Thèse Modèle dynamique de transport basé sur les activités

Thèse 

Modèle dynamique de transport basé sur les activités 

Présenté à 

ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES 

Pour obtenir 

Le diplôme de docteur 

Ecole doctorale ville et environnement (EDVE) 

Spécialité : Transport 

Par 

Tai-Yu MA 

Soutenance : le 20 décembre 2007 

Devant le jury composé de : 

M. Marcos PAPAGEORGIOU Professeur, Université Technique de Crête, Grèce Rapporteur 

M. Saïd MAMMAR Professeur, Université d'Evry Val d'Essonne Rapporteur 

M. Fabien LEURENT Directeur de Recherche, LVMT Examinateur 

Mme. Cécile APPERT-ROLLAND Chargée de recherche, LPT-Orsay/CNRS Examinateur 

M. Vincent AGUILERA Chargé de Recherche, LVMT Examinateur 

M. Habib HAJ-SALEM Directeur de Recherche, HDR, INRETS Directeur de thèse 

M. Jean-Patrick LEBACQUE Ingénieur Général des Ponts et Chaussées Directeur de thèse

REMERCIEMENTS 

Je tiens tout particulièrement à remercier très chaleureusement Monsieur 

Jean-Patrick Lebacque, Ingénieur Général des Ponts et Chaussées, qui a assuré la 

direction de cette thèse. Sa gentillesse, la pertinence de ses idées et ses 

encouragements m’ont grandement aidé à avancer dans mes travaux de recherche et 

aussi à approfondir mes connaissances scientifiques. 

Que Monsieur Habib Haj-Salem, directeur de Recherche à l’Institut National de 

Recherche sur les Transports et leur Sécurité (INRETS), trouve ici ma plus profonde 

reconnaissance pour ses précieux conseils et son dynamisme de recherche qui m’ont 

accompagné dans une ambiance très chaleureuse. 

Je tiens à exprimer mon vif remerciement à M. Markos Papageorgiou, professeur à 

l’Université Technique de Crête, et à M. Saïd Mammar, professeur à l’Université 

d'Evry Val d'Essonne pour avoir accepté de rapporter ce mémoire. 

Mes remerciements vont également aux différents membres du jury qui ont apporté 

leurs lucides conseils et ont consacré leur temps pour enrichir mon étude 

scientifique : 

M. Fabien Leurent, directeur de Recherche au LVMT 

Mme. Cécile Appert-Rolland, chargée de recherche à l’LPT-Orsay/CNRS 

M. Vincent Aguilera, chargé de Recherche au LVMT 

Je remercie également à vous, les membres du laboratoire de Génie des RÉseaux de 

Transport et Informatique Avancée (GRETIA) de l’INRETS pour votre accueil très 

chaleureux et la bonne ambiance qui m’ont fait passer une période formidable. Merci 

également à vous, les thésards du bureau, Salim, Fabien, Mahdi pour votre bonne 

humeur et conseils. Un merci particulier à Fabien, Maya et Keo pour la lourde 

charge de correction de mon mémoire et à Kirach pour ses conseils et 

encouragements. 

Mes derniers remerciements vont à ma femme pour son soutien durant ces années de 

thèse. Et notamment à notre fille Angèle qui m’a apporté toutes les joies et les 

moments de bonheur.

Table des matières 

Tables des illustrations 

Introduction 1 

Chapitre 1 L’état de l’art 4 

1 Introduction 4 

2 Analyses de la demande basée sur les activités 5 

2.1 Théories de base 6 

2.2 Programmation des activités et des déplacements 8 

2.3 Méthodes de modélisation 10 

2.4 Méthodes de recueil de données 13 

3 Méthodes basées sur les Systèmes Multi-Agents 14 

3.1 Caractéristiques des SMA 14 

3.2 Représentation interne des agents réactifs 15 

3.3 Plates-formes et sémantique des SMAs 17 

4 Méthodes d’agrégation du système complexe 19 

4.1 Les propriétés du phénomène d’auto-organisation 20 

4.2 Théorie synergétique 21 

4.3 Schéma d’agrégation de Muncaster 22 

5 L’affectation du trafic 23 

5.1 Le principe d’affectation et la description générale du problème 23 

5.2 L’affectation statique déterministe du trafic 25 

5.3 L’affectation dynamique du trafic 27 

6 Modélisation de systèmes de transports multimodaux 29 

6.1 Modélisation statique des systèmes de transports multimodaux 30 

6.2 Modélisation dynamique des systèmes de transports multimodaux 32 

7 Conclusion 33

Chapitre 2 Affectation statique du trafic basée sur les activités 34 


2 Modèle d’affectation statique basée sur les activités 35 

2.1 Modèle d’Accessibilité aux Activités Vacantes 35 

2.2 Formation mathématique du modèle d’activités 38 

3 Méthodes de résolution 42 

3.1 Méthode des plans sécants 42 

3.2 Méthode de colonies de fourmis 44 

3.3 Algorithme proposé basé sur l’approche d’ACO 47 

4 Etude numérique 50 

4.1 Résolution basée sur la méthode de plans sécants 51 

4.2 Résolution basée sur la méthode de colonies de fourmis 51 

5. Conclusion 57 

Chapitre 3 Affectation dynamique du trafic basée sur les activités 58 


2 Modèle proposé 59 

2.1 Modèle d’écoulement de trafic 60 

2.2 La mesure de la valeur nette d’activités 63 

2.3 Condition d’équilibre usagers 64 

3 Méthodes de résolutions 66 

3.1 Algorithme de colonies de fourmis 66 

3.2 Algorithme basé sur la méthode d’Entropie Relative 79 

4 Etudes comparatives avec l’approche du système dynamique 98 

4.1 L’approche du système dynamique 98 

4.2 Etudes numériques 101 

5 Conclusion 109 

Chapitre 4 Modèle macroscopique du trafic basé sur la discrétisation 

Lagrangienne 


2 Modèle macroscopique du trafic du premier ordre 110 

3 Le modèle LWR en coordonnées Lagrangiennes 114 

110

3.1 L’équation de conservation en coordonnées Lagrangiennes 114 

3.2 Modèle de LWR basé sur les paquets 116 

3.3 La condition CFL 119 

3.4 Modélisation de l’intersection 120 

4 Etudes numériques 125 

4.1 Etude sur un tronçon hétérogène 126 


Chapitre 5 Modèle dynamique de transports multimodaux basé sur les 

activités 


2 Modèle d’affectation dynamique basée sur les activités 130 

2.1 Modèle d’activités 130 

2.2 Modélisation dynamique de systèmes de transport multimodaux 136 

2.3 Méthode SMA pour la simulation de systèmes de transports multimodaux 144 

3 L’équilibre des usagers basé sur les activités 145 

4 Méthode de résolution 146 


Chapitre 6 Conclusion et perspectives 150 

Bibliographie 

129

Tables des illustrations 

Figures 

Fig. 1-1 Architecture réactive de subsomption 16 

Fig. 1-2 Architecture InteRRaP 17 

Fig. 1-3 La représentation d’un réseau multimodal statique 31 

Fig. 1-4 La transformation du réseau du TC de la figure 1-3 en graphe 

augmenté dans le temps 

Fig. 1-5 La représentation schématique d’un itinéraire multimodal 33 

Fig. 2-1 La fonction de répartition cumulée de valeur d’activités v 36 

Fig. 2-2 La représentation du surplus brut total d’activités 

Fig. 2-3 Représentation du réseau 50 

GSd 

Fig. 2-4 La valeur de l’opposé de la fonction objectif –f(x) (à gauche) et la 

valeur du critère f(x)-t (à droite) 

Fig. 2-5 La représentation du réseau avec les noeuds et les arcs artificiels 53 

Fig. 2-6 Influence de α, β sur les valeurs de la fonction objectif 54 

Fig. 2-7 Influence du tirage aléatoire sur les valeurs de la fonction objectif 54 

Fig. 2-8 Influence de la valeur Q sur les valeurs de la fonction objective 55 

Fig. 2-9 Influence du ρ sur les valeurs de la fonction objectif 55 

Fig. 2-10 Influence du ω sur les valeurs de la fonction objectif 55 

Fig. 2-11 Influence du μ sur les valeurs de la fonction objectif 56 

Fig. 2-12 Influence du ζ sur les valeurs de la fonction objectif 56 

Fig. 2-13 Evolution de la quantité de phéromones de type 


Fig. 2-15 Visualisation du flux sur le réseau 57 

Fig. 3-1 Définition du groupe de voie 61 

Fig. 3-1a La représentation du modèle divergent 62 

Fig. 3-1b La représentation du modèle convergent 63 

Fig. 3-2 Représentation du graphe fictif du choix de l’heure de départ 70 

Fig. 3-3 Représentation du réseau (le cas convergent) 71 

Fig. 3-4 Evolution de valeurs nettes totales d’activités obtenues par les 

usagers 

Fig. 3-5 Répartition de valeurs nettes d’activités obtenues par les usagers 

partant du noeud 1 et du noeud 2 en dernière itération 

i 

O1 

O2 

32 

37 

51 

56 

57 

71 

71

Fig. 3-6a Départs et arrivée cumulés sur l’arc 1, 2, 3, et 4 en dernière itération 72 

Fig. 3-6b Départs et arrivée cumulés sur l’arc 5 et 6 en dernière itération 72 

Fig. 3-7 Représentation du réseau (cas divergent) 73 

Fig. 3-8 Evolution des valeurs d’activités nette totales des usagers 73 

Fig. 3-9 Répartition de valeurs nettes d’activités obtenues par les usagers en 

dernière itération 

Fig. 3-10 Départs et arrivée cumulés sur les arcs 1, 2, 3, 4, 5, 6 en dernière 

itération 

Fig. 3-11 Représentation du réseau (cas général) 75 


Fig. 3-13 Répartition des valeurs nettes d’activités obtenues par les usagers 

partant du noeud 1 et du noeud 4 en dernière itération 

Fig. 3-14a Départs et arrivée cumulés sur les arcs 1, 3, 4, 6 en dernière itération 76 

Fig. 3-14b Départs et arrivée cumulés sur les arcs 7, 8, 9, 10 en dernière itération 76 

Fig. 3-14c Départs et arrivée cumulés sur l’arc 12 en dernière itération 77 

Fig. 3-15a Evolution de la quantité de phéromones sur les arcs 9 et 10 (itération 0 

et 10) 

Fig. 3-15b Evolution de la quantité de phéromones sur les arcs 9 et 10 (itération 

20 et 30) 

Fig. 3-15c Evolution de la quantité de phéromones sur les arcs 9 et 10 (itération 

40) 


Fig. 3-17 Le réseau statique uni-modal avec paire OD unique 88 

Fig. 3-18 L’évolution de la probabilité de choix sur les chemins (à gauche) et 

celle du flux sur les arcs (à droite) 

Fig. 3-19 L’évolution du coût sur les arcs (à gauche) et celle de la valeur γ (à 

droite) 

Fig. 3-20 Le réseau statique uni-modal avec multiple paires OD 89 

Fig. 3-21 L’évolution de la probabilité de choix sur les chemins pour la paire OD 

(1,5) (à gauche) et celle pour la paire OD (1, 8) (à droite) 

Fig. 3-22 L’évolution de la probabilité de choix sur les chemins pour la paire OD 

(4, 5) (à gauche) et celle pour la paire OD (4, 8) (à droite) 

Fig. 3-23 L’évolution du flux sur les arcs 1-6 (à gauche) et celle sur les arcs 7-12 

(à droite) 

Fig. 3-24 L’évolution du coût sur les chemins pour la paire OD (1, 5) (à gauche) 

et celle pour la paire OD (1, 8) (à droite) 

Fig. 3-25 L’évolution du coût sur les chemins pour la paire OD (4, 5) (à gauche) 

et celle pour la paire OD (4, 8) (à droite) 

ii 

73 

74 

76 

77 

77 

78 

88 

88 

90 

90 

90 

91 

91

Fig. 3-26 Evolution du γ k pour toutes les paires OD 

91 

Fig. 3-27 Le réseau statique multimodal avec une paire OD 92 

Fig. 3-28 Le champ du vecteur de la vitesse du mouvement du flux xa1et xa2 

Fig. 3-29 Le réseau statique multimodal avec les fonctions de coût non-linéaires 93 

Fig. 3-30 L’évolution de la probabilité de choix sur les arcs (à gauche) et celle 

du flux sur les arcs pour différentes classes d’usagers (à droite) 

Fig. 3-31 L’évolution du coût sur les arcs (à gauche) et celle de γ pour 

différentes classes d’usagers (à droite) 

Fig. 3-32 c c 

Le champ du vecteur de la vitesse du mouvement du flux x1 et x2 sur 

l’arc 1 

Fig. 3-33 La représentation du réseau avec 8 noeuds et 12 arcs 95 

Fig. 3-34 L’évolution de la somme des coûts généraux des usagers (à gauche) 

et celle du pour le choix du temps de départ (à droite) 

Fig. 3-35 Le coût général des usagers ordonné par ordre croissant (à gauche) et 

le profil du coût général des usagers pour la paire OD 1-8 

Fig. 3-36 Le profil du temps de départ (à gauche) et du temps d’arrivée à 

destination (à droite) 

Fig. 3-37 Le nombre d’arrivées et de départs cumulés sur les arcs 97 

Fig. 3-38 Réseau statique avec 3 itinéraires 98 

Fig. 3-39 L’arbre de choix de destination, d’intervalle du temps de départ et 

d’itinéraires 

Fig. 3-40a Evolution du coût sur les chemins reliant la paire OD (1,5) obtenue par 

l’approche du système dynamique (à gauche) et celle basée sur la 

méthode d’Entropie Relative (à droite) 

Fig. 3-40b Evolution du coût sur les chemins reliant la paire OD (1,8) obtenue par 



Fig. 3-40c Evolution du coût sur les chemins reliant la paire OD (2,5) obtenue par 



Fig. 3-40d Evolution du coût sur les chemins reliant la paire OD (2,8) obtenue par 



Fig. 3-40e Comparaison du coût normalisé sur les chemins avec différentes 

valeurs de μ dans le modèle Logit 

Fig. 3-40f Convergence du modèle Logit (l’équation 3.59) 103 

Fig. 3-40g Les coûts sur les chemins obtenus par le modèle Logit 104 

Fig. 3-41 L’évolution de la somme de la valeur nette d’activités obtenues par les 

usagers 

iii 

93 

94 

94 

94 

96 

96 

96 

100 

101 

101 

102 

102 

103 

105

Fig. 3-42 L’évolution du choix de destination des usagers de l’origine 1 (à 

gauche) et 4 (à droite) 

Fig. 3-43 L’évolution de valeurs nettes d’activités des usagers rangées par ordre 

crossant pour les origines 

Fig. 3-44 L’évolution de coûts généralisés des usagers rangés par ordre 

crossant pour les origines 

Fig. 3-45a L’évolution de la valeur nette moyenne d’activités sur les intervalles du 

temps de départ pour les chemins reliant la paire OD (1,5) 

Fig. 3-45b L’évolution de la valeur nette moyenne d’activités sur les intervalles du 


Fig. 3-45c L’évolution de la valeur nette moyenne d’activités sur les intervalles du 


Fig. 3-45d L’évolution de la valeur nette moyenne d’activités sur les intervalles du 


Fig. 3-46 La distribution du choix d’intervalle du temps de départ des usagers 

sur les chemins reliant la paire OD (1,5) 

Fig. 4-1 Le diagramme fondamental 111 

Fig. 4-2 La représentation du schéma de Godunov 113 

Fig. 4-3 Le schéma de l’onde choc en coordonnées Lagrangiennes 116 

Fig. 4-4 La représentation des trajectoires de véhicules en coordonnées 

Lagrangiennes 

Fig. 4-5 La discrétisation Lagrangienne basée sur les paquets de véhicules 117 

Fig. 4-6 Le schéma de l’offre Ω et de la demande Δ 118 

Fig. 4-7 La relation de vitesse-distance intervéhiculaire 119 

Fig. 4-8 Le schéma d’intersection basé sur les paquets 120 

Fig. 4-9 Le schéma d’entrée d’une intersection 121 

Fig. 4-10 Le schéma de sortie d’une intersection 122 

Fig. 4-11a Le schéma du modèle de convergent 122 

Fig. 4-11b Le principe du modèle de convergent 123 

Fig. 4-12 Diagramme d’offre d’intersection 124 

Fig. 4-13 La représentation d’un tronçon de route (cas hétérogène I) 126 

Fig. 4-14 La trajectoire des paquets de véhicules 127 

Fig. 4-15 La représentation d’un tronçon de route (cas hétérogène II) 127 

Fig. 4-16 La trajectoire des paquets de véhicules 127 

Fig. 5-1 La représentation d’un programme d’activités 132 

Fig. 5-2 Structure du modèle de la demande 133 

Fig. 5-3 Représentation du réseau d’un mode TC et des arcs de transfert 139 

iv 

105 

105 

106 

106 

107 

107 

108 

108 

117

Fig. 5-4 Représentation d’un itinéraire multimodal 139 

Fig. 5-5 La représentation de l’arbre de décision pour la réalisation d’une 

activité 

Tableaux 

Tableau 2-1 Comparaison des flux sur les arcs obtenus par différentes méthodes 51 

Tableau 2-2 Paramètres utilisés pour l’ACO 53 

Tableau 2-3 Liste des paramètres λ d et md et l’intervalle de la valeur d et 

v m L 

Tableau 2-4 Flux obtenus par l’algorithme de l’ACO avec les paramètres basés sur 

les valeurs de base dans le tableau 2-2 

Tableau 5-1 L’ensemble des chaînes de modes de transport 134 

v 

148 

53 

54

Introduction 

Récemment le développement durable se situe au coeur de la politique de la planification 

urbaine pour la protection de l’environnement. Cette nouvelle politique nécessite des 

nouveaux outils pour analyser les interactions entre les systèmes de transport et l’utilisation 

du sol. Or, la méthode traditionnelle de prévision du trafic, i.e. modèle à quatre étapes 

(génération, distribution, choix de mode, affectation) ne permet pas d’étudier les interactions 

entre les systèmes de transport et l’utilisation du sol. D’où la nécessite d’élargir le champ 

d’étude aux activités des usagers. En fait, la demande de déplacement est dérivée de la 

réalisation des activités. L’analyse de la demande de déplacement nécessite la prise en 

compte des interactions entre ces deux éléments. 

L’approche d’activités a été initiée depuis 1970 ayant comme objectif d’étudier les 

interactions entre le système de transport et l’utilisation du sol. Bien que de nombreuses 

études aient été réalisées, la modélisation dynamique des systèmes de transport basée sur 

l’enchaînement des activités est récente (Raney et al. 2003). Les problématiques concernent 

plusieurs aspects théoriques et pratiques qui sont les suivants : 

1. La modélisation dynamique des systèmes de transport multimodaux est compliquée et 

peu d’études ont été réalisées sur ce sujet. De plus, l’application réelle dans un grand 

réseau basée sur les modèles microscopiques nécessite un temps de calcul assez 

important. 

2. Le manque de méthodes de résolution du problème d’affectation dynamique multimodal. 

3. Le manque de données détaillées sur le programme des activités et des déplacements des 

individus. 

Pour répondre aux deux premières problématiques, les objectifs de cette thèse sont les 

suivants : 

1. Proposer des modèles dynamiques de transport basés sur les activités permettant 

d’analyser l’enchaînement des activités et des déplacements des usagers, 

2. Proposer des méthodes de résolution des problèmes d’affectation dynamique basée sur 

les modèles de simulation, 

3. Modéliser de manière dynamique les systèmes de transport multimodaux dans un grand 

réseau. 

Le contenu de cette thèse est organisé en six chapitres : 

Le chapitre 1 présente l’état de l’art sur les problématiques concernant les approches 

d’activités. Dans un premier temps, nous allons analyser les modèles existants d’activités. 

L’accent est mis sur le processus de décision de la programmation d’activités des individus 

ainsi que les méthodes de modélisation et de recueil de données. Comme la modélisation 

dynamique du déplacement des usagers dans un réseau multimodal reste un sujet très 

compliqué, les approches basées sur le système multi-agent et celles provenant de méthodes 

1

d’agrégation de systèmes complexes sont présentées. Dans l’objectif de proposer des 

méthodes de résolution du problème d’affectation dynamique du trafic, les principes 

d’affectation du trafic ainsi que les méthodes de résolutions existantes sont exposées. Dans la 

dernière partie, des modèles statiques et dynamiques des systèmes de transport multimodaux 

sont abordés. 

Le chapitre 2 propose un modèle statique d’activités permettant de modéliser le choix 

de destinations et d’itinéraires des usagers dans un réseau routier. Ce modèle étend le modèle 

d’Accessibilité aux Activités Vacantes (AVA, Leurent, 1999). C’est un modèle introduisant la 

valeur économique d’activités et le coût de déplacement dans le choix de destinations et 

d’itinéraires. Le problème d’affectation statique est formulé comme un problème 

d’optimisation convexe sous la contrainte de la capacité du réseau. La méthode de résolution 

proposée est basée sur l’algorithme de colonies de fourmis (Ant Colony Optimization, ACO, 

Dorigo et al, 1991) visant à trouver la solution approchée du problème. Cette étude permettra 

d’analyser le fonctionnement de l’algorithme et servira à la résolution du problème 

d’affectation dynamique dans le chapitre 3. 

Le chapitre 3 propose un modèle dynamique d’activités et deux méthodes de résolution 

pour les problèmes d’affectation dynamique. Ce modèle d’activités traite le choix de 

destination, du temps de départ et d’itinéraires. Ce modèle étend le modèle précédent dans la 

mesure où l’écoulement du trafic est basé sur le modèle de file ponctuelle (Kuwahara et 

Akamatsu, 1997). La condition d’équilibre des usagers de Wardrop est formulée comme une 

inéquation variationelle. Comme l’écoulement du trafic est basé sur le modèle de simulation, 

les méthodes traditionnelles de résolution de type Frank-Wolfe (Frank et Wolfe, 1956) ne 

sont plus adaptées. D’autant plus que le problème d’affectation dynamique dans un réseau 

multimodal basé sur les modèles de simulation est reconnu comme très difficile à résoudre. 

Les études existantes ont utilisé des heuristiques pour obtenir des solutions approchées. Pour 

cela, deux méthodes de résolution sont proposées : l’approche basée sur l’ACO en 

discrétisation temporelle et l’approche basée sur la méthode de l’Entropie Relative 

(Rubinstein, 1999). L’approche de l’ACO s’appuie sur la discrétisation temporelle de 

phéromones représentant la qualité temporelle des chemins. Cette information oriente les 

usagers à utiliser les meilleurs chemins en cas de congestion. L’avantage de cette approche 

réside sur le fait qu’elle fait émerger le choix des usagers dans un système distribué et 

permet d’étudier différentes stratégies de communications entre usagers-usagers ou 

usagers-environnement. Cependant, la conception de l’algorithme est heuristique et nécessite 

de manipuler plusieurs paramètres. La deuxième méthode est basée sur la méthode de 

l’Entropie Relative. L’idée originale est de considérer que l’état d’équilibre du réseau est un 

évènement rare parmi tous les états possibles du réseau. Cette méthode est issue de méthodes 

de simulation pour estimer la probabilité d’évènements rares dans un système stochastique. 

Enfin, des études comparatives avec l’approche du système dynamique (Smith, 1979) sont 

exposées. 

Le chapitre 4 propose un modèle macroscopique du premier ordre basé sur la 

discrétisation Lagrangienne permettant de représenter les trajectoires de véhicules dans 

l’espace et dans le temps. Ce modèle regroupe les véhicules en paquets et décrit leurs 

mouvements. La modélisation de l’intersection est basée sur le concept d’offre et de 

demande (Lebacque, 1996) dont deux modèles seront distingués : modèle du divergent et 

modèle du convergent. L’avantage du modèle de paquets réside sur le fait qu’il réduit 

considérablement le temps de calcul pour la simulation dans un grand réseau. 

Le chapitre 5 propose un modèle dynamique d’activités dans un réseau multimodal. Ce 

2

modèle simule le choix de destinations, de chaîne de modes de transport, de temps de départ 

et d’itinéraires pendant 24 heures. Le choix de décision est basé sur le concept de la 

maximisation de la valeur économique retenue provenant de la réalisation du programme 

d’activités de l’individu. L’objectif est d’étudier l’affectation dynamique dans le réseau 

multimodal basée sur l’enchaînement des activités et des déplacements. La modélisation 

dynamique des systèmes de transport multimodaux est basée sur l’approche multi-agent qui 

permet de modéliser les interactions entre différents agents (usagers, véhicules et opérateurs 

etc.) et éventuellement d’analyser l’impact d’approvisionnement du système d’information 

des voyageurs. La méthode de résolution du problème d’équilibre des usagers est basée sur 

la méthode de l’Entropie Relative proposée dans le chapitre 3. 

Le chapitre 6 présente la synthèse des résultats obtenus de cette thèse ainsi que les 

perspectives de recherche. 

Cette thèse a donné lieu à la présentation des articles suivants dans des conférences 

internationales suivantes : 

Congrès Internationaux 

1. T.-Y. Ma, J.P. Lebacque. A dynamic packet-based multi-agent approach for large scale 

multimodal network simulation. 10th International Conference on Application of 

Advanced Technologies in Transportation (AATT08). 27-31 mai 2008, Athens Greece. 

2. T.-Y. Ma, J.P. Lebacque. A cross entropy based multi-agent approach to traffic 

assignment problems. Proceedings of the Traffic and Granular Flow (TGF07), 20-22 

Juin 2007, Orsay, France. 

3. T.-Y. Ma, J.P. Lebacque. A multi-agent approach to dynamic traffic assignment based 

on activity. Proceedings of the sixth Triennial Symposium on Transportation Analysis 

(TRISTAN VI), 10-15 Juin 2007, Phuket Island, Thailand. 

4. T.-Y. Ma, J.P. Lebacque. Modeling activity choice distribution and road choice 

behaviour on a network with side constraints. Proceedings of the 11th Euro Working 

Group on Transportation (EWGT). 27-29 September 2006, Bari, Italie. 

Workshops 

T.-Y. Ma, J.P. Lebacque. A dynamic packet-based approach for traffic flow simulation and 

dynamic traffic assignment. Workshop of mathematical models of traffic flow. 28 octobre -1 

novembre 2007, Luminy, Marseille. 

3

1. Introduction 

Chapitre 1 

L’état de l’art 

La gestion des infrastructures de transport urbain s’intéresse de plus en plus à la coordination 

entre différents modes de transport. D’une part, le déplacement motorisé génère des effets 

négatifs en terme de congestion et de dégradation de l’environnement, ce qui entraîne le 

développement de systèmes de transport collectif. La gestion ou programmation des 

systèmes de transport multimodaux a besoin d’analyser l’impact des mesures sur l’ensemble 

de systèmes de transport permettant de tester et de choisir les meilleures stratégies de gestion. 

D’autre part, grâce à l’évolution des services d’information du trafic fournit aux voyageurs 

des informations en temps réel leur permettant d’optimiser leur déplacement en cas de 

congestion. Ces éléments rendent la gestion des déplacements compliquée et nécessitent de 

nouveaux outils de prévision du déplacement des voyageurs dans les systèmes de transport 

multimodaux. 

Face à ces nouveaux enjeux, les méthodes traditionnelles de prévision du déplacement, 

e.g. le modèle à quatre étapes (génération, distribution, choix de mode et affectation), ne 

permettent pas de traiter ces besoins du fait qu’elles sont des méthodes macroscopiques qui 

ne permettent pas de modéliser le choix individuel des usagers. Par ailleurs, ces méthodes 

négligent le lien entre la mobilité et l’utilisation du sol. Trois défauts principaux des modèles 

traditionnels sont (Kitamura, 1996) : 

(1) L’absence de lien avec les activités : la demande de déplacement est dérivée du besoin de 

réalisation d’activités. Le changement du programme d’activités d’un individu entraîne 

sa modification du choix en terme de déplacement. 

(2) L’absence de la dimension du temps : le modèle à quatre étapes est un modèle statique 

qui ne traite pas la dynamique du déplacement dans le réseau. Or, face à la variation de la 

demande temporelle, l’évaluation des mesures de gestion nécessite d’analyser 

l’interaction entre la demande et l’offre du système au cours d’une journée ou d’un jour à 

l’autre. 

(3) L’absence du traitement de l’enchaînement des déplacements : du point de vue 

comportemental, lorsqu’un individu prend une décision en terme de déplacement, il ne 

considère pas qu’un seul trajet, mais l’ensemble des trajets combinés. L’objectif est de 

minimiser le coût total de cette chaîne de déplacements. 

En effet, la demande de déplacement est dérivée de la réalisation des activités. La 

modélisation de la demande doit prendre en compte le lien avec la réalisation des activités. 

L’approche par les activités vise à élargir le champ d’étude vers la programmation 

d’enchaînement des déplacements et des activités. La décision du choix concerne le choix 

d’activités, de modes de transport, de destinations, de temps de départ, etc. Les trois 

principales raisons qui ont mis en évidence le développement des modèles d’activités sont : 

(1) L’élargissement du champ d’étude en permettant d’analyser la demande de déplacement 

dans une période plus longue et d’évaluer la dynamique du trafic dans le réseau. 

- 4 -

(2) L’amélioration de l’évaluation des mesures liées aux activités et à l’utilisation du sol. 

(3) La proposition d’un cadre d’analyse plus complet que celui basé sur un trajet permettant 

de traiter l’enchaînement des activités et des déplacements. 

Comme l’approche d’activités tend à modéliser l’enchaînement des activités et des 

déplacements, le problème traité est très large et confronté aux difficultés suivantes : 

(1) Le manque de données détaillées sur l’enchaînement des activités et des déplacements. 

Par exemple, une chaîne d’activités et de déplacements quotidiens observés pendant 24 

heures exige des données très larges sur les types d’activités, les destinations d’activités, 

les heures de départ, les heures d’arrivée, les modes de transport, les choix d’itinéraires, 

les caractéristiques socioéconomiques, les programmes d’activités et d’autres contraintes 

spatiales, temporelles etc. Le recueil de données sur les activités est souvent coûteux. 

L’application s’est pratiquée dans les pays anglo-saxons et la France n’a que quelques 

études sur ce thème (Bonnel, 2001). 

(2) Le manque de méthodes de modélisation sur la dynamique de l’enchaînement des 

activités dû à la complexité du problème liée à la programmation des activités et des 

déplacements. 

L’objectif de cette thèse est de proposer un modèle dynamique permettant de simuler 

l’enchaînement des activités et des déplacements. Nous nous intéressons particulièrement 

aux méthodes issues de système multi-agent (SMA) et orientées sur l’auto-organisation. 

Dans ce chapitre, nous allons exposer une étude bibliographique sur les thèmes suivants : 1. 

les études de l’approche basée sur les activités ; 2. la modélisation SMA ; 3. les méthodes 

d’agrégation dans un système complexe ; 4. l’affectation du trafic ; 5. la modélisation de 

systèmes de transports multimodaux. 

2. Analyses de la demande basée sur les activités 

L’analyse de la demande de déplacement basée sur les activités est considérée comme une 

méthode de troisième génération et se présente comme une alternative au « modèle à quatre 

étapes » (Petit, 2003). Bonnel (Bonnel, 2001) a indiqué que la triple crise (financement, 

congestion, et environnement) doit pousser la politique à mettre en oeuvre « une meilleure 

complémentarité et gestion des modes de transport et une régulation de la demande de 

déplacement ». Ces besoins politiques nécessitent un nouvel outil d’analyse permettant 

d’étudier les interactions issues du système d’activités socioéconomiques et de l’offre des 

transports multimodaux. Ce nouveau regard évoque un défi important sur le recueil de 

données et la méthodologie en terme de modélisation d’un système complexe. Bien que ces 

problématiques aient été évoquées dès les années 70, il n’y a pas eu de progrès remarquables 

pendant ces années. Dans cette section, nous abordons une revue sur l’approche d’activités. 

L’accent est mis sur quatre thèmes principaux qui sont : 1. les théories de base ; 2. la 

programmation des activités et des déplacements ; 3. la méthode de modélisation ; 4. la 

méthode de recueil de données. 

Avant d’entrer dans le vif du sujet, il faut définir les termes essentiels qui sont utilisés 

pour l’approche basée sur les activités. 

Activité : le terme activité signifie une activité socioéconomique pratiquée par un individu. 

- 5 -

Le déplacement est un moyen de se rendre d’un point à l’autre pour travailler, étudier, faire 

des courses, etc. Axhausen (Axhausen, 1997) a proposé une définition formelle du terme « 

activité » : 

« Une activité est une action principale effectuée dans un lieu, la durée comprenant le 

temps d'attente avant le début de l'activité réelle, elle est pratiquée seule ou avec le 

groupe concerné par cette action principale » 

Cette définition élimine les activités d’accompagnement pour limiter le champ d’étude. Le 

type d’activités peut être catégorisé en fonction de différents motifs. La liste des types 

d’activités représente les principales activités socioéconomiques pratiquées dans la vie 

quotidienne. 

Programmation des activités : la programmation des activités consiste à organiser 

l’ensemble des activités personnelles sous contrainte du budget et de la ressource, physique 

et sociale. Concernant la durée de la programmation, elle est très variée. En général, 

l’horizon du temps est réparti en trois catégories : 1. re-planification dans une journée en 

modifiant les programmes des activités en raison de contraintes ou d’opportunités 

imprévues ; 2. planification quotidienne, en organisant les principales activités en fonction 

de leur localisation, la durée et le mode de transport ; 3. planification par semaine pour les 

activités majeures. 

Chaîne d'activités : une chaîne d'activités décrit l'ordre des différentes activités réalisées 

d’un point à un autre pendant un intervalle de temps, commençant et finissant au domicile, 

e.g. ‘domicile-travail-domicile’ dont le déplacement se pratique entre deux activités 

consécutives. 

Pattern d’activités et de déplacements (PAD) : Le PAD se représente comme une chaîne 

d’activités et de déplacements réalisés consécutivement dans un certain temps (e.g. un jour). 

Un PAD se compose de types d’activité, de durée d’activité, de destination d’activité, etc. Ce 

PAD est synthétique et se distingue selon la catégorie socioéconomique du ménage. 

2.1. Théories de base 

Les principales théories utilisées dans l’étude du PAD en géographie, économie, psychologie 

et transport peuvent se classer en deux catégories : théorie microéconomique et théorie de 

cognition. L’objectif de ces théories consiste à analyser le processus implicite de décision 

sur la programmation/reprogrammation des activités. 

2.1.1. Théories économiques 

Le développement théorique de l’approche d’activités est apparu dans le domaine de la 

géographie en 1970. Deux initiateurs Chapin (Chapin, 1974) et Hagerstand (Hagerstand, 

1970) ont étudié les caractéristiques de la formation du PAD. Le PAD observé est 

l’intersection entre la demande des individus et l’offre du marché d’activités. Les 

caractéristiques des individus et des ménages imposent des contraintes sur le choix de 

certaines activités. La localisation des activités et leur horaire d’ouverture imposent des 

opportunités et des contraintes sur la programmation des activités. Le PAD est considéré 

comme un trajet temporel et spatial assemblant différentes activités dans différents lieux 

- 6 -

avec différents modes de transport. Un individu programme ses activités selon des critères 

multiples pour atteindre certains objectifs. Cependant, la relation entre ces facteurs 

d’influence et le PAD observé est très compliquée et la modélisation du PAD s’inscrit dans 

un cadre statique. Recker et al. (Recker et al., 1986a, 1986b) ont proposé un développement 

théorique de l’approche d’activité en élargissant les travaux de Chapin et Hagerstand. Ils ont 

considéré que la formation du PAD d’un individu est déduite du programme d’activités du 

ménage qui impose des contraintes sur le programme d’activités d’un individu. 

D’autres modèles d’activités expliquent le choix de destination en tenant compte la 

distribution des activités. Chaque activité individuelle possède une valeur brute (utilité) pour 

les consommateurs. Dans les modèles de Koenig (1975) et Cochrane (1975), la valeur d’une 

activité est subjective sous contrainte du nombre d’activités aux destinations. De plus, 

l’occupation d’une activité n’est pas traitée de manière individuelle et distincte (Leurent, 

2005). Pour cela, le modèle d’accessibilité aux activités vacantes (AVA, Leurent, 1999a,b) a 

été proposé pour corriger ces défauts. Nous allons présenter les caractéristiques du modèle 

d’AVA dans le chapitre 2. 

En fait, la méthode plus répondue pour modéliser le PAD s’appuie sur la théorie de 

l’utilité. Un PAD observé est issu de la maximisation de son utilité. La théorie de l’utilité 

suppose qu’un individu a la capacité parfaite de distinguer toutes les alternatives dans 

l’ensemble de ses choix. La théorie de l’utilité est souvent critiquée puisque la capacité de 

cognition humaine est limitée (Keen, 2003). Pour cela, la théorie de la cognition répond 

mieux au processus heuristique de décision. 

2.1.2. Théorie de cognition 

Des études dans le domaine de la psychologie montrent que la capacité cognitive humaine a 

ses limites. Le processus de décision est décrit et déterminé par l’ensemble des règles de 

décision déduites des expériences des individus. Hayes-Roth et Hayes-Roth (Hayes-Roth 

et Hayes-Roth, 1979) sont les premiers à étudier le problème de la programmation 

d’activités basée sur la théorie de la cognition. Ils ont élaboré une expérience destinée à tirer 

des règles ou des processus de décision pour la programmation des activités quotidiennes. 

Un total de trente scénarios sur cinq sujets différents a été expérimenté par les personnes 

interrogées. Ils considèrent que le processus de programmation d’activités est opportuniste. 

Pour chaque point de décision, un individu propose des actions après l’observation de 

l’environnement. Les décisions précédentes (connaissances) et l’observation actuelle 

(problème) influencent le développement du programme d’activités. Dans l’étape initiale du 

développement du programme d’activités, l’individu se focalise sur la planification. Il établit 

un programme d’activités vaste, ensuite l’individu modifie ce programme au niveau de 

l’exécution. Ainsi, une décision de niveau d'abstraction influence la décision suivante en 

spécifiant les actions à entreprendre. 

Une autre étude, menée par Vause (Vause, 1997), a différencié deux procédures 

générales dans le choix de décision basée sur les règles heuristiques : 1. la procédure de 

restriction éliminant des alternatives ; 2. la procédure de sélection déterminant le choix 

d’alternatives. Pour la première, un individu utilise une variété de stratégies de choix. 

Ben-Akiva et Lerman (Ben-Akiva et Lerman, 1985) répertorient quatre catégories de 

stratégies de choix : 1. la dominance : une alternative est dominante si elle est meilleure pour 

au moins un attribut et neutre pour tous les autres attributs ; 2. la satisfaction : la sélection 

par des critères de satisfaction ; 3. les règles lexicographiques : la sélection de l’alternative la 

- 7 -

plus attractive pour l'attribut le plus important ; 4. l’utilité : choix d’une alternative avec 

l'utilité la plus élevée exprimée par la combinaison des attributs. Ces stratégies de choix 

peuvent varier selon la situation. 

La théorie de la cognition montre qu’un individu tend à décomposer le problème de 

décision en une série de sous-problèmes. Cependant dans le processus de programmation des 

activités, l’organisation des choix d’un individu sur ces sous-problèmes est encore inconnue. 

Vause (Vause, 1997) a montré que dans le cas de décision plus complexe, des règles de 

décision insuffisantes (les règles de base ne créent pas l’ordre total des alternatives) et 

incohérentes (l'ordre préférentiel des alternatives n’est pas toujours compatible) vont 

engendrer des difficultés. Pour le cas où le choix de décision serait compliqué (par exemple 

le choix d’une alternative au sein des plans détaillés d’activité), ce problème est difficile à 

résoudre. De plus, les processus pour obtenir, valider et calibrer les règles de décision sont 

essentielles et demandent des données détaillées sur les attributs des activités au sein d’un 

programme. 

2.2. Programmation des activités et des déplacements 

La programmation des activités définit la planification des activités d’un individu dans la 

dimension spatiale et temporelle. La théorie comportementale de programmation des 

activités est proposée dans des études (Ettema et al., 1993 ; Joh et al., 2001). De plus, des 

études sur le processus de programmation des activités sont présentées dans (Doherty et 

Miller, 1997 ; Doherty et Axhausen, 1999 ; Doherty, 2000). Le processus de décision du 

programme d’activités est essentiel pour prévoir le pattern d’activités-déplacements. 

Cependant ce processus de décision est de nature complexe et inobservable, le recueil de 

données sur le programme d’activités étant difficile. Or, avec les nouvelles méthodes de 

recueil de données, le recueil de données en terme d’activités devient accessible à l’aide 

d’ordinateurs et de systèmes d’information géographique. 

Doherty et al. (Doherty et al., 2000) ont étudié le processus de décision sur la 

programmation des activités basée sur des études empiriques. Le programme d’activités est 

décidé en deux niveaux : (1). planification des activités dans l’agenda hebdomadaire ; (2). 

modification. Le premier processus consiste à ordonner les activités avant la réalisation. 

Généralement, ce programme peut se préparer une semaine avant et se modifier au fur et à 

mesure selon la situation actuelle. Le deuxième consiste à présenter la modification du 

programme d’activités, qui pourrait être une modification temporelle (par exemple, la durée, 

le temps de départ), spatiale (par exemple, la localisation d’activités) et de moyens (e.g. 

mode de déplacement ou itinéraire à emprunter) selon les règles de décision des individus. 

La décision d’ajouter ou de supprimer une activité dépend de leur priorité dans l’agenda. 

Cette priorité représente son importance pour les décideurs. Elle est influencée par des 

attributs statiques d’activités et par des aspects dynamiques au moment de la décision. Une 

fois qu’une activité est ajoutée dans l’agenda, la fenêtre de temps pour cette activité sera 

créée et fournira l’ensemble des détails sur la réalisation de cette activité (modes de transport, 

lieu d’activité, etc.). Ils ont défini aussi un processus de modification ou de suppression 

d’activités dûe au conflit provenant des événements imprévus ou de la pression du temps. 

Bien que ce processus dynamique de programmation des activités ait été proposé, 

l’application réelle reste l’objet de travaux futurs. Dans la section suivante, des études 

empiriques et théoriques sur le processus de la programmation seront étudiées. 

- 8 -

2.2.1. Etudes empiriques 

Dans le but d’éclaircir le processus de décision du programme d’activités, Doherty et Miller 

(Doherty et Miller, 2000) ont conçu et mis en application un instrument d’enquête à l’aide 

d’un programme informatique, appelé CHASE (Computerized Household Activity 

Scheduling Elicitor), visant à enregistrer des programmes d’activités et des modifications 

(ajoutant, modifiant et supprimant des activités au sein de l’agenda d’activités) dans une 

semaine. Ses avantages sont de favoriser l’enquête en plusieurs jours et de faciliter la 

réponse des personnes interrogées. Une enquête a été réalisée à l’aide de CHASE contenant 

une partie portant sur des questionnaires aux personnes et une autre partie portant sur le 

recueil du programme d’activités des adultes du ménage (42 ménages, dont 70 adultes et 20 

enfants) dans la ville de Hamilton (au Canada) pendant une semaine. Une autre application 

de CHASE a été réalisée à Aachen (en Allemagne) en 1999 (Rindsfüser et al., 2003). 

L’objectif de l’enquête était d’enregistrer les agendas d’activités des ménages permettant de 

présenter toutes les activités d’un ménage, de connaître le processus d’ajustement de 

l’agenda, l’enchaînement des activités et des règles de décision. Un modèle d’analyse du 

processus de programmation des activités du ménage basé sur cette enquête a été proposé 

(Doherty et Axhausen, 1999). Il consiste à décrire le processus général de programmation 

des activités par 4 sous-modules : la génération de l’agenda, la génération des activités 

habituelles, la génération du programme d’activités et la reprogrammation des activités. Ce 

processus de décision résulte du fait que l’individu génère les programmes d’activités lui 

convenant le mieux et les améliore au fur et à mesure. Le changement du programme 

d’activités se caractérise par le changement de priorité, le temps ou l’espace d’activités 

décidé par des règles de décision des individus. Alors que la priorité d’activité a été 

considérée en tant qu’un facteur essentiel dans le processus de programmation des activités, 

elle est difficile à qualifier. Elle dépend des caractéristiques d’une activité, de la préférence 

des individus et de la flexibilité du temps ou de l’espace à réaliser une activité. Ces règles de 

décision peuvent être recueillies par des données d’enquêtes empiriques. Des nouvelles 

méthodes d’enquête sont en train de se développer. Nous pouvons recenser l’utilisation d’un 

ordinateur de poche (Personal Digital Assistants, PDA) afin d’améliorer les performances de 

CHASE (appelé EX-ACT survey, Rindsfüser et al. 2003), le développement d’Internet qui 

permet d’enquêter sur les activités du ménage (Lee et al., 2001), l’utilisation de systèmes 

d'information géographique (SIG) pour le pistage de la localisation des véhicules (Kreitz et 

al., 2002). 

L’étude empirique élaborée par Doherty et Miller (Doherty et Miller, 2000) a permis 

d’extraire un certain nombre de caractéristiques intéressantes : 1. l’agenda d’activités est 

capable de décrire la plupart des types d’activités réalisées (83%), seulement 17% de 

nouveaux types d’activités sont ajoutés ; 2. la modification du programme d’activités est 

repartie par 79% d’ajustement, 17% de modification et 4% de suppression dans une base de 

données dont 5735 activités et 2269 déplacements ont été recensées. La modification du 

contenu des activités se fait principalement sur le temps, i.e. la durée, le début et la fin d’une 

activité ; 3. la plupart des activités réalisées comme prévu dans le programme d’activités est 

d’environ 50% et la modification des activités s’effectuent à différents moments du temps 

dont 60% sont décidées sur le moment. Des perspectives de recherche concernant les règles 

de décision, l’adaptation, l’apprentissage comportemental et la formation d’habitude sont des 

problématiques très importantes sur le mécanisme de programme d’activités (O’Kelly et al. 

2003). 

- 9 -

2.2.2. Planification et cognition 

Dans cette section, nous essaierons de répondre à la question du dynamisme de décision sur 

le programme d’activités via la science de la cognition et de l’intelligence artificielle. La 

planification humaine est difficile à modéliser à cause de la complexité du problème. Des 

recherches dans la science de la cognition montrent que la fonction principale de la cognition 

humaine consiste à recueillir, stocker et traiter des informations extérieures pour atteindre 

certains objectifs (Wezel et Jorna, 2001). L’intelligence humaine se traduit par la capacité de 

planification et de résolution de problèmes. Du point de vue d’un individu, la planification 

correspond au processus de résolution de problèmes pour atteindre ses objectifs. Des 

stratégies adoptées dans le processus de planification décrivant la manière dont la séquence 

d’exécution des tâches est conçue, se classent en deux théories : hiérarchique ou opportuniste. 

La théorie hiérarchique suppose que des objectifs de planification ont une structure 

hiérarchique pour résoudre les problèmes. Le processus de concrétisation d’objectifs permet 

de générer des actions pour résoudre les problèmes. Cependant, des expériences empiriques 

ont montré que la planification s’effectue de manière asynchrone et est déterminée par le 

contexte du problème au moment de l’exécution (Hayes-Roth et Hayes-Roth, 1979). Or, en 

réalité la stratégie de planification adoptée se situe entre les deux cas, c’est à dire que les 

individus utilisent différentes stratégies pour résoudre différents types de problèmes, 

conformément à la différence des individus et des expériences accumulées. Une autre 

stratégie de planification humaine, proposée par (Riesbeck et Schank, 1989), décrit la 

planification humaine comme un processus d’adaptation, c’est à dire que les individus 

cherchent des solutions basées sur leurs expériences similaires. Cette stratégie reflète que la 

planification humaine est un processus d’apprentissage et d’adaptation qui se décompose en 

plusieurs étapes séquentielles : établir les objectifs, chercher les objectifs similaires et 

résolus, chercher des plans existants, adapter ces plans, enregistrer les plans utilisés. Cette 

stratégie explique les comportements habituels induits par leurs expériences (Aarts et al., 

1997 ; Chen et al., 2004). Plusieurs applications issues de cette stratégie visant à simuler le 

processus de programmation des activités et des déplacements en milieu urbain ont été 

réalisées (TRANSIMS, 2003 ; Raney et al, 2003). 

