Koko lehti - Matematiikkalehti Solmu - Helsinki.fi

Matematiikkalehti3/2004http://solmu.math.helsinki.fi/

2 SolmuSolmu 3/2004ISSN 1458-8048 (Verkkolehti)ISSN 1459-0395 (Painettu)Matematiikan ja tilastotieteen laitosPL 68 (Gustaf Hällströmin katu 2b)00014 Helsingin yliopistohttp://solmu.math.helsinki.fi/PäätoimittajaPekka Alestalo, dosentti, Matematiikan laitos, Teknillinen korkeakouluToimitussihteeritMika Koskenoja, yliopistonlehtori, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopistoAntti Rasila, tutkija, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopistoSähköposti toimitus@solmu.math.helsinki.fiToimituskunta:Heikki Apiola, dosentti, Matematiikan laitos, Teknillinen korkeakouluAri Koistinen, FM, Helsingin ammattikorkeakoulu StadiaMatti Lehtinen, dosentti, MaanpuolustuskorkeakouluMarjatta Näätänen, dosentti, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopistoTommi Sottinen, tutkija, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopistoGraafinen avustaja Marjaana BeddardYliopistojen ja korkeakoulujen yhteyshenkilöt:Virpi Kauko, tutkija, virpik@maths.jyu.fiMatematiikan ja tilastotieteen laitos, Jyväskylän yliopistoJorma K. Mattila, professori, jorma.mattila@lut.fiSovelletun matematiikan laitos, Lappeenrannan teknillinen yliopistoJorma Merikoski, professori, jorma.merikoski@uta.fiMatematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos, Tampereen yliopistoKalle Ranto, assistentti, kalle.ranto@utu.fiMatematiikan laitos, Turun yliopistoTiina Rintala, opiskelija, tirintal@paju.oulu.fiOulun yliopistoTimo Tossavainen, lehtori, timo.tossavainen@joensuu.fiSavonlinnan opettajankoulutuslaitos, Joensuun yliopistoNumeroon 1/2005 tarkoitetut kirjoitukset pyydämme lähettämään vuoden 2004 loppuun mennessä.Kiitämme taloudellisesta tuesta Jenny ja Antti Wihurin rahastoa sekä Suomen Kulttuurirahastoa.Huom! Solmun paperiversio postitetaan vain niihin kouluihin, jotka ovat sitä erikseen pyytäneet. SolmunInternet-sivuilta saatava paperiversio on mahdollista tulostaa omalla kirjoittimella. Toivomme, että lehti ei jäävain opettajien luettavaksi, vaan sitä kopioidaan kaikille halukkaille.

Solmu 3SisällysPääkirjoitus: LUMA-viikko 7.–14.11.2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Toimitussihteerin palsta: Sammakoita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Potenssisummat ja symmetriset perusfunktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Tuomaksen tehtäviä. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Peilileikkejä matikkaleirillä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Opettaja, vaadi perusalgebran osaaminen! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Polynomit, interpolaatio ja funktion approksimointi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Solmun 1/2004 tehtävien ratkaisuja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Lisää laskuoppia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Minne katosi laskutaito? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4 SolmuLUMA-viikko 7.–14.11.2004Luonnontieteet ja matematiikka, lyhyesti LUMA, muodostavatyhden keskeisen osan koulun oppimäärästä.Vajaa kymmenen vuotta sitten aloitettujen LUMAtalkoidenjatkoksi perustettiin vuosi sitten LUMAkeskusHelsingin yliopiston opettajankoulutuksen yhteyteen.Kuten nimestäkin jo ilmenee, keskuksen tarkoituksenaon tukea ja koordinoida matematiikan jaluonnontieteiden opetuksen kehittämistä Suomessa.Mikäli olen asian oikein ymmärtänyt, LUMA-talkoitakoskevassa palautteessa tuli kehujen lisäksi päällimmäisenäesille juuri keskitetyn ohjauksen ja toisaalta resurssienpuute. Myös talkoot-sanan käyttöä moitittiin,sillä tärkeätä toimintaa ei pitäisi jättää opettajien palkattomantyön varaan.Talkoot ovat kuitenkin päättyneet, mutta LUMA jatkuu.Tänä vuonna ensimmäistä kertaa järjestettävänLUMA-viikon yhtenä tavoitteena on lisätä kiinnostustaLUMA-aineita kohtaan viikon kestävällä tapahtumalla,johon osallistuu oppilaitoksia eri puolilta Suomea.Myös matemaattista ohjelmaa tarjotaan ympäriSuomen aina peruskouluista yliopistoihin.Ensimmäinen LUMA-viikko järjestetään 7.-14.11.2004,ja siitä on tarkoitus tehdä jokavuotinen tapahtuma. Lisätietojaviikosta löytyy osoitteestahttp://www.helsinki.fi/luma/viikko/2004/ja matemaattisesta ohjelmasta erityisesti osoitteestahttp://www.helsinki.fi/luma/viikko/2004/vinkit/matematiikka/.Pekka AlestaloPääkirjoitus

Solmu 5SammakoitaSolmussa on aloitettu uusi palsta Sammakoita osoitteessahttp://solmu.math.helsinki.fi/sammakot/.Palstalle kerätään eri lähteistä poimittuja matematiikkaanliittyviä kömmähdyksiä ja väärinkäsityksiä,siis sammakoita. Voit lähettää omat sammakkosi palstallajulkaistavaksi sähköpostitse osoitteella toimitus@solmu.math.helsinki.fi.Uusia sammakoita julkaistaan verkkosivun lisäksi painetuissaSolmun numeroissa sitä mukaa kun niitä saadaankerättyä. Kömmähdykset matematiikkaan liittyvissäkäsitteissä ovat mm. tiedotusvälineissä niin yleisiä,että oletettavasti lähes jokaisessa Solmun numerossaon luettavissa uusia sammakoita.Tässä numerossa julkaistava toimittaja Aarno Laitisenkirjoitus koostuu hänen yhteiskunnan eri aloilta huomioimistaansammakoista ja yleisemminkin laskutaidonkatoamisesta. Laitisen mainitsema verovoutien väitevaltiolta harmaan talouden takia saamatta jäämienlähes 10 miljardin euron verotuloista vuodessa on herättänytkeskustelua Solmun keskustelupalstalla, tästävoitte lukea lisää verkkosivuiltamme.Myös professori Matti Seppälä on havainnoinut laskutaitoonja numeroiden lukutaitoon liittyviä sammakoita.Seppälän ensimmäinen kirjoitus aiheesta oli Solmussa1/2004, ja tässä numerossa hän jatkaa aiheesta uudellakirjoituksella.Löydätkö seuraavien poimintojen virheet? Sammakoidenselityksiä ja korjauksia julkaistaan Solmun seuraavissanumeroissa.”Nyt verokanta on nolla. Siihen saadaan sadan prosentinnosto hyvinkin äkkiä. Komissiolla voisi olla veronnostamiseen hyvinkin intressejä, koska siellä varmaanymmärretään, että se on koko unionin kannalta hyväsuunta edetä”, valtiovarainministeri Antti Kalliomäki(sd) arvioi komission lupausta [alkoholiveron mahdollisestanostamisesta].Helsingin Sanomat, 12.5.2004Eräs kaveri teknillisessä oppilaitoksessa (tekussa) olikysynyt ensimmäisen asteen yhtälöstä, jossa oli x molemmillapuolilla, että kumman x:n hän ratkaisee.Lähettäjä: Rauno Lindström, TurkuFlextronicsin tuotanto siirretään Puolaan, koska komponentitvoidaan valmistaa siellä kolme kertaa halvemmallakuin Suomessa.Ylen Tv-uutiset, 24.9.2004Uppsalan yliopistossa väitelleen suomalaisen Iida Häkkisenmukaan nuoret kirjoittivat ylioppilaiksi 1990–1998 yhtä hyvin arvosanoin, vaikka lukiomenoja leikattiinkeskimäärin 25 prosenttia 1989–1994.Helsingin Sanomat, 5.10.2004Mika KoskenojaToimitussihteerin palsta

6 SolmuPotenssisummatja symmetriset perusfunktiotJorma MerikoskiProfessoriMatematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitosTampereen yliopisto1 ”Helppo ongelmamatematiikan tohtorille”Harrastan pientä pörssipeliä ja siksi luen silloin tällöinKauppalehti Onlinen keskustelupalstaa Sijoittaminenja talous. Siellä, kuten netin keskusteluryhmissä yleensäkin,seilaa kaikenlaista kirjoittajaa eikä asiassa pysyminentai muu tiukkapipoisuus useinkaan haittaa tahtia.Niinpä nimimerkki ”Arvuuttelija” kirjoitti 8.6.2004kello 13.46, että nimimerkki ”Indeksi-Into”on omien sanojensamukaan matematiikan tohtori, joten hän antoitälle seuraavan tehtävän, jonka ”kunnon lukiolainenkinpystyy ratkaisemaan”.Ongelma. OlkoonLaske a 5 + b 5 + c 5 + d 5 .a + b + c + d = 4a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 16a 3 + b 3 + c 3 + d 3 = 64a 4 + b 4 + c 4 + d 4 = 128.Jo kello 14.03 nimimerkki ”Savuporo” vastasi: ”Heh, eipätaida tämä tehtävä tohtorilta onnistua. Tosin ei onnistuminultakaan, ellei tuo viimeinen luku satu olemaantypo.” (Harjoitustehtävä: Miksi Savuporo ajatteliviimeisen luvun olevan väärin?) Tähän Arvuuttelijavastasi kello 14.06, ettei se ole typo. Hän jatkoi: ”Eitätä tarkemmin ajateltuna lukiolainen ratkaise”. Sittennimimerkki ”Mercurius” tuumi kello 14.18, että taisitehtävä pelotella ”tohtorimme” pois.Seuraavan puheenvuoron käytti nimimerkki ”Wiineri”kello 14.56 esittämällä huikean teorian, jonka mukaanArvuuttelija onkin Indeksi-Into, jota on ”ketuttanut etteikukaan usko häntä”! Into on löytänyt ”vanhasta tieteenkuvalehdestä”tämän ongelman, jonka hän siis esittiArvuuttelijana ja ratkaisee piakkoin Intona! KuitenkinWiineri alkoi lopulta itsekin epäillä teoriaansa.Keskustelu jatkui yhtä vauhdikkaasti. Vääriä vastauksiatuli siihen malliin, että kello 16.07 nimimerkki ”Jaaju”arveli Indeksi-Innon lähettelevän eri vastauksia erinimimerkeillä! ”Pakkohan noista on jonkin osua jo oikeaankin.”Kello 16.49 nimimerkki ”Photius” ilmoitti ratkaisseensatehtävän tietokoneella saaden vastaukseksi384, mutta a, b, c ja d ovat ”helvetillisiä, sivun pituisiakompleksilukuja”.

Solmu 7Nimimerkki ”Merck” ärähti 9.6. kello 9.56, että ylläpidonpitäisi poistaa tällaiset turhat ”hiekkalaatikkotason”keskustelut, joilla ei ole mitään tekemistä sijoittamisentai talouden kanssa. Wiineri vastasi kello 13.37,että tämä keskustelu kuuluu tälle palstalle ja nimenomaanehkäisee talouteen kuulumattomia keskustelujapitämällä Indeksi-Innon poissa maisemista!Kun Arvuuttelija 9.6. kello 18.50 esitti oman ratkaisunsa,niin siitäkös syntyi rähinä. Nimimerkki ”FreyTag”sanoi kello 20.05 suorat sanat: ”En tajua yhtään, mistäte puhutte. Yksikään teistä ei voi olla missään vastuullisessatai millään lailla merkittävästi johtavassa asemassa.”Kello 21.44 nimimerkki ”Kari Ilmari” löi lisäälöylyä: ”Oletko jotenkin tärähtänyt, kun pädet jollakinongelmamatematiikan tehtävällä. . . Esität sen sittentäällä kuin seinähullu. . . Jutullasi et ole yhtään pätevämpipörssikeskustelussa. . . Itse yritin muun muassaseuraavalla tavalla, joka ei kuitenkaan johtanut. . . ”Ehkä se, että Arvuuttelijan ratkaisussa ei tarvittu lukujaa, b, c ja d, sai Photiuksen jatkamaan töitä, ja 10.6.kello 10.25 hän ratkaisi tehtävän juuri siten kuin kokenutmatemaatikko tekee. Palaamme tähän ratkaisuunmyöhemmin. Sekä Arvuuttelijan että Photiuksen ratkaisuihinriittävät periaatteessa lukiotiedot, mutta sillointäytyy olettaa tuollaisten lukujen a, b, c ja d olemassaolo,mitä ei voida todistaa lukiotiedoilla.2 Johdatteleva esimerkkiSymmetrisen funktion arvo ei muutu vaihdettaessamuuttujien järjestystä. Toisen asteen yhtälön ratkaisujentiettyjä symmetrisiä funktioita voidaan laskea ratkaisemattayhtälöä. Tällaiset asiat kuuluivat muutamavuosikymmen sitten lukion pitkään oppimäärään.Tehtävä (ks. [9]). Laskettava symmetrisen funktionx 3 1 + x 3 2 arvo, kun x 1 ja x 2 ovat yhtälön x 2 − 4x + 7 = 0ratkaisut.Ratkaisemalla yhtälön joutuisimme hankaliin laskuihinvieläpä kompleksiluvuilla, joten käsittelemme tehtävänratkaisematta yhtälöä. Ratkaisujen summan ja tulonominaisuuksien perusteella x 1 + x 2 = 4 ja x 1 x 2 = 7.Koskaon(x 1 + x 2 ) 3 = x 3 1 + 3x 2 1x 2 + 3x 1 x 2 2 + x 3 2= x 3 1 + x 3 2 + 3x 1 x 2 (x 1 + x 2 ),x 3 1 + x 3 2 = (x 1 + x 2 ) 3 − 3x 1 x 2 (x 1 + x 2 )= 4 3 − 3 · 7 · 4 = −20.3 Symmetriset perusfunktiotMäärittelemme muuttujien x 1 , x 2 , . . . , x n symmetrisetperusfunktiot (engl. elementary symmetric functions)s 1 , s 2 , . . . seuraavasti:s 1 (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x 1 + x 2 + · · · + x n ,s 2 (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x 1 x 2 + x 1 x 3 + · · · + x n−1 x n ,s 3 (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + · · ·. . .s n (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x 1 x 2 · · · x n ,+ x n−2 x n−1 x n ,s n+1 (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = s n+2 (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = · · · = 0.Siis s k (x 1 , x 2 , . . . , x n ) on, kun 1 ≤ k ≤ n, kaikkien niidenluvuista x 1 , x 2 , . . . , x n saatujen tulojen summa,joissa on k tekijää ja jokaisella tekijällä on eri indeksi.Reaali- tai kompleksikertoimisella polynomiyhtälölläx n + a 1 x n−1 + · · · + a n−1 x + a n = 0on täsmälleen n ratkaisua, kun kutakin ratkaisua otetaansen kertaluvun osoittama määrä. Olkoot ne x 1 ,x 2 , . . . , x n , jolloin voimme kirjoittaa yhtälön muotoon(x − x 1 )(x − x 2 ) · · · (x − x n ) = 0.Suorittamalla kertolaskut vasemmalla puolella saammeyhteyden yhtälön kerrointen a k ja ratkaisujen symmetristenperusfunktioiden s k välillea 1 = −s 1 (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = −(x 1 + x 2 + · · · + x n ),a 2 = s 2 (x 1 , x 2 , . . . , x n ),. . .a k = (−1) k s k (x 1 , x 2 , . . . , x n ),. . .a n = (−1) n s n (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = (−1) n x 1 x 2 · · · x n .Siis luvut x 1 , x 2 , . . . , x n ovat yhtälön(1) x n − s 1 x n−1 + s 2 x n−2 + · · · + (−1) n s n = 0ratkaisut, kun kirjoitamme lyhyesti s k =s k (x 1 , x 2 , . . . , x n ).4 PotenssisummatMäärittelemme muuttujien x 1 , x 2 , . . . , x n potenssisummatp 0 , p 1 , p 2 , . . . seuraavasti:p 0 (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = n,p 1 (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x 1 + x 2 + · · · + x n ,p 2 (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x 2 1 + x 2 2 + · · · + x 2 n,. . .p k (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x k 1 + x k 2 + · · · + x k n,. . .

