Lignes de transmission - IUT Bordeaux 1...

Jessica – Mercredi 8 juillet 2009- Couturier GEII IUT-Bordeaux1
Lignes de transmission
Constantes linéiques d’une ligne de transmission
Équations de propagation, constante de propagation, Impédance caractéristique
Coefficient de réflexion et rapport d’onde stationnaire
L’abaque de Smith
Lignes avec faibles pertes
Matrice chaîne d’un tronçon de ligne
Expériences autour d’un câble RG58 : Études harmonique et temporelle
Effet de peau dans les conducteurs
Vérification expérimentale de l’effet de peau
Pourquoi des câbles 50 Ω ?
Impédance de transfert des câbles coaxiaux
Calcul de la tension parasite induite dans un câble
Expériences : mise en évidence de l’impédance de transfert
Lignes microrubans
1
2

Constantes linéiques
d’une
ligne de transmission
Constantes linéiques
Une ligne de transmission (câble coaxial, ligne bifilaire, ligne microruban, …) est caractérisée
par :
- capacité linéique : C (en F/m)
- inductance linéique : L (en H/m)
- résistance linéique (pertes cuivre) : r (en Ω/m)
- conductance linéique (pertes diélectriques) : g (en S/m)
gdx
Cdx
C, L, r et g dépendent :
- de la géométrie de la ligne de transmission
- des propriétés des matériaux utilisés : isolant (εr , tg(δ) et µ r ) , conducteur (σ = 1/ρ)
dx
rdx
Ldx
3
4

Constantes linéiques
• Les constantes linéiques peuvent se calculer si la géométrie de la ligne est simple (ex :
deux fils parallèles, câble coaxial, … ) :
- capacité linéique C (en F/m) : théorème de Gauss
- inductance linéique L (en H/m) : théorème d’Ampère
- résistance linéique (en Ω/m) : r = ρ/S avec S section du fil conducteur, attention
ceci n’est vrai qu’aux basses fréquences, aux hautes fréquences il faut tenir compte de
l’effet de peau : r augmente avec la fréquence.
- conductance linéique (en S/m) : g = Cωtg(δ)
• Les constantes linéiques sont accessibles à la mesure, soit par une étude fréquentielle
(analyseur de réseaux), soit par une étude temporelle (réponse impulsionnelle)
Constantes linéiques : capacité linéique d’un câble coaxial
Capacité linéique en F/m :
(Théorème de Gauss)
2πε
= 0ε
C r
⎛ R ⎞
Ln⎜
int ⎟
⎝ r0
⎠
Ex : câble RG 58
Rint =2,35 mm
r0 =0,65mm
εr =2,2
ε0 =1/(36π109 ) F/m
C ≈ 100pF/m
r 0
R int
5
-
-
εr, µ r
-
+
+
+
- + + -
+
+ +
- -
-
6

Constantes linéiques : inductance linéique d’un câble coaxial
Inductance linéique en H/m :
(Théorème d’Ampère)
µ ⎛
= 0 R
L Ln⎜
2π ⎝ r
Ex : câble RG 58
Rint =2,35 mm
r0 =0,65mm
εr =2,2
µ r =1
ε0 =1/(36π109 ) F/m
int
0
⎞
⎟
⎠
L ≈ 250nH/m
-
- ε r, µ r
+
+
+
- + + -
+
+ +
- -
-
Constantes linéiques : résistance linéique d’un câble coaxial
Résistance linéique en Ω/m (en basses fréquences)
(Loi d’Ohm)
1
r = +
r σ
π 2 0
conducteur
intérieur
Ex : câble RG 58
Rint =2,35 mm
Rext =2,85 mm
r0 =0,65mm
σ=1/ρ=5.107 Sm-1 εr =2,2
µ r =1
ε0 =1/(36π109 ) F/m
1
π σ ( R + R )(R − R
ext
int
r ≈ 0,02Ω/m
ext
conducteur
extérieur
int
)
r 0
-
R int
7
-
-
εr, µ r
-
+
+
+
- + + -
+
+ +
- -
-
r0 Rint Rext 8

Constantes linéiques : conductance linéique d’un câble coaxial
Conductance linéique en S/m
g = Cω.
tg(
δ )
Ex : câble RG 58
Rint =2,35 mm
Rext =2,85 mm
r0 =0,65mm
σ=1/ρ=5.107 Sm-1 εr =2,2
µ r =1
ε0 =1/(36π109 ) F/m
tgδ ≈ 2.10-3 g ≈ 2.10 -13 ω S/m
Constantes linéiques : pertes diélectriques
Les isolants ne sont pas parfaits, il y a 2 types de pertes caractérisées par :
résistance isolement
résistance série + pertes diélectriques ⇒ tg(δ)
E
Résistance isolement = E/I
Pour un câble coaxial de 1 m de long,
de l’ordre de 108Ω Explication : transfert d’électrons
d’une électrode à l’autre
I
E
I
-
-
εr, µ r
-
+
+
+
- + + -
+
+ +
- -
-
modélisation
C
ESR
tg(δ) est de l’ordre de q.q. 10 -3
r 0 R int
R ext
Explication : tg(δ) est dû à la résistance série et
10
aux pertes diélectriques
δ
I
9
tg(δ)=ESR.C.ω
E
C G=tg(δ)Cω

