Recueil d'Examens (2001 - 2004) Contrôle des EDP - lamsin

Examen – Contrôle optimal 30 mars 2004
B.1. Vérifier que ρ(t) suit l’évolution:
dρ(t) = (rρ(t) + ρ(t)(α − r)y(t))dt + ρ(t)σy(t)dW (t), ρ(0) = ρ
B.2. Ecrire l’équation d’Hamiton-Jacobi-Bellman (HJB) satisfaite par la fonction valeur V .
B.3. Résoudre l’équation HJB, pour cela, on cherchera V de la forme V (t, ρ) = log(ρ)+λ(T −t)
où λ est une constante à déterminer.
B.4. En déduire la politique optimale d’investissement.
Partie C: Opérateurs non expansifs et schéma pour l’équation HJB
Opérateurs non expansifs
On étudie quelques propriétés générales liées à la non expansivité.
Soit T : IR n → IR n . On dit que T est croissant si pour tout x et y dans IR n , avec x ≥ y (soit
xi ≥ yi pour tout i) on a T (x) ≥ T (y).
Si x ∈ IR et α ∈ IR, on note x + α le vecteur de coordonnées xi + α. On dit que T translate
les constantes si T (x + α) = T (x) + α pour tout x ∈ IR et α ∈ IR.
C.1. Soient x et y dans IR n . Montrer que
(3)
(4)
T (y) ≤ T (x) + maxi(yi − xi).
C.2. En déduire avec la relation symétrique que
T (y) − T (x)∞ ≤ yi − xi∞.
autrement dit que T est non expansif.
C.3. Vérifier les hypothèses de croissance et de translation des constantes pour l’opérateur
étudié dans la théorie de la commande optimale des chaînes de Markov,
⎧
⎨
T (v) := β inf
⎩ ci(u) +
⎫
⎬
Mij(u)vj , i = 1, . . . , m.
⎭ (5)
u∈Ui
j
sous les notations et hypothèses du cours : Ui compact de IR m , Mij(ui) matrice stochastique
quand ui ∈ Ui pour tout i, et ci(u) fonction continue.
C.4. Soient K1 et K2 deux ensembles quelconques, et Tk1,k2 , pour k1 ∈ K1, et k2 ∈ K2,
une famille d’opérateurs vérifiant chacun les hypothèses de croissance et de translation des
constantes. Montrer que
T (x) := inf sup Tk1,k2 (x)
(6)
k1∈K1 k2∈K2
vérifie aussi les hypothèses de croissance et de translation des constantes. (On pourra pour
commencer supposer que K1 ou K2 est réduit à un seul élément).
Schéma pour l’équation HJB
On s’intéresse à l’équation (sans contrôle, ou si on préfère avec un seul contrôle possible)
−DtV (t, x) = ℓ(t, x) + f(t, x) · DxV (t, x) + ∆V (t, x), t ∈ [0, T ], x ∈ IR n V (T, x)
,
= 0, x ∈ IR n (7)
.
avec ℓ et f lipschitziennes et bornées, et ∆V (t, x) = D2 x2V (t, x) + · · · + D
1
2 x2 V (t, x) opérateur de
n
Laplace.
C.5. Montrer que cette équation a une solution unique au sens de viscosité.
C.6. Interpéter cette solution comme l’espérance d’un critère associé à un système dynamique
stochastique.
ENIT-Mastère de Mathématiques Appliquées 2/4