8 SolmuKirjoitamme lyhyesti p k = p k (x 1 , x 2 , . . . , x n ).Johdamme potenssisummien ja symmetristen perusfunktioidenyhteyden. Sijoittamalla luvut x 1 , x 2 , . . . ,x n yhtälöön (1) saamme yhtälöryhmänx n 1 − s 1 x1 n−1 + s 2 x1 n−2 + · · · + (−1) n s n = 0x n 2 − s 1 x2 n−1 + s 2 x2 n−2 + · · · + (−1) n s n = 0x n n − s 1 x n−1n. . .+ s 2 x n−2n + · · · + (−1) n s n = 0ja edelleen laskemalla yhteen yhtälönp n − s 1 p n−1 + s 2 p n−2 + · · · + (−1) n s n p 0 = 0.Antamalla n:lle arvot 1, 2, 3, . . . saamme tästä Newtoninkaavatp 1 = s 1 ,p 2 = s 2 1 − 2s 2 ,p 3 = s 3 1 − 3s 1 s 2 + 3s 3 ,p 4 = s 4 1 − 4s 2 1s 2 + 4s 1 s 3 + 2s 2 2 − 4s 4 ,p 5 = s 5 1 − 5s 3 1s 2 + 5s 1 s 2 2 + 5s 2 1s 3 − 5s 2 s 3 − 5s 1 s 4 ,. . .ja myös muunnoskaavat toiseen suuntaans 1 = p 1 ,s 2 = 1 2! (p2 1 − p 2 ),s 3 = 1 3! (p3 1 − 3p 1 p 2 + 2p 3 ),s 4 = 1 4! (p4 1 − 6p 2 1p 2 + 3p 2 2 + 8p 1 p 3 − 6p 4 ),s 5 = 1 5! (p5 1 − 10p 3 1p 2 + 15p 1 p 2 2 + 20p 2 1p 3. . .− 30p 1 p 4 − 20p 2 p 3 + 24p 5 ),Joissakin termeissä (missä?) on säännönmukaisuuksia,mutta p k :lle ja s k :lle ei tietääkseni ole yksinkertaisiayleisiä lausekkeita.5 Ongelman ratkaisuja muita ongelmiaSijoittamalla p 1 = 4, p 2 = 16, p 3 = 64, p 4 = 128 saammes 1 = 4, s 2 = s 3 = 0, s 4 = 32. Nämä edelleensijoittamalla löydämme ongelman ratkaisun p 5 = 384.Tarkastelemme vielä eräitä muita kiinnostavia potenssisummiinliittyviä kysymyksiä. Hyväksymme eksponentiksimielivaltaisen reaaliluvun, jolloin meidän onrajattava kantaluvut positiivisiksi. Olkoon t ≠ 0. Määrittelemmemuuttujien x 1 , x 2 , . . . , x n > 0 t:nnen momenttisummanf t (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = (x t 1 + x t 2 + · · · + x t n) 1/tja t:nnen momenttikeskiarvon( xtg t (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = 1 + x t 2 + · · · + x t ) 1/tn.nTällöin g 1 on aritmeettinen ja g −1 harmoninen keskiarvo.Seuraavissa tehtävissä kiinnitämme luvut x 1 , x 2 ,. . . , x n > 0.Tehtävä 1. Todistettava, ettälim g t(x 1 , x 2 , . . . , x n ) = (x 1 x 2 · · · x n ) 1/n .t→0Voimme siis määritellä, että g 0 on geometrinen keskiarvo.Tehtävä 2. Todistettava, ettälim f t(x 1 , x 2 , . . . , x n ) = lim g t (x 1 , x 2 , . . . , x n )t→∞ t→∞= max x k ,klim f t(x 1 , x 2 , . . . , x n ) = lim g t(x 1 , x 2 , . . . , x n )t→−∞ t→−∞= min x k ,klim f t(x 1 , x 2 , . . . , x n ) = 0,t→0−lim f t(x 1 , x 2 , . . . , x n ) = ∞.t→0+Tehtävä 3. Todistettava, että funktio φ(t) =f t (x 1 , x 2 , . . . , x n ), t ≠ 0, on vähenevä, kun t < 0, jaettä se on vähenevä myös, kun t > 0. Lisäksi osoitettava,että väheneminen on aitoa, jos ja vain jos ei olex 1 = x 2 = · · · = x n .Tehtävä 4. Todistettava, että funktio γ(t) =g t (x 1 , x 2 , . . . , x n ) on kaikkialla kasvava. Lisäksi osoitettava,että kasvu on aitoa, jos ja vain jos ei olex 1 = x 2 = · · · = x n .Ratkaisuja löytyy kirjallisuudesta (ks. esim. [1], [3], [4],[5], [7]). Tehtäviin 2 ja 3 riittävät lukiotiedot ja kekseliäisyys.Tehtävät 1 ja 4 ovat vaikeampia eikä niistätaideta selviytyä tavallisilla lukiotiedoilla. L’Hospitalinsäännöstä (ks. esim. [2]) ja Cauchyn–Schwarzin epäyhtälöstäsekä sitä yleisemmästä Hölderin epäyhtälöstä(ks. esim. [1], [2], [3], [4], [5], [7]) on apua. Ehkä jokuSolmun lukija innostuu ratkaisemaan jonkin näistätehtävistä ja esittämään ratkaisun tässä lehdessä.

Solmu 9KirjallisuuttaPotenssisummia ja symmetrisiä perusfunktioita käsittelevätalkeellisesti mm. Väisälä [8] ja Weisstein [10],syvemmin mm. Mitrinović [7] ja erittäin perusteellisestimm. Bullen [3]. Tällä alalla on avoimiakin ongelmia.Minäkin olen joutunut niiden kanssa tekemisiin [6].[1] E. F. Beckenbach, R. Bellman, Inequalities. Springer,1961.[2] A. Browder, Mathematical Analysis: An Introduction.Springer, 1996.[3] P. S. Bullen, Handbook of Means and TheirInequalities. Kluwer, 2003.[4] G. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya, Inequalities.Second Edition. Cambridge U.P., 1988.[5] J. R. Magnus, H. Neudecker, Matrix DifferentialCalculus. Wiley, 1988.[6] J. K. Merikoski, Extending means of two variablesto several variables. J. Ineq. Pure Appl. Math. 5(2004), Article 65. [http://jipam.vu.edu.au].[7] D. S. Mitrinović, Analytic Inequalities. Springer,1970.[8] K. Väisälä, Johdatus lukuteoriaan ja algebraan.Otava, 1950.[9] K. Väisälä, Algebran oppi- ja esimerkkikirja 2. Pitempikurssi. 8. p. WSOY, 1966.[10] E. Weisstein, Eric Weisstein’s world of mathematics.Wolfram Research. [http://www.mathworld.wolfram.com].

10 SolmuTuomaksen tehtäviäSolmun tämänkertaiset tehtävät ja yhden valmiin ratkaisunon laatinut Tuomas Korppi Helsingistä. Voitlähettää ratkaisuehdotuksesi vielä ratkaisemattomiintehtäviin 2, 3, 4 ja 5 Solmuun joko sähköpostilla osoitteeseentoimitus@solmu.math.helsinki.fitai kirjeenä osoitteeseenSolmun toimitusMatematiikan ja tilastotieteen laitosPL 6800014 Helsingin yliopisto.Tehtävä 1. Etsittävä yhtälöryhmän⎧⎪⎨ aX = 2YbZ = 2Y⎪⎩X − Y + Z = 2ratkaisut, joissa X, Y, Z, a, b ovat positiivisia kokonaislukujaja a, b > 2. Huomaatko ratkaisuna saatavissa luvuissamitään tuttua? Jos huomaat, keksitkö yhteyttälöytämäsi tuttuuden ja yhtälöiden välille?Ratkaisu. Ratkaisemalla X ja Z kahdesta ensimmäisestäyhtälöstä ja sijoittamalla jälkimmäiseen saadaan2a Y − Y + 2 b Y = 2.Lisäämällä Y puolittain sekä jakamalla Y :llä saadaan(1)2a + 2 b = 1 + 2 Y .Siis välttämättä(2)Jos a ≥ 6 ja b ≥ 3, niin2a + 2 b > 1.2a + 2 b ≤ 1 3 + 2 3 = 1,joten (2) ei voi päteä. Koska b ≥ 3 on oletus, on välttämättäa < 6. Koska tilanne on symmetrinen, myösb < 6.Oletetaan, että a ≥ 4. Jos b ≥ 4, niin2a + 2 b ≤ 2 4 + 2 4 = 1.Tämä on mahdotonta. Jos siis toinen luvuista a, b onvähintään neljä, on toisen oltava kolme.Olemme nyt saaneet karsittua pois kaikki muut (a, b)-kandidaatit paitsi (a = 3, b = 3), (a = 4, b = 3),(a = 3, b = 4), (a = 3, b = 5) ja (a = 5, b = 3).Ratkaisemalla Y yhtälöstä (1) saadaan2Y =2a + 2 b − 1,ja sijoittamalla yo. kandidaatit ylläolevaan yhtälöönsaadaan kandidaatit (a = 3, b = 3, Y = 6), (a = 4, b =3, Y = 12), (a = 3, b = 4, Y = 12), (a = 5, b = 3, Y =30), (a = 3, b = 5, Y = 30).Sijoittamalla kahteen ensimmäiseen yhtälöön saadaanseuraava taulukko ratkaisuista:

Solmu 11a b X Y Z3 3 4 6 43 4 8 12 64 3 6 12 83 5 20 30 125 3 12 30 20Huomataan, että ylläolevat luvut ovat säännöllistenmonitahokkaiden tunnuslukuja: a = kuinka monta särmäätulee kärkeen, b = kuinka monta sivua on tahkolla,X = kärkien lukumäärä, Y = särmien lukumäärä, Z =tahkojen lukumäärä. Taulukossa käydään läpi kaikkimahdolliset säännölliset monitahokkaat.Mitä tekemistä sitten on säännöllisillä monitahokkaillaja alun yhtälöryhmällä?Jokaisella särmällä on kaksi kärkeä, ja jokainen kärkion a:n särmän kärki. Ensimmäinen yhtälö 2Y = aXseuraa tästä tosiseikasta 1 .Jokainen särmä on kahden tahkon sivu, ja jokaisellatahkolla on b sivua. Toinen yhtälö 2Y = bZ seuraa tästätosiseikasta.Kolmas yhtälö on peräisin algebrallisesta topologiasta,ja se sanoo, että jos kappale, joka saadaan pallonpinnastavenyttämällä ja vääntämällä, jaetaan monikulmioihin,on aina(3) kärkien lkm − särmien lkm + tahkojen lkm = 2.Jatkotehtävä 2. Ratkaise ensimmäisen tehtävän yhtälöryhmätapauksessa, jossa a, b, X, Y, Z ovat kokonaislukujaja a, b ≥ 2. Et voi nyt konstruoida monitahokkaita,jotka täsmäävät ratkaisuihin, mutta löydätkösellaiset yleistetyt ”monitahokkaat”, joissa tahkot jasärmät saavat olla kaarevia?Jatkotehtävä 3. Jos yllä pallon pinta olisi jonkunmuun mallinen kappale, esimerkiksi torus (munkkirinkilänpinta), pätisi vastaava yhtälö kuin (3), mutta kakkosenpaikalla olisi joku muu luku. Toruksen tapauksessatuo luku olisi 0. Voit myös miettiä alun yhtälöryhmänratkaisuja, kun kolmas yhtälö korvataan yhtälölläX − Y + Z = 0.Jatkotehtävä 4. Jalkapallo on tehty 5- ja 6-kulmioista. Jokaiseen kärkeen tulee kolme särmää. Jokaisella5-kulmiolla on yhteinen sivu 5:n eri 6-kulmionkanssa, ja jokaisella 6-kulmiolla on yhteinen sivu 3:neri 5-kulmion kanssa. Pystytkö näiden tietojen avullapäättelemään, kuinka monta 5- ja kuinka monta 6-kulmiota jalkapallossa on? Yhtälö (3) pätee tässäkintapauksessa.Tehtävä 5. Olkoon A joukko, joka sisältää 2n pistettä,jotka sijaitsevat tasavälein yksikköympyrän kehällä.Alussa pisteet ovat valkoisia. Ne väritetään yksi kerrallaan,jossain järjestyksessä, mustiksi. Olkoot värityshetket1, 2, . . . , 2n.Sanomme, että piste a ∈ A on värityksen reunapistehetkellä t, mikäli hetken t värityksen jälkeen vähintääntoinen pisteen a naapuripisteistä on eri värinen kuin a.Osoitettava, että on olemassa hetki t, jona kaksi antipodaalistapistettä ovat värityksen reunapisteitä. Pisteet(x 1 , y 1 ) ja (x 2 , y 2 ) ovat antipodaalisia, mikäli x 2 = −x 1ja y 2 = −y 1 .Vaihtoehtoinen muotoilu tehtävään 5. Parillinenmäärä ryöväreitä istuu piirissä. Piiri on täsmälleen ympyränmuotoinen, ja ryövärit istuvat tasavälein. Ryöväripomojakaa piiriissä istuville ryöväreille yksi ryövärikerrallaan heidän osuutensa ryöstösaaliista. Jos ryöväri,joka on jo saanut osansa saaliista, ja ryöväri, jokaei ole vielä saanut osaansa saaliista, istuvat vierekkäin,molemmat ryövärit kyräilevät. Jos kaksi kyräilevääryöväriä istuu täsmälleen vastapäätä toisiaan, hehuomaavat toistensa kyräilevän, ja ryntäävät toistensakimppuun.Ryöväripomo yrittää valita sellaisen saaliinjakojärjestyksen,että ei syntyisi tappelua. Todista, että se onmahdotonta.1 Tutkitaan nimittäin kysymystä: Kuinka monta erilaista paria (x, y) voidaan muodostaa, joissa y on tutkittavan monikulmionsärmä ja x on särmän y kärki? Vastaus tähän kysymykseen voidaan laskea kahdella tavalla: Joko laskemalla särmät ja kertomallatulos kahdella, jolloin saadaan lukumääräksi 2Y , tai laskemalla kärjet ja kertomalla tulos a:lla, jolloin saadaan lukumääräksi aX.Koska laskimme saman lukumäärän kahdella tavalla, on laskujen annettava sama vastaus, eli aX = 2Y .

