de enunciados serán de interés en lo que sigue.4. Los cuanti…cadoresEn esta sección nos ocuparemos de enunciados en los que intervengan expresiones deltipo para cada, para todo, para cualquier, algún, hay algún, existe un y similares.Consideremos el enunciado todos los hombres son mortales. Podemos decir de él que esverdadero, pues si se toma como universo el conjunto de los seres humanos, lo que se estáexpresando es que cuando en el predicado P (x) : x es mortal, la variable x se sustituye porcada ser humano, el enunciado resultante, en cada caso, es verdadero. Su simbolización enel lenguaje de la L.P.O. es 8x (P (x)).El enunciado, algún animal es mamífero, también es verdadero, pues si se toma el universode variación como el conjunto de los animales, se expresa que cuando en el predicado M(x 1 ),la variable x 1 se sustituye por algún caso particular del universo, por ejemplo un perro, seobtiene un enunciado verdadero. Su simbolización en el lenguaje de la L.P.O. es 9x 1 M(x 1 ).4.1. El cuanti…cador universalFijemos un Universo o Dominio de variación y enunciemos predicados sobre sus elementos.Para dar cuenta de las proposiciones que contengan frases que establezcan propiedadessobre todos los elementos del universo usamos el símbolo 8, que se lee para todo, para cada,para cualquier(a) u otra asignación equivalente a estas.Ejemplos34

Para los siguientes ejemplos …jemos el universo de los números enteros, Z.1. Sea el predicadoLa expresiónP (x) : x es un número par8xP (x)traduce Todo número entero es par. Al sustituir, en el predicado P (x), la variable x porcada elemento del universo, se encuentra que dicho enunciado es falso, pues en ciertoscasos al reemplazar x por algunos números la proposición resultante no es verdadera.Este es el caso de P (3).2. SeaLa expresiónQ(x; y) : x + y = 08x8yQ(x; y)traduce la suma de cualquier par de números enteros da como resultado cero. Si en elpredicado Q(x; y), las variables x y y se sustituyen por números enteros cualesquiera,la suma resultante no da como resultado cero, en todos los casos. Por ejemplo, si x = 2y y = 2 tenemos que Q(2; 2) es verdadera; pero si x = 2 y y = 3, se tiene queQ(2; 3) es falso pues 2 + 3 6= 0. Con lo cual el enunciado 8x8yQ(x; y) es falso en Z.4.2. Cuanti…cador existencialEl cuanti…cador existencial se emplea para dar cuenta de proposiciones que establecenpropiedades sobre uno o algunos de los elementos del universo. Para ello usamos el símbolo9, que se lee existe por lo menos un, existe algún, para algún, hay un u otra asignaciónequivalente.EjemplosPara los siguientes ejemplos …jemos de nuevo el universo de los números enteros, Z.1. Sea el predicadoLa expresiónP (x) : x es un número par.9xP (x)traduce algún número entero es par. Este enunciado es verdadero, pues se cumpleen particular para x = 6. Obsérvese que el predicado P (x) produce proposicionesverdaderas al sustituir la variable x por in…nitos elementos del universo, pero lo queimporta es que al menos para uno de los elementos del universo, se produzca unaproposición verdadera. Esto es su…ciente para decir que el enunciado 9xP (x) es verdaderoen Z.35

