les annales du concours 2013 - Ministère de la Défense

C : Si
n
v
u est croissante alors aussi D : Si
10) Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ; ; ;
tels que 2x y30est
:
n
Oi jk
u est bornée alors v converge
n
, l’ensemble des points M de coordonnées x; yz ;
A : Une droite de vecteur directeur u 1;
2; 0
B : Un plan de vecteur normal
n
n 2;1;0
C : Un plan parallèle au plan xOy
D : Un plan passant par le point H(0 ;-3 ;3)
3
11) Soit z un complexe non nul et z’ défini par z
où z est le conjugué de z. Pour tout z 0 ,
z
A : arg z arg z 2 k, k
B : arg zarg z 2 k, k
C : arg zarg z 2 k, k
D :
arg z3arg z 2 k, k
12) La transformation du plan dans lui-même d’écriture complexe ziz3iest :
A : une homothétie B : une symétrie centrale C : une rotation D : une translation
13) Le complexe 5 5i3 a pour argument : A : B : C :
3
3
2
4
D :
3
3
14) Le réel
x
1
2
e dx est égal à : A : 2e1 B :
0
II) EXERCICE N°2 (7,5 POINTS)
0; f x Soit f la fonction définie sur par
1) Donner la fonction dérivée de f. En déduire le sens de variation de f.
2) Calculer et simplifier
2
f e ,
f e et
1 f
e .
1
3) Donner une équation de la tangente à C f au point d’abscisse
e .
4) On considère la suite
n
Comparer un
à
n1
3
u définie pour n 3 par u
f ( xdx ) et en déduire lim un
.
n
e 1
C :
2
1
1 2 ( 1
2
e ) D :
1
2 1
e
ln x
et C f sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan.
x
n
n
ln k
.
k
5) Montrer qu’il existe un seul couple d’entiers naturels non nuls x y tels que
III) EXERCICE N°3 (5,5 POINTS)
Soit
n
k3
u la suite définie par u a , a 0 , et, pour tout nIN
, 2u 3u
.
0
2
n1n
1) Montrer que tous les termes de la suite u n sont strictement positifs.
y x
x y .
2) Exprimer les termes u1 et 2 en fonction de a.
u
3 3) On pose, pour nIN , vn ln unln .
Déterminer la nature de la suite v n .
2 4) Exprimer puis u en fonction de n. A quelle condition sur a la suite u converge-t-elle ?
vn n
n