2.3. Méthodes de modélisation 

Dans cette section, nous présentons différentes méthodes utilisées pour modéliser le PAD. 

Les méthodes de modélisation des PADs peuvent être classées en trois groupes : méthodes 

simultanées, méthodes séquentielles et méthodes basées sur les systèmes multi-agent. Les 

méthodes simultanées traitent le problème selon un cadre de maximisation d’utilité en 

décrivant les PADs par des attributs d’activités. Les techniques utilisées sont basées soit sur 

la simulation soit sur des méthodes d’optimisation mathématique. Les méthodes 

séquentielles considèrent que le processus de décision du PAD est heuristique et dépend du 

contexte. Le PAD est déduit d’une séquence de décision définie par un ensemble de règles de 

décision du type « condition-action ». La troisième classe regroupe les méthodes qui traitent 

le problème en simulant le comportement de nombreux agents (systèmes multi-agent). Un 

état de l’art récent sur les méthodes de modélisation du PAD a été proposé dans l’article de 

Timmermans (Timmermans, 2002). D’autres méthodes consistent à modéliser la durée 

d’activités, et le lien entre les facteurs d’influence sur la génération de PADs (Pas, 1996 ; 

Golob, 2003). 

- 10 -

2.3.1. Méthodes simultanées 

La méthode simultanée modélise le PAD à partir de la théorie de la maximisation 

d’utilité. Les PADs sont décidés de manière simultanée en supposant que chaque décideur a 

la capacité parfaite de distinguer les différences entre chaque alternative du PAD. Un 

décideur choisit un PAD ayant l’utilité maximale qui dépend de son caractère 

socioéconomique et des activités. Les activités sont classées selon les attributs des activités. 

Les modèles les plus répandus sont les modèles de choix discret (Bowman et Ben-Akiva, 

2000 ; Wen et Koppelman, 1999 ; Wang et Timmermans, 2000). D’autres modèles basés sur 

le même concept d’utilité formulent le problème du PAD à partir de : (1) programmation 

mathématique (Recker, 1995) ; (2) contraintes de prisme (temps et localisation d’activité) 

(PCATS, Prism-Constrained Activity Travel Simulator, Kitamura et Fujii, 1998) ; (3) 

modèles combinatoires (Bhat, 1999). Bien que ces modèles soient basés sur la théorie de la 

maximisation d’utilité, ils ne permettent pas de modéliser la dynamique du programme 

d’activités dûe aux contraintes temporelles ou à des évènements imprévus. Deuxièmement, 

la capacité de cognition humaine n’est pas capable de distinguer les différences entre les 

17 

alternatives du PAD (de l’ordre de 10 , Ben-Akiva et Bowman, 1998). De plus, le 

processus de décision est implicite dans ce type de modèles. 

2.3.2. Méthodes séquentielles 

La méthode séquentielle corrige les défauts de la précédente en explicitant les étapes 

séquentielles de décision sur la formation du PAD. Ces méthodes basées sur la théorie de la 

cognition ont initialement été développées par Newell et Simon en 1972 pour modéliser le 

processus de résolution de problèmes (Gärling et al., 1994). Le modèle du processus de 

calcul (computational process model, CPM) spécifie des règles de décision sous la forme de 

« condition-action » formant un système de règles visant à résoudre les problèmes. Le CPM 

est conçu en s’appuyant sur un modèle de cognition humaine. Par exemple, dans le modèle 

SCHEDULER (Golledge et al., 1994), le modèle de cognition est composé de quatre 

éléments : un système d’environnement, un système d’acquisition de l’information, un 

système de mémoire et un processus de programmation. La génération des règles de décision 

est stockée dans le système de mémoire qui sert de base de connaissance pour produire une 

action plus adaptée à la situation. Le modèle CPM s’appuie sur la capacité imparfaite de 

cognition et sur l’adaptabilité du comportement du décideur. Cela rend le modèle CPM plus 

réaliste. 

De nombreux modèles du type CPM aient été proposés, ils peuvent se classer en deux 

catégories : (1) modèles basés sur la théorie de l’utilité ; (2) modèles basés sur des règles 

heuristiques (Arentze et Timmermans, 2004). Des modèles tels que PCATS (Kitamura et 

Fujii, 1998), STARCHILD (Recker et al, 1986a ; Recker et al, 1986b), SMASH (Ettema et al, 

1993) et Bhat (Bhat, 1999) sont basés sur la theorie d’utilité pour choisir le programme 

d’activités. Les modèles basés sur les règles de décision semblent plus raisonnables. 

Cependant ils rencontrent aussi des difficultés au niveau des données. Le CPM déduit des 

règles de décision de type « condition-action » sur les données d’enquête. Il faut une base de 

données assez importante pour générer des règles de décision. Par exemple, dans l’étude la 

plus complète et la plus récente, les données des activités sur 2198 ménages ont été recueillis 

pour établir ce modèle (Albatross, Arentze et Timmermans, 2004). De plus, dans le 

processus de programmation des activités, la plupart des modèles CPMs ont un processus 

- 11 -

complexe et demandent d’importants calculs pour générer le détail du programme d’activités. 

La modification dynamique du programme d’activités basée sur des contraintes temporelles 

ou spatiales est aussi la problématique de l’approche basée sur les activités 

2.3.3 Méthodes de simulation multi-agent 

La troisième méthode s’appuie sur la simulation orientée agent. L’objectif consiste à simuler 

le comportement individuel (agent) basé sur des règles de décision dans un réseau de 

transport. Le cadre de simulation est composé de cinq parties (TRANSIM, MASim, Raney et 

al, 2003) : 

(1) Génération d’une population représentative : générer des individus et des ménages 

représentatifs basés sur des données démographiques et socioéconomiques. 

(2) Génération des activités (pour chaque type de ménage et les membres associés, générer 

un programme d’activités) : La méthode de génération des activités reste un sujet de 

recherche actif pour l’approche d’activités. Les modèles les plus utilisés se basent sur la 

théorie du choix discret. Par exemple, le modèle Logit ou Logit emboîté sont des 

méthodes couramment utilisées pour modéliser le choix discret. D’autres méthodes ont 

été proposées dans la littérature, e.g. Rieser (Rieser, 2004) a proposé une méthode de 

génération du programme d’activités basé sur la matrice OD. Charypar et Nagel 

(Charypar et Nagel, 2003a) ont proposé une méthode basée sur un algorithme génétique. 

(3) Choix de destination, de mode et d’itinéraire : en général, l’ordre de décision sur ces 

choix est supposé hiérarchique. Dans le premier temps, le choix d’activités à pratiquer 

est décidé, ensuite ce sont le choix de la destination, du temps, du mode, et de l’itinéraire. 

Le choix au niveau supérieur conditionne le choix au niveau inférieur jusqu’à ce que tous 

les caractères de la chaîne d’activités et de déplacements soient remplis. 

(4) Simulation du trafic : lancer la simulation basée sur des modèles du trafic 

(5) Programmation/reprogrammation des activités : ce mécanisme de rétroaction reflète 

l’apprentissage par renforcement des usagers. Pour chaque agent, il pratique un 

programme d’activités et enregistre son utilité. En se basant sur le modèle de 

modification du programme d’activités, il pratique un autre programme et ainsi de suite. 

Balmer et al. (Balmer et al., 2004) ont analysé différentes méthodes de reprogrammation 

des activités. Ils considèrent le problème de reprogrammation comme un problème 

d’apprentissage par renforcement dans un environnement stochastique. Un agent exerce 

le choix de décision selon une probabilité de choix dépendant de la performance 

d’exécution de l’action sous la condition actuelle. La méthode Q-learning a été adoptée 

pour modéliser le processus d’apprentissage du meilleur programme d’activités 

(Charypar et Nagel, 2003b). Cependant, cette méthode ne convient pas pour des 

problèmes dont le domaine de recherche est très large. D’autre méthodes comme le plan 

mental basé sur des réseaux bayésiens (Arentze et Timmermans, 2005), l’algorithme 

génétique (Charypar et Nagel, 2003a) ou l’apprentissage par renforcement basé sur les 

règles de décision « condition-action » (Arentze et Timmermans, 2003) sont des 

méthodes pour traiter le problème de reprogrammation des activités. 

- 12 -

2.4. Méthodes de recueil de données 

Axhausen (Axhausen, 1997) a montré le besoin de données pour modéliser la 

programmation des activités à court terme (journalier ou hebdomadaire). Ces données ne 

peuvent pas être récupérées par l’enquête traditionnelle sur la mobilité des individus. De ce 

fait, il faut recenser les informations qui sont issues du programme d’activités, des règles de 

décision sur la modification du programme d’activités etc. L’enquête sur l’emploi du temps 

des individus consiste à enregistrer toutes les activités réalisées dans une période donnée 

avec tous les détails associés. Ce type d’enquête est coûteux et exige beaucoup de temps 

pour les personnes qui remplissent le questionnaire ainsi que pour les chercheurs qui traitent 

les données. Cependant, à partir de 1980, grâce aux progrès informatiques, la méthode 

traditionnelle avec papier et crayon est remplacée par la méthode d’aide à l’informatique 

(computer-assisted data collection, CADAC). L’avantage de cette méthode permet à la fois 

de réduire la charge des personnes interrogées et des chercheurs, et d’améliorer la qualité des 

données. Cette méthode permet aussi de travailler avec le système de positionnement global 

qui enregistre les positions spatiales des individus. 

La méthode consiste à utiliser un programme informatique d'interview qui présente les 

questions à l’écran. Les réponses sont enregistrées immédiatement et les incohérences 

peuvent être également détectées par le programme qui informe les personnes en vue de les 

corriger. De cette manière, la qualité des données est améliorée. Les informations recueillies 

sont flexibles, y compris toutes les informations détaillées sur les activités (par exemple, 

quelle activité, l’heure de début et de fin, dans quel ordre, la fréquence, la durée, par quel 

mode et le temps de déplacement, etc.). Les types d’activités, l'intervalle de temps peuvent 

être fixes ou variables selon le programme conçu. Des agences gouvernementales aux 

Etats-Unis et en Europe ainsi que des sociétés d'étude de marché en Europe utilisent ces 

méthodes de collecte de données depuis les années 1980 (Kalfs et Saris, 1997). Par exemple, 

Sociometric Research Foundation aux Pays-Bas a conçu un agenda électronique pour l’étude 

d’emploi du temps des individus. Un total de 368 activités (principales et secondaires) a été 

enregistré en répondant aux questions structurées hiérarchiquement. D’abord, la personne 

interrogée doit choisir une catégorie d’activités (par exemple, au domicile, en dehors du 

domicile, déplacement) et donner ensuite plus de détails. Les questions suivantes incluent des 

détails sur la description des activités, le temps, le sentiment (appréciation), les activités 

secondaires. En pratique, la composition d’échantillons doit refléter l'emploi du temps des 

activités dans la population. Pour cela, la taille de l’échantillon doit être représentative. Les 

individus et les dates pour lesquelles les questionnaires sont remplis dans le ménage doivent 

être choisis au hasard ou selon une méthode de probabilité (Kalton, 1985). Une autre étude 

basée sur l’agenda électronique est effectuée par Ettema et al. (Ettema et al., 1994). Elle 

combine l’agenda électronique avec les données du système de positionnement global (Draijer 

et al., 1998), l’enquête sur des véhicules équipés (« instrumented vehicle studies », Wolf et al., 

1999), et l’expérience interactive dans la réalité virtuelle (« interactive computer experiments 

in virtual reality », Tan et al. 2001). D’autres enquêtes plus récentes ont été réalisées, par 

exemple, l’enquête sur la programmation des activités de 270 ménages basée sur l’ordinateur 

portable à Toronto (Doherty, 2003) et l’enquête faite à la main sur la programmation des 

activités de 300 individus à Dortmund (« hand-held activity scheduling décision process 

survey », Rindsfüser et al. 2003). 

- 13 -

3. Méthodes basées sur les Systèmes Multi-Agents 

Le domaine des Systèmes Multi-Agents est un thème très actif dans l’Intelligence Artificielle 

Distribuée et le génie logiciel. La conception des SMAs est aussi appliquée dans d’autres 

domaines scientifiques comme la physique et la biologie. Un SMA est un ensemble d’agents 

autonomes, situés dans un environnement, et interagissant entre eux (coopération, 

concurrence et communication) et avec l’environnement. Le concept d’« autonomie » 

consiste à décrire les agents comme des entités autonomes flexibles, capables de s’adapter à 

leur environnement pour atteindre certains objectifs. Le paradigme agent provient, d’une part, 

de l’intelligence artificielle distribuée, d’autre part, de la vie artificielle. Historiquement, la 

recherche des systèmes multi-agents est paru au cours des années 80. Généralement, un 

agent est soit cognitif, ayant une représentation interne complexe permettant d’avoir un 

comportement intelligent tel que le raisonnement et l’apprentissage, soit réactif, possédant 

les caractéristiques simples permettant des actions selon des stimuli de l’environnement. En 

effet, la définition de l’agent dépend du domaine d’applications. Dans le domaine de 

l’Intelligence Artificielle Distribuée, un agent est défini comme un système informatique 

situé dans un environnement, capable de réaliser certaines actions de manière autonome et 

adaptative afin d’atteindre certains objectifs. Le système multi-agent est conçu suivant une 

structure distribuée sans avoir un contrôle central du système. Les thèmes d’études 

concernant les interactions, négociations, et communications proposant différents schémas 

(agents-agents ou agents-humain). Ainsi, différents formalismes de communications et des 

Agent Communication Langages (ACL) sont proposés concernant la normalisation des 

langages de communication entre les logiciels ou les interfaces agents-humains dans un 

environnement distribué (ex. Internet). 

Dans le domaine de la biologie, de la physique ou de la chimie, l’agent peut être défini 

comme un individu autonome capable de réagir à certaines actions simples selon des règles 

physiques ou comportementales. Le système multi-agent est composé de nombreux agents 

simples, homogènes ou hétérogènes qui sont capables d’interagir entre eux et sur 

l’environnement. La complexité des agents et des interactions peut varier selon l’objectif de 

la modélisation. Généralement, les comportements des agents physiques ou chimiques sont 

décrits par des équations différentielles issues des modèles ou théories des applications. 

Notre objectif de recherche est d’établir un modèle basé sur le concept des SMAs 

permettant de simuler les comportements de participation aux activités des agents 

(voyageurs) dans un système complexe. Les agents réactifs conviennent mieux à notre 

problématique puisque pour un nombre important d’agents, une architecture interne 

complexe entraîne une explosion du temps d’exécution de la simulation. Pour que la 

construction d’un tel système soit faisable, nous mettons l’accent sur les études des SMA 

basés sur les agents réactifs. 

Dans la section suivante, nous exposons les caractéristiques des SMAs, la 

représentation interne des agents réactifs, le schéma de communication, les plates-formes de 

développement et les applications des SMAs dans les domaines de transport. 

3.1. Caractéristiques des SMA 

Les caractéristiques des SMAs proviennent des interactions entre les agents et 

- 14 -

l’environnement. La complexité du comportement du SMA dépend de deux 

niveaux (Schweitzer, 2003) : 1. la complexité des agents (capacité d’actions) et 2. la 

complexité des interactions. Le premier niveau dépend de la structure interne des agents 

modélisés par le concepteur, concernant les états internes des agents influencés par les 

stimuli de l’extérieur. Ces états peuvent être définis par des variables continues ou discrètes. 

Le comportement des agents dépend de ses états internes et des conditions de 

l’environnement sans contrôle centralisé. Le deuxième niveau dépend de l’architecture de 

communication, des règles et de la capacité à communiquer. L’architecture de 

communication est définie comme la représentation schématique d’échange d’informations 

entre les agents et les composants du système. Nous détaillons les architectures de 

communication dans la section 3.2. 

De manière générale, un système multi-agent possède les caractéristiques d’un système 

distribué, telles que la modularité correspondant aux agents ou composants du système, la 

redondance évitant la défaillance du système en cas d’erreur, la décentralisation, le 

comportement émergeant des interactions des agents, la fonctionnalité en provenance des 

interactions et l’adaptation basée sur la dynamique du système. Ces caractéristiques sont 

dérivées des interactions entre agents autonomes permettant de décrire le comportement 

adaptatif des agents dans un système complexe. Cependant, le mécanisme d’émergence du 

comportement complexe en fonction des interactions des composants du système est difficile 

à déduire à l’aide de méthodes analytiques. La théorie de l’auto-organisation consiste à 

décrire les caractéristiques d’un tel mécanisme. Nous étudierons différentes méthodes issues 

de la théorie d’auto-organisation ou de synergétiques dans la section 4. 

3.2. Représentation interne des agents réactifs 

Les agents réactifs sont des agents simples permettant d’agir en fonction de stimuli de 

l’environnement. Les actions prises par les agents sont probabilistes selon des règles de 

« condition-action ». Les agents réactifs n’ont pas une représentation symbolique de 

l’environnement. Cependant, ils permettent de faire émerger des actions collectives ou des 

propriétés complexes par les interactions locales entre eux et sur l’environnement. De 

nombreux systèmes naturels possèdent des comportements collectifs émergents en fonction 

des interactions entre les individus. 

3.2.1. Architectures réactives 

Les architectures des agents réactifs représentent une structure horizontale de contrôle sur les 

actions réactives suivant des stimuli de l’environnement (figure 1-1). L’architecture réactive 

la plus connue est celle de Brooks (Brooks, 1991), dite architecture de subsomption. Elle est 

composée de plusieurs couches de compétence permettant d’accomplir une tâche particulière. 

Les couches de compétence sont organisées hiérarchiquement, chacune possédant une 

priorité différente. La couche supérieure correspond aux tâches les plus abstraites possédant 

la priorité la plus petite. En revanche, la couche inférieure correspond aux tâches les plus 

simples avec la priorité la plus haute. Par exemple, la conception d’un robot d’exploration 

sur une surface pourrait avoir une couche supérieure « exploitation de l’environnement » et 

la couche la plus basse « éviter les obstacles ». Les stimuli de l’environnement sont reçus par 

la fonction de perception de l’environnement. Le comportement des agents est ensuite 

- 15 -

eprésenté par des règles de décision décrites dans les modules de compétence. Les résultats 

de ces modules de compétence génèrent des actions sur l’environnement. 

L’avantage de l’architecture réactive provient de la simplicité et l’efficacité de calcul. 

Cependant, elle ne permet pas de choisir les meilleures actions dans le long terme 

puisqu’elle n’a pas la compétence d’apprendre des expériences passées dans le passé. De 

plus, les agents réactifs permettent de faire émerger des comportements collectifs par les 

interactions entre eux, mais il est difficile de les expliquer. Pour cela, les architectures 

hybrides sont nées pour renforcer la compétence des agents réactifs sans avoir l’architecture 

complexe comme les agents cognitifs (par exemple l’architecture Belief-Desire-Intension, 

BDI). 

Figure 1-1 Architecture réactive de subsomption (Source : Politechnica University of 

Bucharest, 2002) 

3.2.2. Architectures hybrides 

Au niveau de l’agent, les architectures hybrides combinent les architectures réactives et 

cognitives en organisant les modules de compétence réactive et ceux d’intelligence (ex. 

opérations de raisonnement) (voir la figure 1-2). Le comportement des agents est dirigé par 

les buts de conception, soit les buts propres, soit les buts coopératifs, et défini par des règles 

de décision décrites dans les modules de compétence. Le formalisme des architectures 

hybrides dépend des objectifs des applications. Une des architecture hybrides la plus connue 

est celle du système InteRRaP (Integration of Reactive Behavior and Rational Planning) 

proposé par Muller et Pischel (1994). L’architecture InteRRaP est composée de trois couches 

de contrôle et de trois bases de connaissance représentant différents niveaux d’abstraction de 

la perception de l’environnement. Trois couches sont organisées hiérarchiquement, pour 

lesquelles le flux de contrôle se transfère de bas en haut. La couche de planification 

coopérative est associée à des opérations spécifiques sur les buts coopératifs, accomplis avec 

d’autres agents, se situant au niveau le plus haut. La couche de planification locale est 

associée à des opérations sur les buts locaux, accomplis par les agents eux-mêmes. La 

couche la plus basse des comportements réactifs est associée à des actions simples agissant 

sur l’environnement. Chaque couche est composée de deux sous-modules : (1) module de 

perception de situations, (2) module de planification et d’exécution. Les deux sous-modules 

- 16 -

permettent de transférer le contrôle des informations correspondantes aux différentes 

opérations. 

Les architectures hybrides permettent de réaliser une action plus complexe comme ceux 

de la BDI en se basant sur une présentation du processus explicite de contrôle du flux 

d’information. Il faut noter qu’il existe d’autres architectures moins compliquées pour les 

agents hybrides (combinaison d’agents réactifs et d’agents cognitifs) comme celle utilisée 

par Agents Brownien (Schweitzer, 2003). Généralement, un système multi-agent composé 

d’Agents Brownien est décrit par : (1) une fonction représentant les états internes ou externes 

des Agents Brownien ; (2) un ensemble de paramètres de contrôle en provenance de 

l’énergie potentielle externe ou des flux entrées/sorties des ressources. (3) une 

« eigendynamics » (dynamique propre) du système provenant de la structure du système. Le 

comportement du SMA de type Brownien est spécifié par ces trois composantes. Les 

applications basées sur les agents Brownian sont nombreuses, par exemple la formation des 

parcours de piétons, l’évolution de la structure des milieux urbains et la modélisation des 

processus sociaux tels que la formation des opinions publiques (Schweitzer, 2003). 

Figure 1-2 Architecture InteRRaP ( Source : Politechnica University of Bucharest, 2002) 

3.3 Plates-formes et sémantique des SMAs 

3.3.1. Sémantique des SMAs 

Le développement des sémantiques pour les SMAs a été initié au milieu des années 80 pour 

faciliter la conception des SMAs (Wooldrige, 2001). Dans cette section, les langages de 

développement, AGENT0 et Concurrent METATEM, seront exposés. De manière générale, 

la programmation orientée objet se distingue de celle orientée agents au niveau des modèles 

de conception. La dernière est basée sur le module d’agent qui maintient les fonctionnements 

internes, voire mentaux des agents réactifs ou cognitifs. Les agents décident leurs actions 

- 17 -

selon les règles conçues dans l’architecture interne des agents. 

3.3.1.1. Langage AGENT0 

Le langage AGENT0 est le premier langage basé sur la programmation orientée agent. Un 

agent est composé de trois éléments : un ensemble de compétences représentant les actions 

qu’un agent peut effectuer, un ensemble de croyances et d’obligations initiales basées sur 

l’architecture BDI et un ensemble de règles d’obligation. Le processus de contrôle vérifie le 

modèle mental permettant à un agent de réagir aux messages reçus. Les actions d’un agent 

sont conditionnées par l’ensemble des règles d’obligation. Chaque règle contient un message 

sur l’état interne de l’agent et ses actions. La procédure d’activation est décrite par : 

l’identification du message reçu, la comparaison avec la condition mentale, et l’activation 

d’une action selon l’état de croyance d’un agent. Deux types d’actions sont recensés : les 

actions privées qui sont exécutées par l’agent lui-même, et les actions communicatives qui 

sont envoyées pour d’autres agents. Dans ce langage, chaque agent a sa propre exécution qui 

est indépendante. Et la communication entre les agents est gérée par un mecanisme de 

transmission de messages. 

Il faut noter que ce langage est un prototype de langage SMA et il ne permet pas de 

développer un système multi-agent à grande échelle (Wooldrige, 2001). L’extension de 

AGENT0 est le langage PLACA qui propose des compétences de planification et des 

objectifs à atteindre (Wooldridge et Jennings, 1995). 

3.3.1.2. Langage Concurrent METATEM 

Le langage Concurrent METATEM a été développé par Fisher (Fisher, 1994). Ce langage est 

basé sur l’exécution directe de formules de logique temporelle (temporal logic). La 

conception des agents est décomposée en deux éléments : une interface d’interaction 

permettant à un agent d’agir sur d’autres agents et l’environnement, et un composant 

d’exécution capable d’exécuter les opérations du raisonnement à partir de la logique 

temporelle. Il faut souligner que les agents sont capables d’effectuer les taches de manière 

concurrente par l’intermédiaire des règles de logique. 

3.3.2. Plates-formes de développement SMA 

Le développement de ces langages permet de faciliter la mise en œuvre des SMAs dans les 

applications informatiques (par exemple, gestion des agents mobiles effectuant des tâches à 

distance, etc.). Il existe de nombreuses plates-formes de développement favorisant tel ou tel 

type de SMA. En ce qui concerne la norme en terme d’interaction pour un SMA, deux 

langages d’interaction, FIPA (Foundation for Intelligent Physical Agents) et KQML 

(Knowledge Query and Manipulation Language), ont été développés. La norme FIPA est un 

modèle de référence visant à normaliser la gestion d’un SMA sur une plate-forme. Le 

langage KQML est un langage permettant aux agents hétérogènes d’échanger des 

informations et des connaissances. 

De nombreuses plates-formes SMA sont répertoriées (voir la liste dans 

http://www.agentlink.org/resources/agent-software.php). Par exemple, les plates-formes 

JADE, MACE, ZEUS sont destinées aux agents cognitifs, alors que SWARM est dédié aux 

- 18 -

agents réactifs. Il existe des plates-formes visant à la généricité comme MADKIT. La plupart 

de plates-formes utilisent le langage JAVA pour faciliter l’implémentation de l’exécution 

concurrente des tâches des agents et pour sa capacité à s’exécuter sur des plates-formes 

hétérogènes. 

3.3.3 Modélisation et simulation d’un SMA pour les transports 

L'application des approches orientées agent dans la recherche sur les transports est récent 

(Schleiffer, 2002). Dia (Dia, 2002) a proposé un modèle multi-agent ayant pour objectif de 

simuler les voyageurs individuellement avec l’approvisionnent d’information en temps réel. 

L'approche multi-agent a pour avantage d’étudier les interactions agent-agent, et 

agent-environnement dans les cas dynamiques. Dans cette étude, le comportement des agents 

« voyageurs » est caractérisé par des facteurs d’influence du choix de décision. En se basant 

sur le cadre de l’architecture BDI (la croyance, le désir, et l’intention), les agents ont une 

certaine connaissance de l’état de circulation de la route et du programme 

d’activité-déplacement. Les agents apprennent par retour d’expérience et prennent des 

décisions selon les plans d’activité-déplacement exécutés. De même, Rossetti et al. (Rossetti 

et al., 2002) utilisent l’architecture mentale BDI pour simuler le choix des agents voyageurs 

en fonction du temps de départ et des itinéraires. Deux types d'agents ont été conçus : les 

agents « voyageurs » et les agents « fournisseurs d’information ». Les agents « voyageurs » 

choisissent le temps de départ, l’itinéraire et la destination à partir de leur expérience. Les 

agents « fournisseurs d’information » proposent des informations en temps réel aux agents 

« voyageurs » pour modifier leur choix d’itinéraires. Bien que l’architecture mentale BDI 

convienne pour modéliser le comportement des voyageurs, la difficulté de mise en oeuvre 

des modèles et la complexité de calcul exclut leur application dans un grand réseau. 

Une autre étude, menée par Zhang et Levinson (Zhang et Levinson, 2002) consiste à 

modéliser le choix des destinations et des itinéraires des usagers basé sur le paradigme 

multi-agents. Ce modèle est composé de trois types d’agents: 1. l’agent « voyageur » qui se 

déplace dans le réseau pour réaliser une activité, 2. l’agent « noeud » qui stocke les 

informations sur le nombre d’activités et l’ensemble des plus courts chemins issus de 

l’échange d’informations entre les voyageurs, 3. l’agent « arc » qui calcule le coût de 

déplacement sur les arcs. Chaque agent voyageur se déplace dans le réseau et cherche à 

réaliser une activité en fonction du nombre d’activités disponibles sur les nœuds. Ce modèle 

permet de faire émerger le choix des destinations et des itinéraires des usagers. Le calibrage 

du modèle utilise la distribution réelle des longueurs de déplacement pour minimiser l’écart 

entre la distribution réelle et estimée. Cependant, l’écoulement du trafic est statique et les 

valeurs d’activités ne sont pas prises en compte. 

4. Méthodes d’agrégation du système complexe 

L’auto-organisation est un phénomène qui se manifeste dans un système complexe grâce aux 

interactions entre les parties du système lui-même, le système et l’environnement extérieur. 

Les propriétés macroscopiques du système complexe sont générées par de nombreux 

sous-systèmes ou composantes du système. Elles n’existent pas dans un seul sous-système 

ou élément. De nombreux exemples en terme d’auto-organisation ont été observés dans des 

systèmes naturels et dans les systèmes humains. 

- 19 -

De système le plus simple (cellule) au système le plus complexe (humain), le 

phénomène d’auto-organisation se manifeste universellement. Nous pouvons citer des 

exemples tels que les comportements collectifs émergeant et disparaissant spontanément 

dans les groupes d’animaux ou d’insectes sociaux. Un système comme la colonie de fourmis 

montre comment les fourmis organisent automatiquement leur société et effectuent les 

travaux selon leurs rôles respectifs et en suivant des règles très simples. 

Dans le domaine des transports, l’étude basée sur le phénomène d’auto-organisation 

ouvre une nouvelle perspective sur la dynamique de flux de véhicules et de piétons. De 

nombreuses recherches ont été réalisées par Helbing et ses collaborateurs (voir 

http://www.helbing.org/). Helbing et al. (Helbing, 1997a, b) montrent que la formation de 

pistes de piétons s’interprète par le processus d’interaction entre les mouvements des piétons, 

l’orientation des individus et le changement de l’environnement. 

Dans le domaine socioéconomique, le phénomène d’auto-organisation a donné 

naissance à un nouveau volet de recherche pour analyser la structure et le processus de 

formation du comportement humain. Une nouvelle discipline « econophysique » est apparue 

à laquelle une revue spécifique est dédiée. Généralement, l’auto-organisation est un 

phénomène commun dans tous les systèmes complexes. Dans de tels systèmes, le 

comportement global se caractérise par les propriétés de ses composantes mais il est 

également influencé par les conditions à l’extérieur et l’intervention d’autres systèmes. 

Historiquement, le terme « auto-organisation » a été proposé en 1947 par le psychiatre 

et ingénieur W. Ross Ashby. La majorité des travaux de recherche sur la théorie et la 

modélisation de l’auto-organisation est due à Hermann Haken en 1970. Dès lors ce 

phénomène devient un terme très actif dans le domaine des systèmes complexes. La 

définition de l’auto-organisation peut varier selon les contextes. Schweitzer (Schweitzer, 

2003) a donné une définition générale : 

“Self-organisation is defined as spontaneous formulation, evolution and 

differentiation of complex order structures forming in nonlinear dynamic system by 

way of feedback mechanisms involving the elements of the systems, when these 

systems have passed a critical distance from the statistical equilibrium as a result 

of the influx of unspecific energy, matter, or information” 

Dans cette définition, plusieurs notions sont abordées : la structure de formation, 

l’évolution du système, et l’état critique auto-organisé. Ces caracteristiques sont importantes 

dans le cas d’un système complexe. Pour mieux comprendre le phénomène 

d’auto-organisation, nous mettons l’accent sur les problématiques liées à la formation 

dynamique du modèle du système et les conditions d’émergence du phénomène 

d’auto-organisation. Cette section se divise en deux parties. Dans un premier temps, nous 

allons étudier les propriétés de l’auto-organisation en faisant le lien entre microscopique et 

macroscopique dans un système dynamique. L’accent est mis sur le concept du « synergie » 

qui nous permettra de mieux comprendre la structure générale de la formation des propriétés 

macroscopiques. Dans un second temps, nous présenterons le schéma d’agrégation de 

Muncaster (Muncaster, 1983) visant à généraliser le processus d’agrégation d’un niveau 

microscopique au niveau macroscopique d’un système. 

4.1. Les propriétés du phénomène d’auto-organisation 

- 20 -

L’analyse des propriétés du phénomène d’auto-organisation consiste essentiellement à 

identifier le processus de formation des propriétés macroscopiques du système complexe. 

Généralement, un système complexe est composé de nombreuses composantes dont les 

interactions sont non linéaires. De ce fait, le comportement du système ne peut être déduit du 

comportement d’une seule composante. Le système complexe est un système dissipatif 

d’énergie dans la nature ou dans la société humaine. Deux propriétés physiques caractérisent 

ce genre de système capable d’émerger les caractéristiques globales (Ebeling et Schweitzer, 

2003) : 

(1) Ouverture thermodynamique : le système échange de l’énergie, de l’entropie, ou de 

l’information avec l’environnement. 

(2) La nature du système est hors d’équilibre, dynamique et non linéaire. 

Haken (Haken, 1977) est un des initiateurs de la théorie synergétique et de 

l’auto-organisation. Celle-ci fournit une base pour comprendre la structure et le processus de 

formation du modèle (pattern) d’auto-organisation. La transition entre les différents états 

d’un système complexe est non-équilibré, instable et comprend plusieurs degrés de liberté. 

Kelso (Kelso, 1995) résume les principes et les conditions pour l’auto-organisation : 

(1) Le modèle émergeant est issu des interactions non linéaires entre les composantes du 

système et de l’environnement. 

(2) Le système dissipatif est hors équilibre en raison des interactions non linéaires. 

(3) Les degrés de liberté adéquats constituent les variables collectives ou les paramètres 

d’ordre, et caractérisent le modèle émergeant dans le système complexe. Ces paramètres 

d’ordre sont créés par coordination entre les composantes, et influencent le 

comportement des composantes. Cette influence porte le nom de causalité circulaire. 

(4) Les paramètres d’ordre peuvent être identifiés lorsque le système passe d’un état stable 

vers un état instable ou d’un modèle à l’autre. Par contre, il est difficile d’identifier si 

l’état du système est loin des phases de transition. 

(5) La fluctuation offre l’opportunité au système de découvrir d’autres modèles. 

(6) Les paramètres contrôlant la transition entre différents états de modèles s’appellent les 

paramètres de contrôle qui correspond à la condition marginale permettant de générer 

certains états du modèle du système. 

(7) La dynamique des paramètres d’ordre décrit l’évolution du système à l’aide d’équations 

de nature chaotique statique ou stochastique. Elle définit la complexité du comportement 

du système. 

Ces caractéristiques servent de principes quantitatifs à l’auto-organisation. Mais ce 

phénomène nécessite des méthodes plus concrètes. Pour cela, nous introduisons la théorie 

synergétique et le schéma d’agrégation de Muncaster dans la section suivante. 

4.2. Théorie synergétique 

La théorie synergétique est destinée à étudier l’émergence des nouvelles propriétés agrégées 

d’un système. Ces propriétés agrégées symbolisent les modèles spatiaux observés dans de 

- 21 -

nombreux systèmes physiques et chimiques. Du point de vue des mathématiques, la théorie 

synergétique traite les équations différentielles stochastiques partielles non-linéaires et étudie 

leurs solutions à proximité des états critiques, i.e. le comportement des solutions différent 

qualitativement (Haken, 1997). Cette théorie est basée sur les concepts de stabilité et 

d'instabilité, des paramètres de contrôle et d'ordre. Elle illustre le principe de servitude qui 

permet de condenser l'information en décrivant des systèmes complexes à l’aide uniquement 

d’un ensemble fini de paramètres. 

Si nous considérons un système physique composé d’un nombre important de 

composantes, les interactions entre les composantes et les sous-systèmes dans certaines 

conditions permettent de transformer le système d’un état instable à un état stable. La règle 

de transition dépend de variables, appelées paramètres d’ordres, qui résultent des interactions 

des sous-systèmes et de ses composantes. Ces paramètres d’ordres asservissent la dynamique 

propre des sous-systèmes de telle manière qu’ils se conforment à la dynamique collective du 

système. La dynamique macroscopique du système ne dépend que de quelques paramètres 

d’ordres permettant de déterminer l’évolution de ce système. Nous renvoyons les lecteurs 

aux études de Haken (Haken, 1977, 1997) sur les concepts mathématiques de cette théorie. 

La théorie Synergétique est appliquée aux études de formation de modèles dans les 

systèmes physiques et chimiques. Elle est aussi appliquée dans le domaine de l’informatique 

(e.g. la distinction d’images, etc.). 

4.3. Schéma d’agrégation de Muncaster 

Le schéma d’agrégation représente une théorie générale d’agrégation à partir de la théorie 

microscopique d’un système physique. Cette théorie a été proposée par Muncaster 

(Muncaster, 1983). En général, ce schéma d’agrégation permet de dériver la théorie 

macroscopique à partir des équations microscopiques du système. Dans de nombreux 

mécanismes physiques, il existe la paire des théories microscopique et macroscopique 

correspondante. Par exemple, la théorie microscopique des solides ou des gaz décrit 

l’évolution des états des molécules microscopiques, tandis que la théorie macroscopique 

déduit des équations décrivant les caractéristiques macroscopiques du système. Il est 

possible d’établir un lien entre les deux niveaux du système, de passer d’une théorie 

microscopique à une théorie macroscopique. Le schéma d’agrégation sert à généraliser ce 

processus. 

Le processus d’agrégation de Muncaster est composé de quatre étapes : 

(1) Sélectionner la théorie microscopique d’un système et la fonction de projection de l’état 

microscopique à l’état macroscopique. 

(2) Transférer l’ensemble des solutions microscopiques à partir d’une théorie microscopique 

et identifier chaque état macroscopique par une solution exacte avec l’hypothèse 

d’invariance de transition temporelle. 

(3) Caractériser toutes les fonctions qui satisfont les deux premières étapes. 

(4) Substituer la caractérisation de l’étape 3 dans les équations gouvernant la théorie 

microscopique et trouver les conditions nécessaires et suffisantes. 

Alors que ce schéma d’agrégation a été proposé depuis 1983, l’application de cette théorie 

- 22 -

este difficile à cause de la complexité du système à étudier. 

5. L’affectation du trafic 

Le problème d’affectation du trafic consiste à repartir la demande de déplacement sur le 

réseau en tenant compte du choix des usagers et l’offre de systèmes de transports. Ce 

problème se compose, d’une part, de la modélisation du comportement des usagers, d’autre 

part, de la modélisation de l’écoulement du trafic dans le réseau. Le modèle d’affectation du 

trafic consiste à représenter le choix individuel des usagers en terme de déplacement. 

L’hypothèse sur le comportement des usagers préconise que les usagers sont rationnels, 

chacun cherchant à maximiser son propre intérêt, i.e. chacun essaie de minimiser son coût de 

déplacement. Cependant, les usagers n’ont pas l’information parfaite sur l’état du trafic sur 

le réseau. Chaque usager prend sa décision en fonction du coût prévu et le coût de 

déplacement est en fonction du choix de tous les usagers. De ce fait, l’enjeu principal de ce 

problème réside sur l’interaction entre le comportement des usagers et le système de 

transports. 

Dans cette section, nous allons étudier tout d’abord le principe d’affectation du trafic. 

Par la suite, pour le problème d’affectation statique, nous allons présenter la formulation du 

problème ainsi que la transformation de Beckmann (Beckmann et al, 1956). Pour le 

problème d’affectation dynamique, la formulation du problème s’appuie sur le même 

principe qui décrit la condition d’équilibre du réseau. Nous allons présenter les méthodes de 

résolution ainsi que les difficultés rencontrées. 

5.1 Le principe d’affectation et la description générale du 

problème 

Wardrop (Wardrop, 1952) a présenté deux types d’équilibre de réseau : l’équilibre optimal 

des usagers et l’équilibre optimal du système. Le premier préconise que l’état de trafic est en 

situation d’équilibre s’il vérifie la condition suivante (Henn, 2001) : 

« le coût de chaque option (itinéraire, temps de départ etc.) effectivement utilisée est 

égale et inférieure à celui que ressentirait un usager isolé qui emprunterait une 

option inutilisée » 

Cette condition d’équilibre, dit équilibre usagers, est sous hypothèses que les usagers sont 

rationnels et identiques et qu'ils détiennent une information parfaite sur le réseau et le coût 

des options choisies. Cet équilibre est non-coopératif, chacun effectue son choix en fonction 

du coût prévu ou ressenti. 

Le deuxième équilibre de Wardrop, dit optimum système, est utilisé pour la gestion du 

trafic qui a pour objectif de minimiser le temps de parcours total des usagers. L’équilibre 

optimum système sert de critère pour évaluer des mesures de contrôle et de gestion du trafic 

pour atteindre l’objectif global du système. 

- 23 -

L’affectation déterministe et l’affectation stochastique 

Le mécanisme de l’affectation du trafic nécessite la formulation du coût de déplacement qui 

détermine le choix des usagers. Si le coût est parfaitement perçu et les usagers sont tous 

identiques, l’affectation est dite déterministe. En revanche, l’affectation stochastique 

présente la variabilité des usagers, la variabilité de la perception du coût et l’imperfection du 

modèle (facteurs explicatifs ignorés). 

Le principe d’affectation déterministe est défini comme l’affectation du choix des 

usagers sur les options les moins coûteuses. Les chemins plus coûteux ne sont pas utilisés. 

En revanche, l’affectation stochastique s’appuie sur les principes différentes 

d’affectation (Henn, 2001) : 

(1) Toutes les options peuvent être choisies même si leur probabilité de choix est très faible. 

(2) Si deux options ont le même coût, la probabilité de choix est le même. 

(3) La probabilité de choix d’options est en fonction de leur coût. 

Les modèles stochastiques les plus utilisés sont les modèles de choix discret 

(Ben-Akiva et Lerman, 1985). Ces modèles considèrent que les usagers n’ont pas la capacité 

parfaite de cognition sur les coûts d’options. Une variable aléatoire est introduite pour 

représenter cette variation. Le modèle le plus utilisé est dit modèle Logit, qui suppose que la 

distribution de cette variable aléatoire est identique et indépendante selon la loi de Weibull. 

La probabilité de choix entre deux options r, s est calculé par : 

−θCr 

⎧ e ⎫ 

⎪ −θC 

⎪ r ' e 

p ⎪∑ 

⎪ 

r r'∈I 

−θ( 

Cr 

−Cs 

) 

= ⎨ = e ∀r 

s ∈ I 

C ⎬ , , 

−θ 

s 

ps 

⎪ e ⎪ 

−θC 

⎪ 

r ' e ⎪ 

⎪∑ 

⎩ r'∈I 

⎪⎭ 

où 

C r : le coût de l’itinéraire r 

I : l’ensemble des choix d’options ou l’ensemble des itinéraires perçus 

θ : le paramètre réel positif associé à la sensibilité de perception du coût des usagers. 

(1.1) 

Le principe d’équilibre stochastique usagers préconise que les coûts perçus pour les options 

choisies sont égaux ou inférieurs que celles qui n’ont pas été prises. La formulation du 

problème d’affectation stochastique dans le cas statique peut s’écrire par la transformation de 

Beckmann en ajoutant un terme dans la fonction objectif (l’équation (1.5)), représentant le 

coût total des usagers: 

1 

∑∑ 

θ k∈Kr∈R k 

f log f 

r 

r 

où 

f r : le flux sur l’itinéraire r 

k : la paire OD 

R : l’ensemble des itinéraires reliant la paire OD k 

k 

- 24 - 

(1.2)

La probabilité de choix de l’usager entre deux options r et s ne dépend que de leur coût 

relatif Cr − Cs 

, indépendamment des autre options, ce qui n’est pas toujours vérifié. De plus, 

le calcul peut être difficile (Leurent, 1996). 

5.2 L’affectation statique déterministe du trafic 

Dans le modèle d’affectation statique déterministe du trafic, le temps de parcours est évalué 

de manière à utiliser des fonctionnelles de type « debit-temps de parcours ». Le temps de 

parcours est calculé en fonction du nombre de véhicules et de la capacité du tronçon. La 

congestion est modélisée de manière statique. Le modèle statique sert au calcul économique 

pour l’évaluation globale du projet d’investissement de modification du réseau (Lemoine, 

2004). 

5.2.1 La formulation du problème d’affectation statique du trafic 

Soit un réseau représenté par un graphe orienté G(N, A) où N représente l’ensemble des 

noeuds et A est l’ensemble des arcs. Le principe de Wardrop préconise que les usagers 

choisissent le plus court chemin entre leur point d’origine et destination. Nous pouvons 

écrire l’équilibre usagers pour le problème d’affectation statique par : 

fr > 0, si Cr 

( f ) = πk 

, ∀r 

∈ Rk 

, 

fr = 0, si Cr 

( f ) ≥ πk 

, ∀r 

∈ Rk 

, 

∑ f r k 

r∈Rk 

f r 

≥ 0 , 

∀k 

∀k 

= d , ∀k 

(1.3) 

∀r 

avec π = minC ( f ) 

k 

r∈R 

k 

r 

où 

f r : le flux sur le chemin r 

d : la demande pour la paire OD k. 

k 

R : l’ensemble des itinéraires reliant la paire OD k 

k 

La condition d’équilibre usagers de Wardrop peut être formulée comme une inéquation 

* 

variationnelle : trouver f ∈Ξ 

tel que 

* * 

< C ( f ), f − f > ≤ 0 

(1.4) 

r 

où 

Ξ : l’ensemble de flux qui vérifie les équations de conservation du flux aux origines et la 

non-negativité du flux 

< .,. > : le produit scalaire. 

Lorsque les coûts sont diagonaux, la résolution du problème d’affectation statique est 

équivalent à celle du problème d’optimisation (transformation dite de Beckmann) : 

- 25 -

avec 

min 

x 

a 

∑∫ 

a∈A 

0 

C ( ε) 

dε 

a 

s.c. ( λ ) = d , ∀k 

, (1.5) 

∑ 

r| 

a∈r 

k 

∑ f r k 

r∈Rk 

( ξr ) f r ≥ 0, 

∀r 

f = x 

r 

où 

x a : le flux sur l’arc a 

A : l’ensemble des arcs 

C a : le coût sur l’arc a 

r : l’itinéraire 

λ , ξ : les variables durales 

k 

r 

a 

La condition d’optimalité de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) s’écrit par : 

C f ) = λ + ξ , ∀k, 

∀r 

∈ R 

(1.6) 

r ( * 

ξ r 

r f = 0 , ξr ≥ 0 , 

k 

r 

f r 

≥ 0 , 

∀r 

k 

Cette condition d’optimalité vérifie la condition d’équilibre usagers de Wardrop. Notons que 

cette formulation permet de résoudre le problème d’affectation en terme de flux par arcs et 

non de flux par chemins, ce qui évite le problème d’énumération de l’ensemble des chemins. 

Si l’on utilise des fonctionnelles de coût de type continu, convexe et croissant dans (1.5), ce 

problème relève de la programmation convexe et admet une solution unique. Cependant, ce 

n’est généralement pas le cas lorsque plusieurs modes de transports partagent la même 

infrastructure dont des coûts sur les arcs sont asymétriques. De plus, l’utilisation des 

fonctionnelles du coût sur les arcs ne permet pas de représenter la propagation des véhicules 

de manière réaliste. Une telle représentation est statique et n’est pas bien adaptée à la 

congestion. 