12 SolmuPeilileikkejä matikkaleirilläSaara LehtoTutkijaMatematiikan ja tilastotieteen laitosHelsingin yliopistoMatematiikan opettajaopiskelijat Marja Hytönen jaSuvi Vanhatalo pohtivat talvella, miten matematiikkaavoisi opettaa lapsille toiminnallisesti – pelaten, leikkienja tutkien. Heräsi ajatus matemaattisesta kesäleiristä.Ideana oli tarjota lapsille uudenlaisia elämyksiä ja kokemuksiamatematiikan parissa.LUMA-keskus tuli avuksi leirin käytännön järjestelyissä.Kumpulan kampuksella kesäkuussa järjestetylle viikonmittaiselle päiväleirille osallistui parikymmentä 9–12 -vuotiasta lasta. Leirin suosio yllätti järjestäjät,kaikki halukkaat eivät mahtuneet mukaan.Tunnelma leirillä oli iloinen ja innostunut. Tauoillakinmietittiin matematiikkaa, ja kun yksi ongelma ratkesi,tultiin ohjaajilta heti vaatimaan lisää pohdittavaa.Leiriohjelmassa teemoina olivat muun muassa geometria,topologia, logiikka, todennäköisyyslaskenta, äärettömyysja ongelmanratkaisu.Matematiikkaleiriä ei suunnattu vain matemaattisestierityislahjakkaille tai matematiikasta kiinnostuneille.Osa leirin osallistujista olikin tullut hakemaan lisämotivaatiotatai tukea koulumatematiikkaan. Monestiongelma- ja tutkimustehtävien ratkominen auttaamyös tavallisessa koulutyössä.

Solmu 13Keskiviikkoaamuna leirillä käsiteltiin symmetriaa, jonkatutkiminen aloitettiin leikkimällä pareittain peilileikkiä.Pari seisoo vastakkain. Toinen liikuttaa käsiä jajalkoja, astuu eteen, taakse tai sivuille ja pyörii vaikkaympäri. Toisen on esitettävä peiliä ja yritettävä toimianiin kuin peilikuva toimisi. Sitten vaihdetaan osia.Kun kaikki olivat oppineet peilileikin pareittain, siirryttiinneljän ryhmiin. Nyt kaksi vastakkain seisovaaparia asettuivat vierekkäin ja kuviteltiin peilit myös sivuttainparien väliin. Taas vuorotellen yksi neljästä saitehdä liikkeitä ja muiden piti olla peilejä. Tämä oli jopaljon hankalampaa, mutta Marjan ja Suvin neuvoillanelipeilitkin alkoivat pian sujua.Lopuksi kaikki asettuivat riveihin, ja kokeiltiin kokoryhmän yhteistä peilileikkiä. Peilit kuviteltiin nyt kaikkienrivien ja jonojen välille, ja liike käynnistettiin yhdestänurkasta. Tämä osoittautui jo kovin vaikeaksi, silläoli hankala hahmottaa kuka oli kenenkin peili ja virheettietenkin sekoittivat muidenkin peilikuvat. Kaikillaoli kuitenkin hauskaa ja leikin idea tuli selväksi virheistähuolimatta. Symmetrioiden tutkimista jatkettiinluokassa väritystehtävien ja peilipelien avulla.Koska leirikokemukset olivat hyviä, on ensi kesälle alustavastisuunniteltu kahta kesäleiriä.Tänä syksynä käynnistyy myös iltapäiväkerhotoiminta.Ensimmäisen kerhon pitävät Marja ja Suvi matematiikanja tilastotieteen laitoksen tiloissa ExactumissaKumpulassa. Keväällä kerhoja on mahdollisesti luvassalisää.Lisää tietoa kerhoista ja leireistä sekä muusta matematiikan LUMA-toiminnasta löytyy LUMA-keskuksen sivuiltawww.helsinki.fi/luma. Voit myös ottaa yhteyttä matematiikan kouluyhteistyöhenkilöön Saara Lehtoon(saara.lehto@helsinki.fi).Verkko-Solmun Unkari-sivuilla http://solmu.math.helsinki.fi/unkari/ on runsaasti materiaalia ja monipuolisiavirikkeitä lasten ja nuorten matematiikkaleirien ja -kerhojen järjestäjien käyttöön.

14 SolmuOpettaja, vaadi perusalgebranosaaminen!Kyösti TarvainenPhD, yliopettajaHelsingin ammattikorkeakoulu StadiaAlgebran perustaitojen ongelmaInsinööriopintonsa aloittavien ylioppilaiden matemaattisissataidoissa esiintyy erittäin vakavia puutteita.Esimerkiksi Helsingin ammattikorkeakoulun rakennusosastollatehdyissä diagnostisissa testeissä tyypillisestivain puolet uusista ylioppilaista osaa ratkaista yhtälöparin,kolmasosa kaikki potenssilaskusäännöt, neljäsosamurtolukujen ja murtolausekkeiden laskusäännöt;muutamat ylioppilaat eivät osaa ratkaista yksinkertaistakaanyhtälöä.Vaikka ammattikorkeakoulun tekniikan opinnoissa matematiikkaakäytetään useassa kurssissa ja sen takiaoppilailla on yleensä hyvä motivaatio oppia sitä, puutteetperustaidoissa eivät parane itsestään opintojen kuluessa.Siksi ammattikorkeakouluissa on ryhdytty toimenpiteisiin,joilla matematiikan perusosaaminen pyritäänsaamaan nopeasti kuntoon.Yksi keino ovat perusmatematiikan testit, jotka on läpäistävä– testi on suoritettava niin monta kertaa, kunnesosoittaa osaavansa perusasiat. Helsingin ammattikorkeakoulussatällaisia kokeita on järjestänyt yliopettajaPertti Toivonen (1998). Espoon-Vantaan teknillisessäammattikorkeakoulussa on vastaavanlainen testi(Peltola, 2001). Seuraavassa selostetaan Helsinginammattikorkeakoulun rakennusosastolle kehitettyä perusalgebrankohentamisjärjestelmää, joka on toteutettuvuosina 2000–2002 kolmella ylioppilasluokalla ja kolmellaammattikoulupohjaisella luokalla.Perusalgebran testiKahdella ensimmäisellä tunnilla on pidetty laaja 102tehtävän diagnostinen testi, joka käsittää algebraa,geometriaa, differentiaali- ja integraalilaskentaa. Testinjälkeen algebran perusteita on kerrattu ylioppilailla14 oppituntia. Kertauksen jälkeen on pidetty perusalgebranensimmäinen testi. Se käsittää seuraavat 11tehtävätyyppiä; yhden uusintatestin tehtävät ovat esimerkkeinä.A. Algebran lausekkeiden käsittely: samanmuotoistentermien yhdistäminen, sulkujen poistoSievennä seuraavat lausekkeet:a) 2a + 3ab + 4a 2 + 3abb) x + y − (1 + x − y) + 1 + yc) 5 − (4 − (a − b)) − b

Solmu 15c) a b + 1 Sovella potenssilaskusääntöjä seuraaviin lausekkeisiin:B. Algebran lausekkeiden käsittely: summankertominen ja jakaminend) a b + c dPoista sulut, sievennä lausekkeet:e)3x + 1 + 1x + 2a) 5(2a + 3b)b) ab − a(3 − b)F. Ensimmäisen asteen yhtälö: tavalliset ”xyhtälöt”Ratkaise seuraavat yhtälöt:6a − 3bc)3a) 2x + 1 = 4(x − 3) + 8ma + mab + md)mb) x + 1 + 2x + 1 = 23 5C. Murtolausekkeiden kerto- ja jakolaskuSievennä seuraavat lausekkeet:G. Ensimmäisen asteen yhtälö: suureen ratkaiseminenkaavastaa) m kgRatkaise kysytty suure annetusta yhtälöstä:mb) 6a 14ca) σ = F A , F ?7b 12ab) l 1 = l 2 + αt, t?msc)mkgc) p = 100 a − ba , a?d) kgkgH. Lineaarinen yhtälöparim 3aRatkaise yhtälöparie) b{a2x + y = 113x + 2y = 19D. Murtolausekkeiden supistaminenSupista ne lausekkeet, jotka voi supistaa:I. Yhtälöt, joissa potensseja tai neliöjuuriaSeuraavien tehtävien kaavoissa kaikki suureet ovat positiivisia.a) x + ax + bRatkaise kysytty suure.6aa) cb)= 4a 2 + b 2 , b?12a 2b) V = 4 a(x + y)b3 πr3 , r?c)2(x + y)c) c = √ a 2 + b 2 , b?d) abcbcJ. Toisen asteen yhtälöE. Murtolausekkeiden yhteenlaskuSuorita yhteen- ja vähennyslaskut:Ratkaise seuraavat yhtälöt:a) x 2 − 9 = 9a) 2 3 + 1 b) x 2 + 4x = 03c) x 2 + x − 6 = 0b) a 3 + 1 3K. Potenssilaskusäännöt

16 Solmua) (2xy) 3b)( ) 2 3ab2cc) x 3 y 4 x 5 y 2d) (x 3 ) 4e) a8a 4f) e 0 + 1g) a −2 − 1 a 2Ammattikoulupohjaisilla luokilla huonoa lähtötasoakuvaa se, että vain noin joka viides osaa ratkaista yksinkertaisenyhtälön, esimerkiksi yhtälön. Näillä luokillaalgebran opetukseen on käytetty ensin 74 oppituntia.Sitten on pidetty perusalgebran testi, jonka tyypillisestineljännes luokasta läpäisee ensimmäisellä kerralla; jotkuttarvitsevat viitisen uusintaa.Kukaan ei ole purnannut – kaikki oppilaat ovat kokeneetperusalgebran kohentamisprojektin kotitehtävineenja uusintatesteineen mielekkääksi. Vaikka kaikkisuorittavat kaikki tehtävätyypit, virheitä tulee jatkossakin,koska laskentarutiinien hankkiminen on laiminlyötyaiemmissa opinnoissa.Uusintatestien kulkuEsimerkiksi eräällä ylioppilasluokalla ensimmäisen testinkaikki tehtävät ratkaisi oikein joka toinen. Testiä läpäisemättömätsaivat pakollisia kotitehtäviä niistä tehtävätyypeistä,joita eivät hallinneet. Lisätehtävät oliotettu Teknisten ammattien matematiikka 2Z -kirjasta(Kinnunen et al., 1985). Jokainen tehtävätyyppi tulisuorittaa niin monta kertaa, että se osattiin. Seuraavataulukko näyttää, miten ylioppilaat kyseisellä luokallasaivat tehtävätyyppejä suoritetuiksi.Taulukko. Ylioppilaiden suorittamattomien tehtävätyyppienväheneminen; rivi kuvaa yhden henkilön kehitystä.Yksi henkilö tarvitsi 4 uusintakertaa. Kuusitoistaopiskelijaa suoritti kaikki tehtävät ensimmäisessätestissä, eivätkä he siksi esiinny tässä taulukossa.0 1 2 3BD BDIK KCDEIK CCKBCDGI DBCIJK KDCJK DCDEGIK DEG GEICK CKCFI FCDE CEABCEFK ABCEFK CEFBEFIJK BEFK EK KFGK FK KSarakkeet:(0) Perusalgebran testissä suorittamattomat tehtävät.(1) 1. uusintatestissä suorittamattomat tehtävät.(2) 2. uusintatestissä suorittamattomat tehtävät.(3) 3. uusintatestissä suorittamattomat tehtävät.Opiskelijoiden näkemyksiä huononosaamisen syistäKun ylioppilailta on kyselty, miksi he eivät ole oppineetmatematiikan perusasioita lukiossa, he eivät ole moittineetmatematiikan opettajia epäpäteviksi; päinvastoinmoni on kiitellyt opettajansa perusteellista ja innostavaaopetusta. Opiskelijoiden esittämät syyt huonoonosaamiseen voidaan luokitella seuraaviin neljään ryhmään,joiden perässä on henkilökohtaisia kommenttejaammattikorkeakoulun opettajan näkökulmasta.Lukion oppimäärän laajuus. Asioita on niin paljon,että niitä ei ehditä käydä kunnolla läpi. Kommentti:Ottaen huomioon matematiikan perusasioiden surkeanosaamisen, aihepiirien ja aineiston karsintaa olisi tehtäväpaljon. On tärkeää, että kaikki oppivat matematiikanperusteet hyvin lukiossa ja aiemmissa opinnoissa.Hyvien perustaitojen turvin sitten ne, jotka tarvitsevatpaljon matematiikkaa ammattiopinnoissaan,oppivat tarvitsemansa matematiikan osa-alueet kyllämyöhemminkin: tiedämme, että niistä lukiolaisista, jotka1950-, 1960-, 1970-luvuilla suorittivat laajuudeltaannykyistä huomattavasti suppeamman oppimäärän, ontullut esimerkiksi maailmanmenestystä saavuttaneidenkännyköiden ja risteilyalusten suunnittelijoita, kansainvälisiämatematiikan tutkijoita.Motivaatio. Monella opiskelijalla ei lukiossa ole ollutmotivaatiota opiskella matematiikkaa; ei ole ollut tietoasiitä, että tulee tarvitsemaan matematiikkaa ammattiopinnoissaan.Kommentti: Matematiikan motivaatioongelmaalkaa ilmeisesti jo ala-asteella, kun peleihinja muuhun arkipäivään liittyvä aritmetiikka on opittu,ja päättyy vasta korkeakouluissa, joissa matematiikkaatoden teolla käytetään eri aloilla. Muistan, kuinkalukion matematiikan opettajani Ahti Kantanen kertoiheti aluksi erittäin painokkaasti, että matematiikkaatulevat tarvitsemaan myöhemmissä opinnoissaankaikki paitsi papit. Hän ei yrittänyt koko ajan esittää,kuinka juuri opiskelemamme asiat olisivat välittömästitarpeen käytännön ongelmissa. Se, että nykyisin usein

