Étude et résolution exacte de problèmes de transport à la demande ...

tel-00534894, version 1 - 10 Nov 2010
Chapitre 2. Optimisation du calcul des tournées de véhicules : « Dial-A-Ride
Problem »
2.2.1 Principes de la méthode
La méthode de génération de colonnes permet de résoudre des programmes linéaires.
Les variables sont appelées colonnes. Lorsque la génération de colonnes est intégrée
dans une recherche arborescente, lors de la résolution de programmes linéaires
en nombres entiers par exemple, on parle de SEPGCOL (Branch & Price en anglais).
C’est une méthode itérative. À chaque itération, on résout un problème restreint (en
nombre de colonnes). De la solution obtenue et des principes de dualité de la programmation
linéaire, on déduit l’optimalité ou non de la solution obtenue. À l’itération suivante
on enrichit le problème restreint d’une ou plusieurs colonnes. Les informations
obtenues lors de la résolution précédente permettent aussi de caractériser des variables
intéressantes à ajouter. Le problème initial à résoudre est appelé problème maître ou
principal et le générateur de nouvelles colonnes est appelé problème esclave ou sousproblème.
Considérons le problème maître générique MP, où les données a r ω et b r sont des
rationnels et cw des réels. Les variables de décision sont les réels λw.
s.c.q.
(MP)
min ∑ cωλω
ω∈Ω
(2.1)
∑ a
ω∈Ω
r ωλω ≤ b r ∀r = 1, . . . , R, (2.2)
λω ≥ 0 ∀ω ∈ Ω. (2.3)
Plaçons nous à l’itération it de la résolution par génération de colonnes. On résout
optimalement le problème maître restreint à Ω it ⊆ Ω. On suppose que la méthode
de résolution utilisée donne aussi une solution optimale au dual du programme linéaire
3 . Notons π r la variable duale associée à la r ième contrainte (2.2). Toute colonne
ω ∈ Ω \ Ω it susceptible de diminuer la valeur de la fonction objectif si on l’ajoute au
problème maître restreint a un coût réduit c π w (défini par l’équation 2.4) négatif. Le problème
esclave consiste donc à trouver de telles colonnes. Il est souvent posé comme un
problème de minimisation sur les c π w. Si aucune colonne de coût réduit négatif n’existe,
on déduit alors l’optimalité pour MP de la solution obtenue à l’itération it.
c π R
ω = cω − ∑
r=1
a r ωπ r
Le schéma de la figure 2.1 illustre le déroulement de l’algorithme de génération de
colonnes.
Le fait d’augmenter progressivement la taille du problème à résoudre rend la génération
de colonnes particulièrement adaptée pour la résolution de problèmes possédant
(2.4)
3 Les algorithmes, basés sur celui du simplexe ou celui du point intérieur, implémentés dans la plupart
des solveurs du marché donnent les deux solutions.
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