2. Sea el predicadoLa expresiónque también podemos escribirQ(x; y) : x + y = 09x9yQ(x; y)9x9y (x + y = 0)traduce existen dos números enteros cuya suma es cero. Por ejemplo, si hacemos x = 3y y = 3, tenemos que Q(3; 3) es verdadero. Y de aquí que el enunciado 9x9yQ(x; y)también es verdadero.Hasta ahora todas las proposiciones con predicados han sido a…rmativas; para el caso delas negativas se usa el signo de negación s de la lógica proposicional. De esta forma, tomandoel predicado P (x) del ejemplo anterior, se tiene que el enunciado 9x(s P (x)) traduce existeun número entero que no es par.Más ejemplos1. Se nos pide simbolizar el enunciado:Nada es perfectoNo es difícil comprobar que es equivalente al enunciado:Todo es imperfectoEn primer lugar, debemos explicitar un universo en el cual el enunciado tenga sentido.Como no tenemos ninguna restricción, podemos tomar como universo el conjunto delas cosas terrenales. Por otro lado la expresión imperfecto es la negación de la expresiónperfecto. De esta manera podemos simbolizar así:y el enunciado quedará:P (x) : x es perfecto8x (s P (x))para el cual se pueden suprimir los paréntesis para obtenerNote que una simbolización equivalente es8x s P (x) 9xP (x)2. Hay cuatro enunciados que aparecen con frecuencia en los argumentos. En el sentidoariatotélico, estos son llamados enunciados categóricos. A continuación los presentamoscon su simbolización respectiva:a) Todo A es B: 8x (A (x) ! B (x))36

) Algún A es B: 9x (A (x) ^ B (x))c) Algún A no es B: 9x (A (x) ^ B (x))d) Ningún A es B: 9x (A (x) ^ B (x)) o 8x (A (x) ! B (x))3. Consideremos como universo el conjunto de los cuerpos celestes. Para los objetos especí…cos,luna, sol y tierra asociamos símbolos de constantes así:l : lunas : solt : tierraAdemás, dados los siguientes predicados:P (x) : x es planetaS (x) : x es satéliteG (x; y) : x gira alrededor de ytenemos las siguientes simbolizaciones:a) La tierra es un planeta: P (t)b) La luna no es un planeta: P (l)c) La tierra gira alrededor del sol: G(t; s)d) Todo planeta es un satélite: 8x(P (x) ! S(x))Al a…rmar que todo planeta es un satélite estamos a…rmando que cualquier objetoque es planeta, es también satélite, es decir, que para todo objeto x, si x es unplaneta entonces x es un satélite.e) Todo planeta gira alrededor del sol: 8x(P (x) ! G(x; s)).Es decir, para todo objeto x, si x es planeta entonces x gira alrededor del sol.f ) Algún planeta gira alrededor de la luna: 9x(P (x) ^ G(x; l)).Es decir, hay un objeto que es un planeta, y gira alrededor de la luna.g) Hay por lo menos un satélite: 9xS(x)h) Ningún planeta es un satélite: 9x(P (x) ^ S(x)) ó 8x(P (x) ! S(x))Lo que se quiere expresar es que no hay objetos que sean al mismo tiempo planetay satélite. En la primera simbolización decimos directamente que no hay objetoscon las dos propiedades consideradas, y en la segunda que todo objeto que seaplaneta no es un satélite que es equivalente a la anterior.i) Ningún objeto celeste gira alrededor de sí mismo: 9x(G(x; x))Señalemos que no es necesario expresar la propiedad de ser objeto celeste, puestoque el universo, el dominio de los objetos que hablamos, es precisamente el conjuntode los objetos celestes. De modo que al decir para todo x estamos diciendopara todo objeto celeste.j ) Alrededor de los satélites no giran objetos celestes: 8x(S(x) ! 9zG(z; x)) ótambién 9x(S(x) ^ 9zG(z; x)).37