11
12
L(H/m)
C(F/m)
Z c
lignes
D
2r
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
r
D
r
10
12
x
log
10
12
ε
D
2r
D’
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
2
2
'
2
2
'
10
log
276
D
D
D
D
r
D
r
ε
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
r
D
r
10
log
276
ε
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
−
2
2
'
2
2
'
10
12
x
log
10
12
D
D
D
D
r
D
r
ε
2r
h>>2r
⎟ ⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
r
h
r
2
log
138
10
ε
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
r
h
2
log
10
46
,
0 10
6
x
⎟
⎠
⎞
⎜ ⎝
⎛
−
r
h
r
2
log
10
24
10
12
x
ε
⎟
⎠
⎞
⎜ ⎝
⎛
−
r
D
10
6
x log
10
92
,
0
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
−
2
2
'
2
2
'
10
6
x log
10
92
,
0
D
D
D
D
r
D
h>>2r
2r
D
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
2
10
2
1
log
276
h
D
r
D
r
ε
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
2
10
12
x
2
1
log
10
12
h
D
r
D
r
ε
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
2
10
6
x
2
1
log
10
92
,
0
h
D
r
D
Constantes linéiques de quelques lignes de transmission
écran
métallique

x
U(x+dx)
Équations de propagation
Constante de propagation
Impédance caractéristique
I(x+dx)
gdx
Équations de propagation
Cdx
⎧
dI
⎪
U ( x + dx)
−U
( x)
= Ldx + rdxI
dt
⎪
⎨
⎪
dU
⎪ I(
x + dx)
− I(
x)
= Cdx + gdxU
⎩
dt
L g
rdx
dx
soit :
Ldx
I(x)
U(x)
x=0
( x,
t)
dI(
x,
t)
⎧ dU
⎪
= L
dx dt
⎪
⎨
⎪ dI
⎪ = C
⎩ dx dt
( x,
t)
dU ( x,
t)
+ rI
+ gU
13
( x,
t)
( x,
t)
14

Équations de propagation : le cas du régime harmonique
Tension U(x,t) et courant I(x,t) sous forme complexe :
⎧ 2 2
d U d I dI
⎪ = L + r
2
⎪ dx dxdt dx
⎨
⎪ 2 2
⎪
d I d U dU
= C + g
⎪⎩
dxdt 2
dt dt
⇒
d’où :
impédance caractéristique (Ω)
constante de propagation
jωt
jωt
U ( x, t)
= U ( x)
e et I ( x,
t)
= I ( x)
e
2 2
d U d U dU dU
− LC − Lg − rC − rgU = 0
2 2
dx dt dt dt
2 2
d I d I dI dI
− LC − rC − Lg − rgI = 0
2 2
dx dt dt dt
Équations de propagation
⇓
⎧
γx
−γx
U ( x)
= Ae + Be
⎪
⎨
⎪ 1
I ( x)
=
⎪⎩
Zc
γx
−γx
( Ae − Be )
r + jLω
avec : Zc =
et γ = ( r + jLω)(
g + jCω)
= α + jβ
g + jCω
x
⎧
γx
−γx
U ( x)
= Ae + Be
⎪
⎨
⎪ 1
I ( x)
=
⎪⎩
Zc
γx
−γx
( Ae − Be )
onde incidente
α x j(
ωt+
βx)
Ae e
onde réfléchie
−αx
j(
ωt−βx)
Be e
coefficient
d’atténuation (m -1 )
Équations de propagation : le cas du régime harmonique
x=0
constante de phase
(rdm15-1 )
charge Z l
La tension et le courant dépendent de l’abscisse x et du temps t : la ligne n’est plus
équipotentielle
16

Lignes sans perte : impédance caractéristique Z C
Dans une ligne sans perte, r=g=0 , en conséquence l’impédance caractéristique Zc ne
dépend plus de la fréquence, elle est purement réelle et ne dépend que des constantes
linéiques L et C de la ligne :
r + jLω
Zc = ⇒
g + jCω
Ligne
coaxiale :
Z c =
La constante de propagation γ = α + jβ
devient purement imaginaire :
L
C
Logiciel Rfsim99
17
(gratuit)
Lignes sans perte : vitesse de phase et longueur d’onde λ
γ = ( r + jLω)(
g + jCω)
= α + jβ
⇒ γ = jβ
avec β = ω LC
⎧
γx
−γx
U ( x)
= Ae + Be
⎪
⎨
⎪ 1
I ( x)
=
⎪⎩
Zc
γx
−γx
( Ae − Be )
⇒
⎧
jβx
− jβx
U ( x)
= Ae + Be
⎪
⎨
⎪ 1
I ( x)
=
⎪⎩
Zc
jβx
− jβx
( Ae − Be )
β
β
jω(t+
x)
jω(t−
x)
jωt
U(
x, t)
= U(
x)
e = Ae
ω + Be
ω
Le terme ω/β est homogène à une vitesse ⇒
v =
La longueur d’onde λ est telle que βλ = 2π
d’où la relation :
1
LC
A N : câble RG58, v=2.10 8 ms -1 si f = 100MHz ⇒λ=2m
λ
=
v
f
18