Solmu 17yritetään jatkuvasti vakuutella matematiikan hyödyllisyyttäongelmanratkaisuilla, on oppilaiden aliarvioimistaja johtaa ongelmien käsittelyyn, joilla on vähäntekemistä varsinaisen, ammattiopinnoissa ja matematiikanopinnoissa tarvittavan matematiikan kanssa, sekäkirjojen paisutteluun niin, että oppilaiden on vaikeahahmottaa matematiikan keskeisiä asioita. Martio(2001) vertaa ongelmanratkaisun korostamista 1970-luvun virheeseen ”uuteen matematiikkaan” ja esittää,että suomalaisten koululaisten menestyminen eräissäkansainvälisissä vertailuissa perustuu sellaiseen osaamiseenongelmien ratkaisuissa, mikä ei kuvasta varsinaisenmatematiikan osaamista. Varmasti monet ongelmanratkaisutovat lukiossa motivoivia, mutta tärkeintäolisi luoda matemaattiset valmiudet ammattialojen todellistenongelmien käsittelyyn ja matematiikan opiskeluunkorkeakouluissa. Opettajien on tunnettava matemaattisettarpeet korkeakouluopinnoissa ja välitettävätätä tietoutta oppilaille motivaatioksi. Globaalissamaailmantaloudessa Suomen hyvinvoinnin ylläpito perustuuteknologiseen osaamiseen, jossa matematiikallaon ratkaisevampi merkitys kuin yleisesti tiedetään.Vähäiset vaatimukset. Monet opiskelijat moittivatlukio-opetustaan siitä, että niistä pääsi liian helpostiläpi osaamatta edes perusasioita; poissaoloja sallittiin;pakollisia kotitehtäviä toivottiin nyt jälkikäteen.Kommentti: Korkeakouluissa vaaditaan todellista eikäsuhteellista osaamista. Absoluuttista osaamista perusasioissaon vaadittava jo aiemmin: ammattikorkeakouluissanäkee paljon ylioppilaita, jotka ovat lukiossa tottuneetsiihen, että kursseista pääsee läpi vähäisin tiedoin,ja jotka tajuavat realiteetit liian myöhään joutuenlopulta lopettamaan osaamattomuuden suohon vajonneetopintonsa. Opiskelijoiden oman edun vuoksi matematiikanopettajan tulee vaatia matematiikan perusteidenosaaminen kaikilta oppilailta – mitään sivistyksellistävahinkoa ei tapahdu, vaikka sitten myöhemminosoittautuukin, että jotkut eivät matematiikkaa tarvitse.Hitaammin oppivien tukeminen. Lukion opettajiansaovat eräät opiskelijat arvostelleet siitä, että hekiinnittivät huomionsa hyvin menestyviin oppilaisiin jajättivät hitaammin matematiikkaa oppivat oman onnensanojaan. Kommentti: Matematiikassa tosiaan perinteisestikunnioitetaan huippuosaajia, mutta jokaisenopettajan tulisi kuitenkin tietää, kuinka laajasti matematiikkaatarvitaan jatko-opinnoissa ja kuinka tärkeääsiksi on kärsivällisesti varmistaa, että kaikki oppivathyvin matematiikan perusasiat. Moni hitaasti matematiikkaaoppiva ei myöhemmin sitä aktiivisesti käytäammattielämässä, mutta tarvitsee sitä korkeakouluopinnoissa.Olen opettanut monia lukion matematiikassakuutosen saaneita opiskelijoita, jotka ovat menestyneethyvin matematiikassa motivoiduttuaan sitäharjoittelemaan ja joista on tullut hyviä insinöörejä.Johtopäätöksiä ja ehdotuksiaKurssimuotoisessakin lukiossa on huolehdittava perusasioidenosaamisesta, ettei käy niin, että opiskelija pääseejokaisesta kurssista läpi opittuaan pintapuolisestijoitain uusia ideoita, osaamatta kuitenkaan matematiikanperusteita. Tämä koskee myös lyhyen matematiikanlukijoita. Esimerkiksi rakennusosastolla opiskelevistaylioppilaista noin kolmasosa on suorittanutlyhyen matematiikan. Siis myös lyhyen matematiikanopettajan on opiskelijoiden oman edun vuoksi vaadittava,että he osaavat hyvin matematiikan perusteet. Etukäteenlukiossa ei voi tietää, ketkä tulevat myöhemmintarvitsemaan matematiikkaa.Vaikka korkeakoulujen ammattiaineiden kannalta ontärkeintä, että opiskelijat hallitsevat rutiininomaisestiperusmatematiikan, jota ammattiaineet sitten käyttäväthyväksi omia ilmiöitään kuvatessaan ja niiden ongelmiaratkaistessaan, on erittäin tärkeää, että opetettavatasiat perustellaan hyvin. Perustelut edistävät oppilaidenomakohtaista ajattelua – vastakohtana on seikävä tilanne, että opiskelija kokee matematiikan tylsänäkaavakokoelmana. Lukiossa ja ammattikouluissaperustelujen ei tarvitse olla korkeakoulutasoisia. Vaikeattäsmälliset perustelut voidaan esittää alaviitteissätai liitteissä lahjakkaimpien opiskelijoiden hyödyksi.Matematiikan perusteita opiskeltaessa on myös opittavamuutamia asioita ulkoa kuten esimerkiksi trigonometristenfunktioiden määritelmät, jotka vain noinpuolet rakennusosaston uusista ylioppilaista muisti.Kun esimerkiksi statiikassa jatkuvasti esiintyy sinejä jakosineja, ei opiskelija ehdi oppitunneilla kaavakokoelmaaselaten saada selville niiden määrittelyjä. Se, ettämuistaa perusmääritelmät ja -tulokset, joita matematiikassaei ole paljon, on nykyisenkin kasvatustieteellisenperussuuntauksen, konstruktivismin, mukaista: ihmisentäytyy rakentaa omaa osaamista, ja yhtenä osatekijänäsiinä on perusasioiden muistaminen.Ammattikorkeakouluissa uusia asioita opetettaessa näkee,kuinka harjaantumattomia useat opiskelijat ovathahmottamaan ja painamaan mieleensä opetettavanasian keskeisiä määritelmiä ja tuloksia. Kaavakokoelmienkäytöllä on ollut tässä suhteessa turmiollinen vaikutus.Kaavakokoelman sijasta opettaja voi selvästi sanoa,mitkä asiat täytyy osata ja muistaa, ja hän voikokeessa antaa vähemmän tärkeät yhtälöt. Kaavakokoelmienkäytön kritiikkiä esitettiin jo Kivelän (1994)artikkelissa.YlioppilaskirjoituksetMatematiikan perusteiden oppimiseksi jo lukiossa onesitetty erittäin hyvä ehdotus: matematiikan ylioppilaskirjoitustenjakaminen kahteen osaan (Toivonen, 1995).

18 SolmuKaksiosaista koetta ovat MAOL ja SMFL kannattaneet(Björkman, Parviainen, 2000). Ensimmäinen osa käsittäisipakollisten kurssien keskeisten sisältöjen hallintaamittaavia, lähinnä mekaanisia tehtäviä. Siihen sisältyisisiten edellisen kaltaisia perusalgebran tehtäviä sekäeräitä geometrian ja trigonometrian tehtäviä sekä mekaanisiaderivointi- ja integrointitehtäviä. Taulukkokirjojenkäyttö ei olisi sallittua. Toinen osa käsittäisi matematiikansoveltamiseen ja ongelmien ratkaisuun liittyviätehtäviä, joissa matemaattinen malli on ensin itsemuodostettava ja sitten ratkaistava.Myös Ylioppilastutkintolautakunnan vuonna 1998asettama matematiikan kokeen kehittämisryhmä pitikaksiosaista koetta kaikin puolin hyvänä, mutta katsoikuitenkin, ettei tässä vaiheessa käytännön järjestelyjenvaikeuden vuoksi ole mahdollista ehdottaa kahteenkokeeseen siirtymistä (Lahtinen, 1999). Nyt olisikinpohdittava, miten käytännön järjestelyt voitaisiintoteuttaa. Ehkä hankalin puoli alkuperäisessä ehdotuksessaoli kokeen kaksipäiväisyys. Kuitenkin matematiikantaidot voidaan varmasti testata myös nykyisenkuuden tunnin aikana. Kaksiosainen koe voitaisiintoteuttaa esimerkiksi seuraavasti: ensin on 2 tunninmatematiikan perusteiden koe, jossa on ratkaistavailman taulukkokirjaa esimerkiksi 40 suoraviivaista, mekaanistatehtävää; ajan loputtua vastauspaperit kerätäänpois ja jaetaan soveltavia tehtäviä neljän tunninajaksi. Arvostelussa voitaisiin kumpaakin osaa painottaayhtä paljon.ViitteetBjörkman, Jouni ja Pentti Parviainen (2000), Matematiikanja fysiikan osaaminen hyödyllistä yhteiskunnassa,Tekniikan Akateemiset, 4/2000.Kinnunen, Launonen, Sorvali, Toivonen (1985), Teknistenammattien matematiikka 2Z, WSOY.Kivelä, Simo, 1994, Minne olet menossa, lukion matematiikka,Dimensio 4/94.Lahtinen, Aatos (1999), Ylioppilastutkinnon matematiikankokeen uudistus, Dimensio 4/99.Martio, Olli (2001), Osataanko matematiikkaa sittenkään?,Yliopisto-lehti 10/01.Peltola (2001), Matematiikan osaamistasoa on parannettava,Dimensio 4/01.Toivonen, Pertti (1995), Esitutkinta matematiikan yokokeeseen,Dimensio 5/95.Toivonen, Pertti (1998), Insinöörikoulutuksen matematiikanopetuksen ongelmia, Helsingin ammattikorkeakoulunjulkaisuja. Sarja B: Raportit 2.Artikkeli on julkaistu aikasemmin Dimension numerossa 5/03, ja sen Solmussa julkaisuun on saatu lupa sekälehdeltä että artikkelin kirjoittajalta.

Solmu 19Polynomit, interpolaatio ja funktionapproksimointiHeikki ApiolaLehtoriMatematiikan laitos, Teknillinen korkeakouluJohdanto, taustaaKirjoitus liittyy aihepiiriin numeerinen analyysi, tieteellinenlaskenta, tietokoneen käyttö matematiikassa.Siihen liittyviä kirjoituksia on jonkinverran esiintynytSolmun historian aikana, esimerkiksiJouni Seppänen: Fibonaccin lukujen laskennasta(solmu.math.helsinki.fi/1998/2/seppanen/),Oma kirjoitukseni symbolilaskentaohjelmistosta Maple(solmu.math.helsinki.fi/1999/5/apiola/),Antti Rasila: Numeerista matematiikkaa Python-kielellä(solmu.math.helsinki.fi/2004/2/python2.pdf).Tarkoitukseni on aloittaa kirjoitussarja, jossa käsitelläännumeerisen matematiikan eri teemoja siinähengessä, että esitiedoiksi riittävät lukion matematiikantiedot. Kirjoitukset voisivat parhaassa tapauksessatarjota ideoita lukion erikoiskursseille, jotkaovat tyyppiä ”numeerinen analyysi/tieteellinen laskenta/matemaattinenmallinnus”.Samalla esittelen alan tietokoneohjelmistojen käyttöä.Niitä on kahta päätyyppiä: numeeriset ja symboliset.Jälkimmäisistä kirjoitin yllä mainitussa viitteessä aikalaajasti Tällä kertaa esittelen pientä nurkkaa suurestaja kauniista ohjelmasta nimeltään Matlab. Kyseessä onhyvin tehokas ja suuren suosion maailmalla saanut tieteellisenlaskennan työkalu. Kts. www.mathworks.com.Lukija, joka haluaa etupäässä seurata aiheen matemaattistakehittelyä, voi jättää ohjelmakoodit jaselostukset lukematta ja suorittaa joitakin laskujavaikkapa omalla laskimellaan. Toisaalta Matlab:stakiinnostunut lukija voi opetella rinnakkain sekäMatlab-ajattelua että sen tukemaa matematiikkaa.Tässä on hyvä käyttää lisäapuna vaikkapa opasta:www.math.hut.fi/~apiola/matlab/opas/lyhyt/Harvalla koululaisella on Matlab-ohjelma käytössään,siksi onkin suositeltavaa hakea verkosta julkisohjelmaOctave, www.octave.org/, joka on ”riisuttu versio”Matlab:sta. Sillä voidaan tehdä kaikki kirjoituksenesimerkit, ja sen avulla pääsee sisälle Matlab:n ajatusmaailmaan.Luettavuuden parantamiseksi ja matemaattisen juonenseuraamisen helpottamiseksi sijoitan suurimmanosan ohjelmakoodeista ja ohjeista tekstitiedostoihin,joiden sisältöä en ota varsinaiseen kirjoitukseenmukaan. Monet näistä ovat ajovalmiita Matlabskriptejä,eli komentotiedostoja. Myös kaikki kirjoituksenkuvien tekemiseen käytetyt Matlab-skriptit