5.2.2 Méthode de résolution 

La résolution du problème d’affectation statique peut recourir aux méthodes traditionnelles 

d’optimisation de type Frank-Wolfe (Frank et Wolfe, 1956). Cette méthode consiste à 

déterminer la direction de recherche par la dérivée du premier ordre de la fonction objective. 

La convergence de cette approche nécessite la monotonicité de la fonction du coût, qui n’est 

généralement pas le cas lorsque le coût est asymétrique en présence de plusieurs classes de 

modes de transports (Wynter, 2001). 

- 26 -

5.3. Affectation dynamique du trafic 

L’affectation dynamique traite la variation de la demande et l’écoulement du trafic qui 

dépendent du temps. Si l’échelle temporelle de la variation de choix des usagers s’écoule 

d’un jour à l’autre, le problème d’affectation dit « affectation prédictif » qui suppose que les 

usagers apprennent au fur à mesure l’état du réseau basé sur la base de leurs expériences 

passées et la stabilité de l’état du trafic. Dans le contexte d’affectation prédictif, elle 

nécessite, d’une part, de modéliser le choix de temps de départ des usagers, d’autre part, de 

modéliser la propagation du trafic. En revanche, si l’affectation se fait en fonction 

d’information sur le coût en temps réel, les usagers effectuent leur choix en tenant compte de 

cette information. Ce mode d’affectation est dit « affectation réactive ». L’équilibre usagers 

dans le contexte de l’affectation réactive consiste à considérer qu’à chaque point de choix les 

usagers empruntent le chemin le moins coûteux vers leur destination. Cette affectation prend 

en compte l’information sur le coût instantané d’itinéraires, qui sont différents des coûts 

réellement ressentis a posteriori. 

La condition d’équilibre usagers de Wardrop dans le cas dynamique peut être définie de 

la manière suivant : 

« A chaque instant de départ et pour chaque itinéraire effectivement choisi, le coût 

ressenti par chaque usager est identique et inférieur au coût des itinéraires qui ne 

sont pas retenus. » 

La formulation du problème d’affectation dynamique sous forme mathématique peut 

être classée par : 1. l’inéquation variationnelle, 2. la complémentarité non-linéraire, 3. le 

point fixe. La plupart des modèles d’affectation dynamique développés sont formulés 

comme des problèmes d’inéquation variationnelle en dimension finie. Les modèles 

d’écoulement du trafic utilisés peuvent être classés en deux catégories : les méthodes 

analytiques et les méthodes de simulation. Pour la première approche, on utilise les fonctions 

analytiques pour estimer le temps de parcours. Mais les inconvénients résident dans le fait 

qu’elles ne représentent pas bien la propagation du flux du trafic. En revanche, les modèles 

de simulation conviennent à représenter l’écoulement dynamique du trafic de manière plus 

réaliste. Mais il est plus difficile de trouver des solutions d’équilibre usagers. 

Les difficultés rencontrées pour la résolution d’équilibres dynamiques résident dans 

(Henn, 2001) : 1. les difficultés du calcul sur un réseau de taille importante ; 2. les difficultés 

méthodologiques de résolution d’un tel équilibre dynamique d’écoulement du trafic basé sur 

la méthode de simulation ; 3. le manque de données pour alimenter le modèle. 

5.3.1 Méthodes de résolution 

Pour résoudre les problèmes d’affectation dynamique, des méthodes de résolution ont été 

proposées dans la littérature : 1. les méthodes basées sur l’approche de projection (Bertsekas 

et Gafni, 1982; Nagurney 1993, Nagurney et Zhang 1996,1997; Huang et Lam, 2002 ; Friesz 

et Mookherjee, 2006) ; 2. les méthodes basées sur l’approche de fonction de mérite (Han et 

Lo, 2004 ; Szeto et Lo, 2004) ; 3. les méthodes de moyenne successive (Tong et Wong, 

2000) ; 4. méthodes basées sur l’approche du système dynamique (Smith, 1984; Jin, 2007). 

Les difficultés essentielles de ces méthodes proviennent de la non-monotonicité et 

non-différentiabilité de la fonction du coût qui résultent des modèles plus réalistes de trafic. 

- 27 -

Dans cette section, nous allons analyser les méthodes de résolution pour les problèmes 

d’affectation dynamique du trafic recensées ci-dessus. Ces méthodes consistent à trouver la 

solution pour le problème d’inéquation variationnelle de type monotone. Pour la résolution 

de problèmes d’inéquation variationnelle non-monotone, il faut recourir aux méthodes 

heuristiques pour trouver une solution approchée. 

5.3.1.1 Méthode continue de gradient projeté 

La méthode continue de gradient projeté consiste à proposer une solution du problème de 

point fixe au travers des gradients de fonctions différentielles. Le système dynamique du 

gradient projeté est décrit ci-dessous (Nagurney et Zhang, 1996) : 

0 = Π Ξ [ f, −G 

( f )] 

(1.7) 

où 

f : le vecteur des flux 

G (f ) : le vecteur des coûts, 

Ξ : l’ensemble non-vide et fermé 

Π : l’opérateur de projection, définie par : 

où 

Π Ξ 

Ξ 

ε→0 

( x , v) 

= lim[ 

P ( x + εv) 

− x] 

/ ε 

(1.8) 

P Ξ : la projection sur Ξ , définie par : 

PΞ ( x) 

= argmin 

|| x − z || 

(1.9) 

z∈Ξ 

Un schéma itératif de résolution pour le système dynamique ci-dessous est basé sur la 

méthode d’Euler : 

w+ 

1 

w w w 

fr = PΞ[ 

fr 

− t Cr 

( f )], ∀r 

∈ Rk 

, ∀k 

∈ K 

(1.10) 

où 

w : l’indice d’itération 

w 

t : l’élément d’une série de divergence. 

La difficulté de cette méthode réside principalement dans la non-monotonie et la non- 

différentiabilité de la fonction du coût dans les problèmes d’affectation dynamique basée sur 

le modèle du trafic plus réaliste. 

5.3.1.2 Méthodes de système dynamique 

Cette méthode, proposé premièrement par Smith (Smith, 1984) consiste à définir une 

fonctionnelle permettant de faire converger la solution vers l’équilibre usagers de Wardrop. 

De manière plus précise, l’équilibre usagers de Wardrop peut être formulé comme un 

* 

problème d’inéquation variationnelle: il s’agit de trouver f ∈Ξ 

tel que : 

* 

fr r 

s 

k 

* 

* 

( C ( f ) − C ( f )) + = 0, 

∀r, 

s ∈ R , ∀k 

∈ K 

(1.11) 

- 28 -

où Ξ est le demain admissible de flux d’itinéraires qui vérifie l’équation de conservation 

du flux au niveau de point d’origine et la non-négativité du flux. La fonction (.) + est 

définie par : 

⎧y si y ≥ 0 

( y ) + = ⎨ 

(1.12) 

⎩0 

sinon 

Pour trouver 

où 

. 

* 

f , Smith a proposé un système dynamique décrit par : 

f = Φ( 

f ) 

(1.13) 

Φr ∑ fs s r + ∑ r r s + 

k 

s s 

( f ) = ( C ( f) 

−C 

( f)) 

− f ( C ( f) 

−C 

( f)) 

, ∀r, 

s∈ 

R , ∀k 

∈ K (1.14) 

Ce système dynamique traduit la dynamique du changement du flux entre les chemins de 

même paire OD, et pour toutes les paires k ∈ K par échange de flux entre paires de 

chemins. Le flux tend à aller des chemins les plus coûteux vers les chemins les moins 

coûteux. Smith a prouvé que dans le cas où la fonction C (f ) est différentiable et monotone, 

il existe une famille-type de fonctionelles de Lyapounov qui garantit la convergence globale 

et la stabilité de la solution. Le système dynamique décrit ci-dessus peut être appliqué pour 

résoudre le problème d’affectation dynamique en étendant le graphe dans la dimension du 

temps en utilisant le schéma de discrétisation. Le temps de parcours dans le cas dynamique 

peut être évalué par les modèles du trafic sans recours à l’utilisation de la fonction du coût. 

En effet, la résolution de problèmes d’affectation basée sur l’approche du système 

dynamique repose sur un schéma itératif de changement du flux ramenant à trouver un point 

fixe. Ce schéma de résolution suppose que les usagers apprennent l’affectation d’équilibre 

du réseau progressivement. Nous précisons ce schéma itératif dans le chapitre 3 et 

l’appliquerons à résoudre le problème d’affectation dynamique basé sur les activités. 

6. Modélisation de systèmes de transports multimodaux 

Les systèmes de transports multimodaux se composent de plusieurs sous-systèmes 

monomodaux. Différents des voitures particulières (VP) qui circulent librement dans le 

réseau routier, les véhicules de transport en commun (TC) circulent sur des lignes du réseau 

avec une fréquence des lignes qui varie dans le temps. Dans un réseau multimodal, le choix 

d’un itinéraire pour une paire OD est plus compliqué en raison du nombre important 

d’alternatives possibles en combinant les modes et les itinéraires du réseau. En général, 

l’analyse de la modélisation multimodale porte sur : 1. la modélisation du flux de trafic dans 

le réseau du VP et du TC ; 2. la modélisation du choix des usagers en terme de déplacement, 

notamment le choix des itinéraires, des horaires de départ, des activités. Dans cette section, 

nous allons étudier la modélisation statique qui décrit le temps de parcours de l’arc du réseau 

par une fonction du coût analytique. Ensuite, nous aborderons l’aspect dynamique des 

systèmes de transports multimodaux. 

- 29 -

6.1 Modélisation statique des systèmes de transports 

multimodaux 

La modélisation statique multimodale consiste à décrire le coût de déplacement sur les arcs 

du réseau de manière statique, i.e. la dimension du temps est négligée. Les modes de 

transports étudiés sont principalement : 1. les modes privés : voiture particulière ; 2. les 

modes publics : bus, métro et train. La marche à pied représente un mode implicite 

permettant aux usagers de se rendre d’un point à l’autre. En terme de modélisation des 

systèmes multimodaux, le réseau multimodal peut être représenté par un graphe orienté 

composé d’un ensemble d’arcs et de noeuds (Fig. 1-3). Les caractéristiques du réseau 

peuvent être précisées en spécifiant les propriétés des arcs et des noeuds, e.g. la capacité des 

arcs du réseau routier ou la fréquence d’une ligne du TC, etc. Le temps de parcours d’un 

itinéraire est calculé par la somme des temps de parcours de l’ensemble des arcs empruntés. 

Comme le fonctionnement de chaque système est différent, la fonction de coût se distingue 

selon le système étudié. Dans le réseau routier, le temps de parcours sur l’arc a ta 

est 

défini par la fonction de type bureau of public roads (Henn, 2001 ; Lo et al. 2003) : 

β 

⎛ ⎞ 

⎜ ⎛ x ⎞ a 

t ⎟ 

⎜ ⎜ 

⎟ 

a = Ta 

1 + α 

(1.15) 

⎟ 

⎝ ⎝ Θa 

⎠ ⎠ 

où 

x : le nombre de véhicules sur l’arc a 

a 

Θ : la capacité de l’arc a 

a 

T a : le temps de parcours à vitesse libre, 

α, β les paramètres à calibrer. 

Dans le réseau du TC, le temps de parcours des usagers passant entre deux stations se 

décompose en deux termes : 1. le temps dans le véhicule et le temps d’attente. Le premier est 

calculé en fonction de la distance entre deux stations. Le deuxième est calculé en fonction de 

la capacité du véhicule, de la fréquence des lignes et de la demande des usagers, i.e. 

ta = g( 

Fa 

, Θa 

, xa 

) 

(1.16) 

où 

F : la fréquence totale de l’ensemble des lignes sur l’arc a , 

a 

Θ : la capacité du véhicule 

a 

a 

x : le nombre d’usagers dans le véhicule. 

L’étude sur la fonction du coût de l’arc des lignes du TC s’appuie principalement sur deux 

approches: 1. les approches basées sur la fréquence des lignes (frequency-based approaches) 

(Nguyen, S., Pallotino,1988 ; Spiess et Florian, 1989 ; De Cea et Fernandez, 1993 ; Cepeda 

et al. 2006), et 2. celles basées sur l’horaire (schedule-based approaches) (Nuzzolo et al., 

2001 ; Nuzzolo, 2003a,b ; Wilson et Nuzzolo, 2004). 

La première approche considère que la fréquence des lignes est fixée. La fonction du 

coût peut être formulée de la manière suivante : 

- 30 -

β 

α 1 ⎛ x ⎞ a 

t = + ⎜ 

⎟ 

a 

(1.17) 

F 

{ a Fa 

⎝ FaΘ 

a 4243⎠ 

( 1) 

1 

( 2) 

Le premier terme traduit le temps d’attente avant l’arrivée du prochain véhicule. Le 

paramètre α permet de représenter la distribution du temps d’arrivée intervéhiculaire. Le 

deuxième estime le temps d’attente en fonction du débit et de la capacité de l’arc a. Des 

méthodes différentes visant à estimer le temps d’attente en tenant compte de la contrainte de 

capacité des véhicules ont été proposées dans la littérature (voir l’article de Bouzaïene-Ayari 

et al. 2001). 

Fig. 1-3 La représentation d’un réseau multimodal statique (D’auprès Lo et al., 2003) 

Les approches basées sur l’horaire consistent à représenter chaque course de manière 

explicite basée sur l’horaire (voir la figure 1-4). Cette méthode est plus flexible pour 

modéliser le système du TC irrégulier puisque chaque course des lignes est définie 

explicitement. Le temps d’attente est calculé en fonction du temps entre deux véhicules pour 

deux courses de lignes consécutives. Le système de TC peut être représenté par un graphe 

augmenté dans le temps (voir la figure 1-4). Chaque course est représentée par un ensemble 

d’arcs ordonnés reliant deux extrémités d’une ligne. Pour un arc des lignes, la capacité est 

associée à l’arc permettant d’estimer le coût en fonction du rapport du débit présenté et de la 

capacité de l’arc en cas de congestion. Le temps d’attente peut être évalué par le temps de 

parcours sur les arcs d’attente reliant le prochain véhicule. De plus, le coût de tarification 

peut être rajouté dans certains arcs ou certaines courses. L’effet de congestion peut être pris 

en compte par le nombre d’usagers et la capacité résiduelle des véhicules d’arrivée. Alors 

que cette approche permet de représenter les courses de chaque ligne dans le temps de 

manière explicite, les inconvénients résident dans la taille importante du graphe qui nécessite 

un temps de calcul plus élevé pour l’affectation du choix des usagers en application réelle. 

- 31 -

Fig. 1-4 La transformation du réseau du TC de la figure 1-3 en graphe augmenté dans le 

temps (D’Après Hamdouch et Lawphongpanich, 2007) 

6.2 Modélisation dynamique des systèmes de transports 

multimodaux 

Dans le cas dynamique, le problème traité est plus compliqué. La plupart des modèles 

dynamiques sont basés sur la simulation microscopique, i.e. chaque véhicule dans le système 

du TC et du PV est traité de manière individuelle. Des outils de simulation ont été 

développés, e.g. TRANSIM. En général, le réseau multimodal est décomposé en plusieurs 

sous-réseaux monomodaux (voir Fig. 1-5). Le problème du choix d’itinéraires des usagers 

est similaire à celui dans un réseau routier, i.e. les usagers sont supposés rationnels limités, 

ils ne connaissent pas l’état du trafic et tendent à minimiser leur coût de déplacements. Dans 

le cas multimodal, les usagers modifient leur choix de modes, de destination et d’itinéraires 

en considérant le coût d’itinéraires multimodaux réalisés le jour précédent. Etant donné que 

l’ensemble de choix d’itinéraires est très large, il existe des méthodes pour réduire cet 

ensemble de choix. Dans un réseau multimodal, les méthodes utilisées pour trouver les plus 

courts chemins consistent à décomposer un itinéraire multimodal en plusieurs 

sous-itinéraires monomodaux reliant les points de transfert. L’algorithme de type Dijkstra est 

l’approche la plus répandue pour répondre au problème du plus court chemin (Abdelghany et 

Mahmassani, 1999 ; Nagel, 2001). Une fois que les itinéraires sont choisis, l’écoulement du 

trafic est modélisé par la méthode de simulation et le coût des itinéraires est recalculé. Puis, 

on réitère l’opération jusqu’à ce que l’équilibre usager soit atteint. La plupart des études 

modélisent le système du TC par les méthodes basées sur l’horaire. L’effet de congestion est 

modélisé par la contrainte de capacité des véhicules. La pénalité associée au transfert, le coût 

tarifaire, le temps de marche et le coût de parking sont pris en compte explicitement. 

Une autre approche consiste à modéliser l’écoulement du trafic dans le réseau 

- 32 -

multimodal par le modèle macroscopique du premier ordre (Bellei et al., 2006 ; Meschini et 

al., 2007). L’écoulement du trafic dans le réseau du PV et du TC est modélisé à partir de la 

fonction de performance de l’arc. La dynamique du flux dans le réseau multimodal est 

décrite par la fonction du coût de l’arc dépendant du débit temporel d’entrée et de sortie de 

l’arc. Ce modèle traite l’effet de congestion en station en tenant compte de la capacité 

effective de véhicules, i.e. la capacité résiduelle et la file d’attente des usagers. La fréquence 

des lignes est représentée de manière variable. 

Fig. 1-5 La représentation schématique d’un itinéraire multimodal (D’après Nagel, 2001) 

7. Conclusion 

Dans ce chapitre, nous avons analysé le problème de modélisation des déplacements des 

individus basée sur les activités. Comme le problème traité est très large et complexe, nous 

avons passé en revue de nombreuses études empiriques et théoriques pour éclaircir le 

processus de décision en terme de programmation des activités d’un individu. La complexité 

de l’interaction entre les individus et l’environnement rend le recueil de données et les 

méthodes de modélisation difficiles à traiter. La mise en application de modèles dynamiques 

basés sur les activités reste un réel défi pour les recherches. 

Compte tenu de la complexité du problème, nous allons détailler progressivement nos 

modèles basés sur les activités. Dans le chapitre suivant, nous allons proposer un modèle 

statique d’activités permettant de modéliser les choix des destinations et des itinéraires des 

usagers. 

- 33 -

Chapitre 2 

Affectation statique du trafic basée sur les activités 


La modélisation de l’affectation du trafic consiste à répartir la demande de déplacements sur 

le réseau entre les origines et les destinations en fonction de caractéristiques du réseau (offre) 

et le comportement du voyageur (demande). Comme la demande de déplacements est 

dérivée de la demande de la réalisation d’activités, l’affectation doit prendre en compte le 

choix de destination d’activités. Le lien entre le choix de destination et le choix d’itinéraires 

constitue l’objet d’étude pour modéliser les déplacements des usagers. 

Nous présentons ici un modèle d’affectation statique du trafic traitant le choix 

d’itinéraires et le choix de destinations. La circulation du trafic est considérée comme 

stationnaire sans prendre en compte de l’écoulement du trafic dans le temps. Ce nouveau 

modèle étend le modèle d’Accessibilité aux Activités Vacantes (modèle AVA, Leurent, 

1999) en tenant compte du choix d’itinéraires. Chaque individu (demande) se déplace pour 

exercer une activité dans un lieu spécifique qui rend une valeur économique. A l’équilibre du 

marché, les meilleures activités sont consommées et un individu n’accède au mieux qu’à une 

activité vacante dont la valeur économique nette est la meilleure. 

L’idée principale et simplificatrice illustre que chaque individu partant de sa zone 

d’origine cherche à réaliser une seule activité dans des zones desservies. La mesure de la 

valeur nette d’activité se compose de deux parties : la valeur brute d’activité et le coût du 

déplacement. Ce dernier est mesuré en fonction du flux présent sur les tronçons sous la 

contrainte de capacité. L’équilibre du marché peut être formulé comme problème de 

complémentarité non linéaire (Nonlinear Complementarity Problem, NCP). Dans le cas où le 

coût de déplacements est monotone, la solution du NCP est équivalent à la solution d’un 

problème d’optimisation non linéaire en maximisant la valeur nette totale d’activités 

obtenues sous les contraintes de capacités du réseau, de demande et d’offre d’activités. 

En ce qui concerne la méthode de résolution, nous proposons une méthode issue de 

l’algorithme de colonies de fourmis (ACO, Dorigo et Blum, 2005). L’algorithme d’ACO est 

une méthode heuristique visant à résoudre les problèmes d’optimisation combinatoire par 

des stratégies de coopération et de communication entre les fourmis. Cependant dans le cas 

où le coût d’un itinéraire n’est pas indépendant de la demande, la méthode traditionnelle de 

ACO ne permet pas de trouver la meilleure solution car l’intensification excessive de 

phéromones sur des itinéraires les rend plus coûteux en raison de l’effet de la congestion. 

Pour cela, nous proposons un nouvel ACO en nous appuyant sur la méthode de pénalité 

permettant de guider les fourmis (usagers) vers les chemins moins coûteux en cas de 

congestion. Pour justifier la méthode proposée, nous présentons la solution obtenue avec la 

méthode classique. 

Dans la section suivante, nous présentons le modèle d’activités et ses hypothèses 

économiques. Ensuite, la méthode multi-agents basé sur ACO sera proposée. Puis, la 

méthode de plans sécants sera utilisée pour résoudre le problème d’optimisation convexe. 

-34-

Enfin, les études numériques dans un réseau simple avec deux origines et deux destinations 

seront abordées. 

2. Modèle d’affectation statique basée sur les activités 

Dans cette section, nous allons présenter le modèle d’Accessibilité aux Activités Vacantes, 

proposé par Leurent (Leurent, 1999a). Ce modèle est un modèle économique qui traite le 

choix de destination d’activités. Ce modèle présente les activités dans les zones desservies 

ainsi que leur valeur économique pour les consommateurs dans les zones d’origines. Un 

consommateur ne choisit qu’une activité dont leur valeur économique retenue est la 

meilleure. Cette valeur nette représente en effet le surplus des consommateurs. Ainsi, ce 

modèle rend compte du choix de destination des activités individuelles de manière explicite 

et s’appuie sur le principe de rationalité du comportement des usagers. 

2.1. Modèle d’Accessibilité aux Activités Vacantes 

Les hypothèses économiques du modèle d’AVA reposent sur trois volets principaux : 

(1) La demande d’activités : chaque consommateur potentiel, se situant dans les zones 

d’origines o ∈ O , est supposé rationnel choisissant une activité disponible (vacante) dans 

les zones desservies. Les consommateurs choisissent la destination d’activités qui rend 

maximale la valeur nette d’activités, i.e. la valeur brute d’activités moins le coût de 

déplacement. 

(2) L’offre d’activités : les activités économiques e.g. des emplois, sont localisées dans des 

zones d ∈ D . Les activités sont dénombrables et ont une valeur économique, identique 

pour tous les consommateurs. La valeur d’activités est décrite par une fonction de 

répartition continue et différentiable. Une activité est consommée par un seul client. Le 

nombre d’activités aux destinations est limité et supposé fixé. 

(3) Le marché : le marché représente la rencontre de la demande et de l’offre d’activités. Le 

volume total d’activités est supposé suffisamment important et supérieur à la demande 

totale d’activités permettant aux consommateurs de trouver aisément les activités. Dans 

le cas statique, la demande d’activités est supposée constante. 

Comme nous avons expliqué, le modèle d’AVA décrit le choix de destination de 

consommateurs individuels. Soit une zone de destination d ∈ D dont la quantité d’activités 

disponibles est dénombrable et fixé, notée Ad . Le nombre d’activités desservies d est 

inférieur à l’offre d’activités, i.e. 

T 

0 ≤ Td ≤ Ad 

. Chaque activité k possède une valeur 

économique vk 

qui est décrite par une fonction de répartition cumulée : 

v 

∫ 

−∞ 

H ( v) 

= P[ 

v ≤ v] 

= h ( x) 

dx 

(2.1) 

d 

k 

d 

où (x) 

est la distribution de probabilité des valeurs d’activités en d. 

h d 

-35-

Alors, le nombre d’activités dont les valeurs dépassent v est Ad ( 1− 

H d ( v)) 

(voir la Fig. 2-1). 

De côté demande, pour un consommateur venant de l’origine o, qui consomme l’activité k en 

d, la valeur retenue de celle-ci est: 

vk od k 

− G = u (o) 

(2.2) 

où vk désigne la valeur brute d’activités k. God 

est le coût de déplacement 

d’origine-destination od. 

Fig. 2-1 La fonction de répartition cumulée de valeur d’activités v 

L’état du marché local des activités se caractérise par T A 1− 

H ( v~ 

)) 

d = d ( d d où d 

v ~ est la 

valeur d’activités la plus faible consommée. Si la fonction inverse de H existe, nous 

pouvons écrire ~ −1 

Td 

vd = H d ( 1− 

) . Les deux variables Td et d 

Ad 

v~ permettent de calculer le 

surplus brut normalisé de consommateurs : 

d 

x 

∫ 

−1 

S ( x) 

= H ( 1− 

α) 

dα 

(2.3) 

0 

d 

Td 

où α = représente la fraction d’activités sélectionnées. 

Ad 

Le surplus brut total pour le nombre d’activités desservies Td 

est donc : 

∞ 

0 

−1 

Td 

GS d = Ad 

∫ vdH d ( v) 

= − Ad 

∫T 

H ( 1− 

α) 

α = ( ) 

d d d Ad 

S d 

(2.4) 

~ 

A 

vd 

Ad 

L’interprétation graphique du GS est illustrée dans la figure 2-2. La zone grise représente 

en fonction du nombre d’activités desservies T . 

GSd d 

d 

-36- 

d 

d

Fig. 2-2 La représentation du surplus brut total d’activités GS 

En introduisant le coût de déplacement d’origine-destination od God 

, le surplus net 

d’activités peut être calculé par : 

NS 

d 

= GS 

d 

−T 

G 

d 

od 

= A 

∞ 

d ∫ 

v~ 

d 

( v − G ) dH ( v) 

(2.5) 

od 

où le coût de déplacement God 

est supposé fixé, indépendant de la demande od. 

d 

Le choix d’activités par les consommateurs s’appuie sur le concept de rationalité, i.e. 

chaque consommateur choisit une activité accessible de valeur maximale. De manière plus 

précise, le problème d’équilibre de Nash par la transformation dite Beckmann s’écrit par 

(Leurent, 1999b) : 

Max 

s.c. 

Tod 

∑ 

o, 

d 

[ A S 

d 

d 

T 

( 

A 

d 

d 

) − G 

od 

T 

od 

] 

(P) ( ξ ) ∑T = X , ∀o 

(demande) (2.6) 

o 

d 

od 

o 

( α ) ∑T ≤ A , ∀d 

(offre ≥ demande) 

d 

o 

od 

( ϖ od ) Tod 

≥ 0 

d 

−1 

avec ∑ Tod = Td 

et Sd 

( x) 

= ∫ H d ( 1− 

α) 

dα 

. 

o 

x 

0 

Les conditions d’optimalité de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) pour (P) s’écrivent par : 

-37- 

d

−1 

Td 

H d ( 1− 

) − God 

= ξo 

+ α d − ϖ od , 

A 

d 

∀o 

α ( − ∑ T ) = 0, 

α ≥ 0, 

∀d 

(2.7) 

d Ad od 

d 

o 

d ≥ ∑ Tod 

o 

∀d 

A , 

ϖ ≥ 0 , ≥ 0, 

ϖ T = 0, 

∀o, 

od 

Tod od od 

L’interprétation des conditions de KKT ci-dessus pour ξ o , le multiplicateur associé à la 

contrainte de demande, montre que pour une zone d chargée et non saturée, la valeur nette de 

la meilleure activité vacante est égale à o ξ , i.e. −1 

Td 

H d ( 1− 

) − God 

= ξo 

. 

A 

−1 

1 

La fonction H est une fonction croissante, donc la fonction x → H d ( 1− 

x) 

est une 

− 

d 

fonction décroissante. Et la fonction S d est strictement convexe. Donc, il existe une 

solution du problème (P) unique. 

Remarquons que, dans le modèle d’AVA, la demande élastique ainsi que le problème de 

choix d’itinéraires des usagers sont analysés. Dans la section suivante, nous allons étendre le 

modèle d’AVA par la prise en compte du coût de déplacement. Le temps de parcours est 

estimé en fonction du débit sur l’arc sous contrainte de capacité. De plus, nous proposons 

des méthodes de résolutions ainsi que l’étude numérique dans un réseau avec des origines et 

destinations multiples. 

∀d 

2.2 Formation mathématique du modèle d’activités 

Notation des variables 

G(V, E) graphe orienté dans lequel V et E désigne l'ensemble de noeuds et d’arcs, 

respectivement. 

O ensemble des origines 

D ensemble des destinations 

K ensemble des paires OD k 

o (k) 

origine d’une paire OD k 

d (k) 

destination d’une paire OD k 

M (i) 

ensemble des arcs dont le noeud amont est i 

N (i) 

ensemble des arcs dont le noeud aval est i 

I (e) 

extrémité initiale de l’arc e 

T (e) 

extrémité terminale de l’arc e 

C capacité maximale d'un arc e (données) 

e 

-38- 

d

P ensemble des chemins reliant la paire OD k 

k 

x flot total sur l’arc e 

e 

f x , C ) fonction débit-temps de parcours de l’arc e (données) 

e ( e e 

x nombre d’usagers présentés sur l’arc e appartenant à la paire OD k (inconnu) 

ek 

d demande de déplacements à origine o (données) 

o 

d demande de déplacements de la paire OD k (inconnu) 

k 

N nombre total d’activités dans la destination d. 

d 

v valeur brute d’activités 

Ω ensemble des usagers qui partent de l’origine o 

o 

Distribution de la valeur brute d’activités 

Considérons un réseau routier représenté par un graphe orienté G(V, E). La demande 

d’activités totale dans les origines est supposée constante, noté d . Le nombre disponible 

o 

d’activités dans la destination d est supposé fixé, notée N d . Basé sur le modèle AVA, nous 

supposons que les activités sont distribuées dans les destinations et que chaque activité est 

associée à une valeur économique unique et invariante pour tous les consommateurs. 

Supposons que la répartition de la valeur brute d’activités en d est définie par la loi 

exponentielle : 

h v) 

= λ exp( −λ 

( v − m )) 

(2.8) 

d ( d 

d d 

où v ≥ m et λ ≥ 0. 

d 

d 

La fonction de répartition cumulée s’écrit : 

⎧1− exp( −λ 

d ( v − md 

)) , si v ≥ md 

H d ( v) 

= ⎨ 

(2.9) 

⎩ 0 sinon 

La fonction de surplus brut des activités servies dans la destination d s’écrit par : 

G 

d 

−1 

1− 

lnGd 

Sd 

( Gd 

) = ∫ H d ( 1− 

α) 

dα 

= Gd 

( + md 

) 

λ 

0 

où Gd 

est la proportion des activités servies dans la destination d, précisément, 

d 

G = 

d 

(2.10) 

avec U le nombre d’activités servies dans la destination d. La valeur brute totale des 

d 

activités servies dans la destination d est calculée par N S G ) . 

-39- 

d 

d ( d 

U 

N 

d 

d

L’équilibre du marché des activités 

L’équilibre du marché des activités est la solution du problème d’optimisation suivante 

(transformation de Beckmann) : 

d 

d 

e 

od 

o 

Min ∑∫ fe 

( s, 

Ce 

) ds − ∑ Nd 

Sd 

( ) 

(2.11) 

N 

Sous la contrainte de (s.c.) : 

e 

∑ 

0 d 

d 

d k + ∑ xek 

− ∑ xek 

= 0 , ∀ k ∈ K 

(2.12) 

d 

k 

+ 

e∈M 

( o( 

k )) e∈N 

( o( 

k )) 

∑ xek 

− ∑ 

x 

ek 

e∈N( d ( k )) e∈M( 

d ( k) 

) 

∑ ek ∑ 

= 0 , 

∀ k ∈ K 

(2.13) 

x − x = 0 , ∀ i ∉O, 

∀i 

∉ D, 

∀k 

∈ K 

(2.14) 

ek 

e∈M( i) 

e∈N( 

i) 

∑ d od = d o , ∀ o ∈O 

(2.15) 

d 

∑ od ≤ d , N d ∀ d ∈ D 

(2.16) 

o 

∑ 

k 

, (2.17) 

C x ≤ ∀e∈ 

E 

ek 

e 

x ≥ 0 , ∀ e ∈ E, 

∀k 

∈ K 

(2.18) 

ek 

Les équations (2.12), (2.13) et (2.14) décrivent la conservation des véhicules dans les noeuds. 

Les équations (2.15) et (2.16) représentent la contrainte de la demande et de l’offre 

d’activités, respectivement. L’équation (2.17) représente la contrainte de capacité des arcs. 

La fonction objectif (2.11) représente l’opposé de la somme des surplus nets des 

consommateurs. Quant à la fonction débit-temps de parcours f e ( xek 

, Ce 

) , elle est définie de 

manière simplifiée par : 

b 

f e ( xek 

, Ce 

) = a + ∑ xek 

(2.19) 

C 

où a et b sont les coefficients avec a ≥ 0 , b > 0. 

e 

k 

Les contraintes (2.12) et (2.13) peuvent se combiner en une équation : 

∑ ek − ∑ xek 

= ∑ 

∑ 

x x − x , ∀ k ∈ K 

(2.20) 

ek 

ek 

e∈M( o( 

k )) e∈N 

( o( 

k )) e∈N( 

d ( k)) 

e∈M 

( d ( k )) 

En remplaçant la variable inconnue d od dans l’équation (2.15) et (2.16) par (2.12) et (2.13). 

Nous obtenons les contraintes suivantes : 

∑ ∑ xek 

− ∑ ∑ 

ek 

k| 

o( 

k ) = o e∈M 

( o) 

k| o( 

k ) = o e∈N( 

o) 

x 

= d 

o 

, 

∀ o ∈O 

(2.21) 

-40-

∑ ∑ xek 

− ∑ ∑ 

ek 

k| d ( k ) = d e∈N 

( d ) k| 

d ( k ) = d e∈M( 

d ) 

x 

≤ N 

d 

, 

∀ d ∈ D 

(2.22) 

Nous reformulons la fonction objective (2.11) en introduisant les équations (2.10) et 

(2.19) et obtenons le problème d’optimisation suivant : 

s.c. 

où 

b 

2 

1 − ln Gd 

Min ( a xek 

+ ( ∑ xek 

) ) − ∑ N dGd 

( + md 

) 

2C 

λ 

∑ ∑ (2.23) 

e k e 

∑ 

∑ 

k 

∑ 

d 

∑ 

k 

( σ ) x − x + x − x = 0 , ∀ k ∈ K 

(2.24) 

ek 

ek 

ek 

ek 

e∈M( o( 

k )) e∈N 

( o( 

k )) e∈M 

( d ( k )) e∈N( 

d ( k) 

) 

k 

( ς ) x − x = 0, 

∀ i ∉O, 

∀i 

∉ D, 

∀k 

∈ K 

(2.25) 

i 

∑ ∑ 

ek 

ek 

e∈M( i) 

e∈N( 

i) 

δo ∑ ∑ ek ∑ ∑ ek 

k| 

o( 

k ) = o e∈M 

( o) 

k| o( 

k ) = o e∈N( 

o) 

( ) x − x = d , 

ν d ∑ ∑ ek ∑ ∑ ek 

k| d ( k ) = d e∈N 

( d ) k| 

d ( k ) = d e∈M( 

d ) 

( ) x − x ≤ N , 

∑ 

o 

d 

d 

∀ o ∈O 

(2.26) 

∀ d ∈ D 

(2.27) 

( ) , (2.28) 

C x ≤ ∀e∈ 

E 

κ e 

ek e 

k 

k 

( ξ ) x ≥ 0 , ∀ e ∈ E, 

∀k 

∈ K 

(2.29) 

G 

d 

e 

= 

ek 

∑ ∑ 

ek 

k| d ( k ) = d e∈N( 

d) 

N 

d 

x 

désigne la proportion des activités servies dans la destination d. 

k 

Avec l’introduction des variables duales, σ 

d’optimalité de KKT est décrite ci-dessous : 

, 

k 

i , 

où 

ς o δ , d ν , e 

k κ , ξ , la condition 

b lnGd 

k ' k k 

k 

a + ∑xek 

−( 

−md 

) Iek 

+ σ Iek 

+ ςI( 

e) 

∉O 

−ςT 

( e) 

∉D 

+ δI( 

e) 

∈O 

−δT 

( e) 

∈O 

+ νT( 

e) 

∈D 

−νI 

( e) 

∈D 

+ κe 

−ξe 

= 0 (2.30) 

C λ 

v 

d 

( 

e 

k 

d 

∑ ∑ xek 

− ∑ ∑ 

ek 

k| d ( k ) = d e∈N 

( d ) k| 

d ( k ) = d e∈M( 

d ) 

κ e ∑ 

k 

ek e 

( x − C ) = 0 

k 

ξe ek x 

= 0 

x 

− N 

d 

) = 0 

e 

(2.31) 

(2.32) 

(2.33) 

ν ≥ 0 

(2.34) 

d 

κ e ≥ 0 

(2.35) 

ξ ≥ 0 

k 

e (2.36) 

-41-

I ek 

' 

Iek ⎧1 si e ∈ N( 

d( 

k)) 

= ⎨ 

⎩0 

sinon 

⎧ 1 

= ⎨ 

⎩−1 

si e ∈ M ( o( 

k)) 

∪ M ( d( 

k)) 

si e ∈ N( 

o( 

k)) 

∪ N( 

d( 

k)) 

(2.37) 

(2.38) 

Les conditions de KKT ne permettent pas de déduire la solution analytique. Ainsi, la 

transformation du problème primaire en problème dual ne permet pas de simplifier la 

résolution de notre problème. Notons que la fonction objectif et les contraintes sont 

convexes, nous pouvons le résoudre par des méthodes classiques (e.g. méthode de plans 

sécants). Comme nous avons mentionné précédemment, nous nous intéressons à des 

méthodes du type systèmes multi-agent (SMA) pour les appliquer dans des cas plus 

complexes. Donc, nous allons proposer une approche heuristique basée sur l’ACO. 

3. Méthodes de résolution 

Dans cette section, nous allons d’abord présenter la méthode des plans sécants visant à 

résoudre le problème d’optimisation convexe. Cette méthode sert à fournir une résolution 

approchée permettant de la comparer avec une résolution issue d’une autre méthode. Une 

autre méthode de résolution est issue d’une heuristique basée sur l’algorithme de colonie de 

fourmis. Nous allons aborder cet algorithme de base et des variantes issues de même familles. 

Par la suite, nous allons proposer un algorithme basé sur l’ACO pour résoudre le problème 

d’affectation statique basée sur les activités. Une étude numérique sera abordée pour tester 

cet nouvel algorithme. 

3.1. Méthode des plans sécants 

Dans un premier temps, nous nous rappelons l’approche de plans sécants (Kelley, 1960 ; 

Avriel, 1976) qui est une méthode efficace pour résoudre le problème d’optimisation 

convexe. De nombreuses recherches sont consacrées à cette méthode pour résoudre le 

problème d’optimisation non linéaire (Atkinson et Vaidya 1995 ; Mitchell et Ramaswamy 

2001). 

Considérons le problème d’optimisation : 

Min f ( x) 

n 

x∈R 

s.c. (2.39) 

gi ( x) 

≤ 0 i=1,...l 

hj ( x) 

= 0 j=1,...m 

n 

où f : R → R, 

n 

g i : R → R, 

∀i, 

et 

n 

h j : R → R, 

∀j 

sont des fonctions continûment 

différentiables. La fonction objective f(x) est convexe et différentiable. Si les contraintes sont 

-42-

linéairement indépendantes, nous définissons un ensemble admissible D qui satisfait toutes 

les contraintes : 

D i 

j 

n 

= { x : x ∈ R , g ( x) 

≤ 0, 

h ( x) 

= 0, 

i = 1,... 

l, 

j = 1,... 

m} 

(2.40) 

Ce problème d’optimisation convexe peut être transformé par un problème d’optimisation à 

contraintes convexes et un critère linéaire t : 

Min 

t∈R 

t 

s.c. (2.41) 

f ( x) 

− t ≤ 0 

x ∈ D 

Cette transformation permet d’appliquer l’algorithme de plans sécants à une suite de 

problèmes de programmation linéaire. 

Algorithme de plans sécants 

Etape 1 : 

Soit x ∈ D , trouvez la solution du problème d’optimisation suivante : 

0 

Min 

x, t 

t 

s.c. (2.42) 

0 

0 T 0 

f ( x ) + ∇f 

( x ) ( x − x ) − t ≤ 0 

La condition d’arrêt s’écrit par : 

G ( ε) = {( x, 

t) 

: x ∈ D, 

f ( x) 

− t ≤ ε} 

(2.43) 

1 1 

où ε est un nombre positif suffisamment petit. Si la solution à l’itération initiale, ( x , t ) , 

satisfait l’équation (2.43), arrêtez, l’optimum du problème est trouvé ; sinon allez à l’étape 

2. 

Etape 2 : 

k k k 

k k 

Soit ( x , t ) : t ∈ D, 

( x , t ) ∉G( 

ε) 

est la solution de l’itération k. Trouvez la solution 

à l’itération (k+1) par la résolution du problème d’optimisation suivante : 

Min 

x, t 

t 

h 

h T h 

s.c. f ( x ) + ∇f 

( x ) ( x − x ) − t ≤ 0 h=0,..,k (2.44) 

x ∈ D 

-43-

k + 1 k + 1 

k + 1 k + 1 

Si ( x , t ) ∈ G( 

ε), 

( x , t ) est la solution optimale, arrêtez, sinon répétez l’étape 2. 

L’idée principale de l’algorithme consiste à affiner l’approximation de la fonction f par des 

coupes extérieures successives. Les solutions obtenues sont de plus en plus précises suivant 

l’augmentation des itérations effectuées. 

3.2 Méthode de colonies de fourmis 

L’algorithme de colonies de fourmis est une métaheuristique pour résoudre les problèmes 

d’optimisation difficiles ou combinatoires. Cet algorithme est inspiré du comportement des 

fourmis qui emploient des substances, appelées phéromones, pour marquer leur parcours 

jusqu’à la source de nourriture. Lorsque les fourmis explorent le réseau, si une fourmi trouve 

un bon itinéraire, elle le renforce par un dépôt de phéromones. Par ce mécanisme de 

stigmergie, les fourmis sont capables de faire émerger les plus courts chemins entre la 

fourmillière et les sources de nourriture. Cet algorithme proposé premièrement par Dorigo et 

ses collaborateurs (Dorigo et al, 1991) a eu du succès et a donné lieu à de nombreuses 

recherches (Dorigo et al. 1999). Les applications de cette approche aux problèmes 

d’optimisation discrète sont nombreuses, e.g. le problème du voyageur de commerce 

(Dorigo et al, 1991), l’affectation quadratique (Maniezzo et al., 1994), l’ordonnancement 

séquentiel (Gambardella et Dorigo, 1997), le routage de véhicule (Bullnheimer et al.,1997a), 

le routage dans le réseau de télécommunication (Schoonderwoerd et al. 1997), le coloriage 

de graphes (Costa et Hertz, 1997). 

L’approche d’ACO représente un problème d’optimisation dans un graphe dont les 

noeuds et les arcs représentent les variables de décision du problème d’optimisation. Les 

fourmis construisent des solutions pas à pas en se déplaçant dans le graphe selon une règle 

stochastique de décision qui dépend, d’une part, des informations collectives issues de la 

modification de l’environnement, d’autre part, d’une valeur heuristique concernant la qualité 

des arcs sortants à choisir. Dans le processus de construction du graphe, chaque fourmi fait 

son choix du prochain arc/noeud sortant selon des informations stockées dans le graphe, soit 

la quantité de phéromones, soit la valeur heuristique indiquant le coût de déplacement local. 

L’importance relative de ces deux informations dépend des paramètres de contrôle dans la 

règle de transition. Dès qu’un trajet est accompli, l’information concernant la qualité de cet 

itinéraire sera modifiée. Alors que de nombreux algorithmes basés sur l’ACO sont proposés, 

leurs schémas sont semblables et composés de trois étapes séquentielles : 1. initialisation 

d’une quantité de phéromones, 2. construction d’une solution par la règle de transition 

stochastique, 3. mise à jour de la quantité de phéromones. Nous allons analyser ces étapes 

dans la section suivante. 

Etape 1 : Initialisation d’une quantité de phéromones 

La quantité de phéromones dans les composants du graphe représente leur attractivité pour 

guider les fourmis à trouver de meilleures solutions dans l’espace de recherche. La plupart 

des algorithmes d’ACO initialisent les composants du graphe avec une quantité uniforme 

positive et petite, i.e. entre 0 et 1. Cependant, on peut utiliser une solution faisable fournie 

par un autre algorithme concourrant pour favoriser certains trajets à parcourir au début de 

l’itération. Walkowiak (Walkowiak, 2005) a proposé un algorithme de colonies de fourmis 

visant à résoudre le problème d’affectation du flux sous les contraintes des capacités du 

tronçon. Dans l’algorithme proposé par Walkowiak, les quantités de phéromones sur tous les 

-44-

arcs sont initiés par 1. Ensuite, il utilise les formules de mise à jour de traces de phéromones 

selon une solution faisable fournie par un autre algorithme. En effet, la quantité initiale de 

phéromones ne joue pas un rôle important sur la solution optimale du problème. Ainsi, peu 

de travaux de recherche ont été consacrés spécifiquement à ce sujet. 

Etape 2 : Construction de la solution par une règle de transition 

L’algorithme basé sur l’ACO utilise des informations de pistes de phéromones pour trouver 

la solution optimale de manière progressive. Ce mécanisme vient, d’une part, des 

informations locales qui offrent des informations actuelles sur l’environnement, d’autre part, 

des informations globales basées sur la mise à jour des traces de phéromones pour favoriser 

certaines pistes. Le processus de construction de solution, dit construction du graphe, 

consiste à parcourir le graphe (les arcs ou les noeuds) pas à pas par une règle de transition 

stochastique. La probabilité de choix sur l’arc/noeud sortant dépend de la quantité de 

phéromones et d’informations locales sur l’arc/noeud sortant. A chaque étape de la 

construction du graphe, les contraintes du problème doivent être satisfaites. Les règles de 

transition doivent être adaptées à chaque problème d’application. D’autres problématiques 

critiques concernent la configuration des paramètres utilisés, celle-ci exige beaucoup de 

temps pour tester différentes configurations et atteindre la bonne configuration des 

paramètres. En ce qui concerne la formulation de la règle de transition, des variantes ont été 

proposées dont l’algorithme de système de fourmis (Ant System, AS, Dorigo et al. 1996) et 

l’algorithme de système de colonies de fourmis (Ant Colony System, ACS, Dorigo et 

Gambardella, 1997) sont les plus répandus. Nous décrivons ces deux algorithmes en détail et 

analysons des variantes issues de ces deux algorithmes. 