Lignes sans perte : impédance ramenée d’un tronçon de ligne
Rappel des équations courant et tension
⎧
jβx
− jβx
U ( x)
= Ae + Be
⎪
⎨
⎪ 1
I ( x)
=
⎪⎩
Zc
jβx
− jβx
( Ae − Be )
Impédance en un point d’abscisse x :
jβx
− jβx
U ( x)
( Ae + Be )
Z ( x)
= = Zc
I ( x)
jβx
− jβx
( Ae − Be )
Impédance au point d’abscisse x=0 :
D’où :
( A + B)
Z ( x = 0)
= Zl
= Zc
( A − B)
x
U(x,t)
U(x,t)
I(x,t)
I(x,t)
Z(x)
charge Z l
( Z jZ tg(
x))
Z ( ) Z l + c β
x = c
( Zc
+ jZltg(
βx)
) Important : Si Zl = Zc alors Z(x) = Zc 19
Lignes sans perte : quel sens donné à l’impédance caractéristique ?
L’impédance caractéristique est l’impédance vue à l’entrée de la ligne lorsque celle-ci
est chargée par son impédance caractéristique. En effet si Z l =Z c alors Z(x) = Z c et
Z(x=L) = Z c
x = L
α x j(
ωt+
βx)
Ae e
Z C
Le générateur voit une impédance de charge égale à Z C
Z C
x = 0
20
x=0

Lignes sans perte : quel sens donné à l’impédance caractéristique ?
⎧
jβx
− jβx
Supposons une ligne de longueur infinie, l’onde
U ( x)
= Ae + Be
⎪
réfléchie est nulle et dans ce cas :
⎪
⎨
⎪ 1 jβx
− jβx
U(
x)
I ( x)
= ( Ae − Be )
= Z
⎪⎩
Z
C
c
I(
x)
L’impédance caractéristique est donc l’impédance vue en chaque point de la ligne,
quand la ligne est de longueur infinie.
E
E
source
source
α x j(
ωt+
βx)
Ae e
Le générateur voit une impédance de charge égale à Z C
Z C
Lignes sans perte : pourquoi faut-il adapter?
Z s
R s =50Ω
Z l
21
La source transmet le maximum de puissance P m àla
charge quand Z l = Z s * .
Si Z s =R s = 50Ω, alors il faut Z l =50Ω et P m =E 2 /4R S
Ligne de transmission
d’impédance caractéristique 50Ω
charge
Zl Si Z l = 50Ω, alors la puissance déposée dans la charge est : P m =E 2 /4R S
22

Coefficient de réflexion Γ :
Coefficient de réflexion
et
rapport d’onde stationnaire
Lignes sans perte : coefficient de réflexion Γ
En x=0 , l’impédance de charge Z l s’écrit :
D’où :
x
Zl
− Zc
−2
jβx
Γ(
x)
= e
Zl
+ Zc
onde incidente :
j(
ω t+
βx)
Ae
onde réfléchie :
j(
ωt−βx) Be
− jβx
onde réfléchie Be B −2
jβx
Γ(
x)
=
= = e
onde incidente
jβx
Ae A
En x=0, le coefficient de réflexion associée à la charge Z l est :
x=0
charge Z l
A
+ 1
U ( x = 0)
A + B
Z = = = B
l
Zc
Zc
I ( x = 0)
A − B A
−1
B
23
Zl
−Z
Γ(
x=
0)
= Γ(
Z c
l)
=
Z24
l + Zc

U(
x)
Lignes sans perte : ROS (Rapport d’onde stationnaire)
jβx
− jβx
= Ae + Be = V'+
V''
V'
V"
V ' +
x
V"
T
V ' + V"
ondes incidente et
réfléchie sont en phase
A B
f
t
t
t
V'
V"
V' − V"
V' − V"
ondes incidente et
réfléchie sont en
opposition de phase
Lignes sans perte : ROS (Rapport d’onde stationnaire)
U(
x)
t
jβ
x − jβx
= Ae + Be onde stationnaire
t
Zl
f
t
t
t
25
U(
x)
26
Zl

Lignes sans perte : ROS (Rapport d’onde stationnaire) et Γ
⎧
jβx
− jβx
U ( x)
= Ae + Be
⎪
Équations tension et courant ⎨
⎪ 1
I ( x)
=
⎪⎩
Zc
jβx
− jβx
( Ae − Be )
Maximum de tension sur la ligne : max U = A + B
Minimum de tension sur la ligne :
Définition du ROS :
min U = A − B
max U A + B
ROS = =
min U A − B
Compte tenu de la définition du coefficient de réflexion :
B −2
jβx
Γ(
x)
= e
A
On déduit la relation entre ROS (ou SWR Standing Wave Ratio) et Γ :
x
Onde progressive :
U ( x )
onde incidente
j(
ω t+
βx)
Ae
jβx
= Ae
Si Z l=Z c ⇒ Γ=0 et ROS=1
Ondes incidente et réfléchie sont en
phase
Ondes incidente et réfléchie sont en
opposition de phase
x=0
1+
Γ
ROS =
1−27Γ
Lignes sans perte : ROS (Rapport d’onde stationnaire)
U(
x)
charge Z l =Z c
La source transmet le maximum de puissance à la charge
28