20 Solmuovat mukana. Koodit ja ohjeet ovat saatavilla sivultasolmu.math.helsinki.fi/2004/3/apiola/, jostane voi haluttaessa suoraan leikata/liimata Matlabistuntoon.Symbolilaskennasta kiinnostunut lukija voi aivan hyvin(ja jopa helpomminkin) tehdä esimerkit Maplellatai Mathematicalla. Edellisen suhteen ohjeitaon saatavissa edellä mainitusta kirjoituksestasolmu.math.helsinki.fi/1999/5/apiola. Jos sinullasattuu olemaan Maple käytettävissäsi ja haluatohjeita esimerkkeihin, niin lähetä mailia: heikki.apiola@hut.fi,saat paluupostissa asiaankuuluvanMaple-työarkin.1.81.71.61.51.41.31.2TaulokkopisteetLaskettu arvo pisteessä x=10Esitiedot. Kirjoituksen lukemiseen tarvittavat matemaattisetesitiedot sisältävät vain perusalgebraa, hiemantottumusta polynomien käsittelyssä ja funktioopinperusteita.JohdatteluaAjatellaanpa, että veden viskositeetti on määrätty kokeellisestieri lämpötiloissa, ja saatu seuraavanlainentaulukko, joka on annetulla tarkkuudella virheetön.Lämpötila 2 ◦ 5 ◦ 7 ◦ 15 ◦Viskositeetti 1.670 1.519 1.430 1.140Taulukko 1.Voitaisiin kysyä vaikkapa viskositeetin arvoa lämpötilassa10 ◦ .Eräs ratkaisuyritys olisi sovittaa aineistoon polynomisiten, että se kulkee kaikkien annettujen taulukkopisteidenkautta. Tällöin on luonnollista hakea kolmannenasteen polynomia, koska siinä on neljä määrättävääkerrointa, ja annettuna on sama määrä pisteitä.Saadaan neljän yhtälön ja neljän tuntemattoman yhtälöryhmä,joka voidaan ratkaista eliminaatiomenetelmällä.Näin saatavien kertoimien avulla voidaan kirjoittaaratkaisupolynomi:p(x) = − 2.6282 × 10 −5 x 3 + 1.5346 × 10 −3 x 2Kts. viskositeetti.m.− 6.0051 × 10 −2 x + 1.7842Tällaista polynomia, jonka kuvaaja kulkee kaikkien annettujentaulukkopisteiden kautta, sanotaan tähän taulukkoon(”dataan”) liittyväksi interpolaatiopolynomiksi.Asettamallemme tehtävälle saadaan nyt ratkaisuapproksimaatiolaskemalla p(10) = 1.310.1.10 5 10 15Kuva 1. Mittauspisteitä ja interpoloitu piste.Tässä kirjoituksessa opitaan (vielä) yksinkertaisempimenetelmä vastaavanlaisten tehtävien ratkaisemiseksi.Menetelmän verraton arvo on siinä, että samalla, kunsaadaan kauniin yksinkertainen ratkaisutapa, tarjoutuumyös helppo tapa yksikäsitteisen ratkaisun olemassaolontodistamiselle.Miten voidaan tutkia edellä olevan ratkaisun mielekkyyttäja virhekäytöstä? Näitä keskeisiä kysmyksiäkosketellaan (kevyesti) joidenkin dramaattistenkin esimerkkienvalossa kirjoituksen loppupuolella. Samallapohdiskellaan, milloin interpolaatio soveltuu ja milloinei, ja esitellään myös muiden funktioiden kuin polynomienkäyttöä tarkoitukseen.Approksimointia interpoloiden ja interpoloimattaOlkoon annettu taulukkox 0 x 1 x 2 . . . x ny 0 y 1 y 2 . . . y nTaulukko 2.Edellä olevaa johdantoesimerkkiä mukaillen ja yleistäenvoidaan kysyä funktiota g, jonka kuvaaja kulkeeannettujen taulukkopisteiden kautta.Luonnollisin lähtökohta on etsiä polynomia. Tehtävänäon silloin määrittää korkeintaan astetta n oleva polynomip, joka toteuttaa ehdotp(x 0 ) = y 0 , p(x 1 ) = y 1 , . . . , p(x n ) = y n .Interpolaatio tarjoaa joissakin tapauksissa menetelmänannetun funktion approksimointiin annetulla välillä.Tarkastellaan tässä lyhyesti myös muita approksimaatiotapojamyös muilla funktioilla kuin polynomeilla.Katsotaan tilannetta kolmelta eri näkökannalta.

Solmu 211. Voidaanko löytää yksinkertainen matemaattinenfunktio g, jonka arvoja nämä annetut taulukkoarvotovat, ts. g(x k ) = y k , k = 0, . . . , n ?2. Taulukko on peräisin mittauksista, joissa saattaaesiintyä virheitä. Tehtävänä olisi löytää matemaattinenlauseke, joka approksimoi aineistoa, mutta kuvaajaei kulje tarkalleen annettujen taulukkopisteidenkautta.3. On annettu funktio f, mahdollisesti tietokoneohjelmanmuodossa. Funktion arvojen f(x) laskenta on”kallista”, eli vaatii paljon laskentatehoa. Kysymyskuuluu: Voidaanko löytää yksinkertaisempi funktiog, joka approksimoi riittävän tarkasti funktiota f jajonka arvojen laskenta on ”halvempaa”. Funktiolta gvaaditaan usein lisäksi yksinkertaisuutta esimerkiksisiten, että sitä on helppo derivoida ja integroida.Kohdassa 1) on kysymys interpolaatiosta, funktio g voiolla polynomi, mutta se voi olla muutakin tyyppiä.Kohdan 2) tapauksessa interpolaatio ei ole järkevä tapa,koska on turha yrittää pakottaa approksimaatiotakulkemaan virhettä sisältävien arvojen kautta tarkasti.Tähän sopii yleensä hyvin ns. pienimmän neliösummanapproksimaatio, jolla annettujen arvojen pääsuunta,”trendi” saadaan esitetyksi.Kohtaan 3) voi soveltua interpolaatio, mutta tilanteestariippuen myös jokin muu approksimointitapa.Polynomit ovat hyvä lähtökohta approksimoiviksi funktioiksi.Niillä on helppo suorittaa yhteen- vähennys- jakertolaskuja, niitä voidaan derivoida ja integroida helposti,jne.Muitakin funktioluokkia esiintyy sovellutuksissa. Jaksollistenilmiöiden mallintamisessa on luonnollistakäyttää ”trigonometrisia polynomeja”, eli muotoaa 0 + a 1 cos x + a 2 cos 2x + . . . + b 1 sin x + b 2 sin 2x + . . .olevia funktioita.Entäpä, jos käytössämme on suuri taulukko, sanokaamme1000 arvoparia (x k , y k )? Tällöin interpolaatiopolynominasteluku voisi olla 999. Tällainen polynomi heilahteleevarsin voimakkaasti, ja sen laskenta on muutenkinhyvin työlästä ja virhealtista. Tilanteeseen soveltuuluontevasti ns. splinifunktio, joka koostuu ”polynomipaloista”.Näitä esitellään lyhyesti tarinamme lopussa.Kouluesimerkki, logaritmitaulukkoLähdetään liikkeelle jostain taulukoidusta funktiosta.Kaikille vanhemman polven koulunkävijöille tuttuakintutumpi funktiotaulukko on logaritmitaulu. Kun taulukonkäytön tekniikan osasi, sai varmasti yhden laskunylioppilaskirjoituksissa aikaan.Tehtävänä oli yleensä laskea ”vaikea tehtävä”, kahdenmonella numerolla annetun luvun a ja b tulo hakemallataulukosta log a ja log b ja laskemalla näiden summa(”helppo tehtävä”). Alkuperäisen tehtävän ratkaisusaatiin hakemalla taulukosta logaritmipuolelta summaalog a + log b lähinnä oleva y-arvo ja katsomallakäänteiseen suuntaan vastaava x-arvo.Jos haluat lisähavainnollistusta ja hieman logaritmiharjoittelua,avaapa sivuwww.eminent.demon.co.uk/sliderul.htm. Kuvan japerusteellisempaa opastusta aiheeseen löydät vaikkapasivulta www.sliderules.clara.net/.Tehtävätyyppi on mekaanisena suorituksena aika mielenkiinnoton,mutta sisältää koko joukon matemaattistaviisautta. Kuten yllä olevissa viitteissä esitellään, periaateon implementoitu elegantiksi laskentavälineeksi,laskutikuksi, jota ilman ei vielä niinkin myöhään kuin1960–1970-lukujen vaihteessa voitu kuvitella luonnontieteilijöidenja insinöörien koskaan pärjäävän.Lisäksi siinä näkyy pelkistetyssä muodossa eräs varsinpaljon matematiikassa ja sen sovelluksissa käytettäväyleinen periaate: ”Vaikea”tehtävä muunnetaan sopivallamuunnoksella ”helpoksi”, ratkaistaan ”helppo” tehtäväja käänteismuunnetaan ”helppo” ratkaisu.Tämänkertaisen teeman kannalta oleellista on, ettätuossa koulutehtävässä oli mukana interpolaatio. Logaritmiensumma ei yleensä osu tarkalleen taulukoituunarvoon, joten sitä joudutaan pyöristämään. Jos arvo onlähempänä puoliväliä kuin kumpaakaan päätepistettä,saadaan parempi tarkkuus laskemalla päätepistearvojavastaavien x-arvojen keskiarvo. Hienommin sanottuna,suoritetaan lineaarinen interpolaatio taulukkopisteidenvälillä.Esimerkkinä lasketaan taulukko logaritmifunktion arvoistapisteissä 1.0, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2.0.Suoritamme laskut Matlab:lla (tai Octave:lla).Matlab-ohjelmalle annettavat komennot alkavat kehotemerkeillä(>>). Ohjelman palauttamat tuloksetovat komentoa seuraavilla riveillä ilman kehotealkua.(Huomaa, että Matlab:ssa log tarkoittaa luonnollista,e-kantaista logaritmia.)

22 Solmu>> X=1:0.2:2 % Luvut alkaen 1:stä, 0.2:n välein, 2:een saakka.X =1.0000 1.2000 1.4000 1.6000 1.8000 2.0000>> Y=log(X) % Logaritmifunktion arvot X-pisteissä.Y =0 0.1823 0.3365 0.4700 0.5878 0.6931>> xytaulukko=[X;Y] % 2-rivinen ‘‘matriisi’’,jossa X- ja Y-arvotallekkain,xytaulukko =1.0000 1.2000 1.4000 1.6000 1.8000 2.00000 0.1823 0.3365 0.4700 0.5878 0.6931Matlab-käsitteitäJos haluat perehtyä aiheeseen tarkemmin, pääset alkuunedellä mainitulla lyhyellä www-oppaalla, kts.myös kirjallisuusviitettä 5.Esittelemme nyt lyhyesti näihin riveihin liittyviä periaatteita.Matlab operoi ”matriiseilla”, jolla tarkoitetaan suorakulmionmuotoista lukutaulukkoa. Erikoistapaus matriisistaon vektori, jossa on vain yksi rivi (vaakavektori)tai yksi sarake (pystyvektori).Muuta Matlab-oppia emme varsinaiseen kirjoitukseensisällytä. Oheismateriaalina olevat Matlabkomentotiedostoton varustettu runsailla selittävillä jaopettavaisilla kommenteilla. Ne ovat .m-loppuisia tekstitiedostojaja saatavissa siis sivultasolmu.math.helsinki.fi/2004/3/apiola/.Matriisilaskentaa ei tarvita kirjoituksen ymmärtämiseksi,mutta olkoon se pikku maistiaisena siitä käsitteistöstä,jonka kaikki matematiikkaa ja sen sovelluksiakoulun jälkeen opiskelevat hetimiten kohtaavat.Samalla saamme hyödyllisen puhetavan, jonka avullaMatlab-kielen operaatioita on helppo kuvata ja ymmärtää.0.7Yllä olevassa laskussa muodostamme vektorin X, johonsovellamme funktiota log. Tällöin Matlab soveltaafunktiota log argumenttivektorin jokaiseen komponenttiin,joten saamme yhdellä käskyllä kaikkien logfunktionarvojen vektorin Y.Jos suoritamme Matlab-komennon plot(X,Y), ohjelmapiirtää (X(k),Y(k))-pisteiden väliset janat. Näinsaamme kuvan, joka esittää logaritmifunktion “paloittainlineaarista interpolaatiota” annetuissa x-pisteissä.Ennenkuin jatkamme approksimointiteemaa, kertaammehiukan polynomien ominaisuuksia.PolynomeistaKoulumatematiikassa polynomit tulevat varmasti jokapäiväisiksituttaviksi. Niillä opitaan suorittamaan peruslaskutoimituksia,derivointi ja integrointi on sujuvaa.Niiden kuvaajat tulevat tutuiksi, ainakin alhaisillaasteluvuilla, polynomiyhtälöitä opitaan ratkaisemaan,kun asteluku ≤ 2, jne.Tässä kirjoituksessa valotan eräitä polynomien käyttöalueita,joita matematiikassa on miltei rajattomasti.Aloitan kertaamalla koulusta tutun lauseen.0.6Lause 1. Jos polynomilla0.5p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n x n0.4on nollakohta x 0 , niin p(x) on jaollinen (x − x 0 ):lla.0.30.20.101 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2Kuva 2. Logaritmifunktion paloittain lineaarinen interpolaatio.Todistus. Muodostetaan erotusp(x)−p(x 0 ) = a 1 (x−x 0 )+a 2 (x 2 −x 2 0)+. . .+a n (x n −x n 0 ).Jokaisessa termissä (x k − x k 0) on (x − x 0 ) tekijänä johtuenkaavastax k −x k 0 = (x−x 0 )(x k−1 +x k−2 x 0 +. . .+xx k−20 +x k−10 ).