k) Hay exactamente un satélite: 9x(S(x) ^ 8y(S(y) ! x t y)):Para decir que x es el único satélite, decimos que x es satélite y cualquier satélitees igual a x.5. Cuanti…cación Numérica:En ocasiones debemos simbolizar enunciados del tipo “hay un único número natural talque ...”o “hay exactamente dos números reles tales que ...”o “hay al menos n números talesque ...”o “hay como máximo n números tal que ...”, entre otros. Veamos:1. Hay al menos un T ...se simboliza: 9x (T (x))2. Hay como máximo un T ...se simboliza: 8x8y (T (x) ^ T (y) ! x = y)Esto es, si hay dos cosas con la misma propiedad, como a lo más hay una, entoncesdeben ser la misma. Observe que esto es compatible con que no exista ninguna cosaque tenga la propiedad T .3. Hay exactamente un T ...se simboliza: 9x (T (x)) ^ 8x8y (T (x) ^ T (y) ! x = y)Observe que es exactamente la conjunción de los dos enunciados anteriores y que tambiénse puede escribir así: 9x (T (x) ^ 8y (T (y) ! x = y)).4. Hay al menos dos T ...se simboliza: 9x9y (T (x) ^ T (y) ! x = y)Esto es, hay dos cosas diferentes con la propiedad T .5. Hay a lo más dos T ...se simboliza: 8x8y8z ((T (x) ^ T (y) ^ T (z)) ! (x = y _ x = z _ y = z))Observe que lo que dice el enunciado es que si hay tres cosas que tiene la propiedad Tentonces dos de ellas deben ser iguales, porque máximo hay dos.Ejercicios: En cada caso simbolizar cada una de los enunciados utilizando un universopreviamente …jado.1. Todos los pájaros son bípedos.2. Algunas plantas no dan frutos.3. Hay estudiantes de ingeniería que son apasionados por las matemáticas.4. Todos los matemáticos son buenos lectores.5. Todos son amigos de Juan.6. Todos son amigos de Pedro.7. Todas las águilas vuelan.38

8. Juan es hermano de Pedro y de María.9. Todos son hermanos de Pedro y de María.10. Existe al menos un hermano de Pedro y de María.11. Todos son hermanos de Juan y de Roberto.12. Todo amigo de Juan y de Pedro es amigo de todo el mundo.13. Todo lo que me gusta es inmoral ó ilegal ó engorda.14. Todo político honesto de…ende sus ideales.15. Todo el mundo quiere a alguien, pero nadie quiere a todo el mundo.16. Juan puede engañar a alguna gente algunos días y puede engañar a toda la gentealgunos días, pero no puede engañar a toda la gente todos los días.5.1. Negación de los cuanti…cadoresSea un fórmula en el lenguaje de la L.P.O. Las negaciones de los cuanti…cadores estándadas por las siguientes dos reglas (8x) es equivalente a 9x ( ) (9x) es equivalente a 8x ( )La negación de un enunciado universal se obtiene cambiando el cuanti…cador universal porel existencial y negando la fórmula que le sucede. Recíprocamente, un enunciado existencialse niega cambiando el cuanti…cador existencial por el universal y negando la fórmula que lesucede.Ejemplos:1. La negación del enunciado: todos los …lósofos son geniales, es el enunciado No todos los…lósofos son geniales o equivalentemente existe al menos un …lósofo que no es genial.Así, si tomamos como universo el conjunto de seres humanos y hacemosF (x) : x es …lósofo y G(x) : x es genial, tendremos que el enunciado No todos los…lósofos son geniales se simbolizael cual es equivalente al enunciado 8x (F (x) ! G(x))9x ( (F (x) ! G(x)))que por lógica proposicional sabemos que es equivalente a9x(F (x)^ G(x))cuya traducción es hay …lósofos que no son geniales.39

2. La negación del enunciado: existen …lósofos geniales pero incoherentes, es el enunciado:todos los …lósofos geniales, no son incoherentes. En símbolos tenemos,F (x) : x es …lósofo e I(x) : x es incoherente, y entonces el enunciado quedaque es equivalente al enunciado 9x(F (x) ^ I(x))8x (F (x) ^ I(x))el cual por lógica proposicional es equivalente aque también se puede escribir como8x ( F (x)_ I(x))8x (F (x) ! I(x))40