- Impédance et admittance
- Coefficient de réflexion
-ROS
- Impédance ramenée
- Réseau d’adaptation
Exemple
15Ω
31,8pF
F = 100MHz
Z = (15-j50)Ω
Impédance caractéristique
Z C = 50Ω
Impédance réduite
z = Z/Z C = 0,3-1j
L’abaque de Smith
0,3
-1
z
29
30

15Ω
31,8pF
F = 100MHz
Z = (15-j50)Ω
Impédance caractéristique
Z C = 50Ω
Impédance réduite
z = Z/Z C = 0,3-1j
Admittance réduite
y = 1/z = 0,27+0,91j
Admittance
Y=y /Z C =(5,5+18,3j)10 -3 S
15Ω
31,8pF
F = 100MHz
Z = (15-j50)Ω
Coefficient de réflexion
Γ = (Z-Z C )/(Z+Z C )
Γ = 0,75 -87,4°
y
z
-87,4°
z
Γ = 0,75
31
32

15Ω
31,8pF
F = 100MHz
Z = (15-j50)Ω
Rapport d’onde
stationnaire
ROS = (1+ Γ )/(1- Γ )
ROS = 6,8
15Ω
31,8pF
F = 100MHz
Z = (15-j50)Ω
v = 2.10
λ = v/f = 2 m
8 ms-1 Longueur d’onde
Impédance ramenée à
40 cm par exemple
40 cm → 0,2 λ
z = 0,18+0,46j
Z = (8,95 + 23,4j) Ω
0,2 λ
ROS = 6,8
z à 0,2λ
-87,4°
z
33
34

Ligne d’impédance
caractéristique Z C = 50 Ω
source
50 Ω
f = 100 MHz
source
50 Ω
f = 100 MHz
Adaptation d’impédance à une fréquence
ligne 50 Ω
ligne 50 Ω
Z 1
Matching network
C
Réseau
d’adaptation
(inductance
et
capacité)
L
Z 2
Il y a adaptation si :
-Z1 = 50 Ω
-Z2 = Zl *
2 inconnues L et C
Un exemple simple d’adaptation
Z 1
Matching network
Réseau
d’adaptation
(inductance
et
capacité)
Matching network
Z 2
15Ω
31,8pF
50Ω
Z 1 =50 Ω Z 2 = (50 +j 50)Ω
79nH
31,8pF
Z l = (50 – j 50) Ω
charge de la
ligne Z l
35
charge de la
ligne Z l
50Ω
31,8pF
36

Réseau d’adaptation
Adaptation à une ligne de 50 Ω
Résolution numérique
37
38

Z A
Z C =50Ω
F = 100MHz
L = 116nH
L = 116nH
C = 48pF
15Ω
31,8pF
15Ω
31,8pF
Z A
Lignes avec faibles pertes
Y A
39
40

Lignes avec faibles pertes : impédance caractéristique Z c
gdx
Cdx
Dans l’hypothèse de faibles pertes, r

Matrice chaîne d’un tronçon de ligne
tronçon de ligne de longueur L c
Équations
tension
et
courant
Matrice chaîne d’un tronçon de ligne
V 1
⎡ Z1
+ Z2
⎤
⎢
− Z1
⎥
⎡V2
⎤ Z
⎢
2
⎥⎡V1
⎤
⎢ ⎥ =
⎢ ⎛ ⎞ + ⎥⎢
⎥
⎣I2
⎦ ⎜ Z + ⎟ ⎣ ⎦
⎢
− 1 2Z2 Z1
Z2
I1
⎜ 2 ⎟ ⎥
⎣ ⎝ Z2
⎠
Z2
⎦
Matrice chaîne
I 1
⎧
jβx
− jβx
U ( x)
= Ae + Be
⎪
⎨
⎪ 1
I ( x)
=
⎪⎩
Zc
jβx
− jβx
( Ae − Be )
L c
quadripôle
avec :
x 2
I 2
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
x 1
V 2
⎛ ⎞
= ⎜ π ⎟
⎝ λ ⎠
c L
Z1
jZcsin
2
1
2
( π )
λ
c
Z = − jZc
L
tg
43
Méthode : écrire ( ) 1 , ,
et puis éliminer A et B :
V U x1
= ( ) 2 V U x2
=
( ) 1 I I x1
= ( ) 2 I I x2
=
44

V 1
I 1
Matrice chaîne d’un tronçon de ligne : cas où L c

Module S11
Phase [ rd ]
Détermination de la vitesse v de propagation dans un câble RG58 par
mesure de l’impédance
1
0.5
câble RG58 1m
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x 10 8
0
5 100MHz
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x 10 8
-5
Fréquence [ Hz ]
analyseur
de réseaux
circuit
ouvert
L’analyseur de réseaux mesure le coefficient de réflexion Γ
47
jβx
− jβx
I x = Ae − Be
Zc
Zl infinie
1
Équation du courant
( )
( )
I ( x = 0)
= 0 → A = B
Coefficient de réflexion
B −2
jβx
Γ(
x = 1m)
= e
A x=
1m
Γ = 1
− 4πf
phase ( Γ)
= −2β
=
v
phase (Γ)=-2π
pour f=100MHz
4π
100 x10
v =
2π
6
8
x48
= 2 10 m / s

