Recueil d'Examens (2001 - 2004) Contrôle des EDP - lamsin

Exercice 2
On considère l’équation différentielle
(1)
˙x(t) + ax(t) = u(t),
x(0) = x0
t ∈ (0, T )
avec T > 0, x0 ∈ R, a ∈ R ∗ + et u ∈ L 2 (0, T ).
1– Donner la solution xu de (1) et montrer qu’elle est dans H 1 (0, T ).
2– Montrer que l’application u ↦→ xu est continue et dérivable de L 2 (0, T ) dans L 2 (0, T ).
3– Soit xd ∈ L 2 (0, T ) et J la fonction objectif définie par
J(x, u) = 1
2
Montrer que le problème de contrôle
(2)
T
0
(x − xd) 2 dt + 1
T
u
2 0
2 dt
min{J(x, u); u ∈ L 2 (0, T ), (x, u) vérifie (1)}
admet une solution unique. Caratériser cette solution en écrivant les conditions d’optimalité
du premier ordre à l’aide d’une équation adjointe. On notera p l’état adjoint, ¯x l’état optimal
et ū le contrôle optimal.
4– On suppose que xd ≡ 0. Montrer que p(t) = F (t)¯x(t) où F est solution de l’équation
différentielle de Riccati :
(3)
˙
F (t) − 2aF (t) − F 2 (t) + 1 = 0.
Soit G(t) = F (T − t). Ecrire l’équation différentielle vérifiée par G en spécifiant la condition
initiale. En déduire une loi de commande reliant le contrôle optimal et l’état optimal.
2