Solmu 23Tehtävä 1. Johda yllä oleva kaava. Voit laskea ensinvaikka tapauksen k = 3, jolloin varmasti näet kokojuonen. Kerro vain auki kaavan oikea puoli sopivassajärjestyksessä.Saamme heti yksinkertaisen, mutta tärkeän tosiasian.Seuraus 2. [Yksikäsitteisyys] Jos kaksi korkeintaan astettan olevaa polynomia yhtyy (n+1) :ssä eri pisteessä,niin ne yhtyvät kaikkialla (ts. ovat identtiset).Todistus. Olkoot p ja q korkeintaan astetta n olevia polynomeja,jotka saavat samat arvot pisteissä x 0 , . . . , x n .Tällöin erotuspolynomi r(x) = p(x)−q(x) on niinikäänkorkeintaan astetta n. Olkoon tuo asteluku d ≤ n. Erotuspolynomillar on oletuksen mukaan d+1 (jopa n+1)erillistä nollakohtaa x 0 , . . . , x d . Kun lausetta sovelletaanperäkkäin d kertaa, seuraa erotuspolynomille esitysr(x) = c(x − x 0 ). . . . .(x − x d−1 ),missä c on jokin vakio. Koska myös r(x d ) = 0 ja kaikkitekijät x d − x i , i = 0 . . . d − 1 ovat nollasta erillisiä, ontulon nollasäännön mukaan oltava c = 0, eli erotuspolynomir(x) = p(x) − q(x) on identtisesti 0.Huomautus 1. Yksinkertaisimmassa tapauksessa n =1 on geometrisesti kyse siitä, että tason kaksi pistettämäärää yksikäsitteisesti suoran. Tapaus n = 2 tarkoittaa,että 3 pistettä määrää yksikäsitteisesti paraabelin.Huomautus 2. Jos olemme tavalla tai toisella löytäneetinterpolaatiotehtävälle ratkaisun, niin seuraus 2:nmukaan tämä on ainoa ratkaisu. (Toki polynomit saattavatesiintyä erilaisissa muodoissa, mutta yksikäsitteisyys(samuus) merkitsee, että ne ovat sievennettävissätoisikseen.)Esitämme hämmästyttävän suoraviivaisen ratkaisuntehtävällemme. Se on täysin riippumaton yhtälöryhmienteoriasta. Emme tarvitse matriiseja emmekä determinantteja.Saamme olemassaolon todistetuksi konstruoimallasuoraan käyttökelpoisen muodon tehtävänratkaisulle.Itse asiassa tehtävälle on kaksi nerokkaan yksinkertaistaratkaisutapaa, joihin kumpaankin liittyy kuuluisanmatemaatikon nimi: Lagrange ja Newton. Esitämmeratkaisun edellisen mukaan.Lineaarinen interpolaatioJotta idea tulisi esiin mahdollisimman pelkistetysti,lähdetään yksinkertaisimmasta tilanteesta, jossa pisteitäon kaksi ja kyseessä on siten lineaarinen interpolaatio.Analyyttisen geometrian tiedoilla osaamme muodostaasuoran kahden annetun pisteen (x 0 , y 0 ) ja (x 1 , y 1 ) kautta.Voimme kirjoittaa interpolaatiopolynomin muotoon:p(x) = y 0 + y 1 − y 0x 1 − x 0(x − x 0 ).Jotta saataisiin yleistyskelpoinen muoto, kirjoitetaankaava painotettuna keskiarvona y-arvoista keräämälläy-termien kertoimet tekijöiksi:p(x) = y 0x − x 1x 0 − x 1+ y 1x − x 0x 1 − x 0.Merkitään kaavassa esiintyviä ensimmäisen asteen polynomejaL 0 (x) ja L 1 (x), jolloin siisp(x) = y 0 L 0 (x) + y 1 L 1 (x).Polynomeilla L 0 ja L 1 on ominaisuudet L 0 (x 0 ) =1, L 0 (x 1 ) = 0 ja L 1 (x 0 ) = 0, L 1 (x 1 ) = 1. Niitä kutsutaan1. asteen Lagrangen kertojapolynomeiksi.11Lagrangen interpolaatiomenetelmäKerrataan vielä:Interpolaatiotehtävä Annettu x k - ja y k -pisteet, k =0, . . . , n (taulukko 1). Määrättävä korkeintaan astettan oleva polynomi p siten, että p(x k ) = y k , k = 0, . . . , n.L 0(x)L 1(x)Voisimme muodostaa yhtälösysteemin polynomin kertoimienratkaisemiseksi, kuten teimme johdantonaolevassa viskositeettiesimerkissä. Jotta saisimme tätäkautta osoitetuksi ratkaisun olemassaolon yleisesti, joutuisimmekohtalaisen pitkiin matriisilaskennallisiin kehittelyihin.Lisäksi tämä ratkaisutapa on numeerisesti”häiriöaltis”, pienillä lähtövirheillä on taipumus moninkertaistualaskun kuluessa.0Kuva 3. 1. asteen Lagrangen polynomit L 0 ja L 1 .Esimerkki 1. Olkoon annettu logaritmitaulukkoarvotln 9.0 = 2.1972 ja ln 9.5 = 2.2513. Laske lineaarista interpolaatiotakäyttäen likiarvo ln 9.2:lle.0

24 SolmuRatkaisu. Lasketaan Lagrangen polynomit, kun x 0 = Aivan samoin saadaanL 0 (x) = (x − x 1)(x − x 2 )(x 0 − x 1 )(x 0 − x 2 ) . Edellinen yleistyy nyt ilmeisellä tavalla.9.0, x 1 = 9.5. (Huomaa, että Lagrangen polynomitmääräytyvät pelkästään x 0 − ja x 1 -arvoista.)L 0 (x) = x − 9.59.0 − 9.5 , L 1(x) = x − 9.09.5 − 9.0 .L 1 (x) = (x − x 0)(x − x 2 )(x 1 − x 0 )(x 1 − x 2 ) ,L 2 (x) = (x − x 0)(x − x 1 )(x 2 − x 0 )(x 2 − x 1 ) .Kun sijoitetaan x = 9.2, saadaan L 0 (9.2) = 0.6,L 1 (9.2) = 0.4. Siis p(9.2) = y 0 · 0.6 + y 1 · 0.4 =2.1972 · 0.6 + 2.2513 · 0.4 = 2.2188.Miten suuri virhe tehdään? Logaritmin arvo 5:n numerontarkkuudella on 2.2192, joten virhe on 2.2192 -Jos merkitään l 0 (x) = (x − x 1 )(x − x 2 ), l 1 (x) = (x −x 0 )(x − x 2 ), l 2 (x) = (x − x 0 )(x − x 1 ), niinL k (x) = l k(x), k = 0, 1, 2.l k (x k )2.2188 = 0.0004. Pyöristyksen jälkeen saamme 4 oikeaanumeroa.Kvadraattinen (eli toisen asteen) interpolaatioSanallisesti sanottuna: L k (x):n osoittajassa on tekijät(x − x j ), j ≠ k, ja nimittäjä saadaan osoittajasta korvaamallax arvolla x k .Miten voisimme yleistää edellä olevaa menettelyä? Kunsiirrymme lineaarisesta kvadraattiseen tapaukseen, tuleesamalla selvästi näkyviin, miten yleinen tilanne hoi-1.2L 0L 1detaan.L 21Nyt on siis annettu 3 pistettä x 0 , x 1 , x 2 ja vastaavaty 0 , y 1 , y 2 . Jos osaisimme muodostaa toisen asteen polynomit0.8L 0 , L 1 , L 2 siten, että0.6L 0 (x 0 ) = 1, L 0 (x 1 ) = 0, L 0 (x 2 ) = 0L 1 (x 0 ) = 0, L 1 (x 1 ) = 1, L 1 (x 2 ) = 00.4L 2 (x 0 ) = 0, L 2 (x 1 ) = 0, L 2 (x 2 ) = 1,0.2voisimme kirjoittaa interpolaatiopolynomin heti:p(x) = y 0 L 0 (x) + y 1 L 1 (x) + y 2 L 2 (x).Perustelu:0−0.2−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Kuva 4. 2. asteen Lagrangen polynomit L 0 , L 1 ja L 2 .1) Polynomi on toisen asteen polynomien summanakorkeintaan astetta 2.Tehtävä 2. Täydennä edellistä esimerkkiä siten, ettäotat lisäpisteen ln 11.0 = 2.3979. Laske näin saatavan2) Lisäksitoisen asteen polynomin arvo samassa pisteessa x = 9.2ja vertaa virheitä.p(x 0 ) = y 0 L 0 (x 0 ) +y 1 L 1 (x 0 ) +y 2 L 2 (x 0 ) = y 0 .} {{ } } {{ } } {{ } Huomautus 3. Lagrangen menetelmän varjopuoli on,100että lisättäessä interpolaatiopisteitä, joudutaan kaikkiAivan samoin saadaan p(x 1 ) = y 1 ja p(x 2 ) = y 2 . laskut suorittamaan uudestaan. Tässä suhteessa edellämainittu Newtonin menetelmä on etevämpi.Siispä asettamamme tehtävän ratkaisuna on tämä polynomip. Kaiken lisäksi se on seuraus 2:n perusteellaKuten luonnollista on, tarkkuus paranee, kun annettujapisteitä lisätään: approksimoitavan funktion kannal-yksikäsitteinen.ta ajatellen on luonnollista, että kun käytettävissämmeMiten sitten tuollaiset L k -polynomit löydetään? Katsotaanvaikka L 0 :aa. Polynomin pitää saada arvo 0 pisteissäon yksi lisäparametri, jolla suora voidaan ”taivuttaa”paraabeliksi, niin tarkkuutta saadaan parannetuksi.x 1 ja x 2 . Sellainen polynomi on c(x−x 1 )(x−x 2 ),missä c on mielivaltainen vakio. Määrätään vakio c siten,Yleinen tapausettä ehto L 0 (x 0 ) = 1 toteutuu, ts. c(x 0 − x 1 )(x 0 −x 2 ) = 1, josta saadaan kerroin c = 1/((x 0 − x 1 )(x 0 − Annettu pisteet x 0 , . . . , x n ja vastinpisteet y 0 , . . . , y n .x 2 )), jotenEtsitään siis korkeintaan astetta n olevaa polynomia p,jolle p(x k ) = y k , k = 0, . . . , n.

Solmu 251) Muodostetaan n-asteiset Lagrangen kantapolynomit,joilla on ominaisuus: L k (x j ) = 1, kun k = j ja0, kun k ≠ j.Kirjoitetaan kaava L 0 :lle:L 0 (x) = (x − x 1)(x − x 2 ) . . . (x − x n )(x 0 − x 1 )(x 0 − x 2 ) . . . (x 0 − x n ) .Vastaavasti saadaan muut kantapolynomit L k , k =1, . . . , n.Sääntö. Kenties on selvempää antaa sanallinen kuvausL k -polynomin muodostamissäännöstä kuin yleinenkaava:L k (x) saadaan osamääränä, jonka osoittajassa on termien(x − x j ) tulo, josta puuttuu tekijä (x − x k ). Nimittäjäsaadaan korvaamalla osoittajan x luvulla x k .(Puuttuva termi on juuri se, jossa tapahtuisi tällä kohdalla0:lla jako.)2) Aivan samoin kuin edellä kvadraattisessa tapauksessa,nähdään heti, että ratkaisuna tehtävällemme onpolynomip(x) = y 0 L 0 (x) + y 1 L 1 (x) + . . . + y n L n (x).Kootaan tulos vielä lauseeksi.Lause 3. Polynomi-interpolaatiotehtävällä (PI) on yksikäsitteinenratkaisu p, joka voidaan esittää muodossa.p(x) = y 0 L 0 (x) + y 1 L 1 (x) + . . . + y n L n (x),missä L k :t ovat edellä esitettyjä Lagrangen polynomejaTodistus. Olemassaolopuolen perustelimme edellä, yksikäsitteisyyssaadaan taas suoraan seuraus 2:sta.HarjoitustehtäviäTehtävä 3. Ratkaise johdantoesimerkkinä oleva viskositeettitehtäväLagrangen menetelmällä. (Huomaa, ettäinterpolaatiopolynomia ei ole tarpeen ”kertoa auki”.)Tehtävä 4. Osoita, että pisteisiin x 0 , x 1 , x 2 liittyvätLagrangen kantapolynomit L 0 , L 1 , L 2 toteuttavat ehdonL 0 (x) + L 1 (x) + L 2 (x) = 1 kaikilla reaaliluvuilla x.Yleistä mieleivaltaiselle n:lle.Vihje. Voit toki tehdä tapauksen n = 3 sieventämällätai antamalla symboliohjelman (Maple, Mathematica)sieventää. Mutta varsinainen yleiseen tilanteeseen sopivaahaa-elämys syntyy, kun sovellat vain interpolaatiolausetta(tai pelkästään seurauslausetta 2) sopivasti.InterpolaatiovirheKuten edellä oli puhe, interpolaatiota voidaan käyttäämenetelmänä funktion approksimointiin. Olennainenkysymys on tällöin, miten suuri virhe tehdään.Jos kyseessä on n + 1 kertaa jatkuvasti derivoituvanfunktion interpolointi n + 1:ssä pisteessä (siis korkeintaann-asteisella polynomilla), voidaan virheelle johtaakaunis kaava, joka on muotoa|f(x) − p(x)| ≤ M|(x − x 0 )(x − x 1 ) . . . (x − x n )|,missä vakio M on (n + 1):sen derivaatan itseisarvon|f (n+1) | maksimi ao. välillä jaettuna luvulla(n + 1)! = 1 · 2 · . . . · (n + 1).Emme ryhdy tämän kaavan perustelemiseen, emmekämyöskään esittele sen soveltamista tällä kertaa. Sensijaanotamme tuntumaa siihen, minkälaisia yllätyksiävoi virhekäytöksen suhteen tulla vastaan.Edellä näimme esimerkkejä ensimmäisen ja toisen asteeninterpolaatiopolynomista. Havaitsimme esimerkkiemmeyhteydessä, että interpolaatiopisteitä lisäämälläja siis polynomin astelukua kasvattamalla saimmevirheen taulukkopisteiden välillä pienenemään. Niinpäherää luonnollinen kysymys.Jos interpolaatiopisteitä lisätään rajatta, läheneekö interpolaatiovirhenollaa?Virhekaavasta ei ole mahdollista päätellä yleisesti, koskasiinä esiintyy max |f (n+1) |. Sehän voi periaatteessakäyttäytyä aika mielivaltaisella tavalla n:n kasvaessa.Niinpä tulee mieleen vastaesimerkin hakeminen. Sellaisenon ystävällisesti meille tarjoillut matemaatikkoC. Runge jo v. 1901.Esimerkki 2 (Rungen koe). Tarkastellaan funktiotaf(x) =11+25xvälillä [−1, 1]. Katsotaan, mitätapahtuu, kun suoritetaan tasavälinen polynomi-2interpolaatio ja pisteitä (polynomin astelukua) kasvatetaan.1.210.80.60.40.20−0.2−1 −0.5 0 0.5 110.80.60.40.20−0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.610.50−0.5−1 −0.5 0 0.5 10.040.030.020.010−0.01−0.02−0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6Kuva 5. Rungen funktion11+25x 2 interpolointia.