Algorithme d’AS (Ant System, AS, Dorigo et al. 1996) 

L’algorithme du système de fourmis est la première version de l’algorithme d’ACO. Comme 

nous l’avons indiqué précédemment, l’algorithme d’AS utilise une règle de transition pour 

construire la solution admissible. La règle de transition consiste à orienter la direction de 

recherche de chaque fourmi vers la meilleure solution. Pour la fourmi m localisée au noeud r, 

la probabilité de choix de l’arc sortant (r, s) à l’itération t est définie par : 

p 

m 

rs 

( t) 

⎧ 

⎪ 

= ⎨ ∑m u∈J 

r 

⎪ 

⎩ 

α 

[ τrs 

( t)] 

[ ηrs 

] 

α 

[ τ ( t)] 

[ η 

ru 

0 

β 

ru 

] 

β 

si s ∈ J 

sinon 

où 

α, β : paramètres de contrôle 

τ ( t) 

: quantité de phéromones sur l’arc (r, s) à l’itération t 

rs 

m 

r 

(2.45) 

η : valeur heuristique, dite visibilité, définie par l’inverse de la longueur de l’arc (r, s) ou 

rs 

l’inverse du coût sur l’arc (r, s) 

J : ensemble de noeuds admissibles pour la fourmi m située au sommet r. 

m 

r 

Cette règle de transition donne la probabilité de choix du prochain noeud à visiter selon 

la quantité de phéromones et la valeur heuristique locale. Les paramètres α et β 

contrôlent l’importance relative de ces deux composants. Si α = 0 les fourmis choisissent 

le noeud ayant la valeur heuristique meilleure. En revanche, si β =0, le choix de probabilité 

ne dépend que la quantité de phéromones. La piste de phéromones est renforcée 

-45-

immédiatement dès qu’une fourmi complète un chemin. La quantité de phéromones ajoutée 

dépend de la qualité du chemin traversé. 

Algorithme d’ACS (Ant Colony System, ACS, Dorigo et Gambardella, 1997) 

L’algorithme d’ACS introduit principalement une stratégie d’équilibre entre l’exploration et 

l’exploitation. L’ACS définit une constante q 0 ∈[ 

0, 

1] 

qui sert comme un critère favorisant 

le choix d’arcs ou de noeuds prochains sortant par l’exploitation ou l’exploration. La règle 

de transition est modifiée par : 

β 

{ [τ ( t)][η 

] } 

⎪⎧ 

arg 

max ru ru si q ≤ q0 

(exploitation) 

m s = u∈ 

J ⎨ 

r 

(2.46) 

⎪⎩ S si q > q0 

(exploration) 

où S est le noeud choisi selon l’équation (2.45). q ∈[ 

0, 

1] 

est une variable aléatoire. 

Cette règle de transition permet d’ajuster l’exploration (si q>q0) et l’intensification (si 

q ≤ q0). 

Etape 3 : Mise à jour des pistes de phéromones 

La mise à jour des pistes de phéromones se compose de deux niveaux : la mise à jour locale 

et la mise à jour globale. La première consiste à déposer immédiatement des phéromones en 

fonction de la qualité de solution trouvée. La mise à jour globale utilise un coefficient du 

taux d’évaporation ρ ∈[ 

0, 

1] 

pour réduire la densité des phéromones sur tous les chemins 

trouvés. Ce mécanisme vise à favoriser l’exploration et à éviter la stagnation de solutions 

dans un optimum local. La mise à jour des pistes de phéromones est écrite par : 

τ 

rs 

( t + 1) 

= ( 1− 

ρ) 

τ 

rs 

( t) 

+ ρ 

M 

∑ 

m= 

1 

Δτ 

m 

rs 

( t) 

où 

τ rs (t) 

: quantité de phéromones sur l’arc (r, s) à l’itération t 

m 

Δ τrs(t) 

: quantité de phéromones ajoutées sur l’arc (r, s) par la fourmi m à l’itération t 

ρ : un coefficient représentant le taux d’évaporation de phéromones 

M : nombre total de fourmis 

(2.47) 

La règle de mise à jour dépend de problème d’application, e.g. la méthode ASrank, 

(Bullnheimer et al., 1997b) renforce les chemins en tenant compte du rang des meilleures 

fourmis. Max-Min AS (Stutzle et Hoos 1997) limite la quantité de phéromones dans 

l’intervalle de et τ pour éviter la stagnation de l’AS. 

τmin max 

Les travaux théoriques sur la méthode ACO s’intéressent aux problématiques liées, 

d’une part, à la convergence de l’algorithme, d’autre part, à la règle de transition permettant 

d’avoir une solution plus stable pour le problème général d’optimisation combinatoire, car la 

quantité de phéromones joue un rôle essentiel sur la performance de ACO. Comme le 

concepteur de l’algorithme ACO et son collaborateur l’ont mentionné, « la réalisation du 

même algorithme ACO sur deux problèmes isomorphes (multiplier une fonction objective 

d’un problème par une constante), donne des résultats et des comportements différents ». 

-46-

Pour cela, la mise à jour globale suivante basée sur la méthode de l’Entropie relative est 

proposée (Dorigo et Blum, 2005) : 

τ 

rs 

m 

Δτrs 

m 

( t ) = ( 1− 

ρ) 

τrs 

( t −1) 

+ ρ 

, si ( r, 

s) 

∈ p ( t) 

(2.48) 

m' 

Δτ 

m 

∑upd ∈M 

∑ 

m′ 

∈M 

upd 

upd 

où M est l’ensemble des solutions admissibles générées à itération t. ρ est le taux 

d’évaporation. p (t) 

est le chemin emprunté par la fourmi m à l’itération t. 

m 

Cette formule consiste à normaliser la quantité ajoutée de phéromones pour éviter l’influence 

de l’ordre de la fonction objectif. Nous détaillons le lien avec la méthode d’Entropie Relative 

dans la section 3.2.1. 

3.3 Algorithme proposé basé sur l’approche d’ACO 

Dans cette section, nous proposons une heuristique basée sur l’ACO visant à résoudre le 

problème d’affectation statique. Les caractéristiques de cette nouvelle approche sont les 

suivantes : 1. pour traiter le problème du choix de destinations, nous ajoutons des 

composants artificiels au graphe qui connectent toutes les destinations potentielles au reste 

du graphe. La capacité des arcs artificiels désigne le nombre total d’activités situées dans la 

destination connectée. 2. Comme la capacité des arcs est limitée, nous utilisons une fonction 

de pénalité pour décourager les fourmis d’entrer dans des arcs coûteux surchargés. 3. pour 

éliminer le problème de l’ordre du coût des arcs et de la quantité de phéromones, nous 

normalisons la quantité de phéromones et la visibilité dans la règle de transition. 4. la mise à 

jour des phéromones s’effectue en deux niveaux : mise à jour locale et mise à jour globale. 

La mise à jour locale est activée dès l’arrivée à la destination artificielle. La mise à jour 

globale est effectuée dès que toutes les fourmis sont arrivées au noeud artificiel. La règle de 

mise à jour globale est une adaptation basée sur la méthode d’entropie relative (Rubinstein, 

1999, 2001 ; Zlochin et al. 2004). Nous précisons cet algorithme dans la section suivante. 

Algorithme basé sur l’ACO 

Etape 1 : Initialisation 

Pour guider les fourmis issues de différentes origines, nous distinguons les phéromones en 

différents types o ∈O 

. Initialiser la quantité de phéromones du type o par 2c sur les arcs des 

plus courts chemins, pour les autres par c, i.e : 

τ 

o 

rs 

( 0) 

rs 

⎧2c 

si ( r, 

s) 

∈ pˆ 

k| 

o( 

k) 

= o 

= ⎨ 

, ∀ o ∈ O, 

∀k 

∈ K 

(2.49) 

⎩ c sinon 

où p ˆ k| 

o( 

k ) = o désigne les plus courts chemins reliant la paire OD k. Le coefficient c est un réel 

positif petit. 

-47-

Etape 2 : Construction du graphe 

Pour une fourmis située dans le noeud r, la probabilité de choix sur l’arc sortant e(r, s) est 


où 

P 

m 

rs 

~ o α ⎧ [ τ 

~ 

rs ( t)] 

[ ηrs 

] 

⎪ 

[ ~ o α 

( )] [ 

~ 

( t) 

= ⎨ ∑ τru 

t η 

m 

u∈J 

r ( t) 

⎪ 

⎩ 0 

β 

ru 

] 

β 

si s ∈ J 

m 

r 

sinon 

( t) 

, m ∈ Ωo 

∀ , ∀ o ∈O 

(2.50) 

α, β : coefficients constants contrôlant l’importance relative de la quantité des phéromones 

normalisées et la valeur heuristique normalisée sur l’arc (r, s). 

J (t) 

m 

r : ensemble des noeuds sortant et non visités par la fourmi m située dans le noeud r à 

l’itération t. 

~ o 

τ ( t) 

: quantité normalisée de phéromones du type o sur l’arc (r, s) à l’itération t, définie par 

rs 

~ o 

τ ( t ) = 

rs 

τ 

o 

rs 

o 

∑τ 

ru 

m 

u∈J 

r ( t) 

( t) 

( t) 

η rs 

~ : valeur heuristique normalisée sur l’arc e=(r, s), définie par 

où ηrs 

est l’inverse du coût de déplacement sur l’arc (r, s), définie par 

η 

~ 

rs 

= 

ηrs 

η 

∑ 

ru 

m 

u∈J 

r ( t) 

1 

η rs = 

, 

m 

f ( x ( t), 

C ) 

m 

f e ( xe 

( t), 

Ce 

) est la fonction du temps de parcours sur l’arc e(r, s), x (t) 

nombre de 

fourmis dans l’arc e au moment où s’effectue le choix de la fourmi m. 

m 

e 

Pour traiter la contrainte de capacité du tronçon, nous adoptons le concept de pénalité. 

Au lieu d’ajouter cette pénalité dans la fonction objective, nous l’introduisons dans la 

fonction du temps de parcours des arcs pour défavoriser l’utilisation de tronçons saturés, i.e. 

où 

x 

m 

e 

m 

b m 

f e ( xe 

( t), 

Ce 

) = a + xe 

( t) 

+ Γ 

(2.51) 

e 

C 

m 

∑ 

i= 

1 

e 

i 

( t) 

= δ ( t) 

: flux sur l’arc e lorsque la m ième i 

fourmi est lancée, où δ (t) 

est défini par : 

e 

i ⎧1 

si e est pris par la fourmi i à l'iteration 

t 

δ e ( t) 

= ⎨ 

⎩0 

sinon 

Γ : la fonction de pénalité lorsque le débit s’approche de la capacité de l’arc e. 

e 

⎧ 1 1 

m 

⎪ψ[ 

− ] si Ce( 

1− 

μ) 

≤ xe 

( t) 

≤ C 

m 

e 

Γ e = ⎨ Ce 

− xe 

( t) 

μC 

(2.52) 

e 

⎪ 0 

sinon 

⎩ 

μ : coefficient qui contrôle l’activation de la fonction de pénalité. 

ψ : coefficient défini par Ψ = Ce bζ 

qui généralise la valeur de pénalité. ζ est un 

paramètre adimensionnel manipulant la valeur de la pénalité. 

-48- 

e 

e 

e 

e

Etape 3 : mise à jour de phéromones 

La mise à jour de l’intensité de phéromones est séparée en deux niveaux : mise à jour locale 

et mise à jour globale. La première est activée dès qu’un tour complet est effectué par une 

fourmi. Les fourmis déposent la quantité de phéromones de manière proportionnelle à la 

qualité du trajet, mesurée par l’inverse du coût net de déplacements, i.e. le coût de 

déplacement moins la valeur brute d’activités. La règle de mise à jour locale de phéromones 

est décrite par : 

où 

Δτ 

Δτ 

o 

rs 

mo 

rs 

∑ 

∀m∈Ω 

mo 

( t ) = Δτ 

( t), 

o 

rs 

∀o 

∈O 

⎧Q / Lm 

( t) 

si l'arc 

( r, 

s) 

∈ p 

( t) 

= ⎨ 

⎩ 0 sinon 

m: m ième fourmi lancée 

p (t) 

m 

: itinéraire emprunté par la m ième fourmi lancée à l’itération t. 

m 

( t) 

(2.53) 

(2.54) 

Q: paramètre constant qui est la même grandeur que le meilleur coût de trajet trouvé (Dréo et 

al. 2003). 

m m max 

Lm (t) 

: π( p ( t)) 

− vd 

( t) 

+ vd 

avec π( p ( t)) 

le coût du trajet à l’itération t, la 

valeur brute d’activités obtenue à la destination d par la fourmi m, la valeur brute 

d’activités maximale. 

m 

v (t) 

m 

d 

max 

vd 

La valeur v (t) 

est calculée par où 

désigne le nombre d’activités servies à la destination d après la servie de la fourmi m. 

m 

m m 

m 

m 

q ( ) ( ( ) / ) ( ( ) 1) 

(( ( ) 1) 

/ ) 

d 

d t Sd 

qd 

t Nd 

− qd 

t − Sd 

qd 

t − Nd 

q (t) 

m 

d 

La mise à jour globale est activée lorsque toutes les fourmis arrivent à leurs destinations. 

Dans cette étape, nous prenons en compte l’évaporation des pistes de phéromones pour 

éviter de tomber très vite dans des sous-optimums et de favoriser l’exploration dans de 

nouvelles régions. La quantité de phéromones du type o sur l’arc (r, s) est mise à jour à la fin 

de l’itération t par : 

τ 

o 

rs 

( t) 

= ( 1− 

ρ) 

τ 

o 

rs 

( t −1) 

+ ρω 

o 

Δτrs 

( t) 

, o 

Δτ 

( t) 

∑ 

∀( 

r, 

s) 

∈E 

rs 

∀o 

∈O 

(2.55) 

où 

ρ :le taux d’évaporation, ρ ∈( 

0, 

1) 

ω: le paramètre de contrôle agissant sur la quantité ajoutée des phéromones 

E : l’ensemble des arcs 

Cette formulation est une adaptation de l’équation (2.48) qui est basé sur le concept de 

normalisation issue de la méthode d’Entropie relative. 

-49-

Algorithme basé sur l’ACO 

Initialisation : initialiser la quantité de phéromones sur tous les arcs. Placer les fourmis sur 

leurs origines. 

Pour itération=1,... t 

max 

Pour fourmi=1,...,M 

Fin pour 

Fin pour 

1. Choisir une fourmi au hasard. 

2. Construire un chemin à partir de son origine au noeud artificiel selon la règle 

de transition (2.50) 

3. Mise à jour locale par (2.54) 

4. Mise à jour des flux sur les arcs et les activités disponibles sur les destinations 

1. Mise à jour globale de la quantité des phéromones par (2.55) 

2. Calculer la valeur de la fonction objective (2.23) 

4. Etude numérique 

Pour tester l’algorithme ACO, un réseau simple composé de deux origines et deux 

destinations est proposé. La configuration du réseau est illustrée dans la figure 2-3. La 

demande d’activités au noeud 1 et au noeud 2 est 270 et 200, respectivement. L’offre 

d’activités dans les noeuds 3 et 4 est 400 et 300, respectivement. Les paramètres a et b dans 

l’équation (2.49) est 0.1 et 2, respectivement. λ d et md 

dans l’équation (2.8) est 10 et 

20, .respectivement. 

Fig. 2-3 Représentation du réseau 

-50-

4.1 Résolution basée sur la méthode de plans sécants 

Nous utilisons la méthode de plans sécants pour résoudre le problème d’optimisation 

convexe. Le programme est écrit par le langage C++. Le résultat montre que la valeur 

objectif obtenue par cette méthode est 8946.66, soit une erreur d’estimation de 0.0380899 

(0.004257‰) par rapport au résultat obtenu par la solution de MatLab pour le même 

problème. Les valeurs de la fonction objectif obtenues par la méthode des plans sécants sont 

dessinées dans la figure 2-4. 

Inverse of objective value 

8960 

8940 

8920 

8900 

8880 

8860 

8840 

8820 

8800 

-f(x) 

8780 

0 2 4 

Iteration 

6 8 

Criteria value 

180 

160 

140 

120 

100 

80 

60 

40 

20 

f(x)-t 

0 

0 2 4 

Iteration 

6 8 

Figure 2-4 La valeur de l’opposé de la fonction objectif − f(x) 

(à gauche) et la valeur du 

critère f ( x) 

− t (à droite) 

Arc Flux obtenus par la méthode 

plans sécants 

Flux obtenus par MatLab 

1 70.0000 70.0000 

2 200.0000 200.0000 

3 0.0000 0.0000 

4 175.8130 176.3540 

5 94.1870 93.6459 

6 0.0000 0.7057 

7 0.0000 0.0000 

Tableau 2-1 Comparaison des flux sur les arcs obtenus par différentes méthodes 

4.2 Résolution basée sur la méthode de colonies de fourmis 

Nous testons le nouvel algorithme ACO sur le même exemple. Les paramètres à tester sont 

illustrés dans le tableau 2-2. La topologie du réseau est modifiée en ajoutant un noeud fictif 

et deux arcs liés aux destinations offrant des activités vacantes. Nous initialisons tous les 

paramètres en choisissant un candidat dans le tableau 2-2 et effectuons 40 itérations. Ensuite, 

nous testons l’influence des paramètres avec différentes valeurs. Les résultats sont présentés 

-51-

de la figure 2-6 à la figure 2-14. Après des tests sur différents paramètres, un ensemble des 

paramètres de base est choisi dans le tableau 2-2. Nous analysons ces études numériques 

ci-dessous : 

1. Dans la figure 2-6, le résultat obtenu montre que la quantité de phéromones est plus 

importante que la visibilité des arcs en question sur la performance de l’algorithme. 

Cependant, si α est trop élevé, la convergence de l’algorithme n’est pas évidente. 

2. Le tirage aléatoire n’influence pas le résultat de convergence (Fig. 2-7). 

3. La valeur Q influence la quantité ajoutée de phéromones à la fin de chaque tour construit 

m 

par une fourmi. Le temps de parcours est restreint dans0. 11 ≤ π( 

p ) ≤ ∞ pour tous les 

itinéraires avec les paramètres a=0.1 et b=2 dans la fonction de temps de parcours. 

Comme =10 et m =20, l’intervalle de la valeur brute d’activités est 

λ d 

d 

20. 1 ≤ vd 

≤ 20. 

6991. 

Le résultat montre que si la quantité de phéromones ajoutée est 

mois importante, la vitesse de convergence est plus lente (Fig. 2-8). 

4. Le taux d’évaporation ρ influence la vitesse de convergence, plus ρ approche 1, plus 

vite l’algorithme converge (Fig. 2-9). 

5. ω est un paramètre modifiant la quantité de phéromones à la fin de chaque itération. 

Dans la Fig. 2-10, ρ = 0. 

1 si ω = 10 , l’ordre de 

o 

Δτ 

rs ( t ) . Si ω = 1 , 

0 ≤ ρω 

∑ 

∀( r, 

s) 

∈E 

0 ≤ ρω 

o 

∑ Δτ 

rs 

∀( r, 

s) 

∈E 

≤ 1 

( t) 

o 

Δτ 

rs ( t) 

≤ 0. 

1, 

la valeur de la fonction objectif est plus variable (Fig. 2-10). 

o 

Δτ 

( t) 

rs 

6. L’influence de la fonction de pénalité est définie par deux paramètres :μ et ζ . On 

compare différentes valeurs de ζ en fixant μ à 0.1. Le résultat montre que la 

grandeur de la pénalité influence la meilleure solution trouvée (Fig. 2-11 et Fig. 2-12). 

7. Les figures 2-13 et 2-14 représentent l’évolution de la quantité des phéromones sur les 

arcs. Il est clair qu’après certaines itérations, certains chemins sont renforcés et 

l’évolution de la quantité des phéromones se stabilise. En revanche, la quantité des 

phéromones des chemins plus coûteux est diminuée vers 0 après certaines itérations. 

En conclusion, cette étude numérique montre que le rapport des paramètres pour la règle de 

transition, α / β , doit être dans l’intervalle [1, 2] qui fait converger la solution. De plus, le 

paramètre ω permet de manipuler la quantité ajoutée de phéromones sur les arcs dont la 

valeur dépend des problèmes à résoudre. 

-52-

Fig. 2-5 La représentation du réseau avec les noeuds et les arcs artificiels 

Equations Paramètres Valeurs 

λ {1,2,5,10*} 

(2.8) d 

(2.8) m d 

{0.1,0.5,1,2,5,10,20*} 

(2.49) 

(2.50) 

c 

α 

1* 

{1, 2*, 3} 

(2.50) β 1* 

(2.19), (2.51) 

(2.52) 

a, b 

μ 

0.1*, 2* 

{0.05, 0.1*, 0.2} 

(2.52) ζ {5*,10,20,100,1000,10000} 

(2.54) 

(2.55) 

(2.55) 

Q 

ρ 

ω 

{0.01*, 0.05, 0.1} 

{0.1*, 0.5, 0.9} 

{1, 5, 10*, 20} 

Tableau 2-2 Paramètres utilisés pour l’ACO (* désigne la valeur de base de test) 

λ d 

m d 

v d 

L m 

2.5 5 5.4 ≤ vd ≤ 7.7966 0 . 11 ≤ Lm 

≤ ∞ 

5 10 10.2 ≤ vd ≤ 11.3983 0 . 11 ≤ Lm 

≤ ∞ 

10 0.1 0.2 ≤ vd ≤ 0.7991 0 . 11 ≤ Lm 

≤ ∞ 

10 20 20.1 ≤ vd ≤ 20.6991 0 . 11 ≤ Lm 

≤ ∞ 

Tableau 2-3 Liste des paramètres λ d et md et l’intervalle de la valeur d et 

-53- 

v Lm

Arc Flux obtenus par l’ACO 

(Test 1) 

Flux obtenus par l’ACO (Test 2) 

1 87 88 

2 187 182 

3 4 0 

4 195 200 

5 88 88 

6 15 0 

7 0 0 

8 367 382 

9 103 88 

Tableau 2-4 Flux obtenus par l’algorithme de l’ACO avec les paramètres basés sur les 

valeurs de base dans le tableau 2-2 

objective value 

-8650 

-8700 

-8750 

-8800 

-8850 

-8900 

j p ( ( ) ) 

Optimal Value by ACO, alfa=1, beta=1 



Optimal Value by MatLab 

-8950 

0 5 10 15 20 

Iteration 

25 30 35 40 

Fig. 2-6 Influence de α, β sur les valeurs de la fonction objectif 


-8700 

-8750 

-8800 

-8850 

-8900 

j ( ( ) ) 

Optimal Value by ACO, test1 




-8950 

0 5 10 15 20 

Iteration 

25 30 35 40 

Fig. 2-7 Influence du tirage aléatoire sur les valeurs de la fonction objectif 

-54-


-8700 

-8750 

-8800 

-8850 

-8900 

Optimal Value by ACO, Q=0.01 




-8950 

0 5 10 15 20 

Iteration 

25 30 35 40 

Fig. 2-8 Influence de la valeur Q sur les valeurs de la fonction objective 


-8700 

-8750 

-8800 

-8850 

-8900 

Optimal Value by ACO, rho=0.1, zeta=5 




-8950 

0 5 10 15 20 

Iteration 

25 30 35 40 

Fig. 2-9 Influence du ρ sur les valeurs de la fonction objectif 


-8700 

-8750 

-8800 

-8850 

-8900 

j p ( ( ) ) 

Optimal Value by ACO, w=1 





-8950 

0 5 10 15 20 

Iteration 

25 30 35 40 

Fig. 2-10 Influence du ω sur les valeurs de la fonction objectif 

-55-


-8700 

-8750 

-8800 

-8850 

-8900 

Optimal Value by ACO, Mu=0.05 




-8950 

0 5 10 15 20 

Iteration 

25 30 35 40 

Fig. 2-11 Influence du μ sur les valeurs de la fonction objectif 


-8700 

-8750 

-8800 

-8850 

-8900 

Optimal Value by ACO, zeta=5 

zeta=10 

zeta=20 

zeta=100 

zeta=1000 

zeta=10000 


-8950 

0 2 4 6 8 10 

Iteration 

12 14 16 18 20 

Fig. 2-12 Influence du ζ sur les valeurs de la fonction objectif 


-56- 

o 

1

5. Conclusion 


Fig. 2-15 Visualisation du flux sur le réseau 

Dans ce chapitre, un modèle élémentaire d’affectation statique basé sur les activités a été 

proposé. Nous avons testé un nouvel algorithme heuristique basé sur l’algorithme de 

colonies de fourmis. Bien que cet algorithme ne permette pas de trouver la solution optimale 

du problème, elle servira comme méthode heuristique pour résoudre le problème 

d’affectation dans le cas plus compliqué. 

-57- 

o2

Chapitre 3 

Affectation dynamique du trafic basée sur les 



Dans ce chapitre, nous nous intéressons au développement d’un modèle d’affectation 

dynamique prédictif basée sur les activités dans un réseau routier. Ce modèle consiste à 

élargir le modèle statique d’activités proposé dans le chapitre précédent dans le cas 

dynamique. Chaque usager est considéré comme un agent réactif qui n’a pas l’information 

parfaite de l’état du trafic et qui tend à maximiser la valeur nette d’activités obtenue à sa 

destination. En nous basant sur le modèle d’AVA dans le chapitre précédent, nous supposons 

que chaque usager se déplace de son origine à sa destination qui est a priori inconnu au 

départ et sera déterminée en fonction d’équilibre du marché d’activités. Le choix des usagers 

en terme de déplacements s’éffectue en fonction de leur valeur nette d’activités obtenue en 

tenant compte de la valeur brute d’activités et du coût généralisé de déplacement. 

L’écoulement du trafic est modélisé de manière dynamique en étendant le modèle de file 

ponctuelle (Kuwahara et Akamatsu, 1997). 

Le problème d’affectation dynamique est formulé comme un problème d’inéquation 

variationnelle. Comme l’écoulement du trafic est basé sur la méthode de simulation, il 

n’existe pas des fonctionnelles analytiques pour évaluer le coût de déplacement. De ce fait, 

les méthodes classiques d’optimisation de type Frank-Wolfe (Frank et Wolfe, 1956) ne sont 

plus adaptées. Ainsi, nous proposons deux méthodes de résolution : l’approche basée sur 

l’algorithme de colonie de fourmis (ACO) et l’approche basée sur la méthode d’Entropie 

Relative. La première approche est inspirée par le comportement coopératif des fourmis qui 

consiste à utiliser la trace de phéromone indiquant le chemin optimal entre leur nid et la 

source de nourriture. Cependant, l’approche classique l’ACO ne permet pas de traiter 

correctement le cas où le coût du chemin dépend de la demande. Pour cela, nous allons 

proposer une nouvelle approche basée sur l’ACO en utilisant un schéma de discrétisation 

temporelle permettant aux usagers d’utiliser les informations temporelles sur la qualité de 

chemins pour aller à leur destination. 

La deuxième approche est issue de la méthode de simulation d’évènements rares qui 

consiste à estimer la probabilité de choix des usagers en se basant sur la théorie 

d’échantillonnage pondéré (Importance Sampling, IS). L’avantage de cette méthode réside 

sur le fait qu’elle permet de résoudre le problème d’affectation dynamique basée sur un 

modèle de trafic plus réaliste. De plus, elle permet de trouver plusieurs équilibres du réseau 

en passant d’un état d’équilibre à un autre en fonction de conditions initiales différentes. 

Pour tester la méthode proposée, nous allons étudier des exemples numériques pour les 

problèmes d’affectation statique et dynamique avec une fonction du coût non-linéaires sur 

les arcs. 

Enfin une étude comparative avec l’approche de système dynamique sera abordée. 

-58-

2. Modèle proposé 

Notation : variables du réseau 

G(V, E) graphe composé d’un ensemble des noeuds V et d’un ensemble des arcs E 

o(k) origine de la paire OD k 

d(k) destination de la paire OD k 

M(i) ensemble des arcs entrant en noeud i 

N(i) ensemble des arcs sortant du noeud i 

do (t) 

demande à l’origine o et à l’instant t 

D o demande totale à l’origine o 

Aij (t) 

nombre de véhicules cumulés entrant l’arc (i, j) à l’instant t 

Dij (t) 

nombre de véhicules cumulés sortant de l’arc (i, j) à l’instant t 

σij ( t) 

débit maximal d’entrée de l’arc (i, j) à l’instant t 

δij ( t) 

débit maximal de sortie de l’arc (i, j) à l’instant t 

* 

δ ij débit maximal de sortie de l’arc (i ,j) 

T ij (t) 

temps de parcours sur l’arc (i, j) à l’instant d’entrée t 

yij (t) 

nombre de véhicules présenté sur arc (i, j) à l’instant t 

max 

k densité maximale des véhicules d’une voie 

L ij longueur de l’arc (i, j) 

n ij nombre de voies dans l’arc (i, j) 

f 

tij 

temps de parcours à la vitesse libre dans l’arc (i, j). 

f p (t) 

flux au point initial du chemin p à l’instant t 

f vecteur des flux au point initial du chemin p à l’instant t 

p désignation d’un chemin 

P k ensemble des chemins reliant la paire OD k 

l désignation d’une voie 

Ω o ensemble des usagers partant de l’origine o 

-59-

Variables du temps 

t désignation du temps 

[ 0, 

T ] intervalle du temps de départ 

[ 0, 

T ] intervalle du temps de la simulation dans lequel le bord à droite est le temps 

où le dernier véhicule sorti du réseau 

h indice d’un intervalle du temps discrétisé 

H ensemble des index d’intervalles du temps discrétisés sur [0, T], 

T 

h ,..., h } avec le pas du temps fixé Δ 

H T 

H T = { 0 T 

h 

ensemble des index des intervalles du temps discrétisés sur [0,T ], 

H ≡ { h , h1, 

. . . , h } , où T est un multiple de Δ h 

T 

0 T 

w indice d’une itération 

2.1 Modèle d’écoulement de trafic 

La modélisation de l’écoulement du trafic dans le réseau routier consiste à décrire 

l’évolution du trafic. Elle fournit les estimations du temps de parcours en fonction de la 

demande et l’offre du système. Lorsque la demande dépasse l’offre, une file d’attente se crée 

vers l’amont. Pour prendre en compte l’effet de congestion, une approche consiste à 

modéliser la génération de la file d’attente ponctuelle d’un arc sans prise en compte de son 

extension physique (Kuwahara et Akamatsu, 1997). L’avantage de ce modèle réside dans le 

fait qu’il est facile à implémenter et représente l’effet de congestion. Si l’on souhaite avoir 

des résultats plus précis, des modèles d’écoulements du trafic plus compliqués sont 

susceptibles de le remplacer. Par exemple le modèle de file physique (Kuwahara et 

Akamatsu, 2001), les modèles macroscopiques du premier ordre (Buisson et al., 1995 ; 

Lebacque et Khoshyaran, 1999), les modèles macroscopiques du seconde ordre (Lebacque et 

al., 2006, 2007). 

Considérons, dans un premier temps, des usagers partant de leur origine 1 entre 

l’intervalle du temps de départs [0, T], l’équation de conservation du flux au niveau des 

points origine s’écrit par: 

D 

o 

T 

= ∫ do 

( t) 

dt, 

0 

∀o 

∈O 

(3.1) 

Le nombre de véhicules arrivant à la destination d satisfait la contrainte du nombre total 

d’activités vacantes en d : 

1 Nous supposons que toutes les origines et destinations correspondent aux entrées et aux sorties du réseau. 

-60-

T 

∑ ∫ 

p∈Pk 

| d ( k ) = d 0 

f 

( t) 

dt ≤ N , 

p 

d 

∀k 

∈ K, 

∀d 

∈ D 

(3.2) 

Le temps de parcours de l’arc (i, j) à l’instant d’entrée t est calculé par (Kuwahara et 

Akamatsu, 1997) : 

Tij t = Dij 

Aij 

t − t 

−1 

( ) ( ( )) 

(3.3) 

L’écoulement du trafic dépend de la dynamique de la capacité maximale d’entrée et de sortie 

des arcs. Lorsque la demande d’entrée dans un arc est supérieure à son offre correspondante, 

une file d’attente se génère. On suppose qu’une intersection est un point de transition et son 

temps de parcours est égal à 0. Au niveau de la modélisation de la file d’attente, la plupart 

des modèles ne distinguent pas les différentes files d’attente générées en fonction des 

groupes des voies sur le même arc, mais ils utilisent uniquement une file d’attente en cas de 

congestion et y imposent la règle du FIFO (first-in-first-out). Cependant un arc peut être 

composé de plusieurs voies connectant plusieurs arcs sortants. En fonction des arcs sortants, 

les files d’attente seront créées dans différents groupes de voies et la règle FIFO n’est 

adaptée qu’au niveau de chaque groupe de voies. Pour ce faire, nous représentons la 

génération des files d’attente en fonction des groupes de voies. 

La définition du groupe de voies 

Considérons un arc dont les groupes de voies sont en fonction de leurs directions sortantes. 

Fig. 3-1 Définition du groupe de voie 

Nous supposons que les usagers n’utilisent que les groupes de voies correspondant à leur 

choix de directions sortantes. Une voie peut être partagée en deux groupes. Par exemple dans 

la Fig. 3-1 la voie v2 est partagée par groupe 1 et groupe 2. En cas de congestion, une file 

d’attente se crée au point d’intersection pour le groupe de voies en question. 

La règle de propagation du trafic en intersections 

La modélisation de la propagation du trafic en intersections est délicate en raison du 

changement de la configuration géographique et de la réaction des usagers ; e.g. le 

changement de la vitesse et de la voie utilisée etc. Considérons une autoroute où une 

intersection se compose de plusieurs arcs entrants et sortants sans prendre en compte des 

mesures de contrôle. Pour modéliser la génération des files verticales en fonction des 

groupes de voies, nous étudions ce problème dans le cas divergent et convergent. 

-61-

Modèle de divergent 

Considérons un arc composé de plusieurs groupes de voies, lorsque le débit sortant d’un 

groupe de voies est supérieur à la capacité maximale d’entrée de l’arc choisi, une file 

d’attente est générée verticalement au point d’intersection. Cette file d’attente conserve les 

véhicules dans le même groupe et la règle FIFO est supposée vérifiée. De manière plus 

précise, considérons l’arc er composé de plusieurs groupes de voie ls 

où s désigne 

l’indice de l’arc sortant es . Le calcul de la capacité sortante de ls 

à l’instant t est défini 

par (voir la figure 3-1a): 

ls 

ls 

* 

δ e ( ) = min( α rsδ 

e , σ e ( t)) 

(3.4) 

r 

t r s 

ls 

avec α rs le coefficient directionnel associé à l’arc sortant es et au groupe de voies ls 

. Par 

le principe de maximisation du flux au noeud, la somme des coefficients directionnels 

associés satisfait : 

∑ 

ls 

ls 

α rs ≥ 1 

(3.5) 

Ce modèle de divergent peut être remplacé par le modèle d’optimisation (Lebacque, 2005) 

pour déterminer ces coefficients directionnels en résolvant l’équation de conservation du 

flux à l’intersection. 

Modèle de convergent 

Fig. 3-1a La représentation du modèle divergent 

Lorsque plusieurs arcs convergent dans un noeud avec un ou plusieurs arcs sortants, la 

capacité maximale sortant pour le groupe de voies ls associées au sortant es 

à l’instant t 

doit satisfaire la contrainte de capacité maximale d’entrée de l’arc (voir la figure 3-1a). 

D’où : 

∑ er 

er 

l 

s δ ( ) ≤ σ ( t), 

e ∈ M ( i) 

t es 

r 

où 

ls 

δe ( t) 

: le débit maximal de sortie de l’arc e pour le groupe de voies à l’instant t 

r 

r 

ls 

M (i) 

: l’ensemble des arcs entrant à l’intersection i 

-62- 

(3.6)

Fig. 3-1b La représentation du modèle convergent 

En ce qui concerne l’ordre d’entrée des véhicules dans les arcs sortants, on distingue deux 

différents cas : le cas fluide et le cas congestionné. Lorsque le trafic est en situation fluide, la 

règle de FIFO est appliquée. En revanche, lorsque les arcs sortants en question sont 

congestionnés, l’ordre d’entrée des véhicules dans les arcs entrants est déterminé par une 

règle probabiliste résultant de la résolution du conflit des différents arcs entrants. Cette règle 

peut être choisie soit par une règle aléatoire (c’est le cas observé dans les entrées de 

périphériques de Paris lorsque la densité approche de son maximum dans la section désirée 

d’entrée), soit par les modèles d’optimisation au noeud ou les modèles d’affectation 

d’équilibre (Lebacque et Khoshyaran 2005). Comme notre but est de tester les algorithmes 

de résolution, nous appliquerons la règle la plus simple, i.e. la règle aléatoire, aux études 

numériques dans ce modèle. 

2.2 La mesure de la valeur nette d’activités 

La mesure du temps de parcours entre une paire OD est basée sur l’instant de départ t et 

l’instant d’arrivée t+ π p (t) 

. Soit π p (t) 

désigne le temps de parcours du chemin p partant du 

point d’entrée à l’instant t. La valeur nette d’activités obtenue par un individu est définie 

par : 

~ t, 

f ) = v ( t + π ( t)) 

− C ( t, 

f ) 

(3.7) 

v p ( d ( p) 

p 

p 

où C p ( t, 

f ) désigne le coût général du chemin p en fonction de l’instant de départ et le 

vecteur du flux. vd ( p) 

( t + π p ( t)) 

est la valeur brute maximale d’activité obtenue à la 

destination d ( p) 

à l’instant t + π p ( t) 

en utilisant le chemin p. P k| 

o( 

k ) = o est l’ensemble des 

chemins reliant l’origine o aux destinations. Rappelons que la répartition de la valeur brute 

d’activités à la destination d est définie par la loi exponentielle, soit 

Pd ( v) 

= λ d exp( −λ 

d ( v − md 

)) où v ≥ md 

et λ d 

chemins partant de l’origine o est définie par : 

≥ 0. 

Le flux des véhicules sur l’ensemble de 

f ( t), 

∀p 

∈ P , ∀o 

∈O, 

∀t 

∈[ 

0, 

T]} 

(3.8) 

= { f p 

k| 

o( 

k ) = o 

Le coût général d’un chemin reliant une paire OD partant à l’instant t est composé de 

deux termes. Le premier terme est associé au temps de parcours du chemin utilisé. 

-63-

Supposons que la propriété d’additivé soit respectée, i.e. le temps de parcours d’un chemin 

égale la somme du temps de parcours des arcs appartenant à ce chemin. Le deuxième terme 

associe à l’instant d’arrivée une pénalité d’arrivée en avance ou en retard. On utilise la 

fonction affine par morceau pour évaluer le coût associé au temps d’arrivée en avance/retard 

(Mahmassani et Chang, 1985 ; Vickrey, 1969). Le coût généralisé est défini par : 

* 

arr 

arr * 

π p ( t) 

× µ + µ α max( 0, 

t − Δ − t ) + µ β max( 0, 

t − t − Δ) 

(3.9) 

où µ est la valeur du temps pour le parcours. et μ désignent les valeurs du temps 

μ α β 

arr 

* 

associées à l’arrivée en avance ou en retard, respectivement. t est l’instant d’arrivée. t 

* 

est l’instant désiré d’arrivée. Par simplification, t est supposé fixe, identique pour tous les 

usagers. Δ représente la moitié de l’intervalle d’indifférence dans laquelle la pénalité 

d’arrivée est nulle. D’après l’étude empirique de Small (1982), ces valeurs du temps 

satisfont à la relation 0 < μ < μ < μ . 

2.3 Condition d’équilibre usagers 

α 

β 

L’équilibre usagers de Wardrop préconise que pour chaque origine, les choix de 

destinations, d’itinéraires et de temps de départ sont ceux qui rendent la valeur nette 

d’activités plus élevée que ceux qui n’ont pas été choisis. A partir de cette définition, nous 

formulons l’équilibre usagers comme une inéquation variationelle. 

Soit la valeur nette maximale d’activités prise par un individu partant de son origine o à 

l’instant t ∈[ 

0, 

T ] et arrivant à une destination choisie (une paire OD k) est défini par : 

{ v~ 

( t, 

f ) : ∀p 

∈ P , ∀t 

∈[ 

0, 

T ] } 

~ max 

vo ( f ) = max 

(3.10) 

p 

k| 

o( 

k ) = o 

La formulation d’équilibre usagers est définie comme suite : trouver le vecteur du flux sur 

* 

les chemins f tel que 

~ max * 

~ * ⎧ = v ( ) si f ( t) 

0 

o f 

p > 

v p ( t, 

f ) ⎨ ~ 

, ∀p 

∈ P | ( ) , o O, 

t [ 0, 

T ] 

max * 

k o k o ∀ ∈ ∀ ∈ 

(3.11) 

= 

⎩< 

v ( ) sinon 

o f 

avec les contraintes : 

∑ ∑ 

k| o( 

k ) = o p∈Pk 

f p 

f ( t) 

= d ( t), 

∀o 

∈O, 

p 

o 

∀t 

∈[ 

0, 

T ] 

(3.12) 

( t) 

≥ 0, 

∀p, 

∀t 

∈[ 

0, 

T ] 

(3.13) 

où (t) 

le flux des véhicules sur le chemin p à l’instant t. L’équation (3.12) représente la 

f p 

conservation du flux aux points d’origines. 

La condition d’équilibre usagers (3.11)-(3.13) peut être reformulées comme le problème 

* 

d’Inéquation Variationelle (variational inequation problem, VIP) : trouvez f ∈Φ 

tel que 

T 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

∫ ∑ ∑ 

0 

p 

o∈Op∈ Pk| 

o( 

k ) = o 

⎞ 

v~ 

* 

* 

( t, 

f )[ f t − f t ⎟ 

p ( ) p ( )] dt ≥ 0, 

∀f 

∈ Φ 

(3.14) 

⎟ 

⎠ 

-64-

avec Φ le vecteur des flux admissibles satisfaisant les contraintes (3.12) et (3.13). 

La solution du VIP est donnée en résolvant l’équation suivante (Smith, 1993; Huang et Lam, 

2002) : 

T ⎛ 

⎞ 

f = ⎜ 

~ max 

Z( 

) 

− ⎟ 

∫ = 

⎜∑ 

∑ f f ~ 

p ( t)[ 

vo 

( ) v p ( t, 

f )] dt 0, 

⎟ 

0 ⎝ o∈Op∈ Pk| 

o( 

k ) = o 

⎠ 

∀f 

∈Φ 

ou l’équivalent (formulation du problème de complémentarité non-linéaire, NCP) : 

* 

Trouver f ∈Φ 

tel que 

où 

T 

(3.15) 

* 

* * 

V ( f ) ≥ 0, 

f ⋅V( 

f ) = 0 

(3.16) 

* max * m * 

V ( f ) { ~ ( f ) − v~ 

( t, 

f ) | ∀p 

∈ P | ( ) 

= vo p 

k o k = o 

ou l’équivalent (formulation Multi-Agent) : 

, 

∀o 

∈O, 

~ 

f = ~ max 

( ) [ f − ~ m 

Z 

vo 

( ) v p ( t, 

f )] = 0 ∀p 

∈ Pk 

| o( 

k ) = o , 

∑∑ 

o∈Om∈Ωo ∀f 

∀t 

∈[ 

0, 

T]} 

∈Φ 

(3.17) 

avec v~ ( t, 

f ) 

m 

p la valeur nette d’activités obtenue par usager m partant de son origine à 

l’instant t. 

Comme les équations (3.15), (3.16), (3.17) sont difficiles à obtenir les solutions 

analytiques, les méthodes issues de l’optimisation convexe ne conviennent pas à la 

résolution. 

L’existence et l’unicité de solutions 

La démonstration de l’existence et de l’unicité de solutions pour (3.15) repose sur deux 

conditions : 

(1) L’ensemble des débits admissibles sur tous les chemins Φ est un ensemble convexe 

compact non-vide 

(2) La fonction V(f 

) dans la formulation NCP (3.16) est une fonction continue sur f. 

La première condition est vérifiée du fait que le débit des arcs est borné. Concernant l’unicité 

de solutions, Ferris et Kanzow (Ferris et Kanzow, 1998) montrent que pour le problème NCP, 

n 

il existe une solution unique si et seulement si V(f 

) est une fonction continue sur f ∈R + 

et V(f 

) est monotone forte sur f. La monotonie faible est vérifiée si la file d’attente sur 

arcs ne se présente pas. En revanche, si la file d’attente existe sur des arcs, le temps de 

parcours sur des chemins n’est plus une fonction monotone sur f ni V(f 

) . De ce fait, il 

existerait plusieurs solutions pour le problème VIP. 

-65-

3. Méthodes de résolutions 

Les méthodes classiques de résolution ne sont plus adaptées pour les problèmes d’affectation 

dynamique du trafic basée sur la simulation. Pour résoudre le problème d’affectation 

dynamique basée sur les activités, nous allons proposer deux approches basées sur : 1. 

l’algorithme de colonie de fourmis ; 2. la méthode d’Entropie Relative. La première est 

inspirée par le comportement collectif des fourmis visant à trouver leur nourriture entre leur 

nid et les sources de nourriture. Le mécanisme comportemental des fourmis est semblable à 

l’apprentissage par renforcement des usagers. La deuxième méthode considère que 

l’équilibre du réseau est un évènement rare qui peut être estimé de manière progressive en 

minimisant la distance entre deux distributions de probabilité, mesurée par l’entropie relative 

de Kullback-Leibler. Comme notre problème d’affectation dynamique n’a pas de solutions 

analytiques, nous allons étudier ces deux méthodes afin de trouver les flux sur le réseau qui 

vérifient l’équilibre usagers de Wardrop pour le choix de temps de départ, d’itinéraires et de 

destinations. 

3.1. Algorithme de colonies de fourmis 

Dans cette section, nous proposons une heuristique basée sur l’ACO pour résoudre le 

problème d’équilibre du réseau. Contrairement aux approches classiques basées sur l’ACO, 

nous proposons un nouvel algorithme en utilisant un schéma de discrétisation temporelle qui 

maintient les informations temporelles sur la qualité du chemin. Les usagers utilisent ces 

informations et choisissent les meilleurs chemins en cas de congestion. Pour le choix du 

temps de départ, nous discrétisons l’intervalle du temps de départ en 5 minutes, et supposons 

que chaque usager choisit un intervalle du temps de départ en fonction du coût moyen réalisé 

et ensuite il choisit aléatoirement un instant de départ dans cet intervalle du temps choisi. De 

plus, les phéromones sont différenciées en fonction des origines, i.e. les informations des 

phéromones sont indépendantes les unes par rapport aux autres. Cependant, différents 

schémas de communication entre les fourmis ou entre les fourmis et l’environnement 

peuvent être conçus pour modéliser l’impact de l’offre d’information sur le comportement 

des voyageurs. 

L’algorithme proposé est composé de deux parties traitant : 1. le choix d’itinéraires, 2. 

le choix d’intervalle du temps de départ. Nous les détaillons ci-dessous. 

Algorithme basé sur l’ACO : Choix d’itinéraires 


Initialiser la quantité petite de phéromones c sur tous les arcs et tous les intervalles T H h ∈ 

pour tous les types de phéromone o∈ O 

o 

τ ( h) 

c, 

H h O o E j i ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ , , ) , ( (3.18) 

ij = T 

où h est l’intervalle du temps. H est l’ensemble des intervalles du temps discrétisés pour 

T 

déployer les phéromones. o est le type de phéromone relatif à l’origine utilisé séparément par 

les usagers partant de l’origine o. 

