Koko lehti - Matematiikkalehti Solmu - Helsinki.fi

More documents

Recommendations

Info

6 SolmuPotenssisummatja symmetriset perusfunktiotJorma MerikoskiProfessoriMatematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitosTampereen yliopisto1 ”Helppo ongelmamatematiikan tohtorille”Harrastan pientä pörssipeliä ja siksi luen silloin tällöinKauppalehti Onlinen keskustelupalstaa Sijoittaminenja talous. Siellä, kuten netin keskusteluryhmissä yleensäkin,seilaa kaikenlaista kirjoittajaa eikä asiassa pysyminentai muu tiukkapipoisuus useinkaan haittaa tahtia.Niinpä nimimerkki ”Arvuuttelija” kirjoitti 8.6.2004kello 13.46, että nimimerkki ”Indeksi-Into”on omien sanojensamukaan matematiikan tohtori, joten hän antoitälle seuraavan tehtävän, jonka ”kunnon lukiolainenkinpystyy ratkaisemaan”.Ongelma. OlkoonLaske a 5 + b 5 + c 5 + d 5 .a + b + c + d = 4a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 16a 3 + b 3 + c 3 + d 3 = 64a 4 + b 4 + c 4 + d 4 = 128.Jo kello 14.03 nimimerkki ”Savuporo” vastasi: ”Heh, eipätaida tämä tehtävä tohtorilta onnistua. Tosin ei onnistuminultakaan, ellei tuo viimeinen luku satu olemaantypo.” (Harjoitustehtävä: Miksi Savuporo ajatteliviimeisen luvun olevan väärin?) Tähän Arvuuttelijavastasi kello 14.06, ettei se ole typo. Hän jatkoi: ”Eitätä tarkemmin ajateltuna lukiolainen ratkaise”. Sittennimimerkki ”Mercurius” tuumi kello 14.18, että taisitehtävä pelotella ”tohtorimme” pois.Seuraavan puheenvuoron käytti nimimerkki ”Wiineri”kello 14.56 esittämällä huikean teorian, jonka mukaanArvuuttelija onkin Indeksi-Into, jota on ”ketuttanut etteikukaan usko häntä”! Into on löytänyt ”vanhasta tieteenkuvalehdestä”tämän ongelman, jonka hän siis esittiArvuuttelijana ja ratkaisee piakkoin Intona! KuitenkinWiineri alkoi lopulta itsekin epäillä teoriaansa.Keskustelu jatkui yhtä vauhdikkaasti. Vääriä vastauksiatuli siihen malliin, että kello 16.07 nimimerkki ”Jaaju”arveli Indeksi-Innon lähettelevän eri vastauksia erinimimerkeillä! ”Pakkohan noista on jonkin osua jo oikeaankin.”Kello 16.49 nimimerkki ”Photius” ilmoitti ratkaisseensatehtävän tietokoneella saaden vastaukseksi384, mutta a, b, c ja d ovat ”helvetillisiä, sivun pituisiakompleksilukuja”.
Solmu 7Nimimerkki ”Merck” ärähti 9.6. kello 9.56, että ylläpidonpitäisi poistaa tällaiset turhat ”hiekkalaatikkotason”keskustelut, joilla ei ole mitään tekemistä sijoittamisentai talouden kanssa. Wiineri vastasi kello 13.37,että tämä keskustelu kuuluu tälle palstalle ja nimenomaanehkäisee talouteen kuulumattomia keskustelujapitämällä Indeksi-Innon poissa maisemista!Kun Arvuuttelija 9.6. kello 18.50 esitti oman ratkaisunsa,niin siitäkös syntyi rähinä. Nimimerkki ”FreyTag”sanoi kello 20.05 suorat sanat: ”En tajua yhtään, mistäte puhutte. Yksikään teistä ei voi olla missään vastuullisessatai millään lailla merkittävästi johtavassa asemassa.”Kello 21.44 nimimerkki ”Kari Ilmari” löi lisäälöylyä: ”Oletko jotenkin tärähtänyt, kun pädet jollakinongelmamatematiikan tehtävällä. . . Esität sen sittentäällä kuin seinähullu. . . Jutullasi et ole yhtään pätevämpipörssikeskustelussa. . . Itse yritin muun muassaseuraavalla tavalla, joka ei kuitenkaan johtanut. . . ”Ehkä se, että Arvuuttelijan ratkaisussa ei tarvittu lukujaa, b, c ja d, sai Photiuksen jatkamaan töitä, ja 10.6.kello 10.25 hän ratkaisi tehtävän juuri siten kuin kokenutmatemaatikko tekee. Palaamme tähän ratkaisuunmyöhemmin. Sekä Arvuuttelijan että Photiuksen ratkaisuihinriittävät periaatteessa lukiotiedot, mutta sillointäytyy olettaa tuollaisten lukujen a, b, c ja d olemassaolo,mitä ei voida todistaa lukiotiedoilla.2 Johdatteleva esimerkkiSymmetrisen funktion arvo ei muutu vaihdettaessamuuttujien järjestystä. Toisen asteen yhtälön ratkaisujentiettyjä symmetrisiä