26 SolmuVasemmassa yläkuvassa on f(x) =11+25x 2 (arvoon1 saakka kurkottava) ja 5-asteinen interpolaatiopolynomi,oikeassa yläkuvassa on mukana heilumassa 20-asteinen interpolaatiopolynomi.Vasemmassa alakuvassa on oikea yläkuva rajoitettunakeskemmälle väliä (välille [−0.6, 0.6]). Oikeassa alakuvassaon tämän virhekäyrä, eli f(x)−p 20 (x) samaisellakeskiosalla.Kuvista nähdään, että kun interpolaatiopolynomin astekasvaa 5:stä 20:een, niin tarkkuus välin keskivaiheillaparanee huomattavasti. Toisaalta välin reunojen läheisyydessäkorkempiasteinen polynomi heilahtelee aivanvillisti, ja kuvan perusteella tuntuu varsin uskottavaltase Rungen todistama tosiasia, että koko välillä laskettumaksimivirhe lähenee jopa ääretöntä, kun n kasvaarajatta.Tämä käytös antaa aiheen arvella, että tasavälinen pisteistöei olekaan hyvä, vaan kannattaisi valita pisteetniin, että ne ovat keskellä harvassa ja reunoille mentäessätihenevät. Samainen Runge havaitsi, että valitsemallapisteet ns. Tsebyshev-polynomien nollakohdiksi,saadaan virhe suppenemaan kohti nollaa. Kyseinenpisteistö tosiaankin kasaantuu kohti välin reunoja, jase on tämän tehtävän kannalta optimaalinen.Kuvat on tehty Matlab-skriptillä runge.m. Sitä muokkamallavoit kehitellä omia kokeilujasi.Samalla nähdään yleinen numeerisissa algoritmeissaesiintyvä tilanne. Menetelmän tarkkuuden parantamiseenon kaksi tapaa:• Nostetaan menetelmän ”kertalukua”, jolla interpolaationtapauksessa tarkoitetaan polynominastelukua.• Jaetaan kyseessä oleva väli, alue tms. pienempiinosiin ja lasketaan approksimaatio kullakin osallaerikseen ja yhdistetään osat kokonaisuudeksi.Yleensä numeerisissa algoritmeissa käytetään näidenmenettelyjen sopivaa yhdistelmää.Jos tehtävänä olisi muodostaa annettuun dataan liittyväkuutiollinen splini, niin edellä sanotun, splinin määrittelevänperiaatteen mukaan olisi suoraviivaista kirjoittaayhtälöt. Nähtäisiin, että määrättäviä kertoimiaon kaksi enemmän kuin ehtoja. Näin jäisi vapaasti valittavaksikaksi ”reunaehtoa”, jonka jälkeen tehtävälläolisi yksikäsitteinen ratkaisu.Koska en halua laajentaa kirjoitusta liikaa, en meneyksityiskohtiin lähemmin. Sensijaan turvaudun valmiiseen”mustaan laatikkoon”, Matlab-funktioon spline.Sen käyttöesimerkki on Matlab-skriptissämmerungesplini.m, jolla ao. kuva on piirretty.Polynomeista palapolynomeihinViittasimme kirjoituksen alkupuolella ongelmaan, jokaliittyy laajan taulukon interpolointiin. Siinä esiintyvääproblematiikkaa havainnollistimme Rungen kokeilla.Logaritmitaulukon yhteydessä emme suinkaan pyrkineetpolynomiin, jonka kuvaaja kulkee kaikkien taulukkopisteidenkautta, vaan suoritimme paloittain lineaariseninterpolaation. Yleisemmin voisimme pyrkiäkäsittelemään interpolaatiotehtävää sopivissa palasissa,jotka koostuisivat korkeamman kuin 1. asteen polynomeistaja jotka liitoskohdissa säädettäisiin mahdollisimmansileiksi, ts. järjestettäisiin kertoimet niin, ettäsaadaan mahdollisimman monta jatkuvaa derivaattaaliitoskohdissa.Tämän periaatteen mukaista palapolynomia on ruvettukutsumaan englanniksi nimellä ”spline”, jonka suomenkielinenkäännös on yksinkertaisesti ”splini”. Alunperintällä tarkoitettiin kolmannen asteen polynomipalasistakoostuvaa funktiota, jolla liitoskohdissa on jatkuvatderivaatat toiseen kertalukuun saakka. Tällaisen liitoksensilmä näkee täysin sileänä. Nykyisin spliniksi katsotaanedellä kuvattu yleinen tapaus, mutta kaikkeineniten käytetty lienee juuri tämä alkuperäinen kuutiollinensplini.10.80.60.40.20−0.2−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Kuva 6. Funktion f(x) =11+25x 2 interpolointi kuutiollisillasplineillä, jakamalla väli n:ään osaan, n =5, 7, 9, . . . , 21.Kuvasta nähdään, että heilahtelut pienenevät n:n kasvaessaja paksu käyrä ilmentää funktiojonon ”tasaista”suppenemista koko välillä kohti alkuperäistä Rungenfunktiota f.

Solmu 27Loppumietteitä, yhteenvetoaInterpolaatio on hyvä lähtökohta funktion approksimointiin,sillä on keskeinen merkitys numeerisen analyysinuseiden eri alueiden algoritmien ytimenä. Mainittakoonvaikka numeerinen derivointi ja integrointi,differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmät, funktionnollakohtien määrittäminen, jne.Polynomi-interpolaatiosta johduimme splineihin, jotkaovat käyttökelpoisia monenlaisissa isojen taulukoideninterpoloinneissa. Niitä käytetään paljon myös mm. tietokonegrafiikanalalla.Viitteet1. Burden-Faires. Numerical Analysis, 7 th ed.,Brooks/Cole, 2001.2. Cheney-Kincaid. Numerical Mathematics and Computing,Brooks/Cole, 2004.3. Forsythe-Malcolm-Moler. Computer Methods, forMathematical Computation, Prentice Hall, 1977.4. Kahaner-Moler-Nash. Numerical Methods andSoftware. Prentice Hall, 1989.5. Moler. Numerical Computing with Matlab, 2004,saatavissa verkosta: www.mathworks.com/moler/

28 SolmuSolmun 1/2004 tehtävien ratkaisujaTämän vuoden ensimmäisessä Solmussa 1/2004 oli tehtäviä,joihin vuoden 2004 matematiikkaolympiajoukkueenjäsen Lauri Ahlroth Espoosta on lähettänyt muutamiaratkaisuja. Muihin tehtäviin voi edelleen lähettääratkaisuja Solmun toimitukseen.7. Onko olemassa sellainen aritmeettinen lukujono, jokakoostuu erisuurista positiivisista kokonaisluvuista,ja jossa mikään jonon termi ei ole jaollinen millään neliöluvulla,joka on suurempi kuin 1?Ratkaisu. Ei ole. Olkoon aritmeettinen jonox n = an + b.Koska x n :t ovat kokonaislukuja, on peräkkäisten termienerotus a kokonaisluku. Koska x n :t ovat erisuuriaja positiivisia, on a positiivinen. n:t ovat myös kokonaislukuja,joten niin ikään b on kokonaisluku. Valitsemallan = b(a + 2) saadaanx n = ab(a + 2) + b = b(a + 1) 2 ,joka on jaollinen ykköstä suuremmalla neliöluvulla (a+1) 2 .8. Onko jollakin neliöluvulla desimaaliesitys, jonka luvunnumeroiden summa on 2002?Ratkaisu. On. Esimerkiksi(10 222 − 8) 2 = 10 444 − 16 · 10 222 + 64= 10 224 (10 220 − 1) + 10 222 · (100 − 16) + 64= 999 . . . 9984000 . . . 0064,missä sekä yhdeksikköjä että nollia on 220 kappaletta.Numeroiden summa on9 · 220 + 8 + 4 + 6 + 4 = 2002.9. Ratkaise seuraava yhtälö:Ratkaisu.2x 4 + 2y 4 − 4x 3 y + 6x 2 y 2 − 4xy 3 + 7y 2+ 7z 2 − 14yz − 70y + 70z + 175 = 0.0 = 2x 4 + 2y 4 − 4x 3 y + 6x 2 y 2 − 4xy 3 + 7y 2+ 7z 2 − 14yz − 70y + 70z + 175= x 4 + y 4 + (x − y) 4+ 7(y 2 + z 2 + 5 2 − 2yz − 2 · 5y + 2 · 5z)= x 4 + y 4 + (x − y) 4 + 7(y − z − 5) 2 .Viimeinen lauseke on reaalilukujen parillisten potenssiensummana ei-negatiivinen, ja nollaehdosta saadaanx = y = 0 ja z = y − 5 = −5.10. Ympyrä k 1 , jonka säde on R, ja ympyrä k 2 , jonkasäde on 2R, koskettavat ulkoisesti pisteessä E 3 , jaympyrät k 1 ja k 2 koskettavat ulkoapäin myös ympyrääk 3 , jonka säde on 3R. Ympyrät k 2 ja k 3 koskettavatpisteessä E 1 , ja ympyrät k 3 ja k 1 koskettavat pisteessäE 2 . Todista, että kolmion E 1 E 2 E 3 ympäri piirretylläympyrällä on sama säde kuin ympyrällä k 1 .

Solmu 29Ratkaisu. Olkoot ympyröiden k i keskipisteet O i , i =1, 2, 3. Ensinnäkin todetaan, että säteet E 1 :stä O 2 :eenja O 3 :een ovat kohtisuorassa vastaaville ympyröilleE 1 :stä piirrettyä yhteistä tangenttia vastaan. Tätenkulma O 2 E 1 O 3 vastaa kahta suoraa kulmaa, ja E 1 onjanalla O 2 O 3 . Vastaavasti E 2 on janalla O 3 O 1 ja E 3 onjanalla O 1 O 2 .Kolmion O 1 O 2 O 3 sivujen pituudet ovat O 1 O 2 = 3R,O 3 O 1 = 4R ja O 2 O 3 = 5R. Tämä vastaa tunnettuaPythagoraan kolmikkoa (3, 4, 5), joten tämä kolmio onsuorakulmainen, hypotenuusana sivu O 2 O 3 . KolmionO 1 O 2 O 3 sisään piirretyn ympyrän säteeksi r saadaanr = 2 · alapiiri=3R · 4R3R + 4R + 5R = R.Tarkastellaan kolmion O 1 O 2 O 3 sisään piirretyn ympyränkeskipisteen I kohtisuoria projektioita F 1 , F 2 ja F 3kolmion O 1 O 2 O 3 sivuilla O 2 O 3 , O 1 O 3 ja O 1 O 2 , tässäjärjestyksessä. IF 2 F 3 O 1 on suorien kulmien ja yhtäpitkien vierekkäisten sivujen vuoksi neliö, jotenO 1 F 2 = O 1 F 3 = IF 2 = r = R.Siis piste F 2 = E 2 samoin kuin F 3 = E 3 . Lisäksijoten myös F 1 = E 1 .O 2 F 1 = O 2 F 3 = 3R − R = 2R,Kolmion O 1 O 2 O 3 sisään piirretty ympyrä sivuaa kolmionO 1 O 2 O 3 sivuja nimenomaan pisteissä E 1 , E 2 jaE 3 . Se on siksi samalla kolmion E 1 E 2 E 3 ympäri piirrettyympyrä, ja sen säde on R, siis sama kuin k 1 :llä.11. Onko totta, että jos on olemassa annetun puolisuunnikkaankantojen kanssa yhdensuuntainen suora,joka puolittaa sekä puolisuunnikkaan pinta-alan ettäympärysmitan, niin silloin puolisuunnikas on suunnikas?Ratkaisu. Väite on epätosi. Lähdetään liikkeelle kolmiosta,jonka sivut ovat a, b ja c sekä c:tä vastaavakorkeusjana h. Venytetään kolmiota c-sivun vastainenkärki venytyskeskuksena ensin suhteella q > 1, jolloinsyntyy puolisuunnikas. Sitten jaetaan tämä puolisuunnikaskahteen osaan uudella kolmion venytyksellä, jonkasuhdeluku on jokin p, jolle 1 < p < q.Osapuolisuunnikkaiden pinta-alat ovat12 · (pc + qc)(qh − ph) = 1 2 · h · (q2 − p 2 )ja12 · (c + pc)(ph − h) = 1 2 · h · (p2 − 1).Yhtäsuuruus edellyttää, että√q2 + 1p = = p ala .2Piirien yhtäsuuruusehto sitä vastoin on(p − 1)(a + b) + qc + pc = (q − p)(a + b) + pc + c,mikä on yhtäpitävää yhtälönkanssa.p =(q − 1)ca+b + q + 12Suure t =c(a+b), missä a, b ja c ovat kolmion sivuja,voi saada minkä tahansa arvon nollan ja ykkösen väliltä(0 ja 1 poislukien). Arvolla t = 0 saataisiin p:lle arvop 0 = (q+1)2, ja arvolla t = 1 arvo p 1 = q. P :n lauseke ont:n jatkuva funktio, joten jokainen arvo välillä (p 0 , p 1 )saavutetaan jollakin arvolla t.Keskilukujen ominaisuuksien perusteella saadaan (tämäon myös helppo todistaa tiedolla q > 1)p 0 = q + 1√q2 + 1< < q = p 1 ,2 2jotenp 0 < p ala < p 1 .Täten jollakin kelpaavalla t:n arvolla sekä osapuolisuunnikkaidenpiirit että pinta-alat ovat samat – kuvioei silti ole suunnikas.16. Todista, että jos n on mielivaltainen positiivinenkokonaisluku, niin∑k 1 ,..., kn≥ 0k 1+2k 2+...+nk n=nRatkaisu. Tieto(k 1 + k 2 + . . . + k n )!k 1 ! · . . . · k n !k 1 + 2k 2 + . . . + nk n = n, k i ≥ 0,= 2 n−1 .sitoo k i :t siten, että n voidaan esittää positiivisten kokonaislukujensummana, missä lukua i käytetään k ikertaa. Multinomikertoimet (vasemman puolen summattavat)puolestaan ilmaisevat, kuinka monella tavallavoimme laittaa edelliset luvut jonoon, kun samanumero voi olla mukana useasti. Vasemman puolenlauseke siis ilmaisee, kuinka monella tavalla lukun voidaan esittää positiivisten kokonaislukujen summana,kun summattavien eri järjestyksiä pidetään erisummina.Todistetaan induktiolla n:n suhteen, että tällaisia tapojaon 2 n−1 , jolloin annettu tehtävä tulee ratkaistuksi.Tapaus n = 1 on selvä: 1 = 1 on ainoa tapa, ja2 1−1 = 1.Tehdään sitten induktio-oletus, että tapauksessa n =m − 1 tapoja on tasan 2 m−2 .Muodostetaan jokaisesta m−1:n esityksestä m:n esitys

