Recueil d'Examens (2001 - 2004) Contrôle des EDP - lamsin

Examen – Contrôle optimal 2 mars 2002
3- On note (z(g), v(g)) la solution de l’équation (7). Soit h ∈ L2 (0, T ). Quel est le système
vérifié par le couple (ζ(h), w(h)) défini par
(ζ(h), w(h)) = limλ→0 (z(g + λh), v(g + λh)) − (z(g), v(g)) /λ.
Pour simplifier les écritures, z(g), v(g), ζ(h), w(h) seront notés z, v, ζ et w.
4- On pose F (g) = I(z(g), g). Calculer F ′ (g)h en fonction de z, g, h et ζ.
5-Intégrer par parties l’expression
T L
(ζt − ζxx + ζ)p dxdt,
0
0
où p va jouer le rôle de l’état adjoint associé à z(g). Déterminer l’équation que doit vérifier p
pour que
L
0
T
z(x, T )ζ(x, T ) dx +
0
6-Intégrer par parties l’expression
L
T
z(x, t)ζ(x, t) dxdt = w(L, t)p(L, t) dt.
0
L
(−wxx + w)q dxdt,
0
où q va jouer le rôle de l’état adjoint associé à v. Déterminer l’équation que doit vérifier q pour
que
T
7- Exprimer F ′ (g)h en fonction de g, q et de h.
0
T
w(L, t)p(L, t) dt = − h(t)q(0, t) dt.
0
8- Écrire les conditions d’optimalité permettant de caractériser le contrôle optimal ¯g de (P2) à
l’aide d’un système couplé d’équations adjointes vérifiées par un couple (p, q).
DEA Mathématiques Appliquées 3/4
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