Module ( Z ) Z en Ohm
Phase [ rd ]
3000
2000
1000
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x 10 8
0
2
1
0
-1
Impédance d’un câble RG58 de 1m de long avec Z l infinie
capacitif
inductif
zoom
capacitif
inductif
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x 10 8
-2
Fréquence [Hz]
Z ( x)
= Zc
40
20
3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
x 10 7
0
2
0
Impédance ramenée
( ZL
+ jZctg(
βx))
( Z + jZ tg(
βx)
)
c
L
Z
Z ( x = 1m)
= c
2πf
jtg(
)
v
3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
x 10 7
-2
Détermination de la vitesse v par mesure du déphasage
Générateur de
signaux : sinus
Câble RG58
2x50m
oscilloscope
49
50

U(
x
Amplitude [ V ]
Détermination de la vitesse v par mesure du déphasage
VIN jβd
= d)
= Ae
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
50Ω
6V c-a-c
1MHz
V IN
Déphasage ϕ = -π à 1MHz d’où :
U(
x)
d=100m RG58 (50Ω)
jβ
x − jβx
= Ae + Be
U(
x)
V OUT est déphasé de –βd par rapport à V IN
V OUT
V OUT
0 0.5 1 1.5 2
x 10 -6
-2
Temps [ s ]
jβx
= Ae = A
Détermination de la vitesse v par mesure du déphasage
ϕ
=
50Ω
51
− 2πd −ωd
2π10
6
x100
= →v
= = 2x10
8 1
52 ms
−
λ v
π

Générateur de
signaux : pulse
Câble RG58
2x50m
Ligne en régime impulsionnel
Ligne en régime impulsionnel
oscilloscope
Ligne désadaptée en entrée et en sortie : pulse 40µs
300Ω
6V
40µs
V IN
100m RG58 (50Ω)
Ligne désadaptée
V OUT
53
1MΩ
54

Amplitude [V]
Amplitude [V]
6
4
2
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x 10 -4
-2
6
4
VOUT 2
0
Ligne en régime impulsionnel
Ligne désadaptée en entrée et en sortie : pulse 40µs
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x 10
55
-4
-2
Temps [s]
Ligne en régime impulsionnel
V IN
Ligne désadaptée en entrée et en sortie : pulse 400ns
300Ω
6V
400 ns
V IN
100m RG58 (50Ω)
V OUT
1MΩ
56

Amplitude [V]
Amplitude [V]
2
1.5
1
0.5
0
Ligne en régime impulsionnel
Ligne désadaptée en entrée et en sortie : pulse 400ns
V IN
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x 10 -5
-0.5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x 10 -5
2
1.5
1
0.5
0
VOUT -0.5
Temps [s]
0 , 857 + ( 0,
714)
0,
857 = 1,
468
0,611+(0,714)0,611=1,047
Ligne en régime impulsionnel
Ligne désadaptée en entrée et en sortie : pulse 400ns
Générateur Charge
300 − 50
Γe = = 0,714
300 + 50
6
10 − 50
Γs
= ≈1
6
10 + 50
6x50
= 0,857
300 + 50
0,857
0,857
0,611
0,611
0,436
57
0,857+(1)0,857=1,714
0,611+(1)0,611=1,222
0,436+(1)0,436=0,872
58

Ligne en régime impulsionel : ligne désadaptée en entrée et adaptée en
Amplitude [V]
Amplitude [V]
300Ω
6V
400 ns
1.2
0.8
0.4
0
V IN
sortie : pulse 400ns
100m RG58 (50Ω)
V OUT
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x 10 -5
-0.4
1.2
100
2x10
8 −1
− 9
500x10
0.8
0.4
VOUT =
= ms
v
0
V IN
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x 10 -5
-0.4
Temps [s]
50 Ω
Ligne en régime impulsionel : ligne désadaptée en entrée et adaptée en
sortie : pulse 400ns
59
60

Ligne en régime impulsionel : ligne désadaptée en entrée et en sortie :
pulse 40µs
Amplitude [V]
Amplitude [V]
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x 10 -4
6
4
2
0
-2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x 10 -4
VIN 6
4
2
0
VOUT -2
Temps [s]
impédance
sortie 50Ω
300Ω
100m RG58 (50Ω)
6V
40µs V IN V OUT
Amplitude [V]
Amplitude [V]
6
4
2
0
Mesure des pertes
1MΩ
7.5 8 8.5 9 9.5
x 10 -5
-2
6
4
2
0
7.5 8 8.5 9
61
9.5
x 10 -5
-2
Temps [s]
câble RG58
50m
analyseur de
réseaux
impédance
entrée 50Ω
62

