Koko lehti - Matematiikkalehti Solmu - Helsinki.fi

8 SolmuKirjoitamme lyhyesti p k = p k (x 1 , x 2 , . . . , x n ).Johdamme potenssisummien ja symmetristen perusfunktioidenyhteyden. Sijoittamalla luvut x 1 , x 2 , . . . ,x n yhtälöön (1) saamme yhtälöryhmänx n 1 − s 1 x1 n−1 + s 2 x1 n−2 + · · · + (−1) n s n = 0x n 2 − s 1 x2 n−1 + s 2 x2 n−2 + · · · + (−1) n s n = 0x n n − s 1 x n−1n. . .+ s 2 x n−2n + · · · + (−1) n s n = 0ja edelleen laskemalla yhteen yhtälönp n − s 1 p n−1 + s 2 p n−2 + · · · + (−1) n s n p 0 = 0.Antamalla n:lle arvot 1, 2, 3, . . . saamme tästä Newtoninkaavatp 1 = s 1 ,p 2 = s 2 1 − 2s 2 ,p 3 = s 3 1 − 3s 1 s 2 + 3s 3 ,p 4 = s 4 1 − 4s 2 1s 2 + 4s 1 s 3 + 2s 2 2 − 4s 4 ,p 5 = s 5 1 − 5s 3 1s 2 + 5s 1 s 2 2 + 5s 2 1s 3 − 5s 2 s 3 − 5s 1 s 4 ,. . .ja myös muunnoskaavat toiseen suuntaans 1 = p 1 ,s 2 = 1 2! (p2 1 − p 2 ),s 3 = 1 3! (p3 1 − 3p 1 p 2 + 2p 3 ),s 4 = 1 4! (p4 1 − 6p 2 1p 2 + 3p 2 2 + 8p 1 p 3 − 6p 4 ),s 5 = 1 5! (p5 1 − 10p 3 1p 2 + 15p 1 p 2 2 + 20p 2 1p 3. . .− 30p 1 p 4 − 20p 2 p 3 + 24p 5 ),Joissakin termeissä (missä?) on säännönmukaisuuksia,mutta p k :lle ja s k :lle ei tietääkseni ole yksinkertaisiayleisiä lausekkeita.5 Ongelman ratkaisuja muita ongelmiaSijoittamalla p 1 = 4, p 2 = 16, p 3 = 64, p 4 = 128 saammes 1 = 4, s 2 = s 3 = 0, s 4 = 32. Nämä edelleensijoittamalla löydämme ongelman ratkaisun p 5 = 384.Tarkastelemme vielä eräitä muita kiinnostavia potenssisummiinliittyviä kysymyksiä. Hyväksymme eksponentiksimielivaltaisen reaaliluvun, jolloin meidän onrajattava kantaluvut positiivisiksi. Olkoon t ≠ 0. Määrittelemmemuuttujien x 1 , x 2 , . . . , x n > 0 t:nnen momenttisummanf t (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = (x t 1 + x t 2 + · · · + x t n) 1/tja t:nnen momenttikeskiarvon( xtg t (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = 1 + x t 2 + · · · + x t ) 1/tn.nTällöin g 1 on aritmeettinen ja g −1 harmoninen keskiarvo.Seuraavissa tehtävissä kiinnitämme luvut x 1 , x 2 ,. . . , x n > 0.Tehtävä 1. Todistettava, ettälim g t(x 1 , x 2 , . . . , x n ) = (x 1 x 2 · · · x n ) 1/n .t→0Voimme siis määritellä, että g 0 on geometrinen keskiarvo.Tehtävä 2. Todistettava, ettälim f t(x 1 , x 2 , . . . , x n ) = lim g t (x 1 , x 2 , . . . , x n )t→∞ t→∞= max x k ,klim f t(x 1 , x 2 , . . . , x n ) = lim g t(x 1 , x 2 , . . . , x n )t→−∞ t→−∞= min x k ,klim f t(x 1 , x 2 , . . . , x n ) = 0,t→0−lim f t(x 1 , x 2 , . . . , x n ) = ∞.t→0+Tehtävä 3. Todistettava, että funktio φ(t) =f t (x 1 , x 2 , . . . , x n ), t ≠ 0, on vähenevä, kun t < 0, jaettä se on vähenevä myös, kun t > 0. Lisäksi osoitettava,että väheneminen on aitoa, jos ja vain jos ei olex 1 = x 2 = · · · = x n .Tehtävä 4. Todistettava, että funktio γ(t) =g t (x 1 , x 2 , . . . , x n ) on kaikkialla kasvava. Lisäksi osoitettava,että kasvu on aitoa, jos ja vain jos ei olex 1 = x 2 = · · · = x n .Ratkaisuja löytyy kirjallisuudesta (ks. esim. [1], [3], [4],[5], [7]). Tehtäviin 2 ja 3 riittävät lukiotiedot ja kekseliäisyys.Tehtävät 1 ja 4 ovat vaikeampia eikä niistätaideta selviytyä tavallisilla lukiotiedoilla. L’Hospitalinsäännöstä (ks. esim. [2]) ja Cauchyn–Schwarzin epäyhtälöstäsekä sitä yleisemmästä Hölderin epäyhtälöstä(ks. esim. [1], [2], [3], [4], [5], [7]) on apua. Ehkä jokuSolmun lukija innostuu ratkaisemaan jonkin näistätehtävistä ja esittämään ratkaisun tässä lehdessä.