Recueil d'Examens (2001 - 2004) Contrôle des EDP - lamsin

E.N.I.T. DEA de Mathématiques Appliquées
Examen – Contrôle optimal
Enseignants : F. Bonnans – H. El Fekih – J.P. Raymond
Date : 2 mars 2002 Durée : 3H00
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
(Documents autorisés : polycopiés du cours et notes personnelles.)
A.1- Un problème linéaire quadratique
On considère le système dynamique
¨x(t) + 2 ˙x(t) + x(t) = u(t), t ≥ 0,
(1)
x(0) = x0, ˙x(0) = v0,
associé au critère
(2)
J(u, x) = 1
T 2 2 2
2 u(t) + αx(t) + β ˙x(t)
0
avec α ≥ 0 et β ≥ 0.
On considère dans cette section le problème de minimisation de (2) sous contrainte (1).
1. On se ramène au premier ordre en posant h(t) = x(t) et v(t) = ˙x(t), et on note ph, pv les
composantes de l’état adjoint. Montrer que le hamiltonien du problème avec les nouvelles
variables est
H(u, h, v, ph, pv) = 1
2 2 2
2 u + αh + βv + phv + pv(u − h − 2v).
2. Donner l’équation de l’état adjoint.
3. Exprimer la commande en fonction de l’état et de l’état adjoint grâce au principe de
Pontryagin.
4. Donner le principe de l’application de l’algorithme de tir a cet exemple.
A.2- Contrainte sur l’état
Soit γ ∈ R. On ajoute au problème la contrainte sur l’état
(3)
h(t) ≤ γ
On utilisera autant que possible les calculs déjà faits dans la partie précédente.
1. Donner l’équation de l’état adjoint.
2. Montrer que, sur un arc frontière, le multiplicateur est régulier.
3. Montrer que, sur un arc frontière, l’état adjoint est constant, et calculer sa valeur ainsi
que celles de u.
4. En déduire la valeur de ˙η sur un arc frontière. Montrer que, si γ < 0, il ne peut y avoir
d’arc frontière.
5. Comment sera le saut de l’état adjoint en un point de jonction ?