Observación: ¿Se pueden intercambiar el cuanti…cador existencial y universal?En general un cuanti…cador universal no se puede conmutar con un cuanti…cadorexistencial, es decir el enunciado:8x9yR(x; y)no es equivalente al enunciado:9y8xR(x; y)Ejemplo: Sea R(z; w) : z es madre de w.Observe que los siguientes dos enunciados no son equivalentes:a) Todo ser humano tiene una madre que se simboliza como 8x9yR(y; x)b) Hay una madre para todo ser humano que se simboliza así 9y8xR(y; x)El enunciado a) es verdadero, pues cada ser humano tiene una madre. Sin embargo, elenunciado b) es falso porque no hay un individuo que sea madre de todos los seres humanos.Por esta razón se tiene que:8x9yR(x; y) = 9y8xR(x; y) donde = se puede leer como "no es equivalente a".Ejercicios1. Simbolizar los siguientes enunciados:a) Ningún hombre es a la vez loco y cuerdo.b) Todo hombre es mortal.c) Ningún número es a la vez par e impar.d) Todo número real es positivo si y sólo si es mayor que cero.e) No todos los números reales son positivos.2. Fijando como universo el conjunto de los seres vivos, simbolizar los predicados:a) x es hombreb) x es mujerc) x es madre de yd) x es padre de y3. Con las simbolizaciones del item anterior, de…nir los predicados:a) x es hijo de yb) x es abuela paterna de yc) x no tiene hijasd) x es hermano de y por parte de padre y madre4. Usando los items anteriores simbolizar el adagio popular A quien Dios no le da hijos,el Diablo le da sobrinos.41

6. Argumentos con predicadosPara determinar la validez o no de argumentos en el lenguaje de la L.P.O. se usan denuevo las reglas de inferencia de la lógica proposicional y se anexan las siguientes cuatroreglas:Instanciación universal (IU)8xP (x)P (a)donde a representa un elemento del universo en el que x toma valores.Lo que dice esta regla es que de una propiedad universal se pueden deducir casos particulares.Es decir, si es cierto que la propiedad P se satisface para cada elemento del universo,entonces es cierto que se satisface para el elemento a.Generalización universal (GU)P (y)8xP (x)valores.donde y es cualquier elemento no especi…cado del universo en el que x tomaSi y es un elemento cualquiera (sin especi…car) del universo que satisface la propiedad Pentonces toodos lo elementos del universo satisfacen la propiedad P .Instanciación existencial (IE)9xP (x)P (a)donde a un elemento particular del universo que satisface el predicado P .Si se sabe que hay un elemento en el universo que satisface la propiedad P y si se sabeque dicho elemento es a entonces se puede deducir que a satisface la propiedad P .Generalización existencial (GE)P (a)9xP (x)donde a es cualquier elemento del universo que satisface el predicado PSi es cierto que en particular a satisface la propiedad P entonces se puede deducir quehay al menos un elemento del universo que satisface la propiedad P .Utilizando estos principios se pueden validar algunos razonamientos. Veamos.Ejemplos42

1. Simbolicemos el siguiente argumento y construyamos una prueba formal de la validezdel mismoTodos los hombres son mortalesSócrates es hombrePor lo tanto, Sócrates es mortal.Recordemos que si tomamos como universo el conjunto de los seres vivos, los predicadosH(x) : x es hombre, M(x) : x es mortal y la constante s que representa a Sócrates, elrazonamiento quedará:8x(H(x) ! M(x))H(s)M(s)La deducción es la siguienteP 1 : 8x(H(x) ! M(x))P 2 : H(s)P 3 : H(s) ! M(s) (IU: P 1 )C : M(s) (MPP: P 2 ; P 3 )2. Construya una prueba formal de la validez del siguiente argumento8x(P (x) ! Q(x))8x(Q(x) ! R(x))8x(P (x) ! R(x))Demostración:P 1 : 8x(P (x) ! Q(x))P 2 : 8x(Q(x) ! R(x))P 3 : P (a) ! Q(a) (IU: P 1 )P 4 : Q(a) ! R(a) (IU: P 2 )P 5 : P (a) ! R(a) (SH: P 3 ; P 4 )C : 8x(P (x) ! R(x)) (GU: P 5 )3. Simbolice y construya una prueba formal de la validez del siguiente argumentoTodos los políticos son deshonestosAlgunos académicos son políticosPor lo tanto, algunos académicos son deshonestosSi tomamos como universo el conjunto de los seres humanos y los predicadosP (x) : x es político, D(x) : x es deshonesto y A(x) : x es académico, el razonamientoquedará:P 1 : 8x(P (x) ! D(x))P 2 : 9x(A(x) ^ P (x))C : 9x(A(x) ^ D(x))43