-66-

Etape 2 : Construction du graphe 

Considérons un usager m arrivé au noeud i à l’instant t, ( t ∈ hs 

), la probabilité de choix de 

l’arc sortant (i, j) est donnée par la règle de transition stochastique suivante (D’après Dorigo 

et al. 1996) : 

avec : 

o α ~ β 

⎧ [ τ~ 

ij ( hs 

)] [ ηij 

( t)] 

⎪ 

m 

o α 

[ τ~ ( )] [ 

~ β 

P ( t) 

iu hs 

ηiu 

( t)] 

ij = ⎨ ∑m 

u∈J 

i ( t) 

⎪ 

⎩ 0 

si j ∈ J 

m 

i 

sinon 

( t) 

, ∀ m ∈Ω 

, ∀o 

∈O, 

h ∈ H 

(3.19) 

t : l’instant d’arrivée au noeud i, t ∈ hs 

, qui est le moment de décision sur le choix de l’arc 

sortant, s est l’indice d’un intervalle du temps, 

α, β : paramètres exprimant l’importance relative de la quantité de phéromones normalisée à 

o 

l’intervalle h , τ~ ( h ) , et à la visibilité normalisée, ) ( η 

~ 

t , sur l’arc (i, j) à l’instant d’arrivée 

t, 

s 

ij 

s 

J (t) 

m : ensemble de noeuds sortants de i n’ayant pas été visités par l’usager m à l’instant t, 

i 

o 

τ~ 

ij ( h s ) : phéromone normalisée de type o sur l’arc (i, j) dans l’intervalle hs 

, définie par 

o 

τ~ ( h ) = 

ij 

s 

o 

τ ( h ) 

ij 

∑ 

τ 

o 

iu 

m 

u∈J 

i ( t) 

s 

( h ) 

s 

~ 

ηij 

( t ) : visibilité normalisée sur l’arc (i, j) à l’instant t, définie par 

o 

ij 

s 

T 

~ 

η ( t ) = 

ij 

η ( t) 

∑ 

ij 

η 

iu 

m 

u∈J 

i ( t) 

avec η ( t) 

l’inverse du temps de parcours prévu sur l’arc (i, j), composé de trois termes : 1. 

ij 

temps de parcours à la vitesse libre, 2. temps d’attente dans la file d’attente sur l’arc (i, j), 3. 

fonction de pénalité, Γ (t) 

, exprimant le niveau de congestion sur l’arc (i, j). η ( t) 

est 


ij 

1 

ηij 

( t) 

= (3.20) 

y ( t) 

f ij 

tij 

+ + Γij 

( t) 

δ ( t) 

ij 

La fonction de pénalité est donnée par : 

⎧ 1 1 

⎪ψ[ 

− ] si Bij 

( 1− 

γ) 

≤ yij 

( t) 

≤ Bij 

Γ ij ( t) 

= ⎨ Bij 

− yij 

( t) 

γB 

(3.21) 

ij 

⎪ 

sinon 

⎩ 0 

avec (t) 

le nombre d’usagers dans l’arc (i, j) à l’instant t, δ ( t) 

le débit maximal de 

y ij 

ij 

Bij ij = ij ij 

max γ le 

sortie à l’instant t, la capacité de stockage dans l’arc (i, j), B k × n × L , 

-67- 

() t 

ij

paramètre pour activer la fonction de pénalité, ψ le paramètre défini par ζ afin B = 

ψ ij 

d’éliminer l’influence de la capacité de stockage sur l’arc (i, j) et ζ le paramètre de 

contrôle sur la valeur de pénalité, ζ > 0 . Il est nécessaire d’introduire un terme de pénalité 

afin de déconseiller des usagers de choisir des arcs trop saturés. 

Etape 3 : mise à jour de phéromones 

Après avoir pris une activité vacante dans une destination, la quantité des phéromones 

discrétisés temporellement est modifiée immédiatement. Cette modification porte sur la 

phéromone de type o, origine de cet usager, dont la partie modifiée associée au moment de 

décision où cet usager avait fait leur choix de l’arc sortant. On l’appelle « la règle locale de 

mise à jour de la phéromone », définie par : 

o 

Δ ij ( hs 

, w) 

= ∑ 

∀m∈Ω 

o 

τ Δτ 

( h , w) 

, ∀o 

∈ O, 

∀h 

∈ H 

(3.22) 

mo 

ij 

s 

m 

mo ⎧Q / Lm 

( w) 

si l'arc 

( i, 

j) 

∈ p ( w) 

Δ τ ij ( hs , w) 

= ⎨ 

, ∀o 

∈ O, 

∀hs 

∈ H (3.23) 

T 

⎩ 0 

sinon 

avec h l’intervalle du temps où le choix du prochain arc en sortant (i, j) a été effectué par 

s 

un usager m, p (w) 

le chemin emprunté par usager m à l’itération w, Q le paramètre, et 

la fonction de qualité de la solution, définie par le coût généralisé moins la valeur 

brute d’activité plus la valeur brute maximale d’activités afin de garantir la positivité . 

m 

Lm (w) 

(w) 

Concernant le choix de destination des usagers, on ajoute un noeud fictif et des arcs 

reliant toutes les destinations possibles (le nombre d’activités vacantes est positif) à ce noeud 

fictif. La capacité de ces arcs fictifs correspond au nombre d’activités vacantes dans son 

extrémité initiale. Lorsqu’un usager arrive à une destination possible, il peut choisir l’arc 

fictif (i.e. choisir cette destination) ou un des autres arcs sortant pour aller plus loin. Le flux 

sur cet arc fictif représente le nombre d’activités occupées. Pour éviter à un trop grand 

nombre d’usagers d’entrer dans la même destination où la valeur d’activités vacantes peut 

être moins élevée, la pénalité est introduite afin de diminuer sa probabilité de choix. La 

pénalité est définie par une fonction similaire à l’équation (3.21). 

Lorsque tous les usagers ont trouvé leurs activités vacantes, la mise à jour globale de la 

phéromone sur tous les arcs est activée, définie par : 

τ 

o 

ij 

Δτ 

( h, 

w) 

o 

( h, w + 1) 

= ( 1 − ρ) 

τ ij ( h, 

w) 

+ ρω 

, ∀( 

i, 

j) 

∈ E, 

∀o 

∈O, 

∀h 

∈ H 

( h, 

w) 

o 

ij 

o 

∑ Δτ 

uv 

∀( 

u, 

v) 

∈E 

s 

T 

T 

L m 

(3.24) 

avec ρ ∈ ( 0, 

1) 

le taux d’évaporation des phéromones et ω paramètre ayant pour but de 

modifier la quantité ajoutée des phéromones . 

Cette règle de mise à jour globale s’appuie sur la méthode d’Entropie Relative afin 

d’éviter le problème de l’ordre de mesure sur la qualité du chemin. 

-68-

Algorithme basé sur l’ACO : Choix du temps de départ 

Le problème de choix du temps de départ d’un usager s’énonce comme suite : pour chaque 

usager, connaissant son point d’origine de départ et son temps désiré d’arrivée, quel est 

l’instant de départ pour que la valeur nette d’activités obtenue soit maximum. A l’équilibre 

usagers, tous les usagers ne peuvent pas améliorer leur valeur nette d’activités obtenue. 

Comme l’ensemble des choix de l’instant de départ est très grand, il nous faut 

discrétiser la période de départ par le pas de temps de l’ordre de quelques minutes. Cette 

discrétisation temporelle reflète la capacité limitée de cognition des usagers. Nous supposons 

que les usagers choisissent un intervalle de temps de départ et ensuite ils choisissent un 

instant dans leur intervalle du temps de départ choisi de manière aléatoire. 

Nous proposons une approche basée sur l’algorithme de colonies de fourmis similaire à 

celle utilisée dans le choix d’itinéraires et de destinations. Pour traiter le problème du choix 

de temps de départ, la période de départ est discrétisée par le pas du temps de l’ordre de 

quelques minutes. La probabilité de choix du temps de départ est en fonction du point 

d’origine des usagers. Pour modéliser ce problème de choix par l’approche de l’ACO, nous 

créons un graphe composé d’un ensemble des noeuds d’origines, notés O, et d’un ensemble 

d’index des intervalles discrétisés pour la période de demande T, H T . Dans la figure 3-2, 

les arcs relient toutes les origines et tous les index d’intervalles du temps. Chaque usager 

part de son origine et choisit un noeud en fonction de la quantité de phéromones des arcs. La 

quantité des phéromones représente la valeur moyenne nette d’activités obtenue par les 

usagers partant d’un intervalle du temps de départ discrétisé. Les usagers modifient leur 

choix d’intervalle du temps de départ d’un jour à l’autre en fonction de valeur moyenne nette 

d’activités obtenues. 

L’algorithme basé sur l’ACO pour le problème de choix du temps de départ est décrit 


1. Initialiser une quantité petite de phéromones c sur tous les arcs fictifs reliant le noeud 

fictif et toutes les origines pour tous les types de phéromone o∈ O 

2. Pour un usager partant de l’origine i (i=o), la probabilité de choix d’intervalle du temps 

de départ h est définie par : 

o α ⎧ [ τ~ 

ih ] si h ∈ H T 

⎪ o α 

P [ τ~ 

ih' 

] 

ih = ⎨ ∑ (3.25) 

h'∈H 

T ⎪ 

0 

sinon 

⎩ 

o 

avec α le paramètre, τ~ la phéromone normalisée de type o sur l’arc (i, h), définie par 

o 

o τih 

τ~ 

ih = , 

o 

τ 

∑ ih' 

h'∈H 

T 

ih 

et H T l’ensemble des noeuds reliant le noeud i. 

3. La mise à jour globale de phéromones est prise en compte lorsque tous les usagers 

arrivent à leurs destinations. On utilise les équations (3.22), (3.23), et (3.24) pour la mise 

mo 

o 

mo 

o 

à jour globale en remplaçant Δ τ ( , w) 

et Δ τ ( , w) 

par Δ τ ( w) 

et Δτ 

( w) 

respectivement. 

ij 

h s 

-69- 

ij 

h s 

ih 

ih

Fig. 3-2 Représentation du graphe fictif du choix de l’heure de départ 

3.1.3 Etudes numériques 

Afin de tester l’algorithme basé sur l’ACO dans le cas dynamique, nous allons étudier trois 

cas différents : 1.le cas convergent, 2. le cas divergent, 3. le cas général. La technique de 

simulation s’appuie sur la simulation par évènements discrets, réalisée en langage de 

programmation C++. Notons que nous considérons pour les trois exemples l’intervalle total 

du temps de départ est de 7 : 00 à 9 : 00 du matin. Le pas de discrétisation temporelle est 5 

minutes. Le temps désiré d’arrivée est 9 : 00 avec un intervalle d’indifférence de 6 minutes 

associé au coût de pénalité. La valeur du temps est 7 euros/heure. La pénalité associée à 

l’arrivée en avance et en retard est 4 et 15 euros/heure, respectivement. 

Exemple 3-1 : réseau convergent 

Nous considérons un réseau routier composé de 7 noeuds et de 6 arcs, représenté dans la 

Fig. 3-3. Le cas convergent est représenté dans le noeud 5 avec 2 arcs d’entrée et un arc de 

sortie. L’extrémité du réseau est le noeud fictif reliant la destination unique (noeud 7). Nous 

considérons que le nombre d’usagers (demande) au noeud 1 et 2 (origines) est 1500 

respectivement. Le nombre d’activités vacantes à la destination est 4000. La valeur brute 

moyenne d’activités vacantes est 30 euros. 

Nous avons pu observer qu’après certaines itérations, la valeur nette totale d’activités 

des usagers se stabilise dans la Fig. 3-4. La répartition de la valeur nette d’activités obtenue 

par les usagers est illustrée dans la Fig. 3-5, qui vérifie que la plupart des usagers obtiennent 

la meilleure valeur nette d’activités. Dans la Fig. 3-6b, on constate que la congestion se 

produit en arc 5 à partir du 8 : 15 jusqu’au 9 : 13. 

-70-

Fig. 3-3 Représentation du réseau (le cas convergent) 

Objective value 

x 104 

7.76 

7.74 

7.72 

7.7 

7.68 

7.66 

7.64 

7.62 

0 5 10 15 20 

Iteration 

25 30 35 40 

Fig. 3-4 Evolution de valeurs nettes totales d’activités obtenues par les usagers 

Net activity value distribution of travelers form origin node 1 Net activity value distribution of travelers form origin node 4 

300 

300 

Number of vehicles 

250 

200 

150 

100 

50 

0 

20 22 24 

Net activity value 

26 28 


250 

200 

150 

100 

50 

0 

22 24 26 


28 30 

Fig. 3-5 Répartition de valeurs nettes d’activités obtenues par les usagers partant du noeud 1 

et du noeud 2 en dernière itération 

-71-

Cumulative Vehicles 


Cumulative arrivals and departures on link 1 

1500 

Arrival 

Departure 

1000 

500 

0 

0 2000 4000 6000 8000 

Time(in seconds) 


1500 

Arrival 

Departure 

1000 

500 

0 

0 2000 4000 6000 8000 





1500 

Arrival 

Departure 

1000 

500 

0 

0 2000 4000 6000 8000 



1500 

Arrival 

Departure 

1000 

500 

0 

0 2000 4000 6000 8000 


Fig. 3-6a Départs et arrivée cumulés sur l’arc 1, 2, 3, et 4 en dernière itération. 



3000 

Arrival 

2500 Departure 

2000 

1500 

1000 

500 

0 

0 2000 4000 6000 8000 10000 




3000 

Arrival 


2000 

1500 

1000 

500 

0 

0 2000 4000 6000 8000 10000 


Fig. 3-6b Départs et arrivée cumulés sur l’arc 5 et 6 en dernière itération 

Exemple 3-2 : réseau divergent 

Nous considérons un réseau routier composé de 7 noeuds et de 6 arcs dans la Fig. 3-7. Le 

noeud 3 représente un cas divergent avec un arc d’entrée et deux arcs sortants. L’extrémité 

du réseau est le noeud fictif reliant la destination 5 et 7 pour modéliser le choix de 

destination. Nous considérons que la demande totale au noeud 1 est 1500. L’offre d’activités 

vacantes aux destinations 5 et 7 est 4000 chacune. La valeur brute moyenne d’activité ( md 

) 

dans le noeud 5 et 7 est 40 et 20 euros, respectivement. Le paramètre λ d égale à 10 pour 

toutes les destinations. 

La Fig. 3-8 montre qu’après 30 itérations, la valeur nette totale d’activités se stabilise. 

L’algorithme converge vers l’optimum. Tous les usagers rejoignent la destination 5 du fait 

que la valeur brute d’activités est plus élevée. La plupart des usagers obtiennent la meilleure 

valeur nette d’activités après l’adaptation de leur choix en fonction de la valeur nette 

d’activités obtenue (Fig. 3-9). La congestion est constatée en arc 3 et 4 du fait que la capacité 

de sortie est beaucoup moins importante que celle de l’entrée (Fig. 3-10). 

-72-

Fig. 3-7 Représentation du réseau (cas divergent) 


x 104 

5.2 

5.15 

5.1 

5.05 

5 

4.95 

4.9 

4.85 

4.8 

4.75 

4.7 

0 5 10 15 20 25 

Iteration 

30 35 40 45 50 

Fig. 3-8 Evolution des valeurs d’activités nette totales des usagers 

Number of vehicules 

800 

700 

600 

500 

400 

300 

200 

100 

Net activity value distribution 

0 

12 13 14 15 16 17 18 19 


Fig. 3-9 Répartition de valeurs nettes d’activités obtenues par les usagers en dernière 

itération 

-73-





3000 

Arrival 


2000 

1500 

1000 

500 

0 

0 2000 4000 6000 8000 



2000 

Arrival 

Departure 

1500 

1000 

500 

0 

0 2000 4000 6000 8000 



2000 

Arrival 

Departure 

1500 

1000 

500 

0 

0 2000 4000 6000 8000 10000 






3000 

Arrival 


2000 

1500 

1000 

500 

0 

0 2000 4000 6000 8000 



1500 

Arrival 

Departure 

1000 

500 

0 

0 2000 4000 6000 8000 10000 



1500 

Arrival 

Departure 

1000 

500 

0 

0 2000 4000 6000 8000 10000 


Fig. 3-10 Départs et arrivée cumulés sur les arcs 1, 2, 3, 4, 5, 6 en dernière itération. 

Exemple 3-3 : réseau général 

Le réseau se compose de 8 noeuds et 12 arcs avec un noeud artificiel et deux arcs artificiels 

connectant toutes les destinations (Fig. 3-11). La demande totale aux origines 1 et 4 est 1500 

chacune. L’offre des activités vacantes aux destinations 5 et 8 est 4000 chacune. Pour étudier 

les scénarios de congestion, le débit maximal dans les arcs en aval est plus petit que ceux en 

amont. La valeur brute d’activités moyenne ( md 

) aux destinations 5 et 8 égale à 20 et 30 

euros/activité, respectivement. Pour le paramètre λ d , ∀d 

∈ D , il est donné par 10. Notons 

que pour les paires OD (1,5) et (4,8), il existe 4 chemins alternatifs. Par contre, pour les 

paires OD (1,8) et (4,5) il existe 5 chemins alternatifs. 

Dans la Fig. 3-12, on constate que l’algorithme converge vers l’optimum après 25 

itérations. Tous les usagers ont choisi la destination 8. La Fig. 3-13 montre qu’à fin de la 

simulation, la plupart des usagers trouvent la meilleure valeur nette d’activités même si la 

congestion se manifeste aux arcs 4, 6, et 9. Notons que l’arc 9 est un arc critique reliant les 

deux origines avec la destination 8. Dans la Fig. 3-15, nous constatons qu’au début de la 

simulation, les usagers favorisent le plus court chemin en passant par l’arc 9, et la quantité 

-74-

des phéromones sur l’arc 9 augmente très rapidement. Lorsque l’arc 9 devient congestionné, 

la quantité de phéromones diminue très rapidement dans la période de congestion. En 

revanche, le chemin alternatif (l’arc 10) devient très attractif dans la même période de 

congestion. 

Dans cet exemple, nous illustrons que les informations de la quantité des phéromones 

permettent aux usagers d’adopter les chemins alternatifs en cas de congestion. D’autres 

schémas de communication de type usager-usager ou usager-environnement peuvent être 

conçus et testés pour évaluer l’impact des systèmes d’information des voyageurs. 

Fig. 3-11 Représentation du réseau (cas général). 


x 104 

8.2 

8 

7.8 

7.6 

7.4 

7.2 

7 

6.8 

6.6 

0 5 10 15 20 

Iteration 

25 30 35 40 


-75-

Net activity value distribution of travelers form origin node 1 Net activity value distribution of travelers form origin node 4 

350 

400 


300 

250 

200 

150 

100 

50 

0 

22 24 26 28 30 



350 

300 

250 

200 

150 

100 

50 

0 

22 24 26 28 30 


Fig. 3-13 Répartition des valeurs nettes d’activités obtenues par les usagers partant du noeud 

1 et du noeud 4 en dernière itération. 




1500 

Arrival 

Departure 

1000 

500 

0 

0 2000 4000 6000 8000 



2500 

Arrival 

Departure 

2000 

1500 

1000 

500 

0 

0 2000 4000 6000 8000 





200 

Arrival 

Departure 

150 

100 

50 

0 

6200 6400 6600 6800 7000 7200 



200 

Arrival 

Departure 

150 

100 

50 

0 

6400 6600 6800 7000 7200 7400 


Fig. 3-14a Départs et arrivée cumulés sur les arcs 1, 3, 4, 6 en dernière itération 




1000 

Arrival 

Departure 

800 

600 

400 

200 

0 

0 2000 4000 6000 8000 



2500 

Arrival 

Departure 

2000 

1500 

1000 

500 

0 

0 2000 4000 6000 8000 10000 





800 

Arrival 

Departure 

600 

400 

200 

0 

3000 4000 5000 6000 7000 8000 



800 

Arrival 

Departure 

600 

400 

200 

0 

6500 7000 7500 8000 8500 


Fig. 3-14b Départs et arrivée cumulés sur les arcs 7, 8, 9, 10 en dernière itération. 

-76-


2500 

2000 

1500 

1000 

500 

Arrival 

Departure 


0 

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 


Fig. 3-14c Départs et arrivée cumulés sur l’arc 12 en dernière itération. 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

Type 1(node 1) 


Pheromone quantity Pheromone quantity profile over link 9 at initial iteration 

0 

0 50 100 150 

Time(in minutes) 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 



Pheromone quantity Pheromone quantity profile over link 9 at 10th iteration 

0 

0 50 100 150 


Pheromone quantity profile over link 10 at initial iteration 

3 


2.5 Type 2(node 4) 

Pheromone quantity 

2 

1.5 

1 

0.5 

0 

0 50 100 150 


3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 




0 

0 50 100 150 


Fig. 3-15a Evolution de la quantité de phéromones sur les arcs 9 et 10 (itération 0 et 10). 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 




0 

0 50 100 150 


3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 




0 

0 50 100 150 


3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 




0 

0 50 100 150 


3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 




0 

0 50 100 150 


Fig. 3-15b Evolution de la quantité de phéromones sur les arcs 9 et 10 (itération 20 et 30). 

-77-

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 




0 

0 50 100 150 


3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 




0 

0 50 100 150 


Fig. 3-15c Evolution de la quantité de phéromones sur les arcs 9 et 10 (itération 40). 

Remarque : 

Nous avons testé une autre formule qui consiste à ajuster le choix de l’instant de départ des 

usagers en fonction de l’heure d’arrivée en avance ou en retard de manière progressive. 

L’idée de cette méthode est semblable au processus d’apprentissage. Les usagers modifient 

leur temps de départ en fonction de l’heure d’arrivée à destination avec un terme de 

relaxation dans un intervalle du temps d’indifférence. Cet ajustement du choix des usagers 

est décrit ci-dessous : 

t 

dep 

m 

⎧ 

⎪ 

t 

( w + 1) 

= ⎨ 

⎪t 

⎩ 


m 


m 

φ arr 

* 

( w) 

− [ tm 

( w) 

− ( t + Δ) 

+ R2Δ 

] 

w 

φ * 

arr 

( w) 

+ [( t − Δ) 

− tm 

( w) 

+ R2Δ 

] 

w 

où 

m : désignation de la fourmi m 

w : indice d’une itération 

φ : paramètre 

R : variable aléatoire dans l’intervalle [0, 2 Δ ] 

2Δ 

* 

si t 

si t 

arr 

m 

arr 

m 

( w) 

> ( t 

( w) 

< ( t 

* 

* 

+ Δ) 

− Δ) 

t : temps désiré d’arrivée 

arr 

tm ( t) 

: temps d’arrivée à destination à itération w 

Δ : moitié de l’intervalle d’indifférence du temps d’arrivée non pénalisé 

(3.26) 

Nous avons utilisé la série divergent φ / w pour refléter le fait que les usagers apprennent le 

meilleur choix de manière progressive. Nous constatons que dans la figure 3-16 la valeur 

nette totale d’activités obtenues par les usagers oscille et ne converge pas vers l’optimum. 

-78-

ObjValue 

x 104 

6.8 

6.6 

6.4 

6.2 

6 

5.8 

5.6 

5.4 

Objectif Value distribution(alfa=2.0,beta=0.3,Omega=10,Md(node5=30,node7=20)),Demand=3000,total iteration=20 

5.2 

0 5 10 15 20 

Iteration 

25 30 35 40 


3.2. Algorithme basé sur la méthode d’Entropie Relative 

La méthode d’Entropie Relative développée par Rubinstein (Rubinstein, 1999) est une 

méthode d’optimisation stochastique pour résoudre les problèmes d’optimisation 

combinatoire difficile. Cette approche génère un ensemble des échantillons basés sur une 

distribution de probabilité paramétrée. Pour orienter la direction de recherche vers la solution 

optimale, cette méthode modifie la distribution de probabilité (PDF) à chaque itération en 

minimisant l’entropie relative entre deux PDFs consécutives. La procédure d’estimation de 

la probabilité optimale se divise en deux étapes : 1. la génération d’un ensemble 

d’échantillons basés sur une PDF, 2. la modification de la PDF en se basant sur la résolution 

du problème d’optimisation qui minimise l’entropie relative permettant de générer meilleurs 

échantillons à la prochaine itération. Cette approche dérive itérativement de la distribution de 

probabilité optimale basée sur la théorie d’échantillonnage pondéré (Importance Sampling 

theory) permettant de résoudre les problèmes d’optimisation difficile et combinatoire. 

Dans cette section, nous allons proposer un nouvel algorithme basé sur la méthode 

d’Entropie Relative pour résoudre les problèmes d’affectation statique et dynamique non 

différentiable. Nous considérons qu’un équilibre de réseau est un évènement rare à atteindre 

parmi tous les états possibles du réseau. Nous démontrons que notre approche est capable de 

trouver plusieurs équilibres dans un réseau de transports multimodaux. Dans la section 

suivante, nous présentons d’abord cette méthode proposée par Rubinstein (Rubinstein, 1999). 

Par la suite, nous proposons un algorithme basé sur la méthode d’Entropie Relative pour 

résoudre les problèmes d’affectation du trafic. Des études numériques seront testées pour les 

exemples qui sont : 

1. Le cas statique unimodal avec la fonction du coût sur les arcs non linéaires. 

2. Le cas statique multimodal avec la fonction du coût sur les arcs non linéaires. 

3. Le cas dynamique unimodal avec l’écoulement du trafic basé sur le modèle de file 

d’attente ponctuelle proposé dans la section 2.1. 

-79-

3.2.1 La méthode d’Entropie Relative 

La méthode d’Entropie Relative est une méthode stochastique d’optimisation. Comme la 

plupart des méthodes stochastiques, elle utilise une PDF pour générer un ensemble 

d’échantillons. A partir de ces échantillons, elle modifie la PDF de manière itérative pour 

trouver la solution optimale. Comme la solution optimale issue de la PDF optimale n’est pas 

reconnue au début, la probabilité de générer une solution optimale approchée est très rare. 

Pour cela, la méthode d’Entropie Relative utilise une série de critère de rareté pour modifier 

la PDF et améliorer la qualité de solution 

Soit un système stochastique dont l’ensemble de variables aléatoires x est définie par 

une PDF f ( x;u) ∈ F( 

x;v) 

où F( x;v) 

est une famille de PDF avec un paramètre associé v. 

Soit S(x 

) une fonction objectif du problème d’optimisation. La méthode d’Entropie 

Relative modifie la PDF f ( x ; u) 

pour que S(x 

) tende vers optimum. Pour évaluer la PDF 

f ( x; 

u) 

, cette méthode utilise une fonction de performance qui peut être soit une fonction 

d’indice I, définie par I{ S ( x) 

≥γ} 

= 1 si S(x) ≥ γ , et 0 sinon, soit la fonction de Boltzmann. Le 

paramètre γ est un critère qui sert comme une valeur de référence qualifiant la qualité de 

solutions trouvées. La probabilité de l’évènement rare (une solution approchée sur 

l’optimum définie par S(x) ≥ γ ) basée sur la PDF f ( x;u) 

est définie par : 

(P) l = P ( S( 

) ≥ γ) 

= E I x ≥γ 

(3.27) 

f 

x f { S ( 

) 

} 

Une méthode d’estimation de la probabilité de l’évènement rare consiste à générer 

l’ensemble d’échantillons par une procédure de type Monte-Carlo. L’estimation non-biaisée 

de la probabilité de l’évènement rare est calculée par : 

N 

(P-Monte Carlo) lˆ 

1 

= ∑ I 

N = 

i 1 

{ S ( i ) ≥γ} 

x (3.28) 

5 

Lorsque l est très faible, e.g. 10 , il faut que le nombre d’échantillon soit très élevé 

afin d’obtenir l’estimation précise de la probabilité l. La méthode de l’échantillon pondéré 

consiste à utiliser la PDF biaisée 

− 

l ≤ 

g( x; v0 

) ∈ F( 

x; 

v) 

pour réduire le nombre d’échantillons 

pour le problème (P). En introduisant la PDF g x; 

v ) , l’équation (P) peut s’écrire : 

( 0 

∫ ∈ℵ 

⎟ f ( x; 

u) 

⎛ f ( x; 

u) 

⎞ 

E x = x x = 

⎜ 

f ( H ( )) H ( ) g( 

; v0 

) dx E g H ( x) 

(3.29) 

x g( 

x; 

v0 

) 

⎝ g( 

x; 

v0 

) ⎠ 

où H ( x) 

= I{ 

S ( x) 

≥γ} 

et g( x; 

v0 

) s’appelle la PDF d’échantillonnage pondéré (IS pdf). Le 

choix de IS PDF est crucial pour l’estimation (P-Monte Carlo). Une méthode consiste à 

* 

déduire la IS PDF optimale g en minimisant la variance de l , i.e. ˆ 

g 

* 

⎛ f ( x; 

u) 

⎞ 

= Argmin 

Var ⎜ ( ) 

⎟ 

g H x (3.30) 

g 

⎝ g( 

x; 

v0 

) ⎠ 

La solution optimale du problème ci-dessus est (Rubinstein, 1999) : 

g 

H ( x) 

f ( x; 

u) 

x ; v ) = (3.31) 

l 

* 

( 0 

-80-

avec 

H ( x) 

= I x ≥ 

{ S ( ) 0} 

* 

La difficulté rencontrée ici est que g dépend du paramètre inconnu l. Pour cela, l’idée de 

la méthode d’Entropie Relative est de déduire la meilleure PDF à chaque itération 

( k ) ( k ) 

( k−1) 

f ( x; 

v ) qui minimise la distance de Kullback-Leibler (l’entropie relative) entre f 

* 

(donnée) et g (inconnue). Rappelons que la distance de Kullback-Leibler est définie par : 

⎛ g( 

x) 

⎞ 

D( g, 

h) 

= E g ⎜ln 

⎟ = ∫g( x) 

ln g( 

x) 

dx − ∫g( 

x) 

ln h( 

x) 

dx 

⎝ h( 

x) 

⎠ 

où D(g, h) désigne la distance de Kullback-Leibler pour g et h. 

( k−1) 

* 

Le problème de minimisation de la distance de Kullback-Leibler entre f et f est : 

f 

∫ 

(3.32) 

*( k ) 

( k = 1) 

( k −1) 

( k −1) 

= arg min D( 

f , f ) = arg min− 

f ln f dx = arg max f ln f dx (3.33) 

f 

f 

f 

*(k ) 

où f est la meilleure PDF à l’itération k. 

La méthode d’Entropie Relative proposée par (Rubinstein, 1999 ; de Boer et al. 2004) 

(k ) 

consiste à utiliser un schéma itératif utilisant le paramètre de référence ρ (un critère de 

rareté) pour estimer la probabilité de l’évènement rare du système. Comme l’évènement rare 

(k ) 

est difficile à produire, cet algorithme d’abord relaxe le critère de rareté γ à l’itération 

k et l’approche vers γ itérativement. L’algorithme se compose de quatre étapes : 

1. Initialiser le paramètre ρ = c . c est un positif réel, e.g. . 

) 0 ( 2 ) 0 ( 

10 − 

ρ = 

(k ) 

( k −1) 

2. Estimation de γ : générer l’ensemble d’échantillons basé sur f ( x) 

, trouver 

( k ) ( k ) 

(k ) 

tel que ( S( 

x) 

≥ γ ) = ρ . Une méthode pour estimer γ est d’ordonner 

P ( k −1) 

f 

S( i ), i = 1,... 

N 

par ordre de croissance, i.e. 

x S[ 1] 

S[ 

2] 

≤ ... ≤S 

[ N ] 

peut être retenue par S ( k ) . 

[( 1−ρ 

) N 

(k ) 

γ ] 

∫ 

(k ) 

γ 

≤ Alors, la valeur de 

* 

( k−1) 

(k ) 

* 

3. Estimation de g : étant donné f et γ , trouver g par la résolution du 

problème suivante : 

g 

* 

( k−1) 

= argminD( 

f , f ) = argmaxE 

k−1) 

[ I 

f 

f 

N 1 

( k) 

] ln f = argmax 

I ( k) 

ln f (3.34) 

x ) ≥γ 

} 

f 

{ S( 

xi 

) ≥γ 

} 

N 

( 

f { S( 

∑ 

i= 

1 

(k ) 

4. Critère d’arrêt : lorsque les derniers cinq valeurs de critère γ sont égaux, i.e. 

γ = γ = γ = γ 

t :=t+1 allez à l’étape 2. 

= γ 

( T −4) 

( T −3) 

( T −2) 

( T −1) 

( T ) 

Remarque : 

, T est l’indice de l’itération maximale, arrêtez, sinon 

1. La fonction d’indicateur I , i.e. H(x), peut être remplacée par d’autres fonctions 

{ S ( x) 

≥γ} 

réelles selon les problèmes traités. Une autre fonction très utilisée est celle de Boltzmann, 

-81-

− L( 

x) 

/ γ 

définie par e . Cette fonction est continue et différentiable donc le paramètre de 

contrôle γ permet de manipuler l’ordre de grandeur de la valeur de la fonction. 

2. L’approche d’ACO est une méthode stochastique qui génère un ensemble d’échantillons 

par une règle de transition stochastique. Cette règle de transition est mise à jour en 

fonction de la qualité de chemins empruntés. Ce principe de mise à jour de la règle de 

transition consiste à orienter la direction de recherche vers l’optimum. Rubinstein 

(Rubinstein, 2001) a établi un lien entre les deux approches. Considérons un problème 

d’optimisation où la fonction objectif s’écrit par S (x) 

avec x = { x0, 

x1,... 

xn} 

une 

solution générée par l’approche d’ACO en utilisant une règle de transition classique, i.e. 

f ( τrs 

) 

prs 

= où prs est la probabilité de transition du noeud r au s. τrs 

est la 

f ( τ ) 

∑ 

u∈J 

r 

ru 

quantité de phéromones sur l’arc (r, s). Nous pouvons considérer une solution x comme 

un chemin reliant une paire OD dont les éléments au sien de x sont les noeuds dans le 

chemin. A partir de cette règle de transition, nous gênerons un ensemble d’échantillons. 

La méthode d’Entropie Relative dérive la règle de transition optimale en résolvant le 

problème suivant : 

p 

t+ 

1 

rs = 

argmax 

p 

N 

∑ ∑ 

t 

[ H ( S( 

x )) ln p ] 

(3.34a) 

k 

k= 1 ( r, 

s) 

∈x 

k 

rs 

t 

où H ( S( 

x)) 

est une fonction d’indicateur ou une fonction de Boltzmann. p est la 

probabilité de transition du noeud r à s à l’itération t. La solution du problème ci-dessus 

est écrite par (Rubinstein, 1999): 

N 

∑ 

{( r, 

s) 

∈xk 

} 

t+ 

1 k= 

1 

rs = N 

p 

I 

∑ 

k = 1 

I 

{ r∈xk 

} 

H ( S( 

x )) 

k 

k 

H ( S( 

x )) 

rs 

(3.34b) 

t 

Cette mise à jour de règle de transition qui minimise l’entropie relative entre prs 

et 

t+ 

1 

prs 

. Les règles de transition globale (2.48), (2.55) et (3.24) sont basées sur la méthode 

d’Entropie Relative en introduisant un taux d’évaporation de phéromones 0 < ρ < 1 

t+ 

1 

pour que la modification de p soit plus lisse (Rubinstein, 2001, Zlochin et al. 2004). 

rs 

3.2.2. Méthode Entropie Relative pour les problèmes d’affectation du 

trafic 

Considérons le problème d’affectation statique concernant le choix des itinéraires entre une 

origine et une destination (Fig. 3-17). Un usager se situant à l’origine choisit son itinéraire 

selon la loi de probabilité. Soit le coût sur un itinéraire i, Ci 

, dépend de sa demande, i.e. 

Ci = Ci 

( di 

), ∀i 

∈ I où I est l’ensemble des itinéraires pour le même paire OD. Soit pi 

la 

probabilité de choix sur l’itinéraire i. H ( γ) 

est la fonction de performance sur l’itinéraire i 

i 

-82-

définie par la distribution de Boltzmann (Helvik et Wittner, 2001) : 

H ( γ) 

= e 

i 

−Ci 

(di 

) 

γ 

avec γ le paramètre de contrôle ou la température. 

(3.35) 

Notons que γ manipule la force de modification poussant le flux vers les itinéraires les 

moins coûteux. L’espérance de l’ensemble de performance basée sur cette distribution de 

probabilité p est donnée par : 

s.c : 

= ∑ 

i∈I 

h (p , γ) 

piH 

i ( γ) 

(3.36) 

∑ 

i∈I 

p = 1, ∀p 

≥ 0 

(3.37) 

i 

i 

w+ 

1 

La distribution de probabilité optimale p vers les itinéraires moins coûteux à chaque 

itération est la solution du problème d’optimisation qui minimise l’entropie relative de 

w w+ 

1 

Kullback-Liebler entre la distribution de probabilité p et p : 

w + 1 

p = max E w [ H ( γ) 

ln p] 

P 

p 

sous contrainte de l’équation (3.37). 

où w désigne l’indice d’une itération. 

Le problème d’optimisation de l’équation (3.38) est équivalent au problème suivant : 

(3.38) 

−Ci 

( di 

) 

w+ 

1 

w γ 

p = argmin∑ 

pi 

e ln pi 

(3.39) 

p 

i∈I 

sous contrainte de l’équation (3.37). 

La solution du problème d’optimisation ci-dessus s’écrit par : 

p 

w w 

−Ci 

/ γ 

w+ 

1 w e 

i = pi 

w w 

w −C 

j / γ 

∑ p j e 

j∈I 

, 

∀i 

∈ I 

(3.40) 

Cette probabilité optimale dépend du paramètre de contrôle γ qui doit être estimé pour 

atteindre l’équilibre du réseau. Pour estimer le paramètre γ à chaque itération, nous 

utilisons la technique d’estimation similaire à la méthode « simulated annealing » (Aarts et 

Korst, 1989). 

-83-

Min 

w 

γ 

s.c. (3.41) 

∑ 

i∈I 

w 

| p − p | ≤ α 

w+ 

1 

i 

i 

w 

w 

où p est définie par l’équation (3.40), et 

w 

lim α = 0 

w→∞ 

i 

∑ ∞ 

w=1 

w 

et α = ∞ . 

w C 

α = est une série divergente, i.e. 

w 

Nous calculons la différence de deux probabilités obtenues sur le choix d’itinéraire i aux 

deux itérations consécutives : 

p 

w+ 

1 

i 

− p 

w 

i 

= − p 

w 

i 

⎛ 

⎞ 

⎜ 

⎟ 

w w 

−Ci 

/ γ 

e 

⎜ 

⎟ 

w 1 

( 1− 

) = − p ⎜ − 

⎟ 

i 1 

(3.42) 

w w 

w w 

−C 

C −C 

w j / γ 

i j 

⎜ 

⎟ w 

∑ p j e 

w γ 

⎜ ∑ p 

⎟ 

∈I 

j e 

j 

⎝ j∈I 

⎠ 

En utilisant l’approximation du premier ordre du développement en série de la loi 

exponentielle : 

w 

w 

/ γ C 

i i ≅ 1− 

, si γ → 0 

(3.43) 

w 

γ 

−C w 

e w 

On obtient le système dynamique ci-dessous : 

( p 

w+ 

1 

i 

− p 

équivalant au : 

w 

i 

) = − p 

w 

i 

( C 

w 

i 

− C 

w 

) / γ 

w 

, 

∀i 

∈ I 

(3.44) 

p& = −p( 

C( p) 

− C ( p)) 

(3.45) 

où C (p) 

désigne le coût moyen basé sur la distribution de probabilité p. Le systeme 

dynamique (3.45) est similaire au système proposé par Jin (Jin, 2007). 

w 

w 

Nous étudions les deux cas limites lorsque γ tend vers ∞ et 0. Lorsque γ → ∞ , on 

obtient : 

w w 

−Ci 

/ γ 

w+ 

1 w w e 

lim ( pi 

− pi 

) = − pi 

( 1− 

) = 0, 

∀i 

∈ I 

w w 

γ →∞ 

w −C 

j / γ 

∑ p j e 

j∈I 

w (3.46) 

Par contre, lorsque γ → 0 , on obtient : 

w 

-84-

lim ( p 

γ →0 

w 

w+ 

1 

i 

− p 

w 

i 

) = − p 

w 

i 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎜1− 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

∑ 

j∈I 

p 

w 

j 

1 

e 

w w 

Ci 

−C 

j 

w 

γ 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

w 

w 

⎪⎧ 

− p si Ci 

> min C 

⎟ i 

= 

j∈I 

⎨ 

⎟ ⎪⎩ − ∞ sinon 

⎟ 

⎠ 

w 

j 

, 

∀i 

∈ I 

(3.47) 

La méthode proposée ci-dessus permet d’obtenir une solution ayant comme l’espérance 

du coût minimum correspondant à l’équilibre usagers dans le cas statique ou dynamique. 

Dans la section suivante, on propose un algorithme basé sur la méthode proposée ci-dessus 

pour traiter le problème d’affectation dynamique concernant le choix du temps de départ et 

d’itinéraires. 

3.2.3. Algorithme basé sur la méthode d’Entropie Relative 

Dans cette section, nous proposons un algorithme basé sur la méthode ci-dessus pour traiter 

le problème d’affectation dynamique concernant le choix du temps de départ et des 

itinéraires. Notons que l’ensemble des choix en combinaison des intervalles du temps de 

départ et des itinéraires pour chaque paire OD est très large, en pratique il convient de 

décomposer hiérarchiquement l’ensemble des choix et estimer les distributions de 

probabilité associées. Pour ce faire, nous utilisons plusieurs distributions de probabilité 

associées aux choix des usagers et les estimons itérativement en fonction de la performance 

du choix en s’appuyant sur la méthode d’Entropie Relative. Nous détaillons cet algorithme 



w 

1. Initialiser le paramètre α selon la taille de l’ensemble des choix des options et l’indice 

de l’itération w=0. 

2. Initialiser la distribution de probabilité uniforme sur : 1. choix d’itinéraires ; 2. choix 

d’intervalles du temps de départ. Pour le premier, la probabilité de choix de l’itinéraire i 

0 

p où i désigne un chemin, l’ensemble des chemins 

i = 1 / | I k |, ∀ i ∈ I k , ∀ k ∈ K 

I k 

reliant la paire OD k, et K l’ensemble des paires OD. Pour le deuxième, la probabilité de 

choix de l’intervalle du temps de départ h pour paire OD k est initialisée par 

0 

p avec h l’indice de l’intervalle du temps de départ 

hk = 1 / | H T |, ∀k 

∈ K , ∀h 

∈ H T 

discrétisé, HT 

l’ensemble d’intervalles du temps discrétisés sur T. Pour le choix du 

temps de départ, on suppose d’abord qu’un usager choisit un créneau h dans HT 

. 

Ensuite il part de son origine en choisissant un instant aléatoire t dans h. 

Etape 2 : Calcul du coût de déplacements 

L’écoulement du trafic selon le choix des options des usagers et le modèle de trafic appliqué. 

Différents modèles du trafic sont susceptibles pour modéliser l’écoulement du trafic, e.g. le 

modèle de premier ordre (Buisson et al., 1995 ; Lebacque et Khoshyaran, 1999), modèle de 

seconde ordre (Lebacque et al., 2007) etc. Le choix des usagers dépend de la loi de 

-85-

probabilité du choix de temps de départ et du choix des itinéraires. Après l’arrivée des 

usagers à leur destination, calculer le coût de déplacement individuel entre les origines et les 

destinations en tenant compte de la pénalité associée à l’arrivée en avance ou en retard. 

Etape 3 : Mise à jour de la distribution de probabilité de choix 

Calculer la probabilité du choix du temps de départ et du choix d’itinéraires par 

sous-étapes ci-dessous : 

Sous-étape 1 : choix du temps de départ 

On repartit la demande , ∀k 

∈ K sur l’ensemble des intervalles du temps de départ 

D k 

discrétisés H T en fonction du coût moyen réalisé. La distribution de probabilité du choix 

d’intervalle du temps de départ à itération w+1 est calculé par (3.40). Cependant, pour 

éliminer l’influence de l’ordre de mesure du coût, on normalise le coût moyen sur 

l’intervalle h en les divisant par le coût moyen de l’ensemble des intervalles H T . On obtient 

la probabilité de choix d’intervalles du temps de départ pour la paire OD k à itération w+1 : 

avec 

hsk 

k 

w+ 

1 w e 

ph k = ph 

k 

~ w hs 

HT 

k K 

s 

s 

w , ∀ ∈ , ∀ ∈ 

w −Chu 

k / γk 

p e 

C 

C = 

w 

w 

hk 

hk w 

Ck 

∑ 

hu∈H 

T 

~ w w 

−C 

/ γ 

huk 

(3.48) 

~ le coût de déplacement normalisé de l’intervalle du temps de départ h pour 

paire OD k avec 

w 1 

C hk = 

( t) 

w 

| Ω | 

hk 

w 

∑C m 

w 

m∈Ω 

hk 

et w 1 w 

C k = ∑C w 

m ( t) 

. 

| Ω | m∈Ω 

Notons que 

w 

C hk représente le coût moyen de déplacement relatif au choix de 

w 

l’intervalle h pour la paire OD k et C k est le coût moyen de paire OD k, respectivement. 

C (t ) désigne le coût de déplacement réalisé par usager m partant de son origine à l’instant 

t, avec le pas de discrétisation temporelle, l’ensemble des 

usagers de paire OD k qui ont choisi l’intervalle du temps de départ h et l’ensemble des 

usagers de la paire OD k, et | . | désigne le nombre d’éléments dans un ensemble. Le 

paramètre lié à la paire OD k, est déterminé par la solution du problème de 

minimisation de (3.41). Notons que l’on utilise la méthode d’interpolation pour l’estimer, i.e. 

w 

m 

w 

t ∈[ hΔh, 

( h + 1) 

Δh] 

Δh 

Ω hk 

w 

Ω k 

w 

γ k 

0 < γ 

w 

k < 

M , avec M un réel constant. 

Sous-étape 2 : choix d’itinéraires 

On répartit la demande de paire OD k dans l’intervalle sur l’ensemble des itinéraires I 

selon la distribution de probabilité du choix d’itinéraires. On obtient la distribution de 

probabilité du choix d’itinéraires à itération w+1 : 

−Cih 

/ γkh 

w+ 

1 w e 

pih = pih 

~ w w , ∀i 

∈ I k , ∀h 

∈ HT 

, ∀k 

∈ K 

w −C 

jh / γkh 

p e 

∑ 

j∈I 

k 

~ 

jh 

w w 

-86- 

k 

w 

k 

h k 

(3.49)

avec 

~ C 

C = 

w 

w 

ih 

ih w 

Ch 

le coût de déplacement normalisé de l’itinéraire i avec l’intervalle du temps 

de départ h pour paire OD k. w 1 w 

C ih = ∑C m ( t) 

et w 1 w 

C w 

h = ∑C m ( t) 

représentent le coût 

w 

| Ω 

w 

ih | m∈Ω 

| Ω 

w 

ih 

ik | m∈Ω 

ik 

moyen de déplacement de l’itinéraire i avec l’intervalle du temps de départ h par paire OD 

w 

k et le coût moyen dans intervalle h, respectivement. γ kh est le paramètre lié à l’intervalle h 

et paire OD k, déterminé par la solution du problème de minimisation de (3.41). Le 

w 

paramètre γ est lié à paire OD k et à l’intervalle h, déterminé par (3.41). 

kh 

Etape 4 : Condition d’arrêt 

Lorsque l’indice de l’itération égale à l’itération maximale ou la distribution de probabilité 

varie peu, arrêtez ; sinon retour à l’étape 2. 

Remarque : 

1. Pour vérifier la condition d’équilibre usagers, le coût de déplacement réalisé de tous les 

usagers doit être suffisamment proche. 

2. L’algorithme proposé ci-dessus permet de l’appliquer au problème d’affectation 

dynamique basée sur les activités en associant la valeur brute d’activités aux 

destinations. 

3.2.4. Etudes numériques 

Afin d’étudier l’algorithme proposé, on l’appliquera aux problèmes : 1. d’affectation 

statique uni-modal (Jin, 2007) ; 2. d’affectation statique multimodal (Wynter, 2001) ; 3. 

d’affectation dynamique uni-modal dans la section 3. 

Exemple 3-4 : Affectation statique uni-modal avec paire OD unique (Jin, 2007) 

Considérons le réseau dans la Fig. 3-17 composé de trois arcs reliant une paire OD. Les 

fonctions de coût d’itinéraire sont non-linéaires. La demande totale est supposée fixe au 10. 