Paramètre S21, atténuation [ dB ]
0
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-14
-16
-18
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x 10 8
-20
Fréquence [ Hz ]
Fréquence (MHz)
100
400
L ong = 50m
Atténuation pour 100m
17dB
39dB
Tentative de calcul de l’atténuation
Équation en tension :
αx j(
ωt+
βx)
−αx
j(
ωt−
βx)
U ( x, t)
= Ae e + Be e
Ligne adaptée (B=0), pas de réflexion : ⇒
α x j(
ωt+
βx)
U ( x, t)
= Ae e
⎛
⎞
⎜
U(x
= 0)
⎟ =
⎛ −αL =
ong ⎞
Atténuation mesurée (paramètre S S21
20log10
20log
⎜
⎟ ⎜e
21 ) :
10 ⎟
⎝
U(x
= Long
)
⎠ ⎝ ⎠
⎛ r
Coefficient d’atténuation : α ≈ ⎜
⎝ 2
r (en m-1 )= +
π σ
2 1
r 0
conducteur
intérieur
C g
+
L 2
L ⎞
⎟
C ⎠
1
π
σ ( Rext + Rint
)(Rext
− Rint
)
conducteur
extérieur
g =Cω tg(δ) ; tg(δ) : angle de perte du diélectrique polyéthylène
r 0
R int
R ext
63
64

Paramètre S21, atténuation [ dB ]
0
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-14
-16
-18
expérience
-20
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Fréquence ( Hz ]
x10 8
pertes diélectriques
tgδ = 0.002
+
résistance cuivre
continue
pertes diélectriques
tgδ = 0.007
+
résistance cuivre
continue
Conclusion : Un résistance linéique r = ρ/S ne peut pas expliquer
l’atténuation observée, il faut prendre en compte l’effet de peau. 65
Effet de peau dans les conducteurs
66

Champ magnétique à l’intérieur d’un conducteur en régime statique
∆
r
I
R
Théorème d’Ampère appliqué à l’intérieur du conducteur :
Circulation sur un cercle de rayon r à l’intérieur du conducteur :
r r
2
π r
C = BdM
= B2π
r = µ 0I ∫
2
T π R
µ 0 I r
B =
2
2π
R
Théorème d’Ampère appliqué à l’extérieur du conducteur
r r
C = ∫ T BdM
= B2
π r = µ 0I
-R
B
R
µ I
B = 0
2π
R
µ I
B = 0
2π
r
En régime statique, la densité de courant j=I/S (en A/m 2 ) est la même dans une
section de conducteur et le champ électrique E est constant : j= σE.
En régime harmonique, le champ B, créé par le courant, varie dans le temps et
modifie le champ électrique (rappel loi de Lenz : e=-dΦ/dt) et donc la densité
de courant (j= σE) qui en retour modifie le champ magnétique. En d’autres
termes les champs magnétique et électrique sont couplés. Il s’ensuit que la
densité de courant n’est plus constante dans une section de conducteur : le
courant est rejeté à la périphérie du conducteur.
En statique la densité de
courant est uniforme
67
En régime harmonique, la densité de
courant est plus élevée à la périphérie
68
r

Épaisseur de peau
1
Aux hautes fréquences ( r0
2
π fσ
µ > 1)
la résistance linéique r doit être
remplacée par une impédance linéique Z=Zr +jZi avec :
r
En l’absence d’effet de peau, c-à-d en continu :
1
On pose : δ = l’épaisseur de peau
π fσ
µ
d’où :
Zr Zr/R0 / r et et Zi Zi/R0 / r
Zr/R0 Zr / r et Zi/R0 Zi /r
1
Z r =
σ 2π
r0
δ
150
100
50
1
Zr
=≈ Zi
=
σ 2π
r0
π f
σ µ
π σ
2 1
r =
r
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
x 10 4
0
zoom
4
sqrt ( f ) f en [Hz]
2
0
0 200 400 600 800 1000
sqrt ( f ) f en [Hz]
Z r (ω) Z i (ω)
r 0
δ : épaisseur de peau
aire : 2 π r 0 δ
Variation de l’impédance Z d’un conducteur plein en fonction de la
fréquence
Z r / r
Z i / r
r0 0.
5mm
=
−7
−1
µ 0 = 4π 10 Hm
7 −1
, et σ = 5x10
Sm
69
70

Variation du champ magnétique B en fonction de la distance à l’axe d’un
conducteur plein
Champ magnétique [T]
Densité de courant [Am-2]
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
x 10-6
4
I=10mA
σ =5 10 7 S m -1
10kHz
100kHz
1MHz
10MHz
0 1 2 3 4 5
x 10 -4
0
Distance à l'axe du fil [m]
0.
mm,
−7
−1
µ 0 = 4π 10 Hm et σ
7
5x10
r0 5 =
x 105
2.5
2
1.5
1
0.5
I=10mA
σ 7
=5 10 S m -1
10MHz
100kHz
1MHz
−1
= Sm
0 1 2 3 4 5
x 10 -4
0
10kHz
Distance à l'axe du fil [m]
δ=71µm
à
1MHz
δ=22µm
à
10MHz
Variation de la densité de courant j en fonction de la distance à l’axe
d’un conducteur plein
r0 0.
5mm
=
−7
−1
µ 0 = 4π 10 Hm
7 −1
, et
σ = 5x10
Sm
71
δ=71µm
à
1MHz
δ=22µm
à
10MHz
72