DemostraciónEjerciciosP 1 : 8x(P (x) ! D(x))P 2 : 9x(A(x) ^ P (x))P 3 : A(a) ^ P (a)P 4 : P (a) ! D(a)P 5 : P (a)P 6 : D(a)P 7 : A(a)C : A(a) ^ D(a)Identi…que las reglas de inferencia que se usaron en la anterior demostración.1. Construya una prueba formal de la validez de los siguientes razonamientos(a) 8x(A(x) ! B(x)) (b) 8x(A(x) ! B(x))9x(C(x) ^ A(x))8x(F (x) ! B(x))9x(C(x) ^ B(x)) 8x(F (x) ! D(x))(c) 8x(G(x) ! H(x)) (d) 9x(J(x) ^ K(x))9x(I(x) ! H(x)) 8x(J(x) ! L(x))9x (I(x) ! G(x)) 9x(L(x) ^ K(x))2. Simbolice los siguientes argumentos y para cada uno decida si es válido o no. En elcaso en que sea válido, construya una prueba formal del mismo.a. Ningún atleta es ratón de biblioteca. Carlos es un ratón de biblioteca. Por lo tanto, Carlosno es un atleta.b. Todos los bailarines son lúdicos. Algunos esgrimistas no son lúdicos. Por lo tanto, algunosesgrimistas no son bailarines.c. Ningún jugador es feliz. Algunos idealistas son felices. Por lo tanto, algunos idealistas noson jugadores.d. Todos los burlones son pícaros. Ningún pícaro es feliz. Por lo tanto, ningún burlón esfeliz.e. Ningún jefe desconsiderado o tirano puede tener éxito. Algunos jefes son desconsiderados.Hay jefes tiranos. Por lo tanto, ningún patrón puede tener éxito.f. Quien vende sus ideales es un pusilánime. Nadie sino aquellos sin criterio son pusilánimes.Por lo tanto, los que venden sus ideales no tienen criterio.g. Todo el que pide, recibe. Simón no recibe. Por lo tanto, Simón no pide.En los Ejercicios 3 y 4 trate de generalizar las reglas que se aplicaron a predicados conuna variable, a predicados con varias variables.44

3. Asuma que la relación ser amigo de es simétrica. Es decir, x es amigo de z si y sólosi z es amigo de x. Simbolice esta relación por el predicado binario A(x; z).Así: A(x; z) : x es amigo de z.Analice la validez del siguiente razonamiento.Todo aquel que aprecie a Jorge escogerá a Pedro para su partido.Pedro no es amigo de nadie que sea amigo de Juan.Luis no escogerá a nadie para su partido que no sea amigo de Carlos.Por tanto, si Carlos es amigo de Juan, entonces Luis no aprecia a Jorge.4. Represente simbólicamente el siguiente razonamiento y determine su validez:El papá de cada ser humano es uno de sus familiares.Patricia no es amiga de nadie que no sea más joven que ella ó que no tenga los ojos claros.Patricia es un ser humano, y el papá de todo ser humano no es más joven que éste.Nadie que tenga los ojos claros es familiar de Patricia.Por tanto, si Roberto es el papá de Patricia , entonces Patricia no es amiga de Roberto.5. Escriba las negaciones de los siguientes enunciados y simbolice tanto la sentencia comosu negación:a) Todas las mascotas de los payaneses son perros ó no son pájaros.b) Existen personas que si alcanzan un cierto conocimiento, creen saberlo todo.c) Para todo ser humano x existe una madre.d) Si un triángulo es isósceles entonces tiene dos lados y dos ángulos iguales.e) Para todo número real x existe un número real y tal que x es igual a ln y.f ) Para todo número real x existe un número real y tal que x es igual a ln y ó lasuma de x con y es distinta de cero.g) El cuadrado de todo número real es mayor o igual a cero.h) Existe un único número real x tal que para cada número real y, se tiene quex + y = y.45