Le problème d’affectation statique consiste à trouver les flux des arcs tels que l’équilibre 

usagers soit atteint. En appliquant la méthode d’Entropie Relative, la probabilité du choix 

des itinéraires s’évolue vers un état stable. On constate qu’après 15 itérations, la probabilité 

du choix d’itinéraire est stabilisée (Fig. 3-18) et les coûts sont quasiment égaux (Fig. 3-19). 

Le flux sur les itinéraires obtenue par Jin est 3.5833, 4.6451, et 1.7716 avec le coût identique 

25.4560. La méthode d’Entropie Relative obtient le flux à la dernière itération : 3.58434, 

4.64464 et 1.77102 avec le coût 25.4741, 25.4537, et 25.4554, respectivement. Notons que 

dans la figure 3-19 la valeur γ ne tend pas vers 0 (contrairement à la théorie entropie 

relative). 

-87-

probability 

0.5 

0.45 

0.4 

0.35 

0.3 

0.25 

0.2 

x1 

4 

t 1 = 10( 

1. 

0 + 0. 

15( 

) ) 

2 

x2 

4 

t 2 = 20( 

1. 

0 + 0. 

15( 

) ) 

4 

x3 

4 

t 3 = 25( 

1. 

0 + 0. 

15( 

) ) 

3 

x + x + x = 10 

1 

2 

Fig. 3-17 Le réseau statique uni-modal avec paire OD unique 

Link choice probability 

link 1 

link 2 

link 3 

0.15 

0 5 10 15 20 25 

iteration 

3 

link flow 

5 

4.5 

4 

3.5 

3 

2.5 

2 

Link flow 

link 1 

link 2 

link 3 

1.5 

0 5 10 15 20 25 

iteration 

Fig. 3-18 L’évolution de la probabilité de choix sur les chemins (à gauche) et celle du 

flux sur les arcs (à droite) 

travel cost 

31 

30 

29 

28 

27 

26 

25 

24 

23 

22 

Link travel cost 

link 1 

link 2 

link 3 

21 

0 5 10 15 20 25 

iteration 

Gamma 

50 

45 

40 

35 

30 

25 

20 

15 

10 

5 

Gamma 

0 

0 2 4 6 8 10 

iteration 

12 14 16 18 20 

Fig. 3-19 L’évolution du coût sur les arcs (à gauche) et celle de la valeur γ (à droite). 

-88-

Exemple 3-5 : Affectation statique uni-modal avec de multiples paires OD 

Pour tester cet algorithme dans un cas plus compliqué, on considère un réseau composé de 8 

noeuds et 12 arcs avec deux origines (noeud 1 et 4) et deux destinations (noeud 5 et 8) dont 

les fonctions du coût sont non linéaires. La demande totale pour chaque paire OD est donnée 

par 10. En appliquant la méthode d’Entropie Relative, on obtient la solution d’équilibre 

usagers. Pour chaque paire OD, la probabilité du choix des chemins est fonction du coût 

correspondant. Après 5 itérations, le système atteinte quasiment l’équilibre, i.e. les coûts des 

chemins du même paire OD sont égaux. La valeur du gamma s’accroît de manière 

oscillatoire du fait que le coût d’itinéraire dépend de la demande et on utilise la méthode 

d’interpolation pour estimer γ dans l’équation (3.41). 

x1 

4 

t 1 = 20( 

1. 

0 + 0. 

15( 

) ) 

4 

x7 

4 

t 7 = 10( 

1. 

0 + 0. 

15( 

) ) 

2 

x2 

4 

t 2 = 15( 

1. 

0 + 0. 

15( 

) ) 

4 

x8 

4 

t 8 = 20( 

1. 

0 + 0. 

15( 

) ) 

4 

x3 

4 

t 3 = 25( 

1. 

0 + 0. 

15( 

) ) 

3 

x9 

4 

t 9 = 25( 

1. 

0 + 0. 

15( 

) ) 

3 

x4 

4 

t 4 = 10( 

1. 

0 + 0. 

15( 

) ) 

2 

x10 

4 

t 10 = 90( 

1. 

0 + 0. 

15( 

) ) 

2 

x5 

4 

t 5 = 20( 

1. 

0 + 0. 

15( 

) ) 

4 

x11 

4 

t 11 = 20( 

1. 

0 + 0. 

15( 

) ) 

4 

x6 

4 

t 6 = 5( 

1. 

0 + 0. 

15( 

) ) 

3 

x12 

4 

t 12 = 35( 

1. 

0 + 0. 

15( 

) ) 

3 

d k 

= 10 , ∀k 

∈ K 

Fig. 3-20 Le réseau statique uni-modal avec multiple paires OD 

-89-

probability 

0.7 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

Path choice probability for od=(node 1, node 5),(demand=10, C=0.6) 

path 1-3-5 

path 1-3-6-11 

path 1-4-9-11 

path 2-5 

path 2-6-11 

0 

0 5 10 15 20 25 30 35 

iteration 

probability 

0.8 

0.7 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 


path 1-3-6-12 

path 1-4-10 

path 1-4-9-12 

path 2-6-12 

0 

0 5 10 15 20 25 30 35 

iteration 

Fig. 3-21 L’évolution de la probabilité de choix sur les chemins pour la paire OD (1,5) (à 

gauche) et celle pour la paire OD (1, 8) (à droite) 

probability 

0.7 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 


path 7-3-5 

path 8-9-11 

path 7-4-9-11 

path 7-3-6-11 

0 

0 5 10 15 20 25 30 35 

iteration 

probability 

0.7 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 


path 8-10 

path 7-4-10 

path 7-3-6-12 

path 7-4-9-12 

path 8-9-12 

0 

0 5 10 15 20 25 30 35 

iteration 

Fig. 3-22 L’évolution de la probabilité de choix sur les chemins pour la paire OD (4, 5) (à 

gauche) et celle pour la paire OD (4, 8) (à droite) 

link flow 

16 

14 

12 

10 

8 

6 

Link flow (link1-link6) 

link 1 

link 2 

link 3 

link 4 

link 5 

link 6 

4 

0 5 10 15 20 25 30 35 

iteration 

link flow 

14 

13 

12 

11 

10 

9 

8 

7 

Link flow (link7-link12) 

link 7 

link 8 

link 9 

link 10 

link 11 

link 12 

6 

0 5 10 15 20 25 30 35 

iteration 

Fig. 3-23 L’évolution du flux sur les arcs 1-6 (à gauche) et celle sur les arcs 7-12 (à droite) 

-90-

travel cost 

6000 

5000 

4000 

3000 

2000 

1000 

Path travel cost for od=(node 1, node 5),(demand=10, C=0.6) 

path 1-3-5 

path 1-3-6-11 

path 1-4-9-11 

path 2-5 

path 2-6-11 

0 

0 5 10 15 20 25 30 35 

iteration 

travel cost 

9000 

8000 

7000 

6000 

5000 

4000 

3000 

2000 

1000 


path 1-3-6-12 

path 1-4-10 

path 1-4-9-12 

path 2-6-12 

0 

0 5 10 15 20 25 30 35 

iteration 

Fig. 3-24 L’évolution du coût sur les chemins pour la paire OD (1, 5) (à gauche) et celle pour 

la paire OD (1, 8) (à droite) 

travel cost 

9000 

8000 

7000 

6000 

5000 

4000 

3000 

2000 

1000 


path 7-3-5 

path 8-9-11 

path 7-4-9-11 

path 7-3-6-11 

0 

0 5 10 15 20 25 30 35 

iteration 

travel cost 

10000 

9000 

8000 

7000 

6000 

5000 

4000 

3000 

2000 


path 8-10 

path 7-4-10 

path 7-3-6-12 

path 7-4-9-12 

path 8-9-12 

1000 

0 5 10 15 20 25 30 35 

iteration 

Fig. 3-25 L’évolution du coût sur les chemins pour la paire OD (4, 5) (à gauche) et celle pour 

la paire OD (4, 8) (à droite) 

Gamma 

4.5 

4 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

Gamma for all OD pairs 

od=(1,5) 

od=(1,8) 

od=(4,5) 

od=(4,8) 

0 

0 5 10 15 

iteration 

20 25 30 

Fig. 3-26 Evolution du γ k pour toutes les paires OD 

Exemple 3-6 : Affectation statique multi-modal avec une seule paire OD (Wynter, 2001). 

Dans cet exemple, un réseau multimodal avec la fonction du coût linéaire est presenté. Cet 

exemple et sa solution ont été proposées par Wynter (Wynter, 2001). Il consiste à résoudre le 

problème d’affectation statique multimodal avec la fonction du coût linéaire. Le problème 

d’affectation multimodal est plus difficile en raison de la monotonicité du coût du chemin 

qui n’est plus garantie. Des algorithmes soumis à cet hypothese ne sont plus adaptés. 

-91-

Considerons un réseau composé de deux arcs avec la fonction du coût lineaire associé à 

chaque mode (Fig. 3-27). La fonction du coût pour chaque mode est défini ci-dessous : 

t 1 . 5x 

+ 5x 

+ 30∀i 

∈{ 

1, 

2} 

ai = ai bi 

bi = . 3xai 

+ 2. 

6xbi 

t 1 + 28∀i 

∈{ 

1, 

2} 

d = 16d 

= 4 

a 

Fig. 3-27 Le réseau statique multimodal avec une paire OD 

où le temps de parcours de la classe g sur l’arc i et le flux du classe g sur l’arc i. 

t gi 

xgi d g 

la demande de la classe g. 

Soit ( ta1, 

ta 

2, 

tb1, 

tb 

2 ) designe une solution du pobleme. Les trois solutions équilibres 

obtenues par Wynter sont (1.33 14.67 4 0), (14.67 1.33 0 4) et (8 8 2 2). Les deux premières 

solutions sont stables (les étoiles rouges situées au nord-ouest et au sud-est) et la dernière 

(l’étoiles rouge située au centre) est instable, i.e. la modification légère du flux du point 

d’équilibre produit une transition vers les autres équilibres stables. La méthode d’Entropie 

Relative obtient trois solutions : 1. (1.3696 14.6304 4 0) ; 2. (8 8 2 2) ; 3. (14.6304 1.3696 0 

4). 

En traçant le champ du vecteur de la vitesse du mouvement du flux et x défini par : 

⎛t 

∇ = −⎜ 

⎜ 

⎝t 

a1 

b1 

− t 

− t 

a2 

b2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

b 

xa1 a2 

(3.50) 

Ce champ (de Nagurney) exprime les tendances du choix des usagers. Si ta1 

− ta 

2 > 0 , les 

usagers a tendance à se reporter cers l’itinéraire 2. 

On constate dans la Fig. 3-28 que le mouvement du flux tend vers deux équilibres stables. 

-92-

Class b flow on link 1 

4.5 

4 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 

Class a flow on link 1 

xa1 xa 

2 

Fig. 3-28 Le champ du vecteur de la vitesse du mouvement du flux et 

Exemple 3-7 : Affectation statique multi-modal avec les fonctions de coût non-linéaire 

(Wynter, 2001) 

Considérons dans la Fig. 3-29 un autre exemple multimodal avec deux arcs (Wynter, 2001) 

reliant une paire OD dont les fonctions du coût sont non-linéaires : 

c c 3 

b 

t 1 = 2( x1 

/ 6) 

+ 2 + 1. 

5( 

x1 

) 

c c 3 

b 

t 2 = ( x2 

/ 8) 

+ 5 + 1. 

3( 

x2 

) 

b c 2 

t 1 = 2( 

x1 

/ 6) 

+ 2 + 

b c 2 

t 2 = ( x2 

/ 8) 

+ 5 + 

c 

d = 10 , 

b 

d 

2. 

3( 

x 

2. 

2( 

x 

= 20 

Fig. 3-29 Le réseau statique multimodal avec les fonctions de coût non-linéaires 

En utilisant la méthode CE, on obtient la solution unique d’équilibre usagers : le coût pour la 

classe c (car) est 18.3196 et 18.199, respectivement ; pour la classe b (bus) est 40.0105 et 

40.1755, respectivement. Le flux sur deux arcs est 5.12255 et 4.87745 (classe b) ; 9.85849 et 

10.1415 (classe c). Afin de vérifier l’unicité de la solution, on trace le champ du vecteur du 

c c 

flux x1 et x2 sur arc 1. On constate que le vecteur du flux tend vers un point fixe (Fig. 

3-32). Cela vérifie l’existence et l’unicité de la solution du problème. 

-93- 

b 

1 

b 

2 

) 

) 

1. 

2 

1. 

2

probability 

0.9 

0.8 

0.7 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

Link choice probability for car and bus 

car-link 1 

car-link 2 

bus-link 1 

bus-link 2 

0.1 

0 5 10 15 20 25 

iteration 

link flow 

18 

16 

14 

12 

10 

8 

6 

4 

2 

Link flow for car(demand=10) and bus(demand=20) 

car-link 1 

car-link 2 

bus-link 1 

bus-link 2 

0 

0 5 10 15 20 25 

iteration 

Fig. 3-30 L’évolution de la probabilité de choix sur les arcs (à gauche) et celle du flux sur les 

arcs pour différentes classes d’usagers (à droite) 

travel cost 

90 

80 

70 

60 

50 

40 

30 

20 

10 

Link travel cost for car(demand=10) and bus(demand=20) 

car-link 1 

car-link 2 

bus-link 1 

bus-link 2 

0 

0 5 10 15 20 25 

iteration 

Gamma 

0.7 

0.65 

0.6 

0.55 

0.5 

0.45 

0.4 

Gamma 

car 

bus 

0.35 

0 2 4 6 8 10 

iteration 

12 14 16 18 20 

Fig. 3-31 L’évolution du coût sur les arcs (à gauche) et celle de γ pour différentes classes 

d’usagers (à droite) 

Class b (bus) flow on link 1 

20 

18 

16 

14 

12 

10 

8 

6 

4 

2 

0 

-2 0 2 4 6 8 10 12 

Clase c (car) flow on link 1 

c c 

Fig. 3-32 Le champ du vecteur de la vitesse du mouvement du flux et sur l’arc 1 

Exemple 3-8 : Affectation dynamique uni-modal avec multiple paires OD 

Dans cet exemple, nous appliquons la méthode CE pour le problème d’affectation 

-94- 

x 1 

x 2

dynamique unimmodal traitant le choix du temps de départ, et des itinéraires. Le modèle 

d’écoulement du trafic est basé sur la file ponctuelle decrite dans la section 3.1. La 

destination des usagers est supposée connue sans prise en compte de la valeur brute 

d’activités. Cependant, nous pouvons ajouter le choix de la destination basé sur la 

distribution de la valeur brute d’acitivtés sans difficulté. Le réseau est composé de deux 

origines (noeuds 1 et 4) et de deux destinations (noeuds 5 et 8) avec la demande fixe pour 

chaque paire OD qui est de 800. L’intervalle du temps de départ est entre 7 : 00 et 9 : 00 du 

matin. Le pas de discrétisation temporelle est 5 minutes. Le temps désiré d’arrivée est 9 : 00 

avec un intervalle d’indifférence de 6 minutes à chaque côté sans associer le coût de pénalité. 

La valeur du temps est 7 euros/heure, la pénalité associée à l’arrivée en avance et en retard 

est de 4 et 15 euros/heure, respectivement. 

La solution du problème d’affectation dynamique consiste à vérifier la condition 

d’équilibre usagers, i.e. pour chaque paire OD, le coût généralisé avec la pénalité d’arrivée 

en avance et en retard sont égales quel que soit le choix du temps de départ et des itinéraires. 

La solution d’affectation obtenue reflète le processus adaptatif d’apprentissage journalier des 

usagers. Lorsque le coût réalisé est moins important, le choix de l’option devient plus 

attractif. Dans la Fig. 3-34, la somme des coûts généralisés diminue rapidement pendant les 

premières itérations et ensuite remonte un peu et continue à décroître jusqu’à l’état stable où 

les usagers ne changent plus leur choix sur le temps de départ et d’itinéraire. Par ordre 

croissant en figurant le coût généralisé de chaque usager, on constate que la plupart des 

usagers partant de la même origine ont presque le même coût (Fig. 3-35). Le choix du temps 

de départ et d’arrivée des usagers se concentrent en quelques intervalles de temps. Cela 

reflète l’influence de la pénalité d’arrivée en avance et en retard. On constate que des files 

d’attente se sont générées en arcs 2, 3, 4, 6, et 9 qui sont la conséquence du choix collective 

des usagers sur le temps de départ et des itinéraires. 

Fig. 3-33 La représentation du réseau avec 8 noeuds et 12 arcs 

-95-

Total general cost 

x 104 

1.5 

1.4 

1.3 

1.2 

1.1 

1 

0.9 

0.8 

Objective value (Total general cost of all travelers) 

0.7 

0 10 20 30 40 50 

Iteration 

60 70 80 90 100 

Gamma 

4.5 

4 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

od=(node1, node5) 




Gamma 

0 

0 10 20 30 40 50 

iteration 

60 70 80 90 100 

Fig. 3-34 L’évolution de la somme des coûts généraux des usagers (à gauche) et celle du γ k 

pour le choix du temps de départ (à droite) 

general cost 

9 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

Profile of traveler's general cost 





1 

0 100 200 300 400 

traveler 

500 600 700 800 


500 

450 

400 

350 

300 

250 

200 

150 

100 

50 

General cost distribution of od pair (node1-node8) 

0 

1 2 3 4 

General cost 

5 6 7 8 

Fig. 3-35 Le coût général des usagers ordonné par ordre croissant (à gauche) et le profil du 

coût général des usagers pour la paire OD 1-8 


350 

300 

250 

200 

150 

100 

50 

Departure time distribution of travelers of od pair (node1-node8) 

0 

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 

Departure time(in seconds) 


300 

250 

200 

150 

100 

50 

Arrival time distribution of travelers of od pair (node1-node8) 

0 

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 

Arrival time(in seconds) 

Fig. 3-36 Le profil du temps de départ (à gauche) et du temps d’arrivée à destination (à 

droite) 

-96-








1200 

Arrival 


800 

600 

400 

200 

0 

0 2000 4000 6000 8000 



1000 

Arrival 

Departure 

800 

600 

400 

200 

400 

200 

0 

0 2000 4000 6000 8000 



800 

Arrival 

Departure 

600 

0 

2000 4000 6000 8000 



300 

Arrival 

250 Departure 

200 

150 

100 

50 

0 

0 2000 4000 6000 8000 



1200 

Arrival 


800 

600 

400 

200 

0 

0 2000 4000 6000 8000 



1000 

Arrival 

Departure 

800 

600 

400 

200 

0 

0 2000 4000 6000 8000 10000 









500 

Arrival 

Departure 

400 

300 

200 

100 

0 

2000 4000 6000 8000 



500 

Arrival 

Departure 

400 

300 

200 

100 

0 

0 2000 4000 6000 8000 



800 

Arrival 

Departure 

600 

400 

200 

0 

0 2000 4000 6000 8000 



1500 

Arrival 

Departure 

1000 

500 

0 

0 2000 4000 6000 8000 



800 

Arrival 

Departure 

600 

400 

200 

0 

0 2000 4000 6000 8000 



1000 

Arrival 

Departure 

800 

600 

400 

200 

0 

0 2000 4000 6000 8000 


Fig. 3-37 Le nombre d’arrivées et de départs cumulés sur les arcs 

-97-

4. Etudes comparatives avec l’approche du système 

dynamique 

Dans cette section, nous allons étudier l’approche du système dynamique pour la résolution 

du problème d’affectation dynamique. Nous proposons un schéma itératif de résolution basé 

sur l’approche du système dynamique. 

4.1 L’approche du système dynamique 

Considérons le problème d’affectation statique dans un réseau composé de trois itinéraires 

reliant une origine et une destination (Fig. 3-38). La demande sur toutes les paires ODs est 

supposée fixe. Le schéma itératif de résolution est décomposé en quatre étapes : 

Etape 1 Initialisation 

1. Initialiser l’indice d’itération w=1. 

Fig. 3-38 Réseau statique avec 3 itinéraires 

2. Initialiser la probabilité uniforme sur le choix d’itinéraire r par 

p r = 1 / | R k |, ∀ r ∈ R k , ∀ k ∈ K . 

où k est l’indice d’une paire OD. Rk 

est l’ensemble des itinéraires reliant la paire OD k. 

Etape 2 : Calcul du coût de déplacements 

Calculer le coût d’itinéraires selon la fonction du coût ou les modèles du trafic plus 

sophistiqués. Notons que nous pouvons ajouter le coût de tarification sur certains itinéraires 

pour prendre en compte le coût lié aux frais d’utilisation. 

Etape 3 : Calcul de la probabilité de choix d’itinéraires 

Comme nous avons expliqué dans le chapitre 1, la fonctionnelle Φ r (f ) qui calcule le flux 

sur l’itinéraire r est définie par (champ de Smith, (Smith, 1979)) : 

( f ) = ( C ( f) 

− C ( f)) 

− f ( C ( f) 

− C ( f)) 

, ∀r, 

s ∈ R , ∀k 

∈ K (3.51) 

Φ r ∑ f s s r + ∑ r r s + 

k 

s s 

-98-

où r et s est deux itinéraires différents. 

Notons que le coût utilisé dans l’équation (3.51) est le coût normalisé. Cette 

normalisation est importante pour prendre en compte de la sensibilité de la différence par 

rapport à la valeur absolue. Par exemple, l'impact d'un changement d’itinéraires des usagers 

sur deux itinéraires de 10 minutes et de 15 minutes est beaucoup plus significatif par rapport 

à ceux de durée de 1h5mins et 1h. La probabilité de choix d’itinéraires r pour l’itération w+1 

est calculée par les équations (3.52)-(3.54). 

Tout d’abord, nous calculons la matrice de changement du flux à l’itération w 

par : 

( ) 

w 

Φ r f 

w 

w 

w 

w 

w ( Cs 

( f ) − Cr 

( f )) + ( Cr 

( f ) − Cs 

( f )) + 

f ) = f s 

− fr 

, ∀r, 

s∈R 

k , ∀k 

∈K 

(3.52) 

* 

C 

C 

Φ ∑ ∑ 

r ( * 

s s 

s r 

* 

où C est la somme de la différence du coût entre le chemin r et tous les autres chemins s 

r 

* 

reliant la même paire OD k. C est défini par : 

C 

* 

r 

= ∑ 

s∈Rk 

r 

w 

w 

( C ( f ) − C ( f )) , ∀r 

∈ R , ∀k 

∈ K 

(3.53) 

r 

s 

+ 

La probabilité de choix du chemin r parmi l’ensemble de choix Rk 

à l’itération w 

calculée par : 

w 1 w 

f r + Φ r ( f ) 

w 

p 

w 

r = 

, ∀r 

∈ Rk 

, 

w 1 w 

[ f r + Φ r ( f )] 

w 

∑ 

r∈Rk 

k 

∀k 

∈ K 

Alors, le flux sur le chemin r à l’itération w+1 est calculé par : 

w+ 

1 w+ 

1 

f r = d k pr 

, ∀r 

∈ Rk 

, 

∀k 

∈ K 

où d k est la demande fixe pour la paire OD k 

Etape 4 : Condition d’arrêt 

w 

p r est 

Lorsque l’indice de l’itération égale à l’itération maximale ou quand la variation du flux est 

devenue suffisamment faible, arrêtez ; sinon retour à l’étape 2 et en incrémentant w de 1. 

(3.54) 

(3.55) 

Notons que nous pouvons appliquer ce schéma à pour résoudre notre modèle 

dynamique basé sur les activités (l’exemple 3-3). Tout d’abord, le réseau est augmenté 

suivant une structure hiérarchique en terme de choix des usagers, i.e. le choix de la 

destination, du temps de départ et d’itinéraires. Dans la Fig. 3-39, les usagers (demande 

fixe et connue) se situent à l’origine, ils sont repartis sur la base de la distribution de 

probabilité de choix. Le flux sur un itinéraire dans un intervalle du temps discrétisé h est 

calculé selon la distribution de probabilité de choix qui est modifiée selon le schéma itératif 

similaire au cas précédent. Nous précisons le schéma itératif pour le cas dynamique 

-99-


Dans l’étape 1, pour le choix du temps de départ, on part du même principe que dans 

l’algorithme basé sur ACO en supposant que les usagers choisissent un créneau h (indice 

d’intervalle du temps de départ discrétisé) dans H T (l’ensemble des index discrétisés sur T). 

Ensuite, les usagers quittent leur point de départ en choisissant un instant aléatoire t dans h. 

Pour un usager situé au point d’origine o∈ O , la probabilité de choix sur la destination 

d ∈ D , i.e. k=od, l’intervalle du temps de départ h et l’itinéraire s est initialisée par 

0 1 

p khs = , ∀k 

∈ K , ∀h 

∈ H T , ∀s 

∈ R . Les étapes suivantes sont les mêmes 

k| 

k = od 

| D | H T || R k | 

que dans le cas statique, sauf dans l’étape 3. Dans notre modèle dynamique basé sur les 

activités, les usagers choissent leur destination en fonction de la valeur nette d’activités 

obtenue. De ce fait, le coût est remplacé par la valeur nette d’activités moyenne normalisée 

et la fonction (.) + est remplacée par (.) − dans les équations (3.52) et (3.53). La fonction 

(.) − est définie par : 

⎧y si y ≤ 0 

( y ) − = ⎨ 

(3.56) 

⎩0 

sinon 

Notons que la valeur nette d’activités moyenne normalisée w 

v khs 

~ pour les usagers 

partant du point d’origine o, sur le choix de destination d, d’intervalle du temps de départ h 

et d’itinéraires s à l’itération w, est définie par : 

w v 

v ~ 

khs = 

(3.57) 

v 

w 

khs 

w 

o 

où w 1 

w 

vkhs 

vm 

( t) 

, ∀k 

∈{ 

k | o( 

k) 

= o, 

∀k 

∈ K} 

w 

| Ω | 

= ∑w khs m∈Ω 

khs 

et w 1 

w 

v o = ∑ v 

w m ( t) 

| Ω | m∈Ω 

Notons que v (t ) 

w désigne la valeur nette d’activités obtenue par l’usager m partant de 

m 

w 

son point de départ à l’instant t à l’itération w, avec Ω l’ensemble d’usagers de paire OD 

khs 

w 

k qui ont choisi l’intervalle du temps de départ h et l’itinéraire s à l’itération w, et Ω o 

l’ensemble d’usagers partant du point de départ o à l’itération w, et | . | désigne le nombre 

d’éléments dans un ensemble. 

Fig. 3-39 L’arbre de choix de destination, d’intervalle du temps de départ et d’itinéraires 

-100- 

o 

w 

o

4.2. Etudes numériques 

Nous avons testé l’approche du système dynamique dans le cas statique (l’exemple 3-5) et le 

cas dynamique (l’exemple 3-3). Pour le cas statique, il s’agit un réseau de 8 nœuds et 12 arcs 

avec 2 paires OD dont la fonction du coût est non linéaire. La demande pour chaque paire 

OD est donnée par 1000. L’évolution du coût sur les chemins reliant la paire OD (1,5), (1,8), 

(4,5), (4,8) est illustrée dans la Fig. 3-40a, 3-40b, 3-40c, et 3-40d, respectivement. Nous 

constatons que la vitesse de convergence de la méthode d’Entropie Relative est plus rapide 

que celle du système dynamique. Notons que pour les autres paires OD, les résultats 

vérifient la même conclusion. 

Path cost 

x 1011 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

Path cost evolution for OD pair (1,5) 

path 1-3-5 

path 1-3-6-11 

path 1-4-9-11 

path 2-5 

path 2-6-11 

0 

0 10 20 30 40 50 

Iteration 

60 70 80 90 100 

Path cost 

x 1011 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

path 1-3-5 

path 1-3-6-11 

path 1-4-9-11 

path 2-5 

path 2-6-11 

0 

0 20 40 60 

Iteration 

80 100 120 

Fig. 3-40a Evolution du coût sur les chemins reliant la paire OD (1,5) obtenue par l’approche du 

système dynamique (à gauche) et celle basée sur la méthode d’Entropie Relative (à droite) 

Path cost 

x 1011 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 


path 1-3-6-12 

path 1-4-10 

path 1-4-9-12 

path 2-6-12 

1 

0 10 20 30 40 50 

Iteration 

60 70 80 90 100 

Link cost 

x 1011 

10 

9 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

path 1-3-6-12 

path 1-4-10 

path 1-4-9-12 

path 2-6-12 

0 

0 20 40 60 

Iteration 

80 100 120 

Fig. 3-40b Evolution du coût sur les chemins reliant la paire OD (1,8) obtenue par l’approche du 


-101-

Path cost 

x 1011 

9 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 


path 7-3-5 

path 8-9-11 

path 7-4-9-11 

path 7-3-6-11 

0 

0 10 20 30 40 50 

Iteration 

60 70 80 90 100 

Link cost 

x 1011 

9 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

path 7-3-5 

path 8-9-11 

path 7-4-9-11 

path 7-3-6-11 

0 

0 20 40 60 

Iteration 

80 100 120 

Fig. 3-40c Evolution du coût sur les chemins reliant la paire OD (4,5) obtenue par l’approche du 


Path cost 

x 1011 

10 

9 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 


path 8-10 

path 7-4-10 

path 7-3-6-12 

path 7-4-9-12 

path 8-9-12 

1 

0 10 20 30 40 50 

Iteration 

60 70 80 90 100 

Link cost 

x 1011 

10 

9 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

path 8-10 

path 7-4-10 

path 7-3-6-12 

path 7-4-9-12 

path 8-9-12 

1 

0 20 40 60 

Iteration 

80 100 120 

Fig. 3-40d Evolution du coût sur les chemins reliant la paire OD (4,8) obtenue par l’approche du 


Une autre étude comparative de l’exemple 3-5 par le modèle Logit est illustrée dans les 

figures 3-40e, 3-40f et 3-40g. Le rapport de la probabilité de choix entre deux chemins i et j 

de la même OD à l’itération w+1s’écrit par : 

w+ 

1 

p w 

i −μ( 

Ci 

−C 

e w+ 

1 

p j 

∑ 

i∈Rk 

w j 

) 

= (3.58) 

p 1 

w+ 

1 

i = 

μ k 

où est le paramètre, R l’ensemble des chemins reliant la paire OD de k 

D’où 

1 

1 

Ci 

+ ln( pi 

) = C j + ln( p j ) 

(3.59) 

μ 

μ 

Le résultat numérique de la figure 3-40e montre que la valeur μ influence la convergence 

de l’équation (3.59). Notons que les coûts sur les chemins sont normalisés par Ci 

/ max{ 

Ci} 

. 

Dans la figure 3-40f, le coût normalisé du chemin plus un terme associé à la demande est 

-102- 

i∈Rk

égal pour tous les chemins reliant la même paire OD. Cependant, dans la figure 3-40g, les 

coûts sur l’ensemble des chemins de la même paire OD ne sont pas identiques. 

Path cost 

54 

53.5 

53 

Path travel cost (Mu=0.1) 

path 1-3-5 

path 1-3-6-11 

path 1-4-9-11 

path 2-5 

path 2-6-11 

52.5 

0 20 40 60 80 100 

Iteration 

Path cost 

6.5 

6 

5.5 

5 

Path travel cost (Mu=1) 

path 1-3-5 

path 1-3-6-11 

path 1-4-9-11 

path 2-5 

path 2-6-11 

4.5 

0 20 40 60 80 100 

Iteration 

Path cost 

11.6 

11.4 

11.2 

11 

10.8 

Path travel cost (Mu=0.5) 

path 1-3-5 

path 1-3-6-11 

path 1-4-9-11 

path 2-5 

path 2-6-11 

10.6 

0 20 40 60 80 100 

Iteration 

Path cost 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

Path travel cost (Mu=5) 

path 1-3-5 

path 1-3-6-11 

path 1-4-9-11 

path 2-5 

path 2-6-11 

0 

0 20 40 60 80 100 

Iteration 

Fig. 3-40e Comparaison du coût normalisé sur les chemins avec différentes valeurs de μ 

dans le modèle Logit 

Path cost 

Path cost 

11.6 

11.4 

11.2 

11 

10.8 

Path travel cost for OD=(1,5) (Mu=0.5) 

path 1 

path 2 

path 3 

path 4 

path 5 

10.6 

0 20 40 60 80 100 

Iteration 

12.2 

12 

11.8 

11.6 

11.4 


path 10 

path 11 

path 12 

path 13 

11.2 

0 20 40 60 80 100 

Iteration 

Path cost 

Path cost 

12.2 

12 

11.8 

11.6 

11.4 


path 6 

path 7 

path 8 

path 9 

11.2 

0 20 40 60 80 100 

Iteration 

11.6 

11.4 

11.2 

11 

10.8 


path 14 

path 15 

path 16 

path 17 

path 18 

10.6 

0 20 40 60 80 100 

Iteration 

Fig. 3-40f Convergence du modèle Logit (l’équation 3.59) 

-103-

Path cost 

Path cost 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

x 1011 

Path cost ( OD=(1,5) and Mu=0.5) 

path 1 

path 2 

path 3 

path 4 

path 5 

0 

0 20 40 60 80 100 

Iteration 

10 

8 

6 

4 

2 

x 1011 


path 10 

path 11 

path 12 

path 13 

0 

0 20 40 60 80 100 

Iteration 

Path cost 

Path cost 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

x 1011 


path 6 

path 7 

path 8 

path 9 

2 

0 20 40 60 80 100 

Iteration 

10 

8 

6 

4 

2 

x 1011 


path 14 

path 15 

path 16 

path 17 

path 18 

0 

0 20 40 60 80 100 

Iteration 

Fig. 3-40g Les coûts sur les chemins obtenus par le modèle Logit 

Dans le cas dynamique, nous testons la méthode du système dynamique sur l’exemple 

3-3. La valeur brute d’activités moyenne ( m d ) pour destination 5 et 8 égale à 11.4 et 12 

euros/activité, respectivement. La demande à l’origine 1 et 5 est donnée par 1500. Dans la 

Fig. 3-41, la valeur nette d’activités totale des usagers se stabilise après 10 itérations. La 

répartition du choix de destination montre qu’à la dernière itération la plupart des usagers 

partant d’origine 1 ont choisi la destination 8 du fait que la valeur nette d’activités moyenne 

m d à la destination 8 est meilleure que celle en destination 5. De plus, le plus court chemin 

pour la paire OD (1,8) est l’itinéraire 1-2-6-7-8 (noeuds passés, 8km), qui est moins long que 

la paire (4,8) (l’itinéraire 4-6-8, 11km). L’évolution des valeurs nettes d’activités dans la 

figure 3-42 montre que pour la même origine, la plupart des usagers obtiennent leur valeur 

nette d’activités maximale et les usagers partant du point d’origine 1 obtiennent des valeurs 

nettes d’activités meilleures que ceux partant du point d’origine 4. L’évolution de la 

répartition de la valeur nette d’activités moyenne sur l’intervalle du temps de départ est 

illustrée de la Fig. 3-45a à la Fig. 3-45d. Notons que les valeurs nettes d’activités moyennes 

sur les intervalles du temps de départs non utilisés sont données par 0 pour pour des raisons 

de représentation. A la dernière itération, les valeurs nettes d’activités moyennes sur tous les 

intervalles du temps de départs utilisés sont atteignent environ 10 euros. Cela vérifie la 

condition d’équilibre atteint par les usagers concernant le choix de la destination, de 

l’intervalle du temps de départ et de l’itinéraire. 

-104-

Total net activity value 

x 104 

3.1 

3 

2.9 

2.8 

2.7 

2.6 

2.5 

2.4 

2.3 

Total net activity value of all travelers 

2.2 

0 10 20 30 40 50 

Iteration 

60 70 80 90 100 

Fig. 3-41 L’évolution de la somme de la valeur nette d’activités obtenues par les usagers 

Number of travelers 

Destination choice of travelers departing from origin 1 

1400 

node 5 


1200 

1000 

800 

600 

400 

200 

0 20 40 60 80 100 

Iteration 


Destination choice of travelers departing from origin 4 

1200 



1100 

1000 

900 

800 

700 

600 

500 

400 

300 

0 20 40 60 80 100 

Iteration 

Fig. 3-42 L’évolution du choix de destination des usagers de l’origine 1 (à gauche) et 4 (à 

droite) 



12 

10 

8 

6 

4 

Profile of traveler's net activity value (iteration = 1) 

origin node 1 


2 

0 500 1000 1500 

Traveler 

11 

10.5 

10 

9.5 




9 

0 500 1000 1500 

Traveler 



11 

10.5 

10 

9.5 

9 




8.5 

0 500 1000 1500 

Traveler 

11 

10.5 

10 

9.5 




9 

0 500 1000 1500 

Traveler 

Fig. 3-43 L’évolution de valeurs nettes d’activités des usagers rangées par ordre crossant 

pour les origines 

-105-

General cost 

General cost 

10 

8 

6 

4 

2 

Profile of traveler's general cost(iteration = 1) 



0 

0 500 1000 1500 

Traveler 

5 

4 

3 

2 

Profile of traveler's general cost (iteration = 60) 



1 

0 500 1000 1500 

Traveler 

General cost 

General cost 

4.5 

4 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 




1 

0 500 1000 1500 

Traveler 

6 

5 

4 

3 

2 




1 

0 500 1000 1500 

Traveler 

Fig. 3-44 L’évolution de coûts généralisés des usagers rangés par ordre crossant pour les 

origines 

Average net activity value 


12 

10 

8 

6 

4 

2 

Average net activity value (path 1 3 5) 

iteration1 

iteration30 

iteration60 

iteration100 

0 

0 5 10 15 20 25 

Time Interval 

12 

10 

8 

6 

4 

2 

Average net activity value (path 1 3 6 11) 

iteration1 

iteration30 

iteration60 

iteration100 

0 

0 5 10 15 20 25 

Time Interval 


12 

10 

8 

6 

4 

2 

iteration1 

iteration30 

iteration60 

iteration100 



12 

10 

8 

6 

4 

2 


iteration1 

iteration30 

iteration60 

iteration100 

0 

0 5 10 15 20 25 

Time Interval 

12 

10 

8 

6 

4 

2 

Average net activity value (Path 2 6 11) 

Average net activity value (path 2 5) 

iteration1 

iteration30 

iteration60 

iteration100 

0 

0 5 10 15 20 25 

Time Interval 

0 

0 5 10 15 20 25 

Time Interval 

Fig. 3-45a L’évolution de la valeur nette moyenne d’activités sur les intervalles du temps de 

départ pour les chemins reliant la paire OD (1,5) 

-106-



12 

10 

8 

6 

4 

2 


iteration1 

iteration30 

iteration60 

iteration100 

0 

0 5 10 15 20 25 

Time Interval 

12 

10 

8 

6 

4 

2 


iteration1 

iteration30 

iteration60 

iteration100 

0 

0 5 10 15 20 25 

Time Interval 



12 

10 

8 

6 

4 

2 

Average net activity value (Path 1 4 9 12) 

iteration1 

iteration30 

iteration60 

iteration100 

0 

0 5 10 15 20 25 

Time Interval 

12 

10 

8 

6 

4 

2 


iteration1 

iteration30 

iteration60 

iteration100 

0 

0 5 10 15 20 25 

Time Interval 

Fig. 3-45b L’évolution de la valeur nette moyenne d’activités sur les intervalles du temps de 




10 

8 

6 

4 

2 


iteration1 

iteration30 

iteration60 

iteration100 

0 

0 5 10 15 20 25 

Time Interval 

10 

8 

6 

4 

2 


iteration1 

iteration30 

iteration60 

iteration100 

0 

0 5 10 15 20 25 

Time Interval 



10 

8 

6 

4 

2 

Average net activity value (Path 7 4 9 11) 

iteration1 

iteration30 

iteration60 

iteration100 

0 

0 5 10 15 20 25 

Time Interval 

12 

10 

8 

6 

4 

2 


iteration1 

iteration30 

iteration60 

iteration100 

0 

0 5 10 15 20 25 

Time Interval 

Fig. 3-45c L’évolution de la valeur nette moyenne d’activités sur les intervalles du temps de 


-107-



12 

10 

8 

6 

4 

2 

Average net activity value (path 8 10) 

iteration1 

iteration30 

iteration60 

iteration100 

0 

0 5 10 15 20 25 

Time Interval 

12 

10 

8 

6 

4 

2 


iteration1 

iteration30 

iteration60 

iteration100 

0 

0 5 10 15 20 25 

Time Interval 


12 

10 

8 

6 

4 

2 

iteration1 

iteration30 

iteration60 

iteration100 



12 

10 

8 

6 

4 

2 


iteration1 

iteration30 

iteration60 

iteration100 

0 

0 5 10 15 20 25 

Time Interval 

12 

10 

8 

6 

4 

2 



iteration1 

iteration30 

iteration60 

iteration100 

0 

0 5 10 15 20 25 

Time Interval 

0 

0 5 10 15 20 25 

Time Interval 

Fig. 3-45d L’évolution de la valeur nette moyenne d’activités sur les intervalles du temps de 




1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

Departure time choice of path 1 3 5 (iteration 100) 

0 

0 5 10 15 20 25 

Time Interval 

20 

15 

10 

5 

Departure time choice of path 1 3 6 11 (iteration 100) 

0 

0 5 10 15 20 25 

Time Interval 



100 

80 

60 

40 

20 

Departure time choice of path 1 4 9 11 (iteration 100) 

0 

0 5 10 15 20 25 

Time Interval 

1 

0.5 

0 

-0.5 

Departure time choice of path 2 5 (iteration 100) 

-1 

0 5 10 15 20 25 

Time Interval 

Fig. 3-46 La distribution du choix d’intervalle du temps de départ des usagers sur les 

chemins reliant la paire OD (1,5) 

-108-

5. Conclusion 

Dans ce chapitre, nous avons proposé un modèle d’affectation dynamique basée sur les 

activités. Les usagers choisissent leur destination en fonction de la valeur brute d’activités 

obtenue et le coût de déplacement. Deux nouvelles méthodes de résolution ont été proposées : 

la méthode basée sur l’ACO et celle basée sur la méthode d’Entropie Relative. La première 

fournit une méthode de résolution heuristique du type SMA permettant de tester des 

stratégies d’approvisionnement d’informations entre les différentes composantes du système. 

La deuxième propose une méthode de résolution générale pour les problèmes d’affectation 

dynamique multimodale. Elle considère que l’équilibre vers lequel tendent les usagers est un 

évènement rare et l’on peut passer d’un état d’équilibre à d’autres états d’équilibre avec 

différentes conditions initiales. Pour évaluer l’efficacité de cette méthode, nous l’avons 

comparée avec l’approche de système dynamique. Le résultat montre que la vitesse de 

convergence et la qualité des résultats de la méthode d’Entropie Relative est meilleure que 

l’approche du système dynamique. 

-109-

Chapitre 4 

Modèle macroscopique du trafic basé sur la 

discrétisation Lagrangienne 


Dans ce chapitre, nous allons étudier le modèle macroscopique du premier ordre en 

coordonnées Lagrangiennes et une méthode de résolution numérique basée sur le schéma de 

Godunov. La transformation de coordonnées Eulériennes en coordonnées Lagrangiennes 

permet de décrire la trajectoire de chaque véhicule dans le plan spatio-temporel 

conformément au modèle LWR (Lighthill et Whitham, 1955 ; Richards, 1956). L’objectif 

recherché est la résolution numérique en discrétisation Lagrangienne et la modélisation de la 

trajectoire des paquets de véhicules. De plus, le modèle LWR basé sur les coordonnées 

Lagrangiennes convient pour illustrer l’écoulement du trafic dans les systèmes de transport 

en commun. Dans un premier temps, nous allons décrire le modèle macroscopique du 

premier ordre et les propriétés principales du modèle en coordonnées Eulériennes. Par la 

suite, nous transformons l’équation de conservation en coordonnées Lagrangiennes. Pour 

résoudre numériquement le problème de Riemann, nous nous appuierons sur le schéma de 

Godunov. Ce schéma permet de décrire les trajectoires des paquets de véhicules dans les 

nouvelles coordonnées. L’analyse porte sur les cas homogènes et hétérogène des tronçons 

ainsi que les cas convergent et divergent des intersections. Nous terminerons ce chapitre par 

des études en simulation afin d’analyser le comportement du modèle. 

2. Modèle macroscopique du trafic du premier ordre 

Les modèles macroscopiques du trafic du premier ordre décrivent l’écoulement du trafic 

basé sur des propriétés de l’hydrodynamique des fluides (Lighthill et Whitham, 1955 ; 

Richards, 1956). La dynamique des fluides de trafic est dérivée de la loi de conservation. 

Considérons un tronçon de route homogène [ 1, 2 ] , le nombre de véhicules dans ce tronçon 

à l’instant t est : 

x x 

∫ ρ = 

x2 

N ( x1, 

x 2 , t) 

( x, 

t) 

dx 

(4.1) 

x1 

Notons que ρ ( x, 

t) 

représente la densité de véhicules au point x à l’instant t, v( 

x, 

t) 

la 

vitesse, et q ( x, 

t) 

le débit. La dynamique du flux de véhicules sur la section [ 1, 2 ] entre 

les instants et s’écrit : 

x x 

t 

d x 

t1 2 

2 

( x, 

t) 

dx ( x1, 

t) 

v( 

x1, 

t) 

( x2, 

t) 

v( 

x2, 

t) 

dt ∫ ρ = ρ 

− ρ 

(4.2) 

x1 

La loi de conservation du nombre de véhicules présentés dans le tronçon 

s’écrit par: 

-110- 

[ 1, 2 ] x x

x2 

x 

t 

t 

∫ ∫ ρ 

x1 

2 

2 

2 

ρ( 

x , t2) 

dx = ρ( 

x, 

t1) 

dx + ∫ ρ( 

x1, 

t) 

v( 

x1, 

t) 

dx − ∫ ( x2, 

t) 

v( 

x2, 

t) 

dx (4.3) 

x1 

t1 

t1 

14243 

14444444244444443 

( 1) 

Le terme de gauche représente le nombre de véhicules à l’instant t2 

. A droite, le premier 

terme est le nombre de véhicules à l’instant t1 

, et le deuxième terme représente le 

changement du nombre de véhicules dans l’intervalle [ 1, 2 ] . En supposant que la vitesse et 

la densité sont les fonctions différentiables, nous pouvons obtenir le résultat suivant : 

t t 

i.e. 

t 

2 

∫∫ 

t 

1 

x 

x 

1 

2 

{ 

∂ ρ( 

x , t) 

+ ∂ ( ρ( 

x, 

t) 

v( 

x, 

t)) 

} dxdt = 0 

(4.4) 

t 

x 

∂ t ρ( 

x, t) 

+ ∂ x ( ρ( 

x, 

t) 

v( 

x, 

t)) 

= 0 

(4.5) 

L’équation (4.5) correspond à une équation de conservation. Cette équation peut être résolue 

directement si la fonction de vitesse ne dépend que de la densité, i.e. v( x. 

t) 

Ve 

( ( x, 

t)) 

. A 

partir de cette hypothèse, nous obtenons le modèle de trafic LWR : 

ρ = 

⎧∂ 

t 

⎪ 

⎨ 

⎪ 

⎩ v 

ρ 

+ ∂ 

q = ρv 

q = 0 

= V ( ρ, 

x) 

e 

x 

( 2) 

(4.6) 

L’équation (4.6) permet de décrire la relation entre le débit q ( x, 

t) 

, la vitesse v( 

x, 

t) 

et la 

densité ρ( 

x, 

t) 

. L’explication graphique de cette relation par le diagramme fondamental 

donne les principales caractéristiques de l’écoulement du trafic (voir la figure 4-1). A partir 

de l’équation (4.6), l’état de trafic est divisé en deux régimes par la densité critique ρ cr 

dont le débit correspondant est maximal : 

- Régime fluide ( cr ρ < ρ ): lorsque la densité est inférieure à ρ cr , l’augmentation de la 

densité augmente aussi le débit. 