Vérification expérimentale de l’effet de peau
Mesure de l’atténuation d’un câble RG58 : mise en évidence de l’effet de
peau
impédance
sortie 50Ω
câble RG58
50m
analyseur de
réseaux
impédance
entrée 50Ω
73
74

Équation en tension :
U ( x , t )
Ligne adaptée (B=0), pas de réflexion : ⇒
Calcul de l’atténuation
= Ae
αx e
j(
ωt+
βx)
+ Be
−αx
e
j(
ωt−βx
)
U ( x,
t )
= Ae
α x
e
j(
ωt+
βx)
⎛
⎞
⎜
U(x
= 0)
⎟ =
⎛ −αL =
ong
Atténuation mesurée (paramètre S21 ) : S21
20log 10
20 log
⎜
⎟ 10 ⎜ e
⎝
U(x
= Long
)
⎠ ⎝
⎛ r
Coefficient d’atténuation : α ≈ ⎜
⎝ 2
C g
+
L 2
L ⎞
⎟
C ⎠
1 fµ
1 1
La résistance r est remplacée par : Z r = ( + )
2 σπ r0
Rint
g =Cω tg(δ) avec tg(δ) l’angle de perte du diélectrique polyéthylène
Mesure de l’atténuation d’un câble RG58 : mise en évidence de l’effet de
peau
Paramètre S21, atténuation [dB]
0
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-14
-16
-18
expérience
pertes diélectriques + cuivre
(calculées)
pertes diélectriques
calculées
pertes cuivre : effet de peau
calculées
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x 10 8
-20
Fréquence [Hz]
capacité linéique C=100 pF/m, inductance linéique L=250 nH/m,
tgδ=2.1e-3, conductivité σ=3e7 Sm-1 r 0
R int
R ext
75
76
⎞
⎟
⎠

Pourquoi des câbles 50Ω ?
La résistance linéique est la somme des résistances linéiques des conducteurs intérieur
et extérieur de rayon respectif r0 et Rint en hautes fréquence :
conducteur
1
Zr
≈
2
fµ
0 ⎛ 1 1 ⎞
⎜ + ⎟
πσ ⎝ r0
Rint
⎠
intérieur
Le coefficient d’atténuation α s’écrit :
⎛ r
α = ⎜
⎝ 2
C g
+
L 2
L ⎞
⎟
C ⎠ r0 conducteur
extérieur
2πε
C = 0εr
µ ⎛ ⎞
= 0 R
avec : et L Ln⎜
int ⎟
⎛ R ⎞
Ln⎜
int
2π ⎝ r0
⎠
⎟
⎝ r0
⎠
1
En négligeant les pertes diélectriques: α ≈
2
Rint Rext πfε0ε
r 1 ⎛ 1 1 ⎞
⎜ + ⎟
σ ⎛ R ⎞
⎜ int ⎟
⎝ r R
Ln
0 int ⎠
⎝ r0
⎠
Minimum de α :
dα
= 0
dr0
⇒
⎛ Rint
⎞ r
Ln ⎜ ⎟ = 1+ 0
⎝ r0
⎠ Rint
⇒
Rint
=
r0
3.
6
1 µ ⎛ ⎞
Isolant polyéthylène εr ≈ 2,
2 ⇒ = 0 R
Z
Ln⎜
int
c
⎟ ≈ 51.
8Ω
2π
ε0ε
r ⎝ r0
⎠
77
78

Impédance de transfert des câbles coaxiaux
Tension parasite induite dans un câble
On utilise des câbles pour se « protéger » des agressions
électromagnétiques. Est-on vraiment protéger ?
U
+
tension
parasite
OEM
plan métallique
câble
Le courant, induit dans la boucle par l’OEM, génère une tension parasite,
car l’impédance de transfert Z t du câble n’est pas nulle.
79
U
80

Définition de l’impédance de transfert d’un câble
I ext
L
V int= Z t L I ext
Z t : impédance de transfert du câble, cette impédance caractérise le câble.
I ext
Rext Rint
V int =Z t .L.I ext
C’est une donnée constructeur.
L
I ext
V int
Iext Zexti
Zextr
Fréquence croissante
en Ωm -1
Couplage entre extérieur et
intérieur du conducteur externe
I ext
Zinti
Zintr
V int
81
82

20log10 ( module Zt ) Zt en Ohm
I ext
V int =Z t .L.I ext
-20
-40
-60
-80
-100
V int
20log10 ( module Zt ) Zt en Ohm
-20
-40
-60
-80
-100
1
I ext
20 log10(
R0
)
1
V int
-120
2 3 4 5 6 7 8
Log 10 ( f ) f en [ Hz ]
2
3
2
Z t
I ext
V int
Impédance de transfert des conducteurs tressés
Z t
-120
3 4 5 6 7 8
Log10 ( f ) f en [ Hz ]
3
83
L
20log 10 (résistance
continue/unité de
longueur)
NB : -50dB
correspond à une
résistance 0,03Ω
pour 1 m
La tresse favorise les fuites du
champ magnétique à l’intérieur
du blindage augmentant ainsi
l’impédance de transfert Zt 84

85
86

Single braid
Double braid
Calcul de la tension parasite induite dans un câble
87
88