30 SolmuA) lisäämällä +1 loppuun,B) sulauttamalla +1 summan viimeiseen numeroon.Koska (m − 1):n esitykset olivat keskenään erilaisia,ovat A-tyypin esitykset keskenään erilaisia, samoin B-tyypin. Koska A-tyypin esitykset päättyvät ykköseenja B-tyypin esitykset eivät, ovat A-tyypin esitykset erilaisiakuin B-tyypin.Osoitetaan vielä, että edellä saatiin kaikki esityksetm:lle. Jos jokin esitysx 1 + . . . + x n = molisi jäänyt mainitsematta, voitaisiin tästä muodostaam − 1:n esitys pienentämällä viimeistä numeroa x n yhdellä(tai poistamalla se, jos x n = 1). KonstruktioidenA ja B perusteella tämä (m − 1):n esitys olisi jäänytmainitsematta tapauksessa n = (m − 1). Tällöin(m − 1):llä olisi konstruktiossa käytettyjen 2 m−2 esityksenlisäksi jokin muu esitys, mikä on ristiriidassainduktio-oletuksen kanssa.Täten m:llä on tasan2 m−2 + 2 m−2 = 2 m−1esitystä positiivisten kokonaislukujen summana, ja induktioon valmis.Tehtävien lähde: KöMaL, December 2002, http://www.komal.hu/.

Solmu 31Lisää laskuoppiaMatti SeppäläLuonnonmaantieteen professoriMaantieteen laitos, Helsingin yliopistoKirjoitukseni ”Laskutaito ja numeroiden lukutaito edelleentarpeen” sai paljon palautetta. Jatkan keskusteluamuutamilla esimerkeillä, jotka ehkä puhuttelevat oppilaita.Kävin kerran Tikkurilassa maalikaupassa ostamassapurkin maalia. Valitsemani purkin hinta oli 50 markkaa.Minä tinkaamaan. Kauppias ryhtyi opettamaanminulle kauppamatematiikkaa: ”Minä en myy prosentteja,vaan nettohinnalla. Tänne tulee ihmisiä, jotka lähtevätpois, koska hintani kuultuaan sanovat, että saavatsamasta purkista 20 prosentin alennuksen rautakaupastahuomaamatta, että siellä lähtöhinta on 70 markkaa.”En enää tinkinyt, vaan ostin purkin.Paitakauppias ei saanut T-paitoja kaupaksi 25 markallakappale, joten hän teki tarjouksen: Kolme paitaa 100markalla. Kauppa alkoi käydä kuin siimaa.Lenkkitossuja myytiin 139 markalla pari. Sitten alkoialennusmyynti. Suurilla julisteilla luvattiin 20 prosentinalennus, mutta lähtöhinta olikin samoissa tossuissanyt listahinta 179 markkaa. Kauppa se on kun kannattaa.. .Pesuaine maksoi kilon paketissa 3,20 euroa. Neljän kilonperhepakkauksen sai 13,60 eurolla. Ihmisillä on mielikuva,että suuret pakkauksen ovat halvempia kuin pienetja laskeminen jää puolitiehen: 4 · 20 on 80, joten 60senttiä luvun lopussa antaa kuvan, että halvalla saa.Metsänrajatutkijat tiedottivat julkisuudessa, että ilmastonmuutossiirtää pohjoista metsänrajaa 500 kilometriäkohti napaa 100 vuodessa. Siis 5 km/vuosi. Mitätuo tarkoittaa nopeutena päivässä? Noin 13 metriä24 tunnissa. Etana ei tahdo pysyä mukana, kun puutsiirtyvät niin nopeasti kohti pohjoista. Uskokoon kentahtoo.Yksiköissä erehdytään sekoittamalla esimerkiksi hehtaaritja neliökilometrit. Tehdään satakertainen virhe.Vielä hankalampia ovat tilavuusmitat.Rahasta ei tajuta vanhan pennin ja sentin eroa. Tätäruokkivat vielä käyttöön otetut penniajalta periytyvätpyöristyssäännöt, vaikka arvon ero on kuusinkertainen.Huutokaupoissa mentiin aikaisemmin hinnoissaylöspäin kahden tai viiden markan korotuksin.Nyt korotus voi olla vähintään kaksi euroa. Edullistamyyjän kannalta. Saksassa lehtitietojen mukaan eräätkauppiaat jättivät hintalaput muuttamatta euroon siirryttäessä,vaikka yksi euro on noin kaksi vanhaa saksanmarkkaa.Bensiinin hinnassa muutaman sentin eroei näytä kauhistuttavan ihmisiä samalla tavalla kuinmuutaman pennin ero aikaisemmin. Kuitenkin viidensentin ero litrahinnassa merkitsee 20 litran tankkauksessaeuron eroa loppuhinnassa.

32 SolmuMinne katosi laskutaito?Aarno LaitinenSuomeen naitu venäläinen nainen luuli, että hänen suomalaistakoulua käyvä 12-vuotias poikansa on jotenkinalikehittynyt, kun pojan samanikäiset pietarilaiset serkutolivat paljon pitemmällä koulunkäynnissä.Äiti ihmetteli, onko pojassa jotain vikaa, kun tämä eiosaa edes kertotaulua pietarilaisten serkkujensa tavoin.Opettaja lohdutti äitiä, ettei suomalaislapsille ole vieläopetettu kuin kertotaulun alkeet.Nuoret aikuiset neidit eivät myyjättärinä näytä osaavanalkeellista yhteenlaskua tai kertolaskua toritiskilläilman taskulaskinta. Kahdella kertominen vielä onnistuujotenkuten, mutta jos ostaa kolme kiloa punajuuria,kilohinnan kertominen kolmella on jo ylivoimaista.Kovin usein saa rahasta väärin takaisin. Liika raha onhelppo palauttaa, mutta jos saa liian vähän takaisin, onnoloa huomauttaa. Joissakin korttipeleissä on jo vaikealöytää kirjanpitäjää, kun yksinkertainen yhteenlaskutaitokinpuuttuu häkellyttävän monilta.Jos uutisissa kuvataan jotakin asiaa numeroilla, ne ovatkovin usein väärin. Kerran televisiossa kerrottiin, ettäjokainen suomalainen kuluttaa energiaa öljyksi muutettunanoin 3 000 tonnia. Ympäristöasioille omistautunuttutkiva toimittaja halusi kuvata energian tuhlausta.Hänen laskelmansa mukaan Suomi kuluttaisi energiaa15 000 000 000 öljytonnin edestä, jonka hinta olisiyli 2 000 000 000 000 euroa (kaksi biljoonaa) eli lähes20-kertaisesti Suomen kansantulo.Samassa ohjelmassa kerrottiin, että puolet energiastavoitaisiin säästää, jos lamput vaihdettaisiin vähemmänkuluttaviin. Laskutaidoton ympäristötoimittaja ei ilmeisestitiennyt, että valaistus kuluttaa vain prosentinkoko energiasta, ja vaikka sammuttaisi kaikki lamputja eläisi pärevalolla, energian kulutus laskisi vain prosentin.Todennäköisesti tuotanto putoaisi paljon enemmän,sillä hämärässä monia asioita on hankala tehdä.Harrastukseksi etsin lehdistä ja televisiosta laskuvirheitä,sillä jos numerot ja laskut voivat vain olla virheellisiä,yleensä ne ovat sitä.Numerotkin alkavat olla akateemisesti koulutetuille tvtoimittajillehämärä käsite. Meille opetettiin koulussalukusanat näin: yksi, kaksi, kolme, neljä, viisi.Ilmeisesti nykyopin mukaan lukusanat ovat yksi, pari,kolme, neljä, viisi.Lukusana kaksi on jostain syystä melkein kadonnutsuomen kielestä ja sen on korvannut pari. Kun ei olla oikeinselvillä numeroiden merkityksestä, epämääräinensana pari on usein vielä muodossa parisen. Televisionmeteorologit ennustavat säätä, että huomenna odotetaanlämpöä noin tai lähes parisenkymmentä astetta.Selkeä luku epämääräistetään kolmeen kertaan.Nuoret taksinkuljettajat ilmoittavan 20 euron matkanhinnan: ”Parisenkymmentä euroa.” Sanaan on ikäänkuinkätketty toivomus, että enemmäkin voisi maksaa,kun ei kerran selkeästi sanota, että hinta on 20 euroa.Todennöisesti kuljettaja ei ymmärrä numeroita.

Solmu 33TV1:n kulttuuriohjelma Voimalassa oli joukko näyttelijöitä,ohjaajia ja teatterijohtajia, jotka pitivät suorastaannöyryyttävänä sitä, että kulttuurissa joudutaanlaskemaan kustannuksia. Kulttuurin tehtävä on tuottaakulttuuria eikä laskea rahoja, sanoivat kulttuuriihmiset.Esimerkiksi Lappeenrannan kaupunginteatterin johtajaei ilmiselvästi tiennyt, mikä merkitys on niillä numeroilla,jotka ovat desimaalipilkun jälkeen verrattunaniihin, jotka ovat ennen desimaalipilkkua. Sen verranvoisi Lappeenranta sijoittaa lisää kulttuuriin, että panisiteatterijohtajansa edes peruskoulun ala-asteen matematiikantunneille.Suomalaisissa kouluissa on ollut pakkokreikkaa, pakkolatinaa,pakkovenäjää ja pakkoruotsia, mutta jostakinsyystä kaikkien tieteiden, viisauden ja suhteellisuudentajunperustana oleva matematiikka on jonkinlainenvapaaehtoisluontoinen sivuaine, jota ei oikeastaantarvitse osata.Laskutaidottomien ja haluttomien teatterijohtajien lisäksimeillä on paljon laskutaidottomia kansanedustajia,kunnanvaltuutettuja, ammattiliittojohtajia ja muitapäättäjiä.Kun kansanedustajat vaativat kilvan erilaisia ilmaispalveluja,he eivät halua laskea kuinka paljon ne tosiasiassamaksavat. Lääkärien ja sairaanhoitajien mielestä ihmistenterveys on niin kallis asia, että on sopimatontalaskea sen kustannuksia.Opiskelijoiden mielestä yhteiskunnan pitää maksaaheille ainakin minimipalkan verran opintorahaa. Lisäksiheidän pitää saada viettää mukavaa opiskelijaelämääniin kauan kuin haluavat – kustannuksista piittaamatta.Harmaan talouden tutkinnasta mukavan leipäpuunhankkineet verovoudit väittävät, että valtiolta jää saamattalähes 10 miljardia euroa verotuloja vuodessa. Josväite pitäisi pakkansa, Suomessa olisi lähes koko kansantaloudenkokoinen harmaan liiketoiminnan sektori.Kulttuuriväki vaatii silloin tällöin, että sen pitää saadarahaa ainakin yhtä paljon kuin puolustusvoimat. Vaatimusperustuu täydelliseen laskutaidottomuuteen, silläkulttuuriväki laskee omiksi määrärahoikseen vain valtionbudjetissa yhden otsikon alla olevan määrärahan.Jos se vaivautuisi laskemaan kulttuurimäärärahat valtionbudjetin muiltakin momenteilta, lisäisi siihen kuntienmäärärahat, säätiöiden, sponsorien ja yksityistenkulttuurin kuluttajien rahat, kulttuurilta pitäisi ottaayli puolet pois ennen kuin sen rahat olisivat samaa luokkaakuin armeijan.Kun eduskunnassa puuhataan koululasten iltapäivähoitoa,en ole huomannut kenenkään laskeneen, mitä semaksaa. Olen onnellinen siitä, ettei lapsena tarvinnutmennä koulun jälkeen sosiaalidemokraattisen hoivatädinhuostaan leikkimään kunnan hyväksymiä perinneleikkejäja lukemaan apurahoilla tuotettuja selkosatuja.Paljon antoisampaa oli pelata poikien kanssa sököä jaoppia todennäköisyyslaskenta käytännössä.Kolumni on julkaistu Iltalehden viikonloppuliitteessä lauantaina 24.4.2004, ja se julkaistaan Solmussa kirjoittajansaluvalla.