- Régime congestionné ( > ρ ): lorsque la densité est supérieure à , l’augmentation 

ρ 

ρ cr 

cr 

de la densité va diminuer le débit. Le point ρ max représente la densité maximale obtenue 

dans le cas où tous les véhicules sont arrêtes. 

Fig.4-1 Le diagramme fondamental 

-111-

Notons que le diagramme fondamental traduit les états d’équilibre de trafic. En revanche, 

lorsque l’on s’intéresse aux états hors d’équilibre, il faut avoir recours aux modèles 

macroscopiques du second ordre. 

Comme nous avons l’expliqué précédemment, la vitesse est fonction de la densité dont la 

formule généralisée s’écrit par (Mammar, 2006): 

β 

α ⎡ ⎛ ρ ⎞ ⎤ 

ρ = ρ ⎢ 

⎜ 

⎟ 

max − ⎥ 

⎢⎣ 

⎝ ρmax 

⎠ ⎥⎦ 

1 ) ( V qe (4.7) 

où α > 0, β ≥ 1 . Le calibrage à partir des données réelles permet de représenter 

l’écoulement du trafic de manière satisfaisante. 

L’équation (4.6) avec la condition initiale de ρ constante par morceaux discontinue au 

point x traduit le problème de Riemann. Il s’écrit : 

⎧ρ 

ρ( 

x, 

0) 

= ⎨ 

⎩ρ 

l 

r 

si x < 0 

si x > 0 

(4.8) 

La résolution du problème Riemann dépend de la valeur initiale de ρ l et ρ r . Dans de cas 

simple, nous pouvons tracer l’ensemble des caractéristiques, lignes droites portant une 

densité constante, sur les deux parties séparées par x (voir Lebacque, 1996, pour une 

résolution complète). Dans les cas compliqués, la solution analytique du problème est 

difficile. La solution est d’utiliser des méthodes numériques pour approcher la solution 

exacte. 

La résolution numérique du modèle LWR 

La résolution numérique du modèle LWR peut s’appuyer sur différents schémas numériques 

de discrétisation. Le schéma le plus utilisé est celui de Godunov (Godunov, 1959 ; Lebacque 

1989, 1996). Le schéma de Godunov consiste à faite évoluer l’état de trafic moyen dans 

chaque cellule discrétisée Δx à chaque pas de temps Δ t . Ce schéma est efficace pour 

résoudre le problème du modèle LWR puisqu’il évite l’oscillation générée par les schémas 

numériques de l’ordre deux (Chanut, 2005). A l’intérieur de chaque cellule Δx 

pour chaque 

pas de temps Δt 

, la densité est supposée homogène et constante. Pour ce faire, il faut 

vérifier la condition de stabilité de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) : 

λΔt 

≤ 1 

(4.9) 

Δx 

où λ est la valeur propre de la matrice jacobienne de l’équation de conservation. Ici ; il 

s’agit de la vitesse de propagation des informations. La condition de CFL vérifie que les 

ondes générées aux extrémités de chaque cellule n’interagissent pas pendant un pas de temps 

Δt 

: 

Δx 

Vmax 

≤ 

(4.10) 

Δt 

Le schéma de Godunov consiste à discrétiser l’espace et le temps à approximer la 

concentration par une fonction constante par morceaux et à résoudre les problèmes de 

Riemann à chaque extrémité de cellule. Les résolutions des problèmes de Riemann ne 

doivent pas interagir, d’où la condition de stabilité de CFL. L’équation de conservation par 

morceau est décrite par : 

-112-

t+ 

1 t Δt 

t t 

ρi = ρi 

+ ( qi−1 

− qi 

) 

(4.11) 

Δx 

t 

où l’indice t représente l’instant tΔ t , qi 

le débit sortant de cellule i dans l’intervalle de 

t 

temps [ tΔt, ( t + 1) 

Δt] 

, ρi la concentration moyenne dans la cellule i à l’instant tΔt 

. Alors, 

l’équation (4.11) décrit que la densité de la cellule i à l’instant ( t + 1) 

Δt 

est fonction du 

débit entrant de la cellule i-1 et du débit sortant de la cellule i. Ces débits sont constants à 

l’intervalle de temps [ tΔt, ( t + 1) 

Δt] 

si la condition CFL est vérifiée (Fig. 4-2). 

Fig. 4-2 La représentation du schéma de Godunov (d’après Mammar, 2006) 

Il est clair que la résolution numérique du modèle LWR basée sur le schéma de Godunov 

consiste à calculer le débit entrant et sortant à la frontière de chaque cellule à chaque 

intervalle de temps Δ t . Le débit traversant la frontière d’une cellule est déduit de la 

demande (le débit souhaitant sortir de la cellule i), de l’offre (la capacité de réception dans la 

cellule i+1). Proposées à l’origine par (Lebacque, 1996), la fonction de l’offre Ω (ρ) 

et 

celle de la demande Δ (ρ) 

s’écrivent : 

⎧ qmax 

Ω( 

ρ) 

= ⎨ 

⎩qe 

( ρ) 

⎧ 

Δ( 

ρ) 

= ⎨ 

⎩q 

q e 

max 

( ρ) 

( ρ) 

si ρ ≤ ρ 

si ρ ≥ ρ 

cr 

cr 

si ρ ≤ ρ 

si ρ ≥ ρ 

où q (ρ) 

est défini par la fonction de type (4.7). 

e 

cr 

cr 

(4.12) 

(4.13) 

A partir de la fonction de l’offre Ω (ρ) 

et de la demande Δ (ρ) 

, nous pouvons calculer le 

t 

débit q pour l’équation (4.11) par : 

i 

t t 

q = min[ Δ( 

ρ ), Ω( 

ρ + 1) 

] 

(4.14) 

t 

i 

i 

i 

Cette formule traduit que le débit entrant de la cellule i à la cellule i+1 est le minimum de la 

fonction de l’offre et de la demande. 

Nous constatons que le modèle LWR décrit ci-dessus est basé sur les coordonnées 

Eulériennes qui permettent de décrire l’évolution de la densité macroscopique du trafic. 

Cependant, le mouvement individuel des véhicules ainsi que la dynamique de trafic hors 

équilibre ne sont pas pris en compte. Pour le premier défaut, des études récentes consistent à 

transformer les coordonnées Eulériennes du modèle LWR en coordonnées Langrangiennes 

(Aw et al., 2000 ; Leclercq, 2007a, b). L’intérêt du modèle LWR en coordonnées 

-113-

Langrangiennes réside sur le fait qu’il permet de décrire la trajectoire de chaque véhicule et 

de désagréger le modèle macroscopique en représentation microscopique. D’autres études 

concernent la modélisation macroscopique du second ordre (Lebacque, et al., 2007a, b) qui 

consiste à ajouter un terme d’accélération du flux qui est fonction de l’anticipation du 

comportement individuel des véhicules. 

3. Le modèle LWR en coordonnées Lagrangiennes 

La transformation du modèle LWR en coordonnées Lagrangiennes permet de représenter la 

trajectoire de chaque véhicule. En coordonnées Eulériennes, l’écoulement du trafic se 

présente dans le plan ( x, 

t) 

permettant de décrire l’évolution de densité du trafic dans 

l’espace et le temps. En coordonnées Lagrangiennes, la trajectoire d’un véhicule est décrit 

sur le plan ( N, 

t) 

où N désigne le nombre cumulé de véhicules qui sont passés en x. Cette 

transformation est présentée dans les travaux de (Courant et Friedrichs, 1948), (Van Aerde, 

1994) et (Aw et al., 2000). Dans cette section, nous allons introduire le modèle LWR en 

coordonnées Lagrangiennes en insistant sur l’équation de conservation en coordonnées 

Lagrangiennes et le schéma de Godunov pour la résolution numérique. 

3.1 L’équation de conservation en coordonnées Lagrangiennes 

En coordonnées Lagrangiennes, l’équation de conservation s’appuie sur deux coordonnées : 

N et T, où N désigne le nombre cumulé de véhicules qui sont passés en x, et T le temps, i.e. 

⎧ 

⎪N 

⎨ 

⎪ 

⎩ 

∞ 

= ∫ 

x 

( x, 

t) 

ρ( 

ε, 

t) 

dε 

(4.15) 

T = t 

La dérivée partielle de N( 

x, 

t) 

en x et t s’écrit : 

⎧∂ 

x N ( x, 

t) 

= −ρ( 

x, 

t) 

⎨ 

⎩ ∂ t N ( x, 

t) 

= q( 

x, 

t) 

La dérivée partielle équivalente pour deux coordonnées s’écrit : 

où 

⎧ ∂ x = −ρ∂ 

N 

⎨ 

⎩∂ 

t = ∂T 

+ q∂ N 

(4.16) 

⎧ ∂ N = −r∂ 

x 

⇔ ⎨ 

(4.17) 

⎩∂T 

= ∂ t + r∂ 

x 

= 

ρ 

1 

r est la distance intervéhiculaire. 

Alors, l’équation de conservation en coordonnées Lagrangiennes s’écrit : 

-114-

D’où 

∂ ρ 

t 

⇒ ( ∂ 

⇒ −∂ 

⇒ ∂ 

+ ∂ 

( ρv) 

= 0 

+ q∂ 

∂T 

ρ q 

⇒ + ∂ 

2 2 

ρ ρ 

T 

T 

T 

x 

r − q∂ 

r + ∂ 

N 

N 

) ρ − ρ∂ 

N 

N 

rq = 0 

1 

ρ − ∂ 

ρ 

r − r∂ 

N 

N 

( ρv) 

= 0 

N 

q = 0 

q = 0 

∂T r + ∂ Nv 

= 0 

(4.18) 

En coordonnées Lagrangiennes, la position du véhicule N à l’instant t est décrite par la 

fonction ϕ( 

N, 

t) 

: 

∫ ∞ 

x 

x = ϕ( 

N , t) 

⇔ N = ρ( 

x, 

t) 

dt 

(4.19) 

Notons que la dérivée de N par rapport à t s’écrit par: 

dN = −ρdx 

+ qdt 

dN dx 

⇒ = −ρ 

+ q 

dt dt 

dx dN 

⇒ = v − r 

dt dT 

Avec = ϕ dN + ϕ dt , on obtient : 

dx x t 

⎧ϕx 

= −r 

⎨ 

⎩ ϕt 

= v 

En introduisant la fonction de vitesse v = Ve 

( r, 

ϕ( 

N, 

t)) 

, avec 

modèle LWR en coordonnées Lagrangiennes : 

⎧∂ 

T r + ∂ N v = 0 

⎨ 

⎩v 

= Ve 

( r, 

ϕ( 

N , t)) 

Cette équation hyperbolique non linéaire est équivalente à l’équation (4.6). 

(4.20) 

(4.21) 

= 

ρ 

1 

r , nous obtenons le 

(4.22) 

Pour vérifier ondes de choc dans la nouvelle coordonnée, i.e. ( x, t) 

⇒ ( N, 

T ) , il nous faut 

calculer dx / dt pour la coordonnée (N, T) le long d’une onde de choc séparant d’un état de 

trafic [U] d’un état de trafic [D] (voir la figure 4-3) . En utilisant l’équation (4.20), la vitesse 

de l’onde de choc s’écrit : 

dx dN dN 

= vU 

− rU 

= vD 

− rD 

(4.23) 

dt dT dT 

d’où la vitesse d’une onde de choc : 

-115-

dN vD 

− vU 

[ v] 

w = = = 

(4.24) 

dT r − r [ r] 

D 

U 

En effet, on peut traduire la même onde choc par l’équation (4.20), i.e. 

dN 

dT 

dx dx 

= qU 

− ρU 

= qD 

− ρD 

(4.25) 

dt dt 

D’où la vitesse d’une onde de choc : 

[ ] 

= 

[ ρ] 

q 

w (4.26) 

Par conséquent, les ondes de choc restent inchangées quelles que soient les coordonnées 

manipulées pour formuler le modèle LWR. Donc les représentations Eulérienne (4-6) et 

Lagrangienne (4-22) sont équivalentes. 

Fig. 4-3 Le schéma de l’onde choc en coordonnées Lagrangiennes 

3.2 Modèle de LWR basé sur les paquets 

La représentation graphique en coordonnées Lagrangiennes sur le plan ( N, 

t) 

est 

t 

illustrée dans la figure (4-4). Notons que x peut représenter la trajectoire d’un véhicule ou 

i 

d’un paquet de véhicules (Aw, et al., 2000). Soit Δ Ni 

le nombre de véhicules présentés 

t t 

entre xi 

et xi−1 , dans le cas ΔN = 1, 

la distance entre deux trajectoires consécutives 

représente la distance intervéhiculaire. En revanche, si chacun (i) représente un paquet de 

t t 

t 

véhicules, xi−1 − xi 

représente l’extension du paquet (i) et xi−1 la limite entre le paquet (i) 

et le paquet (i-1). 

-116-

Fig. 4-4 La représentation des trajectoires de véhicules en coordonnées Lagrangiennes 

Comme vu précédemment, la résolution numérique du problème de Riemann pour le 

système hyperbolique (4.22) peut s’appuyer sur le schéma de Godunov. En coordonnées 

Lagrangiennes, la discrétisation n’est plus Δ x mais Δ N , la taille du paquet de véhicules. 

Le temps est discrétisé en pas de temps Δ t . A l’intérieur d’un paquet, on suppose que la 

t 

distance moyenne intervéhiculaire ri est constante pour un pas de temps Δt 

, et est définie 

par : 

r 

t 

i 

t t 

xi 

− xi 

= 

ΔN 

−1 (4.27) 

i 

t 

où xi est la limite amont du paquet i à l’instant tΔ t , Δ Ni 

le nombre de véhicules dans le 

paquet i supposé constant pour l’ensemble de paquets. Le schéma de discrétisation 

Lagrangienne basée sur les paquets de véhicules est illustré dans la Fig. 4-5. La vitesse du 

t 

paquet i à l’instant tΔ t est fonction de r . 

t 

xi 

i 

t 

( ) 

V ( ri 

−1) 

t 

t 

V ri 

V ( ri 

−2 

) 

ΔN 

i 

t 

x , 

t 

xi−1 (i ) 

i h 

( i −1) 

t 

x i−1, 

h 

(i) : paquet i 

t 

xi− 2 

Fig. 4-5 La discrétisation Lagrangienne basée sur les paquets de véhicules 

La résolution du problème de Riemann du système de l’équation (4.22) consiste à calculer 

t 

ri à chaque pas de temps. La dérivée de N en x, ∂ x N = −ρ 

traduit que la variation de N est 

au sens inverse de x. La connaissance de la vitesse du paquet i et i-1 (le paquet devant i) 

-117-

t+ 

1 

permet de calculer ri 

. Si la condition de stabilité CFL est vérifiée, le schéma de Godunov 

en discrétisation Lagrangienne s’écrit : 

t+ 

1 t Δt 

t 

t 

ri = ri 

+ ( V ( ri 

−1) 

−V 

( ri 

)) 

ΔN 

i 

(4.28) 

où ( ) représente la vitesse du paquet i entre l’intervalle de temps . Cette 

équation traduit le fait que lorsque la vitesse du paquet i-1 est supérieure à celle de i, la 

distance intervéhiculaire du paquet i va augmenter. Dans l’équation (4.28), la vitesse est 

fonction de 

t 

V ri 

[ tΔt, ( t + 1) 

Δt] 

r . En introduisant le diagramme fondamental, le concept d’offre et de demande 

(voir la figure 4-6), l’équation (4.28) peut être écrite plus précisément par : 

t 

( { V , V ( r ) } − min{ 

V , V ( r ) } ) 

Δt 

r = r + 

+ 

(4.29) 

t + 1 t 

t 

i i min i, 

max i−1 

i 1, 

max i 

ΔN 

i 

t t 

xi + xi−1 

où Vi, 

max est la vitesse maximale moyenne à l’endroit occupé par le paquet i, . 

2 

En effet la figure (4-7) montre que pour (4.22) l’offre est la vitesse maximale et la demande 

et la fonction V (r) 

. 

t 

On remplace r par 

i 

t t 

xi−1 

− xi 

dans l’équation (4.28) : 

ΔN 

i 

t+ 

1 t+ 

1 t t 

xi− 

1 − xi 

xi−1 

− xi 

Δt 

t 

t 

= + ( V ( ri 

−1) 

−V 

( ri 

)) 

(4.30) 

ΔN 

ΔN 

ΔN 

On obtient : 

t+1 

i 

i 

x = x + Δtv 

t 

i 

t 

i 

i 

i 

(4.31) 

avec 

⎧ ⎛ 

⎞ 

⎫ 

⎪ ⎜ 

⎛ ⎞ 

t t ⎟ ⎜ t t ⎟ ⎪ 

t 

⎨ 

⎜ ΔN 

i xi−1 

+ xi 

⎟ xi 

+ xi+ 

1 

v i = min V , , V ⎜ ⎟⎬ 

(4.32) 

t t 

max 

⎪ 

⎜ x − ⎟ 

i−1 

xi 

1422 

43 ⎜ 1422 

43 ⎟⎪ 

⎪ 

⎜ 14243 

( 2) 

⎟ 

⎩ ⎝ ( 1) 

⎠ ⎝ ( 3) 

⎠⎪⎭ 

où (1) représente la densité du paquet i, (2) la position moyenne du paquet i, (3) la position 

moyenne du paquet (i+1). 

t 

xi+ 1 

( Ω i+ 

1 i 

, Δ ) 

t 

( i + 1) 

xi 

(i) 

( Ω i , Δ i 1 ) 

t 

xi−1 − 

( Ω{ 

, Δ{ 

) 

offre 

Flux de Godunov 

x 

( i −1) 

Fig. 4-6 Le schéma de l’offre Ω et de la demande Δ 

-118- 

demande

3.3. La condition CFL 

Fig. 4-7 La relation de vitesse-distance intervéhiculaire 

La condition CFL vérifie qu’il n’y a pas d’onde de choc qui se génère au sein d’un paquet. 

t 

Ainsi, la relation entre x et 

t 

doit vérifier : 

i 

xi−1 t t 

xi 

− xi 

r ≤ ∀t 

ΔN 

− 1 

min , 

(4.33) 

i 

où rmin 

représente la longueur moyenne des véhicules. 

En utilisant l’équation (4.31), on obtient : 

r 

t 

i 

− r 

min 

1 

≥ ΔtV 

( ) t 

r 

i 

rmin 

1 

⇒ 1− 

≥ Δtq( 

) 

t 

t 

ri 

ri 

d’où 

rmin 

1− 

Δt ≤ min r 

(4.34) 

r≥ 

rmin 

q( 

1/ 

r) 

ou 

ρ 

1 − 

ρ max 

Δt ≤ min 

(4.35) 

ρ≤ρ 

max q( 

ρ) 

-119-

3.4 Modélisation de l’intersection 

Dans cette section, nous allons étudier le modèle d’intersection basé sur la discrétisation 

Lagrangienne. Comme la modélisation d’une intersection est délicate, nous distinguons le 

modèle de divergent et celui de convergent. 

3.4.1 Modèle du divergent 

Considérons une intersection représentée dans la figure 4-8. Pour modéliser l’écoulement du 

paquet à l’intersection, nous distinguons deux situations : le cas sortant d’un tronçon et celui 

entrant d’un tronçon. Pour ce faire, nous définissons ξ et η, le point d’intersection pour le 

cas sortant d’un tronçon en amont de l’intersection [U], et celui entrant d’un tronçon en aval 

de l’intersection [D]. 

t 

xi+ 1 

( i + 1) 

t 

xi 

[U] 

(i ) 

( i −1) 

ξ η 

Intersection 

t 

xi−1 t 

xi−2 Fig. 4-8 Le schéma d’intersection basé sur les paquets 

3.4.1.1 Le cas d’entrée d’un tronçon [D] 

t+ 

1 

Comme nous l’avons expliqué dans l’équation (4.32), le calcul de x dépend de la vitesse 

moyenne au point 

t 

xi t 

t 

+ xi−1 

x i 

(demande) et la vitesse maximale au point 

2 

t 

+ xi+ 

1 

(offre) à 

2 

t 

l’instant tΔt . Lorsqu’un paquet arrive à une intersection (voir la figure 4-9), i.e. xi 

deux situations sont alors observables pour l’état du trafic : 

< ξ , 

- Régime fluide ([D] fluide): 

r > r 

t+ 

1 

i−1 

cr 

t+ 

1 

Lorsque le paquet i-1 existe, le point x du paquet i entre sur le tronçon [D] si 

x 

− x 

ΔN 

t+ 

1 

i−1 

i 

t+ 

1 

i 

= r 

t 

i 

= r 

cr 

t+ 

1 

xi−1 

− ξ 

≤ 

ΔN 

- Régime congestionné ([D] congestionné) : 

i 

i 

r ≤ r 

t+ 

1 

i−1 

Lorsque le régime sur le tronçon [D] est congestionné, l’offre est réduite. La distance 

t+ 

1 

t+ 

1 

t+ 

1 

intervéhiculaire au sein du paquet i r est égale à r . Le point x entre sur [D], si 

i 

-120- 

cr 

i−1 

[D] 

i 

i

x 

− x 

ΔN 

t+ 

1 

i−1 

i 

t+ 

1 

i 

= r 

t 

i 

= r 

t 

i−1 

t+ 

1 

xi−1 

− ξ 

≤ 

ΔN 

i 

t+ 

1 

t+1 

t 

Si x ne peut pas entrer dans le tronçon [D], il reste à la même position, i.e. x = x . 

Pour résumer : 

i 

t 1 + 

i 

i−1 

t 1 ( r r ) 

+ 

r = min , 

(4.36) 

t+ 

1 

i 

cr 

x entre dans [D] si 

sous l’hypothèse : 

r 

t 

t 

xi < ξ ≤ xi−1 

t+ 

1 

i 

t+ 

1 

xi−1 

− ξ 

≤ 

ΔN 

La position le paquet i à t+1 est calculée { } t 

t+ 

1 

t+ 

1 

t+ 

1 t 

x = min x − ΔN 

r , x + Δtv 

t 

xi 

[U] 

(i) 

ξ 

t 

xi−1 3.4.1.2 Le cas de sortie d’un tronçon [U] 

i 

i 

t 

xi−2 i−1 

( i −1) 

( i − 2) 

i 

t 

xi−3 Fig. 4-9 Le schéma d’entrée d’une intersection 

t 

Rappelons que la position de paquet i x est calculée par l’équation (4.31) et (4.32), i.e. 

t+ 

1 t 

xi 

= xi 

t 

+ Δtvi 

⎪⎧ 

t ⎛ ΔN 

i 

v = min⎨ 

⎪⎩ 

⎜ 

i V t t 

⎝ xi−1 

− xi 

t t 

x + ⎞ 

i−1 

xi 

, 

⎟ 

⎟, 

V 

2 ⎠ 

i 

max 

t ⎛ xi 

+ x 

⎜ 

⎝ 2 

t 

i+ 

1 

⎞⎪⎫ 

⎟ 

⎟⎬ 

⎠⎪⎭ 

i 

i 

i 

[D] 

i 

i 

(4.37) 

t t 

t 

xi 

+ xi+ 

1 

La vitesse vi dépend de l’offre Vmax 

au point s = . Lorsque s passe le point de 

2 

l’intersection η, 

la vitesse maximale est spécifiée en fonction de l’offre en aval (Voir la 

figure 4-10). 

En résumé, 

⎧ 

⎪ 

V = 

V 

max ⎨ 

⎪⎩ V 

max 

max 

t 

xi 

+ x 

( 

2 

( η) 

t 

i+ 

1 

) 

t t 

xi 

+ xi 

si 

2 

sinon 

+ 1 

< η 

-121- 

(4.38)

t 

xi+ 2 

[U] 

t 

xi+ 1 

( i + 2) 

( i + 1) 

t 

xi 

t t 

xi 

+ xi+ 

1 ( ) 

2 

η 

(i) 

Fig. 4-10 Le schéma de sortie d’une intersection 

V 

max 

max ( ) η V 

3.4.2 Modèle du convergent 

Le modèle convergent consiste à modéliser la propagation du flux dans le cas où plusieurs 

tronçons se croisent à un noeud. Nous considérons une intersection comme une zone tampon, 

qui stocke temporairement des paquets de véhicules avec une capacité fixe de stockage (voir 

la figure 4-11a). Lorsqu’un paquet arrive à une intersection, le temps nécessaire pour 

traverser une intersection dépend de la demande totale en amont et de l’offre totale en aval. 

Les paquets reçus à l’intersection peuvent traverser l’intersection directement si l’offre est 

supérieure à la demande. En revanche, si la demande est supérieure à l’offre, les paquets sont 

stockés et attendent leur sortie en fonction du principe FIFO. 

La représentation du modèle de convergent est illustrée à la figure 4-11a. Si nous 

considérons une intersection composée de deux tronçons entrant en amont et un tronçon 

− 

sortant en aval, la position d’entrée de la zone d’intersection est notée L I , z où I désigne le 

tronçon entrant. Le paquet devant l’intersection z est noté p. Sa position correspondant à 

t 

l’instant tΔt 

est notée x p, 

z . Le calcul de la position du paquet p se décompose en deux 

étapes : (1) l’étape entrant d’une intersection et (2) l’étape sortant d’une intersection. Dans le 

cas sortant de l’intersection, nous appliquons le modèle divergent décrit dans la section 

précédente. Dans le cas entrant de l’intersection, la position de paquet p dépend du calcul des 

trois étapes suivantes : (1) le calcul de l’offre pour chaque tronçon entrant de l’intersection, 

(2) le calcul du nombre de véhicules entrant dans l’intersection et la position du paquet p, et 

(3) le calcul de la capacité résiduelle de l’intersection. 

Fig. 4-11a Le schéma du modèle de convergent 

-122- 

[D] 

t 

xi−1

Fig. 4-11b Le principe du modèle de convergent 

Etape 1 : Calcul de l’offre pour chaque tronçon entrant 

Nous définissons la fonction de l’offre totale d’intersection Ω z par : 

t 

t ⎧ qmax, 

z si N z ≤ N z, 

cr 

Ω z ( N z ) = ⎨ 

(4.39) 

t 

⎩qe 

( N z ) sinon 

t 

avec la contrainte de capacité de stockage de l’intersection z 0 ≤ Nz ≤ N z, 

max (voir la figure 

4-12). 

où 

t 

N z : le nombre de véhicules à l’intersection z à l’instant tΔ t 

qmax, : le débit maximal de la zone d’intersection z 

z 

N : la capacité de stockage de la zone d’intersection z 

z, 

max 

N z, 

cr : le nombre critique de véhicules dans l’intersection z 

t 

L’offre pour le tronçon entrant I à l’instant tΔ t , Ω , est définie par : 

t 

t 

Ω = β Ω ( N ) 

(4.40) 

I 

∑− I∈M 

z 

I 

z 

z 

β I = 1 

(4.41) 

où 

β I : le coefficient directionnel qui est proportionnel au nombre de voies du tronçon entrant I 

M : l’ensemble des tronçons entrant dans la zone d’intersection 

− 

z 

-123- 

I

Fig. 4-12 Diagramme d’offre d’intersection 

Etape 2 : Calcul du nombre de véhicules entrant dans l’intersection (Voir la figure 4-11a) 

Le nombre de véhicules entrant dans l’intersection dépend du minimum de l’offre et de la 

demande. Le principe de calcul distingue deux situations : 

t t 

Cas 1 : n ≥ Ω Δt 

(la demande d’entrée est supérieure à l’offre) 

p, 

z 

I 

t 

La demande d’entrée du paquet p à l’instant tΔ t , noté , est définie comme le 

nombre de véhicules situé devant l’entrée de l’intersection z. Lorsque la demande 

d’entrée dans un pas de temps Δ t est supérieure à son offre, le nombre de véhicules à 

l’instant ( t + 1) 

Δt 

est calculé par : 

t+ 

1 t t 

n p, 

z = n p, 

z − Ω I Δt 

(4.42) 

− t 

La position du paquet p à l’instant ( t + 1) 

Δt 

est proportionnelle à la longueur L I , z − x p, 

z , 

i.e. 

L 

L 

− 

I , z 

− 

I , z 

⇒ x 

− x 

− x 

t+ 

1 

p, 

z 

t+ 

1 

p, 

z 

t 

p, 

z 

= L 

n 

= 

n 

− 

I , z 

t+ 

1 

p, 

z 

t 

p, 

z 

− ( L 

− 

I , z 

− x 

t 

p, 

z 

n 

) 

n 

t+ 

1 

p, 

z 

t 

p, 

z 

avec I le tronçon où le paquet p se trouve. 

n p, 

z 

t t 

Cas 2 : n < Ω Δt 

(la demande d’entrée est inférieure à l’offre) 

p, 

z 

I 

(4.43) 

Dans ce cas, la demande d’entrée peut entrer totalement dans l’intersection durant un pas 

de temps. Comme le nombre de véhicules pouvant enter dans l’intersection est supérieur 

t 

à n p, 

z , des véhicules du paquet (p+1) peuvent également avancer dans l’intersection 

dans un pas de temps. Alors, le nombre de véhicules du paquet (p+1) à tΔt 

est calculé 

par : 

t 

t t 

n p+ 

1, 

z = Ni 

− ( ΩI 

Δt 

− n p, 

z ) 

(4.44) 

-124-

L’indice du paquet devant l’intersection est modifié par p : = p + 1. 

Etape 3 : Calcul de la capacité résiduelle de l’intersection 

Comme des véhicules sont entrés ou sortis de l’intersection, le nombre de véhicules dans 

l’intersection z à l’instant ( t + 1) 

Δt 

est modifié par le nombre total de véhicules entrants et 

ceux sortants, i.e : 

t+ 

N z 

1 

= N 

t 

z 

+ 

t 

∑ Ξ I − ∑ 

− 

+ 

I∈M 

z 

J∈M 

z 

Ψ 

t 

J 

(4.45) 

où 

t 

Ξ I : le nombre de véhicules du tronçon I entrant dans l’intersection z dans l’intervalle de 


Δt] 

. Cette quantité est calculée par l’étape 2. 

t 

Ψ J : le nombre de véhicules du tronçon J sortant de l’intersection z dans l’intervalle de 


Δt] 

. Cette quantité est calculée en appliquant le modèle de divergent. 

+ 

M / M : l’ensemble des tronçons entrants/sortants de l’intersection z 

− 

z 

z 

Notons que nous pouvons adapter la formule alternative qui consiste à évaluer la vitesse du 

paquet p en fonction de la distance intervéhiculaire local dans la section 

t − 

, ] , i.e. L x 

L 

= V ( 

− x 

− t 

t 

I , z p, 

z 

p, 

z 

t 

n p, 

z 

v 

) 

[ p, 

z I , z 

Le nombre de véhicules entrants et sortants de l’intersection peut être calculé à partir des 

mêmes étapes de calcul. 

4. Etudes numériques 

(4.46) 

Dans cette section, nous allons étudier différents exemples numériques pour le cas 

homogène et hétérogène d’une intersection pour le modèle de divergent. La fonction de 

vitesse est définie par le diagramme fondamental décrit par : 

ρ γ 

qe ( ρ ) = Vmaxρcr 

( 1− 

) 

(4.47) 

ρ 

max 

En appliquant la condition de stabilité de CFL définie par l’équation (4.35), on a 

-125-

d’où 

Δt 

≤ 

max 

min ρ≤ρ 

min 

max 

ρ≤ρ 

max 

qe 

( ρ) 

⇒ Δt 

≤ min 

⇒ Δt 

≤ 

V 

max 

max 

α∈[ 

0, 

1] 

1 

ρ 

max 

1 − 

max 

ρ 

ρ 

V 

max 

ρ 

= 

max 

γ 

1 

( 1 − ) 

γ 

γ −1 

V 

1 

( α( 

1 − α) 

max 

γ −1 

ρ 

1 − 

ρ max 

ρ 

ρ cr ( 1 − 

ρ 

max 

ρ 

, avec α = 

) ρ 

γ 

1 γ 

Δt 

≤ 

(4.48) 

γ−1 

V ρ ( γ −1) 

4.1 Etude sur un tronçon hétérogène 

Pour vérifier l’écoulement des paquets de véhicules sur une section de route hétérogène, 

nous considérons un tronçon de route d’une longueur de 18 kilomètres avec la discrétisation 

en paquet de 20 véhicules. Le changement du nombre de voies se situe au niveau de la 

section de route [9km, 10km] avec la densité en amont et en aval 

ρmax, g = ρmax, 

r = 0. 

54 veh/m et celle au milieu ρmax, m = 0. 

36 veh/m (voir la figure 4-13). La 

vitesse maximale pour la section de route [g] et [r] est Vmax, g = Vmax, 

r = 33m/sec 

et celle de la 

section [m] Vmax, 

m = 22 m/sec (voir la figure 4-14). Le paramètre du diagramme fondamental 

est donné par γ = 1. 

4 avec le débit de la demande égal à 2 veh/sec. Notons que la 

génération des paquets de véhicules est basée sur la loi de Poisson pour toutes les études 

numériques. De ce fait, le temps intervéiculaire n’est pas constant. 

Fig. 4-13 La représentation d’un tronçon de route (cas hétérogène I) 

La figure 4-14 représente la trajectoire des paquets de véhicules du modèle basé sur les 

paquets. Nous constatons que la vitesse des paquets est diminuée dans la section [m]. Ce 

ralentissement représente une onde de choc vers l’amont. 

-126- 

) 

γ 

max

Time(second) 

600 

500 

400 

300 

200 

100 

Packet trajectories from link 1 to link 2 

0 

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 

Distance(m) 

Fig. 4-14 La trajectoire des paquets de véhicules 

Un autre exemple est illustré dans la figure 4-15. Le nombre de voie au milieu d’un tronçon 

est diminué à une voie sur l’intervalle [9 km, 10 km]. La densité maximale pour la section de 

route [g] et [r] est donnée par = ρ = 0. 

54 veh/m et la vitesse maximale 

V 

max, g = Vmax, 

r 

ρmax, g max, r 

= 33m/sec. 

Pour la section de route [m], la densité et la vitesse maximale est 

donnée par ρ m 0. 

18 veh/m et V 11 m/sec, respectivement. 

max, = 

max, m = 

Fig. 4-15 La représentation d’un tronçon de route (cas hétérogène II) 

Dans la figure 4-16, les trajectoires des paquets de véhicules montrent qu’une onde de choc 

se génère vers l’amont. La vitesse des paquets se ralentit avec une file d’attente au bout de 

9km. 

Time(second) 

600 

500 

400 

300 

200 

100 

Packet trajectories from link 1 to link 2 

0 

0 2000 4000 6000 8000 

Distance(m) 

10000 12000 14000 16000 

Fig. 4-16 La trajectoire des paquets de véhicules 

-127-

5. Conclusion 

Dans ce chapitre, nous avons proposé un modèle macroscopique du premier ordre en 

discrétisation Lagrangienne. Cette transformation de coordonnées Eulériennes en 

coordonnées Lagrangiennes nous permet de regrouper les véhicules en paquets et d’analyser 

leur trajectoire dans le plan spatio-temporelle. Comme l’état initial du trafic n’est pas 

homogène, le problème de Riemann a fait l’objet d’études basées sur la résolution 

numérique à l’aide du schéma de Godunov. La modélisation de l’intersection est aussi 

étudiée en décomposant le problème en deux cas : le cas convergent et le cas divergent. 

A travers quelques exemples numériques, nous avons pu montrer que le modèle basé 

sur les paquets est conforme au modèle macroscopique en coordonnées Eulériennes. Comme 

ce modèle permet de regrouper les véhicules en paquet, il réduit le temps de calcul pour 

l’application dans un grand réseau. De plus, comme ce modèle permet d’analyser la 

trajectoire de chaque véhicule, il convient pour modéliser l’écoulement du trafic dans les 

systèmes de transport en commun. 

-128-

Chapitre 5 

Modèle dynamique de transports multimodaux basé 

sur les activités 


Nous allons présenter dans ce chapitre un modèle dynamique multimodal basé sur les 

activités en étendant le modèle d’AVA. Nous supposons que chaque usager possède un 

programme d’activités (PA) à réaliser pendant 24 heures. Ce programme d’activités est 

supposé connu dans lequel le type d’activités, la durée d’activités et le temps désiré d’arrivée 

sont fixés. De plus, nous supposons que l’ordre de réaliser un PA est fixé. La modification et 

reprogrammation d’activités ne sont pas prises en compte. Notons que la première et la 

dernière activité sont réalisées à domicile, les usagers doivent se rendre au point d’origine 

après avoir réalisé son programme d’activités. En basant sur le modèle d’AVA, nous 

supposons que chaque activité possède une valeur économique qui est repartie en fonction de 

types d’activités et de localisation d’activités. 

La modélisation dynamique des systèmes de transport est basée sur les méthodes 

multi-agents permettant de représenter l’interaction entre les usagers et les systèmes de 

transport. Pour le réseau routier, les usagers pour les mêmes origines et destinations sont 

regroupés en paquets de véhicules empruntant les mêmes itinéraires. Le modèle 

d’écoulement est basé sur le modèle de paquets proposé dans le chapitre 4. Dans le réseau du 

transport en commun (TC), les opérations du système de TC sont effectuées par différents 

types d’agents sur le réseau TC. 

Nous supposons que chaque usager tend de maximiser leur valeur nette totale 

d’activités obtenue par la réalisation de son programme d’activités prédéterminé. A 

l’équilibre des usagers (l’équilibre de Nash), chaque usager ne peut pas améliorer la valeur 

nette d’activités de ses choix de manière unilatérale. Nous modélisons le choix des usagers 

individuels concernant le choix de destinations, de chaînes de modes de transport, de temps 

de départ et d’itinéraires multimodaux. Pour résoudre le problème d’équilibre des usagers, 

nous utilisons la méthode d’Entropie Relative, proposée dans le chapitre 3, pour dériver 

progressivement la distribution de probabilité de choix qui faire converger le système vers 

les états d’équilibre des usagers. 

Dans la section suivante, nous allons décrire le modèle d’activités proposé. Par la suite, 

les modèles de la demande concernant le choix des destinations, des chaînes de modes de 

transport, des itinéraires multimodaux, et de temps de départ. La modélisation dynamique 

des systèmes de transport dans le réseau multimodal ainsi que le modèle SMA seront 

décrites dans la section 2.2 et 2.3. Dans la section 3, nous aborderons le problème d’équilibre 

des usagers basé sur l’enchaînement des activités. La section 4 sera dédiée à la méthode de 

résolution basée sur la méthode d’Entropie Relative. Enfin, nous déduisons la conclusion 

dans la dernière section. 

-129-

2. Modèle d’affectation dynamique basée sur les activités 

Dans cette section, nous allons proposer un modèle d’activités permettant de modéliser 

l’enchaînement des activités et des déplacements dans une journée. Ce modèle étend le 

modèle d’AVA sur l’enchaînement des activités des usagers. Nous décrivons les hypothèses 

du modèle ainsi que les modèles de la demande et la modélisation dynamique des systèmes 

de transport multimodaux basée sur le système multi-agents. 

2.1 Modèle d’activités 

Les hypothèses économiques du modèle d’activités sont étendant celles du modèle d’AVA : 

(1) La demande d’activités : les usagers symbolisent les consommateurs potentiels situés en 

origine et qui tentent de réaliser un programme d’activités fixé dont le type d’activités, le 

temps souhaité d’arrivée pour les activités et la durée des activités sont supposés connus 

et fixes. A partir d’un programme d’activités donné, un usager choisit les destinations, les 

modes, le temps de départ et les itinéraires pour maximiser la valeur nette totale de la 

réalisation de cette chaîne d’activités. Cette valeur d’activités est calculée par la valeur 

brute totale des activités d’un programme d’activités moins le coût total de déplacements. 

De manière simplifiée, les usagers sont classés en groupes homogènes qui réalisent un 

type de programme d’activités prédéfini et fixe. La demande d’activités est supposée 

fixe. 

(2) L’offre d’activités : les activités sont classées en plusieurs types, en fonction du motif 

d’activités, e.g. emploi, loisir ou école, etc. Elles sont finies et ont une valeur 

économique identique pour tous les usagers. La répartition de la valeur économique des 

activités dépend de son type et de sa localisation. Nous supposons que la répartition de la 

valeur d’activités est définie par une fonction continue et différentiable. Le nombre 

d’activités disponibles aux destinations est fixe. 

(3) Le marché : le nombre d’activités est supposé supérieur à la demande d’activités. Les 

usagers modifient leur choix des modes, des destinations, de temps de départ et des 

itinéraire pour maximiser la valeur nette d’activités de son programme d’activités. 

(4) Le programme d’activités pour chaque usager est supposé connu et fixé. La modification 

des programmes d’activités au cours d’exécution ne sera pas prise en compte. Le 

problème traité est celui d’affectation prédictive. 

2.1.1 Définition d’une chaîne d’activités 

Une chaîne d’activités est définie par l’ensemble des activités ordonnées qu’un usager veut 

réaliser pendant 24 heures. La première activité et la dernière doivent se réaliser à domicile. 

Le type d’activités est défini de manière générale comme le motif de déplacement qui fournit 

aux usagers une valeur de satisfaction. Nous supposons que cette valeur de satisfaction 

possède une valeur économique déterminée par une loi de répartition en fonction du type 

d’activités et de la destination des activités. Pour chaque groupe homogène d’usagers, nous 

-130-

supposons qu’il existe un type classique de programme d’activités provenant des données 

statistiques qui décrivent une chaîne d’activités et de déplacements. A partir de cette 

hypothèse, nous définissons une chaîne d’activités comme : 

g = y , y ,..., y } 

(5.1) 

{ 0 1 n 

où 

y : i ème activité à réaliser qui est localisée dans une destination différente de la précédente. 

i 

Un usager doit se déplacer pour réaliser chaque activité sauf la première activité y0 

. 

Dans le programme d’activités, chaque activité est caractérisée par trois variables : 

def 

y = y( 

φ( 

y), 

τ( 

y), 

ϑ( 

y)) 

(5.2) 

où 

φ (y) 

: le type d’activités, φ ( y i ) ∈Φ 

τ (y) 

: le temps souhaité d’arrivée à destination qui vérifie la relation : 

0 ≤ τ( 

) ... ( ) 24 . 

0 < < τ n ≤ y 

y 

ϑ (y) 

: la durée d’activité. 

La destination des activités au sein d’un programme d’activités est considérée comme une 

variable inconnue qui sera déterminée par l’équilibre du marché d’activités. La destination 

de l’activité y est notée d( y) 

∈ Ξφ= 

φ( 

y) 

. Ξ φ= 

φ( 

y) 

désigne l’ensemble des destinations des 

activités de type φ . Pour chaque programme d’activités, l’ensemble d’itinéraires partant et 

rentrant à l’origine o est défini par : 

o 

o o 

u g { r1 

, r2 

,..., rn}, 

∀u 

g ∈U 

g , ∀ri 

∈ Rk∈K 

yi 

−1 

, yi 

= (5.3) 

où 

g : la chaîne d’activités 

r i : le sous-itinéraire reliant deux activités consécutives yi−1 et yi 

: l’ensemble des itinéraires reliant la paire OD k de deux destinations d’activités 

R k∈ 

K yi−1 

, yi 

o 

U g : l’ensemble des itinéraires une chaîne d’activités g avec le point d’origine o 

K y , 

y i y 

i y : l’ensemble des paires OD pour deux activités consécutives et défini par : 

− 1 i 

i−1 

K y 

i 

, { k | o( 

k) 

( ) , d( 

k) 

( ) }, i { 1,... 

n} 

i 1 y = ∈Ξ 

i 

φ y ∈Ξ 

i 1 

φ y ∀ = 

(5.4) 

− − 

La valeur brute d’activités est en fonction du type d’activités φ et de destination d’activités 

d. De plus, nous supposons que la répartition de la valeur brute d’activités est définie par : 

φ φ 

φ φ 

P d ( v) 

= λ d exp( −λ 

d ( v − md 

)), ∀φ 

, d φ y ) Ξ ∈ ∀ (5.5) 

φ φ 

avec v m et λ ≥ 0. 

≥ d 

φ 

φ 

où et m sont les paramètres. 

λ d 

d 

d 

-131- 

( i

Fig. 5-1 La représentation d’un programme d’activités 

2.1.2 Modélisation de la demande 

La modélisation de la demande consiste à décrire le comportement des usagers sur le choix 

des options en terme de la réalisation d’un programme d’activités donné. Le principe du 

comportement des usagers est de maximiser la valeur nette totale d’activités obtenue par la 

réalisation d’un programme d’activités donné. Pour chaque paire OD (e.g. localisation de 

deux activités consécutives) dans un programme d’activités, le choix des usagers pour la 

destination, le temps de départ et l’itinéraire est en fonction de la valeur nette d’activités 

obtenue. La structure du modèle de demande est décrite dans la Fig. 5-2. On suppose que la 

décision du choix des usagers concernant la réalisation d’un programme d’activités est 

séquentielle, i.e. pour chaque activité, les usagers effectuent les choix des destinations, des 

chaînes de modes de transport, des itinéraires et de temps de départ pour maximiser la valeur 

nette d’activités obtenue. 

Comme le nombre de choix d’itinéraires multimodaux est très large, nous supposons les 

usagers effectuent le choix des itinéraires de manière séquentielle, i.e. ils décident d’abord la 

chaîne de modes de transport pour deux destinations des activités consécutives. Par la suite, 

ils choisissent un itinéraire en utilisant cette chaîne de modes de transport. L’ensemble de 

choix des itinéraires est calculé par l’algorithme de k plus courts chemins pour limiter le 

nombre de choix possible. Pour ce faire, nous le décomposons en deux étapes : 

(1) Le choix de chaînes de modes de déplacement, 

(2) Le choix d’itinéraires dans l’ensemble des itinéraires attractifs. 

Le premier consiste à choisir une chaîne de modes de transport en fonction du coût moyen 

de déplacement de la chaîne de modes choisie. L’ensemble des choix de chaînes de modes 

dépend de l’accessibilité aux réseaux d’un usager. Pour le deuxième, il s’agit de choisir un 

itinéraire dans l’ensemble des chemins attractifs associés au réseau de la chaîne de modes 

choisie. 

Lorsqu’un usager atteint le point de choix i pour choisir une option j parmi l’ensemble 

des choix J(i), la probabilité de choix est notée p ji, 

∀ j ∈ J ( i) 

. Cette probabilité de choix 

est calculée par la méthode d’Entropie Relative proposée dans le chapitre 3, i.e. 

-132-

p 

w+ 

1 

= p 

~ w w 

−C 

j / γi 

w e 

ji 

~ 

w −C 

/ γ 

∑ p jie 

j∈J 

( i) 

ji w j 

w 

i 

, ∀j 

∈ J ( i) 

(5.6) 

où 

w : l’indice de l’itération 

w 

γ i : paramètre de contrôle à l’itération w pour i déterminé par la résolution du problème 

d’optimisation (3.41) dans le chapitre 3 

C ~ w 

: le coût normalisé du choix j par rapport à J(i) à l’itération w. Notons que C peut être 

~ 

w 

ji 

remplacé par 

l’itération w. 

v 

− v 

w w 

ji i, 

max 

w 

vi, 

max 

Le nombre d’usagers choisit l’option j, wji 

, est calculée par : 

w ji i ji 

w 

où v est la valeur nette d’activités pour le choix j à 

ji 

= W × p , ∀j 

∈ J ( i) 

(5.7) 

où 

W i : le nombre total d’usagers qui se situent au point de choix i 

j : l’option à choisir 

Comme la probabilité de choix dépend de la valeur nette d’activités obtenue, nous allons 

préciser les modèles de demande en terme du choix de la destination, de la chaîne de modes, 

du temps de départ et de l’itinéraire ci-dessous. 