La boucle, constituée de la gaine du câble et du plan métallique, est traversée par une
onde électromagnétique supposée plane. On cherche à évaluer la tension parasite Vint induite par le courant de la boucle
B
V int
E
h L I
c
ext
λ
plan métallique
à un instant t
câble
NB : Le champ B est supposé perpendiculaire au plan de la boucle (pire cas)
Méthode :
1) évaluer la tension induite dans la boucle (Loi de Faraday e = dφ/dt )
2) évaluer l’impédance de la boucle
3) évaluer le courant Iext 4) évaluer V int à partir du courant I ext , de l’impédance de transfert Z t et de la longueur
L c
Hypothèse de travail : Lc

2) Évaluer l’impédance de la boucle
inductance linéique capacité linéique impédance caractéristique
−6
⎛ 2h
⎞
L = 0, 46x10
log10⎜
⎟
⎝ r ⎠
2πL
iZ sin( c
c )
λ
Zc
π L
itg(
c )
λ
plan métallique
Matrice chaîne du tronçon de longueur L c
L c
h 2r
C = 24 10
−12
ε
x
r
⎛ 2h
⎞
log10⎜
⎟
⎝ r ⎠
si L c

Z L B h
V t c 0
int =
L
h
Application numérique
Coupable : émetteur de puissance PE =15mW à f=27MHz situé à d=10m du câble et ayant une
antenne émettrice de gain GE =1,65.
La longueur de la boucle est très inférieure à la longueur d’onde λ=c/f=11,1m, on fait
l’approximation que B est constant sur toute la longueur de la boucle.
L c
plan métallique
I ext
L c =1m
et
h=0.2m
2
E H 377 H P G
-2
Le champ B0 se calcule ainsi : = = E E (en Wm ) ⇒ B0 = µ 0H
≈ 0,
4nT
2 2
2
4π
d
Câble RG58 à 27MHz :
−1
−1
Zt
≈1000mΩm
= 1Ωm
rayon câble r 0=2,35mm
Inductance linéique :
−6
⎛ 2h ⎞ −6
⎛ 2x0.2
⎞
⎜ ⎟ −1
L = 0,46x
10 log10⎜
⎟ = 0,46x10
log10⎜
≈
⎝ ⎠
− ⎟
1µ
Hm
r
3
⎝ 2,35x10
⎠
Tension parasite :
−9 Z L B h 1 1 0,4 10 0,2
V = t c 0 x x x x
int
=
= 80µ
V
L
−6
10
Expériences : mise en évidence de l’impédance de
transfert
93
94

analyseur
spectre
charge
50Ω
sonde champ
proche
sonde champ
proche
générateur
500MHz
Réalisation d’un coupable
soudure
câble
Amplitude [dBm]
-20
-40
-60
-80
-100
Réalisation d’un coupable (suite)
Amplitude [dBm]
-120
499.99 499.994 499.998 500.002 500.006 500.01
Fréquence [MHz]
Signal mesuré par la sonde de champ
proche au voisinage de la soudure
-20
-40
-60
-80
-100
-120
22,5dB
95
-140
499.99 499.994 499.998 500.002 500.006 500.01
Fréquence [MHz]
Signaux mesurés par la sonde de champ
proche au voisinage de la soudure et du
câble blindé
96

CC
50Ω
générateur
500MHz, 0dBm
victime
victime
coupable
victime
coupable (BNC)
victime
coupable
coupable
Amplitude [dBm]
-60
-70
-80
-90
-100
-110
-120
Tension induite par
l’impédance de transfert
34dB
-130
499.99 499.994 499.998 500.002 500.006 500.01
Fréquence [MHz]
97
Tension induite par l’impédance de transfert
50Ω
générateur
300MHz,
-40dBm
soudure
câble victime
générateur
301MHz,
14dBm
câble coupable
98

Amplitude [dBm]
Amplitude [dBm]
Amplitude [V]
Amplitude [V]
-35
-55
-75
-95
-115
299.5 300 300.5 301 301.5
-35
-55
-75
-95
Tension induite par l’impédance de transfert
-115
299.5 300 300.5
Fréquence [MHz]
301 301.5
1
0
-1
x 10 -3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
x 10 -6
x 10 -3
1
0
-1
Tension induite par l’impédance de transfert
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
x 10 -6
Temps [s]
générateur
301MHz
coupable OFF
générateur
301MHz
coupable ON
99
générateur
301MHz
coupable OFF
générateur
301MHz
coupable ON
100

Lignes microrubans
Pour un substrat de circuit imprimé donné, l’impédance caractéristique d’une ligne
microruban dépend principalement de la largeur W de la piste
Pour du FR4 : Z c = 50Ω si W = 2,9 mm
101
102

Lignes microrubans
Pour du FR4 : Z c = 105Ω si W = 0,5 mm
103
104

Gain 20dB à
850MHz
Paramètres S 21 et S 11 du CI ADL5322
Paramètres S 21 et S 11 du CI ADL5322 avec lignes 50Ω
2 lignes de 50Ω
Gain 20dB à
850MHz
105
106

Paramètres S 21 et S 11 du CI ADL5322 avec lignes 105Ω
2 lignes de 105Ω
Le gain chute à 18 dB
avec deux lignes de
105Ω longues de 2cm
FIN
107
108