Recueil d'Examens (2001 - 2004) Contrôle des EDP - lamsin

Examen – Contrôle optimal 3 avril 2003
Nous rappelons que la condion (3) étant vérifiée, avec la question 1, on peut appliquer le
Théorème de Hille-Yoshida pour montrer que (A, D(A)) est le générateur infinitésimal d’un
semi-groupe de contractions dans L 2 (0, 1). Nous rappelons que, pour tout f ∈ L 2 ((0, 1)×(0, T )),
l’équation ⎧⎪⎨
(4)
⎪⎩
yt − yxx = f, dans (0, 1) × (0, T ),
y(0, t) = 0, yx(1, t) + My(1, t) = 0, dans (0, T ),
y(x, 0) = 0, dans (0, 1).
admet une solution faible unique qui vérifie
De plus, si y0 ∈ L 2 (0, 1) l’équation
(5)
⎧
⎪⎨
⎪⎩
y L 2 (0,T ;H 2 (0,1)) + y C([0,T ];H 1 (0,1)) ≤ Cf L 2 (0,T ;L 2 (0,1)).
yt − yxx = 0, dans (0, 1) × (0, T ),
y(0, t) = 0, yx(1, t) + My(1, t) = 0, dans (0, T ),
y(x, 0) = y0, dans (0, 1).
admet une solution unique qui vérifie
y L 2 (0,T ;H 1 (0,1)) + y C([0,T ];L 2 (0,1)) ≤ Cy0 L 2 (0,1).
Pour étudier l’équation
⎧
⎪⎨
yt − yxx = 0, dans (0, 1) × (0, T ),
(6) y(0, t) = 0,
⎪⎩
y(x, 0) = y0,
yx(1, t) + My(1, t) = Mu(t), dans (0, T ),
dans (0, 1).
avec u ∈ L2 (0, T ) on étudie d’abord le cas où u ∈ H1 0 (0, T ). On cherche y sous la forme y = z+w
où w = x(2 − x)u. Écrire l’équation vérifiée par z. En déduire que, si u ∈ H1 0 (0, T ), l’équation
(6) admet une solution unique dans L 2 (0, T ; H 1 (0, 1))∩C([0, T ]; L 2 (0, 1)) (on utilisera l’équation
vérifiée par z). En utilisant directement l’équation (6) montrer que cette solution y vérifie
(7)
y L 2 (0,T ;H 1 (0,1)) + y C([0,T ];L 2 (0,1)) ≤ C(y0 L 2 (0,1) + u L 2 (0,T )).
En déduire que si u ∈ L 2 (0, T ), l’équation (6) admet une solution unique dans L 2 (0, T ;
H 1 (0, 1)) ∩ C([0, T ]; L 2 (0, 1)), et que cette solution vérifie l’estimation (7).
6. On pose
I(y, u) = 1
2
1
0
y(x, T ) 2 dx + 1
T
2 0
avec yd ∈ L 2 (0, T ; L 2 (0, 1)). On admet que le problème de contrôle
1
0
|y(x, t) − yd(x, t)| 2 dxdt + 1
T
|u(t)|
2 0
2 dt,
(P PR) inf I(y, u) | u ∈ L 2
(0, T ), (y, u) vérifie (6) ,
admet une solution unique. Caractériser cette solution en écrivant les conditions d’optimalité
du premier ordre à l’aide d’une équation adjointe.
IV. Passage à la limite.
7. Montrer que la solution y de l’équation (1) vérifie
1
(y
0
2 x + y 2 )dx + M|y(1)| 2 1
= My(1)u +
0
y f dx.
ENIT-Mastère de Mathématiques Appliquées 2/4