Étude et résolution exacte de problèmes de transport à la demande ...

tel-00534894, version 1 - 10 Nov 2010
Chapitre 2. Optimisation du calcul des tournées de véhicules : « Dial-A-Ride
Problem »
de brancher prématurément plutôt que d’attendre l’obtention d’une solution optimale,
et de sa preuve d’optimalité, pour la relaxation linéaire du problème maître restreint.
2.2.3.2 Gestion des colonnes
Le problème maître restreint peut par sa taille ou par symétrie devenir difficile à
résoudre. Supprimer des colonnes a priori inutiles est toujours possible, puisque si des
colonnes supprimées s’avèrent utiles à une itération ultérieure, elles seront alors naturellement
régénérées. Le nombre de colonnes remontées – intégrées au problème maître
restreint – à chaque itération du générateur de colonnes est un paramètre influent sur
la rapidité de l’algorithme.
2.2.3.3 Initialisation
Pour amorcer la méthode, il est toujours possible de créer une colonne fictive – permettant
de satisfaire toutes les contraintes du problème maître – qu’on pénalise fortement
dans la fonction objectif, lorsqu’on dispose d’un ensemble Ω 0 vide. Un bon
ensemble de colonnes de départ peu évidemment rendre la résolution plus facile. Cependant,
même initialisée par une solution optimale, la preuve d’optimalité – liée à la
construction de la base d’une solution optimale – peut s’avérer difficile à obtenir. Il peut
être plus profitable d’utiliser un ensemble Ω 0 de colonnes très diversifiées.
2.2.3.4 Résolution du problème esclave
La difficulté du problème esclave est parfois cruciale pour la génération de colonnes.
Il peut être intéressant de résoudre ce problème de façon heuristique, surtout lorsque
l’ensemble de colonnes à coût réduit négatif est élevé. Il est alors envisageable d’utiliser
les colonnes déjà générées pour en construire de nouvelles.
Pour de nombreux problèmes de calcul de tournées de véhicules, le problème esclave
prend la forme d’un Problème de Plus Court Chemin avec Contraintes de Ressources.
2.3 Plus court chemin avec contraintes de ressources (SPPRC)
Les problèmes de plus court chemin entre deux sommets dans des graphes pondérés
sont très bien connus depuis longtemps et des algorithmes polynomiaux sont disponibles
pour différents types de graphes : Dijkstra dans le cas de poids positifs, Bellman
dans le cas général. . . Le fait de consommer en cours de chemin des ressources disponibles
en quantités limitées (SPPRC) rend le problème NP-difficile. Et l’ajout d’une
contrainte d’élémentarité sur le chemin (ESPPRC) rend le problème NP-difficile au sens
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