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84 數 學 傳 播 27 卷 2 期 民 92 年 6 月
( 馬 丁 加 德 諾 讀 大 學 時 完 全 未 修 數 學 課 , 或 許 在 挑 起 大 家 欣 賞 、 好 奇 與 討 論 數 學 觀 念
上 來 說 , 比 我 們 213 位 數 學 教 授 作 的 更 多 。)
這 一 本 Gardner 的 專 集 有 一 篇 「Non-Euclidean Geometry」 介 紹 非 歐 幾 何 , 娓 娓 道 來
風 趣 雋 永 , 值 得 初 學 者 參 閱 , 本 文 讓 人 很 快 就 掌 握 非 歐 幾 何 重 點 , 能 有 整 體 概 念 。 歐 幾 里 德 聲 名
狼 藉 的 第 五 假 設 並 不 是 定 理 , 只 是 個 公 設 ; 講 的 囉 哩 囉 嗦 , 其 實 用 下 列 方 式 就 比 較 容 易 接 受 : 平
面 上 過 直 線 外 一 點 , 只 有 一 直 線 平 行 此 直 線 。 多 年 來 不 乏 傑 出 數 學 家 作 了 數 百 種 證 明 , 可 是 這 些
證 明 不 是 與 平 行 公 設 等 價 就 是 用 了 平 行 公 設 。 他 舉 的 例 子 很 有 趣 值 得 參 考 , 結 尾 很 妙 , Gardner
說 , 親 愛 的 讀 者 , 如 果 你 能 證 明 平 行 公 設 , 請 不 要 告 訴 我 。
⊚ 我 很 想 加 上 一 句 「 留 著 自 個 兒 欣 賞 罷 」!
專 集 另 有 一 篇 「 計 程 車 幾 何 」(Taxicab Geometry) 或 「 格 子 點 幾 何 」, 用 圖 形 解 說 非 歐 幾
何 。 明 白 清 楚 淺 顯 易 懂 , 舉 了 很 多 例 子 附 有 格 子 圖 , 在 這 裡 「 三 角 形 兩 邊 之 和 大 於 第 三 邊 」 是 不
成 立 的 。 最 引 人 入 勝 的 是 橢 圓 、 雙 曲 線 、 拋 物 線 的 圖 形 是 那 種 樣 子 , 令 人 不 可 思 議 , 可 又 完 全 合
於 定 義 。 習 於 歐 氏 幾 何 的 學 子 , 在 「 計 程 車 幾 何 」 作 出 三 種 圓 錐 曲 線 的 圖 形 , 雖 然 不 一 定 要 花 很
多 時 間 , 是 要 用 些 腦 筋 的 。
有 趣 的 是 幾 何 學 家 H. S. M. Coxeter 說 : 「 愛 麗 絲 在 漫 遊 記 裡 吃 塊 小 餅 乾 就 可 以 改 變 身
材 , 我 可 不 能 接 受 , 在 邊 長 趨 近 於 無 限 時 , 三 角 形 的 面 積 能 保 持 有 限 」。
⊚ 他 的 想 法 可 以 由 M. C. Escher 的 畫 “Circle Limit III” 掌 握 要 領 。 畫 作 是 雙 曲 平 面 上
歐 氏 模 型 的 嵌 石 裝 飾 , 一 個 圓 內 有 無 數 條 魚 , 從 中 心 往 圓 周 作 重 複 而 愈 來 愈 小 , 在 圓 周 就 成 為 零
了 , 可 是 它 們 永 遠 到 不 了 圓 周 , 這 個 圖 是 圓 而 不 是 球 , 請 參 閱 拙 著 「 數 學 畫 」, 原 載 「 數 播 86」。
P. Halmos
Paul Halmos 15 歲 讀 大 學 , 他 個 子 高 假 裝 年 紀 大 和 大 家 處 的 好 。 本 來 是 讀 化 工 , 覺 得 無
聊 兩 手 弄 的 很 髒 , 就 轉 而 往 數 學 與 哲 學 發 展 。 只 用 了 三 年 拿 到 學 士 , 被 詢 及 那 一 點 使 他 作 了 數
學 家 ? 他 答 的 很 妙 :
我 從 未 想 到 要 走 學 院 的 路 , 只 不 過 這 裡 摸 摸 那 裡 看 看 罷 了 。 讀 碩 士 時 哲 學 被 當 (flunking),
我 還 是 繼 續 選 課 。 研 究 院 第 一 年 我 選 了 Pierce Ketchum 的 複 變 函 數 論 當 時 毫 無 概 念 , 我 不 知
道 甚 麼 是 epsilons (ǫ), 我 覺 得 吹 毛 求 疵 無 聊 , 我 真 的 不 懂 。 那 天 下 午 在 數 學 大 樓 213 教 室 黑
板 前 和 Warren Ambrose 談 話 , 突 然 的 我 懂 epsilons(ǫ) 了 , 也 瞭 解 極 限 是 甚 麼 了 , 教 材 的 點
點 滴 滴 都 清 楚 了 。 我 拿 著 Granville、 Smith 與 Longley 的 微 積 分 課 本 坐 著 讀 , 以 前 覺 得 沒 有
意 義 的 都 變 的 明 白 了 , 我 也 能 證 明 定 理 , 那 個 下 午 我 成 了 數 學 家 。
⊚ 看 到 這 裡 想 必 有 很 多 讀 者 覺 得 很 親 切 , 原 來 Halmos 也 為 極 限 與 epsilons (ǫ) 煩 惱 過 ,
他 居 然 記 得 數 學 大 樓 213 教 室 , 可 見 印 象 是 多 麼 深 刻 。