funktioita voidaan laskea ratkaisemattayhtälöä. Tällaiset asiat kuuluivat muutamavuosikymmen sitten lukion pitkään oppimäärään.Tehtävä (ks. [9]). Laskettava symmetrisen funktionx 3 1 + x 3 2 arvo, kun x 1 ja x 2 ovat yhtälön x 2 − 4x + 7 = 0ratkaisut.Ratkaisemalla yhtälön joutuisimme hankaliin laskuihinvieläpä kompleksiluvuilla, joten käsittelemme tehtävänratkaisematta yhtälöä. Ratkaisujen summan ja tulonominaisuuksien perusteella x 1 + x 2 = 4 ja x 1 x 2 = 7.Koskaon(x 1 + x 2 ) 3 = x 3 1 + 3x 2 1x 2 + 3x 1 x 2 2 + x 3 2= x 3 1 + x 3 2 + 3x 1 x 2 (x 1 + x 2 ),x 3 1 + x 3 2 = (x 1 + x 2 ) 3 − 3x 1 x 2 (x 1 + x 2 )= 4 3 − 3 · 7 · 4 = −20.3 Symmetriset perusfunktiotMäärittelemme muuttujien x 1 , x 2 , . . . , x n symmetrisetperusfunktiot (engl. elementary symmetric functions)s 1 , s 2 , . . . seuraavasti:s 1 (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x 1 + x 2 + · · · + x n ,s 2 (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x 1 x 2 + x 1 x 3 + · · · + x n−1 x n ,s 3 (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + · · ·. . .s n (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x 1 x 2 · · · x n ,+ x n−2 x n−1 x n ,s n+1 (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = s n+2 (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = · · · = 0.Siis s k (x 1 , x 2 , . . . , x n ) on, kun 1 ≤ k ≤ n, kaikkien niidenluvuista x 1 , x 2 , . . . , x n saatujen tulojen summa,joissa on k tekijää ja jokaisella tekijällä on eri indeksi.Reaali- tai kompleksikertoimisella polynomiyhtälölläx n + a 1 x n−1 + · · · + a n−1 x + a n = 0on täsmälleen n ratkaisua, kun kutakin ratkaisua otetaansen kertaluvun osoittama määrä. Olkoot ne x 1 ,x 2 , . . . , x n , jolloin voimme kirjoittaa yhtälön muotoon(x − x 1 )(x − x 2 ) · · · (x − x n ) = 0.Suorittamalla kertolaskut vasemmalla puolella saammeyhteyden yhtälön kerrointen a k ja ratkaisujen symmetristenperusfunktioiden s k välillea 1 = −s 1 (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = −(x 1 + x 2 + · · · + x n ),a 2 = s 2 (x 1 , x 2 , . . . , x n ),. . .a k = (−1) k s k (x 1 , x 2 , . . . , x n ),. . .a n = (−1) n s n (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = (−1) n x 1 x 2 · · · x n .Siis luvut x 1 , x 2 , . . . , x n ovat yhtälön(1) x n − s 1 x n−1 + s 2 x n−2 + · · · + (−1) n s n = 0ratkaisut, kun kirjoitamme lyhyesti s k =s k (x 1 , x 2 , . . . , x n ).4 PotenssisummatMäärittelemme muuttujien x 1 , x 2 , . . . , x n potenssisummatp 0 , p 1 , p 2 , . . . seuraavasti:p 0 (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = n,p 1 (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x 1 + x 2 + · · · + x n ,p 2 (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x 2 1 + x 2 2 + · · · + x 2 n,. . .p k (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x k 1 + x k 2 + · · · + x k n,. . .
Page 1 and 2: Matematiikkalehti3/2004http://solmu
Page 3 and 4: Solmu 3SisällysPääkirjoitus: LUM
Page 5: Solmu 5SammakoitaSolmussa on aloite
Page 9 and 10: Solmu 9KirjallisuuttaPotenssisummia
Page 11 and 12: Solmu 11a b X Y Z3 3 4 6 43 4 8 12
Page 13 and 14: Solmu 13Keskiviikkoaamuna leirillä
Page 15 and 16: Solmu 15c) a b + 1 Sovella potenssi
Page 17 and 18: Solmu 17yritetään jatkuvasti vaku
Page 19 and 20: Solmu 19Polynomit, interpolaatio ja
Page 21 and 22: Solmu 211. Voidaanko löytää yksi
Page 23 and 24: Solmu 23Tehtävä 1. Johda yllä ol
Page 25 and 26: Solmu 251) Muodostetaan n-asteiset
Page 27 and 28: Solmu 27Loppumietteitä, yhteenveto
Page 29 and 30: Solmu 29Ratkaisu. Olkoot ympyröide
Page 31 and 32: Solmu 31Lisää laskuoppiaMatti Sep
Page 33: Solmu 33TV1:n kulttuuriohjelma Voim

Koko lehti - Matematiikkalehti Solmu - Helsinki.fi

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?