Fig. 5-2 Structure du modèle de la demande 

-133- 

ji

Choix de la destination d’activités 

Le choix de la destination pour une activité à réaliser prochainement y dépend de 

l’ensemble des destinations qui fournissent des activités vacantes de même type φ ( yi 

) . 

Nous supposons que une activité est consommable quand elle est retenue par un usager. 

Lorsqu’un usager finit une activité y , celle-ci ne peut pas être reprise par un autre usager. 

i−1 

La probabilité de choix de destinations pour une activité y est définie par : 

φ 

pdo = φ i i 

φ 

F( 

vd 

), ∀d 

∈ Ξ ( y ) , ∀y 

∈ g \ { y0} 

i 

i 

(5.8) 

où 

o : la destination de l’activité précédente y où un usager se situe actuellement, i.e. 

o 

= ( i−1 

y d 

) 

i−1 

d : la destination pour l’activité y i , i.e. d = d( 

yi 

) 

φ : le type d’activités de y i , i.e. φ = φ( 

yi 

) 

( ) 

φ 

F v : la fonction de probabilité sous forme de (5.6) 

d 

φ 

v d : la valeur nette moyenne d’activités de type φ ( yi 

) sur le choix d pour les usagers qui 

effectuent les mêmes choix de la destination au jour précédent 

g : la chaîne d’activités, définie par (5.1) 

Notons que la fonction de probabilité F(.) sous la formule (5.6) est utilisée pour les autres 

modèles de choix décrits ci-dessous. 

Choix de la chaîne modes de transport 

Pour le choix de chaînes de modes de transport, définissons d’abord l’ensemble des choix de 

chaînes de modes tel que c’est indiqué dans le tableau ci-dessous : 

Type de chaîne L’ordre d’entrée dans le réseau monomodal 

1 W 

2 W-C-W 

3 W-C-TC-W 

4 W-TC-C-W 

5 W-TC-W 

Tableau 5-1 L’ensemble des chaînes de modes de transport 

Notons que W désigne le réseau de marche, C le réseau routier, et TC le réseau TC. La chaîne 

de modes de transport du type 4 ne peut être utilisée pour le dernier itinéraire pour rentrer à 

domicile. Le transfert entre réseaux différents se fait en passant l’ensemble des arcs de 

-134-

transfert. De manière simplifiée, nous supposons qu’un usager part de son domicile avec son 

véhicule, et il l’utilise pour le dernier déplacement. La probabilité de choix de la chaîne de 

modes z sur l’ensemble des choix Z est définie par : 

φ 

pzk zk 

φ 

= F( 

v ), ∀z 

(5.9) 

où 

k : la paire de destinations (OD) pour deux activités consécutives déterminée par (5.8) 

φ 

v zk : la valeur nette moyenne d’activités de type φ sur le choix de z, k pour les usagers qui 

effectuent les mêmes choix au jour précédent 

Choix d’itinéraires 

Comme l’ensemble des itinéraires dans le réseau multimodal est très large, nous supposons 

que les usagers choisissent un chemin sur l’ensemble des chemins attractifs. Pour établir ces 

chemins attractifs, nous allons utiliser l’algorithme de k plus courts chemins dans l’ensemble 

des réseaux de la chaîne de modes choisis (Eppstein, 1997 ; van der Zijpp et Fiorenzo 

Catalano, 2005). Cet algorithme est décrit dans la section suivante. La probabilité de choix 

d’un chemin dans l’ensemble des chemins attractifs correspondant est définie par : 

p = F ∈ 

φ 

rzk 

φ 

* 

( vrzk 

), ∀r 

Rzk 

(5.10) 

où 

z, k : les choix déterminés par les étapes précédentes 

* 

R zk : l’ensemble des chemins attractifs pour la paire OD k et pour la chaîne de modes z 

φ 

v rzk : la valeur nette moyenne d’activités de type φ sur le choix de r, z, k pour les usagers 

qui effectuent les mêmes choix au jour précédent 

Choix du temps de départ 

Soit deux activités consécutives yi−1 et y i , un usager se situe à la destination d( 

yi−1) 

et a 

fini l’activité yi−1 

à l’instant t. La probabilité de choix du temps de départ dépend du 

temps écoulé de l’activité précédente yi−1 

et du temps d’arrivée désiré à la destination de 

l’activité prochaine y i . Pour la paire OD k = ( d( 

yi−1), 

d( 

yi 

) ) , lorsque le temps estimé 

d’arrivée à la destination d ( yi 

) est supérieur au temps d’arrivée désiré τ( 

yi 

) , les usagers 

partent immédiatement à l’instant t. En revanche, les usagers choisissent un intervalle du 

temps de départ discrétisé entre t et τ ( yi 

) en fonction de la valeur nette d’activités obtenue. 

Le pas de discrétisation temporelle est de l’ordre de quelques minutes. Les usagers partent en 

choisissant un instant aléatoire dans l’intervalle du temps de départ choisi. La probabilité de 

choix de l’indice du temps de départ discrétisé h pour aller à la destination d( 

yi 

) est 

calculée par : 

où 

φ 

φ 

phrzk = F( 

vhrzk 

), ∀h 

∈ HTˆ 

r, z, k : les choix déterminés par les étapes précédentes 

-135- 

(5.11)

h: l’indice d’intervalle du temps discrétisée 

HTˆ : l’ensemble des index d’intervalles du temps discrétisés dans 

φ 

hrzk 

Tˆ = [ t, 

τ( 

y )] 

v : la valeur nette moyenne d’activités de type φ sur le choix de h, r, z, k pour les 

usagers qui effectuent les mêmes choix au jour précédent 

2.2 Modélisation dynamique de systèmes de transport 

multimodaux 

Dans cette section, la composition des systèmes multimodaux sur un graphe orienté 

multi-couches est analysée. Cette représentation des réseaux multimodaux permet de simuler 

les déplacements des usagers et d’évaluer le coût des itinéraires pour chaque paire OD 

(Meschini et al. 2007). 

2.2.1 Description du réseau multimodal 

Considérons un système de transports multimodaux en milieu urbain. Le mode de transport 

principal est décomposé en mode privé et mode public. Soit l’ensemble de modes décrit par : 

M ∪ 

PR PT 

= M M 

(5.12) 

où 

M { marche, VP} 

PR = : l’ensemble des modes privés 

{ bus, metro, train} 

M PT = : l’ensemble des modes publics. 

Le réseau multimodal est représenté par un graphe orienté G= (N, A) où N désigne 

l’ensemble des noeuds et A l’ensemble des arcs. La structure du réseau est représentée par 

plusieurs couches monomodales et par l’ensemble des arcs de transfert entre les couches. Les 

noeuds sont représentés par deux variables : l’indice de couches et l’indice de noeuds. Le 

réseau multimodal est divisé en six couches : 

(1) La couche de référence (niveau 0) : elle représente les coordonnées géographiques 

physiques en deux axes (x, y). Les coordonnées des noeuds dans les couches supérieures 

peuvent être obtenues par la projection sur la couche de référence. 

(2) La couche du réseau de marche (niveau 1) : elle représente le réseau de marche reliant 

les paire ODs et d’autres réseaux de transports. Les noeuds du réseau de marche 

connectent des noeuds situés verticalement dans les couches supérieures permettant aux 

usagers d’accéder aux noeuds du réseau multimodal par le réseau de marche. Notons 

P 

l’ensemble de noeuds du réseau de marche est désigné par N et l’ensemble des arcs 

P 

P P P 

A . Le graphe correspondant est noté G = ( N , A ) . 

(3) La couche du réseau routier (niveau 2) : elle représente le réseau utilisé par les voitures. 

C 

C 

Notons que N représente l’ensemble des nœuds, et A l’ensemble des arcs du 

C C C 

graphe G = ( N , A ) du réseau routier. 

(4) La couche du réseau de bus (niveau 3) : elle représente l’ensemble des voies spécifiées 

pour l’opération de bus. Pour simplifier, nous supposons que le bus circule dans des 

-136- 

i

voies séparées et qu’il n’influence pas la circulation des véhicules dans d’autres voies. 

B 

B 

Notons que N représente l’ensemble des noeuds du réseau de bus, A l’ensemble 

B B B 

des arcs et G = ( N , A ) le graphe correspondant. Deux types de nœud dans le 

réseau de bus se distinguent : le noeud de référence et le noeud de ligne. Le premier est 

un point représentatif du réseau permettant de relier l’ensemble des arrêts des lignes 

associées. Le deuxième représente l’arrêt où les bus s’arrêtent. De manière plus précise, 

R( 

B) 

le noeud de référence dans le réseau de bus est représenté par n = ( 3, 

n), 

∀n∈ 

N 

où le premier indice désigne la couche du réseau et le deuxième le noeud correspondant 

à la couche de référence (voir la figure 5-3). Les noeuds de ligne sont représentés par 

deux variables : 1. l’indice de ligne l et l’indice de l’ordre de visite sur la ligne l. Une 

B 

ligne de bus l ∈ L est un itinéraire constitué d’une succession de noeuds par ordre de 

visite, du point initial de ligne au point terminal de ligne, i.e. 

l 

N = {( l, 

ol 

( n)) 

| ol 

( n) 

∈ ζl 

} 

(5.13) 

B 

avec ζ { 1, 

2, 

3,... 

k} 

, l ∈ L . 

l = 

où 

ol (n) 

: l’indice de l’ordre de visite de la ligne l sur le noeud n. 

B 

L : l’ensemble des lignes de bus 

L(B 

) 

B R( 

B) 

L( 

B) 

N : l’ensemble des noeuds de la ligne et N = N ∪ N . 

Les arcs du réseau de bus sont décomposés en trois types : 

a. Les arcs de lignes 

b. Les arcs de montée 

c. Lles arcs de descente. 

L’arc de lignes est représenté par deux noeuds de lignes consécutives, i.e. 

L( 

B) 

B L(B 

) 

a = ( n, 

n'), 

∀n, 

n'∈ 

N . L’ensemble des arcs de lignes l est noté Al ∈ A . Pour 

modéliser l’écoulement du flux des usagers et l’effet de congestion, nous définissons 

l’arc de montée et celui de descente en reliant le noeud de référence et les noeuds des 

lignes associées. Le temps de parcours sur un arc de montée et celui de descente 

représente le temps moyen de déplacement entre un point de référence du réseau 

monomodal et un noeud des lignes associé. Le temps calculé correspond au temps de 

parcours moyen entre l’entrée dans une station et la montée dans un véhicule. Pour les 

arcs de montée et de descente, ils connectent les noeuds des lignes et les noeuds de 

référence. Pour un noeud de référence n, l’ensemble des arcs de montée et de descente 

est défini par : 

+ 

An l 

= {( n, 

n') 

| n'= 

( l, 

o ( n)), 

∀l 

∈ L( 

n)} 

où 

L (n) 

: l’ensemble des lignes accessibles pour le noeud de référence n. 

(5.14) 

De même, l’ensemble des arcs de descente pour le noeud de référence n est défini par : 

− 

An l 

= {( n', 

n) 

| n'= 

( l, 

o ( n)), 

∀l 

∈ L( 

n)} 

-137- 

(5.15)

L’ensemble des arcs de montée et de descente du réseau de bus est : 

+ B) 

+ 

A = { A | n∈ 

N 

( R( 

B) 

n 

L’ensemble des arcs du réseau de bus est : 

A 

( B) 

R( 

B) 

} et A = { A | n∈N 

}. 

(5.16) 

− 

− 

n 

B L( 

B) 

+ ( B) 

−( 

B) 

= A ∪ A ∪ A . (5.17) 

(5) La couche du réseau de métro et de train (niveau 4 et 5) : nous définissons, comme la 

couche du réseau de bus, les réseaux de métros (M1) et de train (M2) par le graphe 

M1 M1 M1 

M2 M2 M2 

G = ( N , A ) et G = ( N , A ) . L’ensemble des lignes de métros et 

M1 M2 R(M 

1) 

l’ensemble des lignes de trains sont notés respectivement L et L . N et 

R(M 

2) 

N désignent l’ensemble des noeuds de référence du réseau de métros et de trains. 

L(M 

1) 

L(M 

2) 

Et N et N représentent l’ensemble des noeuds de ligne du réseau de métros 

M 1 R( 

M 1) 

L( 

M 1) 

M 2 R( 

M 2) 

L( 

M 2) 

et de trains. N = N ∪ N et N = N ∪N 

. De la même manière, 

nous définissons l’ensemble des arcs du réseau de métros et de trains 

M1 L( 

M1) 

+ ( M1) 

−( 

M1) 

M2 L( 

M2) 

+ ( M2) 

−( 

M2) 

par A = A ∪ A ∪ A et A = A ∪ A ∪ A 

Dans la couche de référence du réseau de marche et celle du réseau routier, l’ensemble des 

P R(P) 

noeuds du réseau est considéré comme des noeuds de référence, i.e. N = N et 

C R(C) 

N = N . Pour le transfert entre de différents réseaux, nous introduisons la notion d’arcs 

de transfert. Un arc de transfert représente l’accessibilité d’un point du réseau à l’autre point 

du réseau différent. Nous définissons une fonction booléenne : 

R( 

m1) 

R( 

m2) 

ψ ( n1 , n2), 

∀n1 

∈N 

, ∀n2 

∈N 

, 1 ≠ m2, 

∀m1, 

m2 

∈ M 

m (5.18) 

qui vaut 1 s’il existe un arc orienté de transfert du noeud de transfert au noeud n . 

L’ensemble des arcs de transfert 

T 

A est défini par : 

n1 2 

T 

R( 

m1) 

R( 

m2) 

A = {( n, 

n') 

| ψ( 

n , n ) = 1, 

∀n 

∈ N , ∀n 

∈ N } , m 1 ≠ m2, 

∀m1, 

m2 

∈ M (5.19) 

1 

2 

T 

L’ensemble des noeuds de transfert N est défini par : 

1 

2 

P C R(B) R(M1) R(M2) 

N N N N N N 

T 

= ∪ ∪ ∪ ∪ 

(5.20) 

Une fois que l’ensembles des arcs et des noeuds sont définis, le réseau multimodal peut être 

représenté par le graphe : 

G ( N, 

A) 

où 

N ∪ 

P C B M1 M2 

= N ∪N 

∪N 

∪N 

N et 

Nous distinguons les réseaux de TC par 

G 

PT 

( N 

PT 

, A 

PT 

) 

B M1 M2 

où N N N N et 

PT 

= ∪ ∪ 

P C B M1 M2 

A = A ∪ A ∪ A ∪ A ∪ A ∪ A 

T 

(5.21) 

B M1 M2 

A A A A 

PT 

= ∪ ∪ 

(5.22) 

L’ensemble des noeuds de référence et l’ensemble des noeuds de lignes dans le réseau TC est 

( ) R(B) R(M1) R(M2) 

défini par N N N N 

PT R 

( ) L(B) L(M1) L(M2) 

= ∪ ∪ et N N N N 

PT L 

= ∪ ∪ , respectivement. 

L’ensemble des arcs de lignes et et l’ensemble des arcs de décente et celui de montée dans le 

réseau de TC est défini, respectivement, par : 

-138-

L(PT) L( 

M1) 

L( 

M2) 

L( 

B) 

A = A ∪ A ∪ A , 

-(PT) −( 

M1) 

−( 

M2) 

−( 

B) 

A = A ∪ A ∪ A , (5.23) 

+ (PT) + ( M1) 

+ ( M2) 

+ ( B) 

A = A ∪ A ∪ A . 

Fig. 5-3 Représentation du réseau d’un mode TC et des arcs de transfert 

Fig. 5-4 Représentation d’un itinéraire multimodal 

2.2.2 L’écoulement du trafic dans le réseau routier 

Le modèle d’écoulement du trafic dans le réseau routier est basé sur le modèle de paquets de 

véhicules décrit dans le chapitre 4. Le nombre de véhicules générés dépend du taux 

d’occupation des usagers par véhicule. A partir cette transformation du nombre d’usagers à 

celui de véhicules, nous pouvons appliquer le modèle de paquets pour simuler les 

-139-

déplacements des usagers. Notons que le nombre de véhicules dans un paquet est flexible qui 

dépend le pas du temps que l’on utilise pour regrouper les véhicules au sein d’un paquet. De 

plus, comme les usagers décident le choix d’itinéraires avant leur départ, nous pouvons 

regrouper les véhicules empruntant les mêmes itinéraires par de paquets. De manière 

simplifiée, nous supposons que les types de véhicules sont identiques. Le coût de 

déplacement est composé deux termes : 1. le coût monétaire lié au frais de péages et à la 

consommation du carburant, 2. le temps de parcours sur l’itinéraire. Comme le parking est 

un facteur important dans l’évaluation du coût d’un itinéraire, il faut le prendre en compte 

dans le calcul du coût. 

Pour le coût de parking, nous supposons que le nombre de places de parking est 

constant. Les places de parking se situent aux noeuds de référence du réseau routier associé à 

arr 

la destination. Le coût du parking pour un usager à l’instant d’arrivée t d , ( , ) 

arr CP td 

T , est 

calculé par: 

γ 

arr 

arr 

~ 

⎛ 

( ) 

⎞ 

( , ) 

⎜ ⎛ ⎞ 

{ 0 1 ⎜ 

xd 

td 

CP t 

⎟ ⎟ 

d T = αT 

+ β Td 

+ β 

⎜ ⎜ ˆ ⎟ ⎟ 

(5.24) 

( 1) 

1⎝ 

⎝ Cd 

⎠ 

44424443⎠ ( 2) 

où 

α : le coût monétaire unitaire du parking 

β 0 : la valeur du temps 

β, γ : les paramètres de sensibilité 

T : la durée de stationnement 

T ~ : le temps moyen à chercher une place 

d 

( arr 

td 

xd ) : le nombre de places occupées à l’instant d’arrivée 

Ĉ d : la capacité du parking à la destination d 

Le premier terme évalue le coût monétaire en fonction de la durée de stationnement. Le 

deuxième terme estime le temps moyen pour trouver une place qui dépend de l’offre et de la 

demande du parking au moment d’arrivée à la destination d. Le nombre de places de parking 

occupées se varie en fonction du temps. Il est calculé à partir du nombre cumulé d’arrivées et 

celui de sorties du parking. 

Nous définissons le coût sur un itinéraire routier 

C C ( t C ) = C C + β π ( t ) + CP( 

t C , T ), 

r 

r 

r 

où 

t : l’instant d’entrée dans l’itinéraire r 

C 

r 

C 

r : l’itinéraire routier 

C 

r 

C 

r par : 

∀r 

∈G 

arr 

C C 

0 C C 

(5.25) 

r r 

TN ( r ) 

C : le coût monétaire lié à la consommation du carburant et au coût de péages 

β : la valeur du temps 

0 

π C ( C ) : le temps de parcours sur l’itinéraire 

t r r 

-140- 

arr 

td 

C 

r à l’instant d’entrée 

t C 

r

CP( ) 

arr 

( C 

TN r 

t , T ) 

TN ( r 

C : le coût de parking à l’instant d’arrivée à la sortie de l’itinéraire C 

r , où 

) 

: désigne l’extrémité terminale de 

T : la durée de parking 

C 

r . 

2.2.3 L’écoulement du trafic dans le réseau de TC 

Dans le système de TC, l’opération de lignes peut être caractérisée par la fréquence de lignes 

et les mesures de gestion par les opérateurs du système. Comme l’effet de congestion 

influence le temps d’attente en station, nous allons l’estimer de manière explicite, i.e. le 

nombre d’usager ne peut pas dépasser la capacité de véhicule. Le temps d’attente des usagers 

en station dépend du temps d’arrivée du véhicule et du nombre d’usagers à la station. 

Les caractéristiques du système de TC sont les suivants : 

(1) Les véhicules de TC circulent sur l’ensemble de lignes de TC fixes suivant la fréquence 

de lignes variant en fonction de la période de point et la période normale. La circulation 

de véhicules sur chaque ligne est en deux directions avec les stations d’arrêts 

symétriques. Nous définissons le programme d’horaires de la ligne l comme horaires de 

génération d’un véhicule qui desservie touts les arrêts de lignes avec l’ordre de visite 

prédéfinie. La vitesse de véhicule est supposée constante. 

(2) La capacité de véhicules de la ligne l, Cl 

, est supposée fixé pour laquelle le nombre 

d’usagers dans un véhicule ne peut pas le dépasser. 

(3) La période de service est variée sur les lignes différentes. 

(4) Le temps d’arrêt sur les stations de lignes est en fonction de la période de point ou la 

période normale. 

Le temps de parcours sur les arcs du réseau TC est calculé de manière différente en fonction 

de types des arcs : (1) les arcs de lignes, (2) les arcs de montée, (3) les arcs de décente, (4) 

les arcs de transfert. 

Le temps de parcours sur les arcs de lignes 

Le temps de parcours sur les arcs de lignes est évalué par : 

l 

π a = , 

κ 

a 

l 

a 

∀a∈ 

A 

L 

où 

l a : la longueur de l’arc a 

l 

κ a : la vitesse de véhicule sur l’arc a de la ligne l 

L 

A : l’ensemble des arcs de lignes 

Le temps de parcours sur les arcs de montée 

+ 

Le temps de parcours sur l’arc de montée ( i , j), 

ij ( ti 

) , à l’instant d’entrée au noeud i 

-141- 

(5.26) 

π i 

t

est calculé à partir du modèle de file d’attente ponctuel en supposant que la règle FIFO 

(First-In-First-Out) soit respecté: 

+ 

π ( t ) = D ( S ( t )) − t , ∀( 

i, 

j) 

∈ A ( i), 

∀i 

∈ N 

+ 

ij 

i 

−1 

ij 

où 

t : l’instant d’entrée au noeud i 

i 

ij 

i 

i 

R( 

PT ) 

S ij ( ti 

) : le nombre d’usagers cumulés entrant sur l’arc (i, j) à l’instant 

1 

Dij ( ti 

) 

− 

: la fonction inverse du nombre d’usagers cumulés sortant de l’arc (i, j) à l’instant 

A (i) 

+ 

: l’ensemble des arcs de montée dont le noeud initial est i 

ti 

(5.27) 

Le temps de parcours sur l’arc de montée est décomposé en deux éléments qui sont : 1. le 

temps de marche du noeud de référence (station) au nœud de lignes (quai), 2. le temps 

d’attente sur l’arc (i, j) à l’instant d’arrivée à j t . Ce dernier dépend du nombre d’usagers 

max 

devant lui sur l’arc (i, j) et du débit maximal de sortie de l’arc (i, j) δij 

. Lorsque la 

capacité de véhicules est atteinte, des usagers doivent attendre le prochain véhicule. 

Le temps de parcours sur des arcs de descente et sur les arcs de transfert 

Le temps de parcours sur les arcs de descente, les arcs de transfert et les arcs de marche est 

en fonction de la longueur de l’arc. La capacité de ces types d’arcs est supposée toujours 

supérieure à la demande. L’effet de congestion est négligé. Nous calculons le temps de 

U 

parcours π sur l’arc a par : 

a 

U l a 

T P 

πa = , ∀a 

∈ A ∪ A ∪ A 

κ 

U 

−( 

PT) 

où 

l a : la longueur de l’arc a 

κ : la vitesse de marche des usagers 

U 

j 

ti 

(5.28) 

Le temps de parcours sur un itinéraire dans le réseau de TC est calculé comme la 

somme des temps de parcours sur les arcs de l’itinéraire. Le temps d’attente est calculé en 

fonction de la fréquence de lignes, la capacité de véhicules, le nombre d’usagers en véhicules 

et le nombre d’usagers dans une station. Pour le système de TC, nous supposons qu’il 

fonctionne correctement comme la fréquence de lignes affichée. Alors, le coût d’un itinéraire 

PT 

r du réseau de TC est calculé par : 

⎡ a 

a U 

a ⎤ 

C PT ( t PT ) = C PT + β0 

⎢ ∑ ε PT πa 

+ ∑ε 

PT πa 

+ ∑ε 

PT πa 

( ta 

) ⎥ 

(5.29) 

r r r 

r 

r 

r 

L(PT) 

-(PT) 

+ (PT) 

⎣a∈A 

a∈A 

a∈A 

⎦ 

avec 

PT 

a ⎧1 si a ∈r 

ε PT = ⎨ 

(5.30) 

r 

⎩0 

sinon 

où 

a : la désignation de l’arc 

-142-

t PT : l’instant d’entrée dans l’itinéraire 

r 

t : l’instant d’entrée dans l’arc a 

a 

PT 

r 

C PT : le coût monétaire sur l’itinéraire du réseau TC, 

r 

β : la valeur du temps 

0 

π a ( ta 

) : le temps de parcours sur l’arc a à l’instant d’entrée sur l’arc de montée a 

Le coût d’itinéraires sur le réseau de marche et les arcs de transfert 

Nous supposons que le coût sur l’itinéraire dans le réseau de marche 

temps de parcours, i.e. 

où 

C 

r 

P 

= β0 

∑ 

a∈r 

P 

π 

U 

a 

, 

∀r 

P 

∈G 

P 

r : l’itinéraire sur le réseau de marche 

P 

PT 

r 

ta 

P 

r ne dépend que le 

(5.31) 

De même pour le coût sur les arcs de transfert. Notons que (5.17) appliquera au coût sur les 

arcs de transfert. 

2.2.4 Le coût d’un itinéraire multimodal 

Le coût d’un itinéraire multimodal est calculé comme la somme de l’ensemble de 

sous-itinéraires empruntés suivant l’ordre parcouru d’un point origine au point terminal de 

l’itinéraire. Cet ordre de modes de chaînes est choisi par un usager avant son départ. Le coût 

d’un itinéraire multimodal est calculé par : 

U arr 

( tr 

) = ∑C 

z ( i ) ( t z ( i ) ) + β πa 

+ Γr 

tTN 

∀z 

r r 0 ∑ ( ( ) ), 

(5.32) 

z 

Cr r 

z( 

i) 

∈z 

T 

a∈A 

où 

t r : l’instant d’entrée dans l’itinéraire r 

z (i) 

: i ième mode de la chaîne de modes z 

t : l’instant d’entrée dans sous-itinéraire monomodal 

z (i ) 

r 

( arr 

r TN t 

Γ (r ) ) : la pénalité associée à l’arrivée précoce ou en retard à l’instant d’arrivée à la 

destination d = TN(r 

) 

z(i 

) 

r 

La pénalité associée à l’arrivée précoce ou en retard s’écrit par : 

arr 

arr 

arr 

Γr ( tTN( r) 

) = β1 

max( 0, 

τ( 

TN( 

r)) 

− Δ −t 

( TN( 

r))) 

+ β2 

max( 0, 

t ( TN( 

r)) 

− τ( 

TN( 

r)) 

− Δ) 

(5.33) 

où 

β , : la valeur du temps associée, respectivement, à l’arrivée en avance et en retard. 

1 β 2 

τ ( TN ( r)) 

: le temps désiré d’arrivée à la destination de l’itinéraire r. 

arr 

t ( TN ( r)) 

: le temps d’arrivée à la destination de l’itinéraire r. 

Δ : l’intervalle du temps d’indifférence sans la pénalité associée 

-143-

2.3 Méthode SMA pour la simulation de systèmes de transports 

multimodaux 

D’abord, nous définissons l’ensemble des agents et leurs caractéristiques. Notons que les 

agents sont des agents réactifs qui effectuent des actions simples permettant d’interagir avec 

d’autres agents. Les types d’agents sont : 

Agent Usager ( A U ) : il est défini comme un individu qui se déplace dans un réseau 

multimodal pour réaliser son programme d’activités. Un agent Usager est défini par : 


A U U 

= A ( id, 

, m , g, 

s, 

t) 

(5.34) 

o U 

où 

id : l’identité d’un agent 

o : le point d’origine (lieu de son domicile) de l’agent 

m U : la variable booléenne qui vaut 1 si l’agent possède une voiture, 0 sinon. 

g : le programme d’activités défini par (5.1). 

s : la mémoire de l’agent qui stocke les informations sur : (1) l’ensemble des choix pour 

réaliser la prochaine activité, dit stratégie, i.e. les choix de (d,z,r,h) et (2) la performance 

des choix. 

Chaque agent Usager effectue sa chaîne d’activités de manière séquentielle. Il choisit une 

stratégie avant son départ. L’objectif des agents usagers est de maximiser la valeur nette 

totale d’activités obtenue issue de la réalisation de son programme PA. 

Agent Véhicule ( AV 

) : il représente les véhicules individuels. Il est classé en quatre types : 

voiture particulière, bus, métro et train. Chaque véhicule circule sur son propre réseau. De 

manière simplifiée, nous supposons que les bus circulent dans des voies séparées avec 

d’autres voies sur le même tronçon. Il n’influence pas la circulation des autres véhicules. Un 

agent véhicule est défini par : 

AV V 

= A (id,ε, 

C) 

(5.35) 

où 

id : l’indenté de véhicule, 

ε : le type de véhicule (voiture particulière, bus, métro ou train) 

C : la capacité de véhicule 

De manière simplifiée, nous supposons que l’agent véhicule de type VP ne transporte qu’un 

usager. Les agents véhicule-VP utilisant le même itinéraire entre deux destinations 

d’activités consécutives sont regroupés en paquet de véhicules. Chaque paquet de véhicule 

se déplace dans le réseau suivant son itinéraire choisi jusqu’à sa destination d’activités. Le 

nombre de véhicules dans un paquet est calculé par le débit d’entrée dans la destination de 

l’activité précédente et un pas de temps donné. Lorsqu’un agent véhicule de type VP arrive 

au parking d’une destination, l’agent usager descend de son véhicule. Par la suite, l’agent 

-144-

usager peut utiliser d’autres types de modes de transport pour se rendre à une autre 

destination. Nous supposons que l’agent usager partant de son point d’origine avec son 

véhicule doit se rendre chez lui avec son véhicule. Par conséquent, le choix du dernier 

itinéraire doit passer par le point où il a stationné auparavant son véhicule et se rend chez lui 

avec. 

Agent réseau ( A R ) : il représente le réseau multimodal dans lequel différents types d’arcs 

sont conçus. Les arcs du réseau de marche et les arcs de transfert et de descente sont 

caractérisés par leur longueur. Les arcs du réseau routier sont représentés en fonction du 

modèle de trafic utilisé. En particulier, les noeuds stockent des informations concernant le 

nombre d’activités vacantes et l’ensemble des itinéraires attractifs reliant deux destinations. 

Agent opérateur ( AO 

) : il stocke le programme d’horaires de départ pour les véhicules dans 

la station initiale pour le système de TC. Il définit aussi le tarif sur les paires de stations du 

système de TC. Nous définissons l’agent opérateur par : 

A 

O 


m m 

= A ( Λ , C ) 

(5.36) 

O 

l 

où 

Λ : le programme d’horaires des modes de transport m et de la ligne l 

m 

l 

m 

C : la matrice de tarifs de mode de transport m sur l’ensemble des paires de stations 

Agent système ( AS 

) : il communique toutes les informations issues des différents types 

d’agents. 

La mise en œuvre de tel SMA peut être basée sur la technique de simulation par évènements 

discrets. La programmation du modèle est faite en utilisant le langage C++. 

3. L’équilibre des usagers basé sur les activités 

Si nous considérons que la demande de PAs aux points d’origine est fixée, l’équation de 

conservation du flux des usagers en origine est décrite par : 

D 

o 

g 

T 

= ∫ d 

0 

o 

g 

( t) 

dt, 

∀o∈ 

O, 

∀g 

∈G 

où 

d (t) 

o 

g : la demande de PA g à l’instant de départ t au point d’origine o. 

(5.37) 

φ 

Le nombre d’activités du type φ disponibles à la destination d dépend de la capacité N : 

s.c. 

r∈R 

φ 

fr ∑ ∫ 

k| 

d ( k ) = d 

T 

0 

f 

φ 

r 

( t) 

dt ≤ N 

ϕ 

d 

, 

∀d 

∈Ξ 

, 

φ 

∀ϕ 

d 

(5.38) 

( t) 

≥ 0, 

∀t 

(5.39) 

-145-

où 

k : une paire OD 

N : le nombre d’activités vacantes de type ϕ à la destination d 

ϕ 

d 

φ 

f r (t) 

: le flux des usagers pour réaliser l’activité de type φ sur l’itinéraire r à l’instant t. 

R k : l’ensemble des itinéraires reliant la paire OD k 

La valeur nette totale d’activités d’un PA 

La valeur nette totale des activités du PA g obtenue par un usager partant de l’origine o est 

calculée par la valeur brute totale des activités moins le coût total des déplacements, i.e. 

v~ 

o o 

z 

g ( ug 

) = ∑v( 

φ( 

yi 

), d( 

yi 

), td 

y ) − Cr 

t 

i ) ∑ ( r ) , 

∀y 

∈g 

i 

∀u 

∈U 

où 

φ ( yi 

) : le type d’activité yi 

d ( yi 

) : la destination choisie pour l’activité yi 

t d ( yi 

) : l’instant d’arrivée à la destination d( 

yi 

) 

v (.) : la valeur brute des activités obtenue par l’équation (5.5). 

∀g, 

∀o 

( 

o 

g 

o 

g 

(5.40) 

o 

∀r∈u 

g 

z 

C r ( tr 

) : le coût des déplacements sur le chemin multimodal r par la chaîne de modes z à 

l’instant d’entrée 

tr 

La condition d’équilibre usagers 

A l’équilibre usagers de Wardrop, les choix de destinations, de chaînes de modes, 

d’itinéraires et de temps de départ pour la réalisation du programme d’activités sont ceux qui 

rendent la valeur nette d’activités la plus élevée que ceux qui n’ont pas été pris. Ainsi, le 

système tend vers l’équilibre de Nash où chaque usager ne peut pas améliorer la valeur nette 

de ses choix de manière unilatérale. De nombreuses études ont utilisé la simulation orientée 

multi-agent pour le même type de problèmes (Raney et al. 2003 ; Balmer et al. 2004 ; 

Charypar et Nagel 2003b). Les agents usager se déplacent dans le réseau pour réaliser leur 

programme d’activités. Pour améliorer l’utilisé obtenue des choix, ces études se sont 

appuyées sur les méthodes d’apprentissage par renforcement. Ces méthodes consistent à 

améliorer la valeur d’utilité en se basant sur les expériences passées. Le principe est de 

modifier les choix basés sur la rétroaction. L’implémentation de ce processus 

d’apprentissage par renforcement utilise des heuristiques qui consistent à modifier les choix 

d’une proportion des usagers (Raney et al. 2003 ; Balmer et al. 2004 ; Charypar et Nagel 

2003b). Cependant, la méthode de résolution pour le problème d’équilibre usagers reste un 

problème difficile à traiter. 

4. Méthode de résolution 

Dans cette section, nous allons proposer un algorithme basé sur la méthode d’Entropie 

Relative pour résoudre le problème d’équilibre. Comme le nombre d’itinéraires est très large 

-146- 

,

dans un réseau multimodal, il nous faut d’abord réduire le nombre d’itinéraires alternatifs. 

Nous allons d’abord utiliser l’algorithme des k plus courts chemins pour établir l’ensemble 

des chemins alternatifs reliant toutes les paires OD par une chaîne de modes de transport. Le 

temps de parcours sur les arcs est estimé de manière statique. Ensuite, nous utilisons la 

méthode d’Entropie Relative pour calculer la probabilité de choix de la destination, de la 

chaîne de modes, de l’itinéraire et du temps de départ. Nous détaillons les étapes de calcul 



(1) Construction des itinéraires attractifs 

L’ensemble des itinéraires attractifs est défini comme les k plus courts chemins entre 

chaque paire de destinations des activités consécutives. Nous utilisons l’algorithme des k 

plus courts chemins basé sur l’algorithme Dijkstra pour son efficacité. L’implémentation 

de cet algorithme est aussi moins complexe (de Queirós Vieira Martins et al, 1998). 

(2) Initialiser la distribution de probabilité uniforme sur les choix concernant (voir la figure 

5-5) : 

a. Choix de destination 

Pour les usagers qui partent de la destination d’activités précédente, yi−1 

, la probabilité de 

choix de la destination pour l’activité y est initialisé par : 

φ 

pdo 1 

= 

| Ξ 

φ 

, 

| 

∀o∈{ 

O ∪ D} 

où 

o = d( 

yi−1) 

: la destination de l’activité précédente 

φ = φ( 

yi 

) : le type d’activités yi 

d = d( 

yi 

) : la destination de l’activité yi 

i 

y 

i−1 

(5.41) 

b. Choix de la chaîne de modes z 

Comme le choix des modes de transport dépend de la disponibilité des véhicules particuliers, 

les usagers sont classés en deux types selon la possession de véhicules. La probabilité de 

choix sur une chaîne de modes de transport z est initialisée par : 

p 

p 

φ 

zk 

φ 

k 

1 

= ~ , 

| Z | 

~ 

∀z 

∈ Z 

où 

k : la paire OD déterminée par l’étape précédente 

~ 

Z : l’ensemble des types de chaînes de modes disponibles, défini par : 

où 

mU 

(5.42) 

~ ⎧{ 

T1, 

T2, 

T3, 

T5}, 

si = 1 

Z = ⎨ 

(5.43) 

⎩ { T1, 

T5}, 

sinon 

-147-

Ti : le type de chaîne de modes de transport défini dans le tableau 5-1. 

m : la variable booléenne qui vaut 1 si l’agent usager possède une voiture, 0 sinon. 

U 

c. Choix de l’itinéraire 

Le choix d’itinéraire r sur l’ensemble des choix Rkz 

est initialisé par : 

où 

p 

p 

1 

φ 

rzk * 

= , ∀r 

∈ R 

φ * kz 

zk | Rkz 

| 

(5.44) 

* 

R kz : l’ensemble des itinéraires attractifs pour la paire OD k en suivant la chaîne de modes z 

d. Choix du temps de départ 

Le choix de l’intervalle du temps de départ pour l’activité yi 

est initialisé par : 

où 

p 

p 

1 

φ 

hrzk 

φ 

rzk 

= 

| HTˆ 

, 

| 

∀h 

∈ HTˆ 

(5.45) 

HTˆ : l’ensemble des index d’intervalles de temps discrétisés dans T = [ t, 

τ( 

yi 

)] . t désigne 

l’instant où l’activité y est terminée. 

i−1 

Fig. 5-5 La représentation de l’arbre de décision pour la réalisation d’une activité 

Etape 2 Simulation des choix des usagers dans les systèmes de transport 

-148- 

ˆ

La méthode de simulation est basée sur la méthode SMA proposée dans la section (2.3). 

Dans le réseau routier, les usagers choisissant le même itinéraire routier sont regroupés par 

paquets de véhicules. Le nombre de véhicules dans un paquet dépend du choix du temps de 

départ des usagers. Nous calculons le nombre de véhicules dans un paquet de véhicules par 

le débit d’entrée dans le réseau multiplié par le pas de temps fixe. Notons que le nombre de 

véhicules dans un paquet est limité par un nombre fixe. Le modèle d’écoulement du trafic 

basé sur les paquets proposé dans le chapitre 4 est utilisé pour la simulation. Pour le réseau 

TC, le système fonctionne grâce aux interactions entre différents types d’agents. Une fois 

qu’un usager est arrivé à sa destination, nous calculons le coût de déplacement et la valeur 

nette d’activité. Notons que si un usager arrive à une destination choisie où il n’y a plus 

d’activité vacante qu’il veut effectuer. La valeur d’activités bruitée est nulle. Cependant, 

nous pouvons associer une pénalité pour dissuader trop d’usagers d’aller à la même 

destination. Répéter cette étape jusqu’à ce que toutes les activités dans un PA soient 

effectuées. 

Etape 3 Modification de la probabilité de choix 

Lorsque tous les usagers sont rentrés chez eux, la probabilité de choix est modifiée par 

(5.8)-(5.11). 

Etape 4 Condition d’arrêt 

Lorsque l’indice d’itération atteint le maximum ou la valeur nette totale d’activités des tous 

les usagers se varie peu, arrêtez ; sinon retour à l’étape 2. 

5. Conclusion 

Dans ce chapitre, nous avons proposé un modèle dynamique multimodal basé sur 

l’enchaînement des activités et des déplacements. Ce modèle permet de traiter les choix des 

destinations, des chaînes des modes de transport, des itinéraires et des temps de départ dans 

un réseau de transport multimodal. En étendant le modèle AVA, nous supposons que les 

usagers effectuent ses choix pour maximiser la valeur nette d’activités issue de la réalisation 

du programme d’activités. Le réseau multimodal est représenté par un graphe orienté 

composé de plusieurs couches de réseaux monomodaux reliés par l’ensemble des arcs de 

transfert. Les usagers sont modélisés comme des agents réactifs qui effectuent ses choix dans 

le réseau multimodal pour réaliser son programme d’activités. Les systèmes de transport sont 

modélisés par une approche orientée agent permettant de décrire le fonctionnement du 

système et les interactions entre les usagers et les composantes du système. 

-149-

Chapitre 6 

Conclusion et perspectives 

L’objectif de cette thèse est de développer un modèle dynamique de transport permettant 

d’analyser les déplacements des usagers basés sur la réalisation des activités. L’approche 

basée sur les activités modélise l’enchaînement des déplacements et des activités. Elle étudie 

également les différentes interactions entre les choix des activités et des déplacements. Le 

champ d’études s’élargit non seulement sur la période d’analyse qui est plus longue, mais 

aussi sur la réalisation des programmes d’activités individuelles. Un défi majeur lancé aux 

chercheurs est la modélisation de la dynamique de l’enchaînement des activités dans un 

réseau de transports multimodaux. Un tel système est très complexe et nous conduit à utiliser 

des méthodes basées sur le paradigme multi-agent. Cette approche autorise la mise en œuvre 

de la dynamique du système issue des interactions entre les usagers individuels et les 

composantes du système de transports. Compte tenu de la complexité du problème, nous 

proposons une suite de modèles d’activités dont la complexité évolue progressivement, 

passant du modèle statique au modèle dynamique, du réseau routier au réseau multimodal, et 

d’une activité à une chaîne d’activités. 

Nous traitons d’abord le problème dans le cas statique où le coût d’un déplacement est 

évalué par une fonction. Le modèle statique d’activités proposé étend le modèle 

d’Accessibilité aux Activités Vacantes. Ce modèle d’activités prend en compte le choix de 

destination des activités et des itinéraires. Chaque individu se déplace pour exercer une 

activité dans un lieu spécifique qui prend une valeur économique. A l’équilibre du marché 

d’activités, les meilleures activités sont consommées et un individu n’accède au mieux qu’à 

une activité vacante dont la valeur économique nette est la meilleure. La modélisation du 

choix des usagers est basée sur la méthode orientée agent où chaque usager est représenté 

comme un agent autonome qui effectue ses choix pour maximiser la valeur nette d’activités 

obtenue. Nous avons proposé une méthode de résolution basée sur l’algorithme de colonie 

de fourmis (ACO). L’approche ACO traditionnelle est capable de traiter des problèmes 

d’optimisation où le coût est indépendant de la demande. Cependant, ce n’est pas 

généralement le cas pour évaluer le coût de déplacement. Pour cela, notre approche s’appuie 

sur l’introduction de la pénalité sur les tronçons du réseau permettant de dissuader les 

usagers d’emprunter des routes congestionnées. De plus, nous nous appuyons sur la règle de 

mise à jour de la quantité de phéromones grâce à la méthode d’Entropie Relative. Cette 

méthode permet de dériver la règle optimale de mise à jour des phéromones. 

Dans le cas dynamique, l’écoulement du trafic sur le réseau routier est basé sur le 

modèle de la file d’attente ponctuelle. La dynamique du trafic est représentée par le débit 

maximal d’entrée et de sortie des arcs. Les problèmes traités s’élargissent sur les choix du 

temps de départ des usagers. Nous traitons le problème d’affectation dynamique prédictive 

pour laquelle la condition d’équilibre est formulée par les inéquations variationnelles. 

Comme le modèle d’écoulement du trafic est basé sur la simulation, les méthodes 

traditionnelles de résolution ne permettent de résoudre de tel problème d’affectation 

dynamique. Pour cela, nous proposons deux approches de résolution. La première approche 

est basée sur l’ACO en utilisant un schéma de discrétisation temporelle. Ce schéma 

maintient les informations temporelles sur la qualité du chemin qui dépend du nombre 

d’usagers qui l’empruntent. La deuxième approche est basée sur la méthode d’Entropie 

-150-

Relative. Une des originalités de cette approche est de considérer l’équilibre du réseau 

comme un évènement rare. Cette approche dérive itérativement la probabilité optimale des 

choix en minimisant l’entropie relative entre deux distributions de probabilités consécutives. 

Par l’approximation du premier ordre, nous obtenons un système dynamique qui consiste à 

modifier la probabilité de choix en fonction de la différence du coût des options et le coût 

moyen. L’étude numérique a montré que cette approche est capable de résoudre le problème 

d’affectation dynamique basée sur le modèle de simulation. De plus, elle permet de trouver 

plusieurs solutions d’équilibre dans un réseau multimodal avec la fonction du coût non 

linéaire. 

Les études existantes sur la simulation des déplacements des usagers basée sur 

l’approche multi-agent dans un grand réseau nécessitent un temps de calcul très élevé. Pour 

cela, nous proposons un modèle macroscopique du premier ordre en coordonnées 

Lagrangiennes et une méthode de résolution numérique basée sur le schéma de Godunov. La 

discrétisation Lagrangienne permet de modéliser la trajectoire des paquets de véhicules qui 

réduira considérablement le temps de calcul pour la simulation. Les modèles de 

l’intersection dans le cas divergent et le cas convergent sont aussi présentés. 

Enfin, nous proposons un modèle dynamique multimodal basé sur l’enchaînement des 

activités et des déplacements. Les problèmes traités concernent le choix de la destination des 

activités, de la chaîne des modes de transport, de l’itinéraire, et du temps de départ. Chaque 

usager tend à maximiser sa valeur nette d’activités totale issue de la réalisation de son 

programme d’activités pendant 24 heures. La modélisation dynamique du réseau multimodal 

s’appuie sur la méthode SMA où plusieurs types d’agents sont conçus pour représenter la 

dynamique des systèmes de transports et les intersections entre les différents agents. Une 

approche de résolution basée sur la méthode d’Entropie Relative a été proposée pour 

résoudre le problème d’affectation dynamique. 

Les perspectives de cette thèse consistent à enrichir et à compléter cette étude sur les 

aspects suivants : 

1. L’étude numérique sur le modèle de paquets de véhicules en coordonnées Lagrangiennes. 

2. L’étude numérique pour tester l’algorithme proposé pour la résolution du problème 

d’affectation dynamique multimodal basée sur les modèles de simulation. 

3. La mise en application du modèle à l’aide de données réelles dans un réseau multimodal. 

4. L’extension du modèle d’activités à la modélisation dynamique de la programmation des 


-151-

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Résumé 

Le travail de recherche porte sur deux thèmes: 1. développement d’un modèle 

dynamique multimodal basé sur les activités ; 2. développement de méthodes de 

résolution de l’équilibre du réseau multimodal dynamique. Nous proposons un 

modèle dynamique multimodal simulant l’enchaînement des déplacements basé sur 

les activités. Deux nouvelles méthodes de résolution du problème d’équilibre du 

réseau sont proposées : 1. l’algorithme de colonie de fourmis en discrétisation 

temporelle ; 2. la méthode de l’Entropie Relative. Cette dernière constitue une 

avancée méthodologique qui considère que l’équilibre du réseau est un événement 

rare parmi les états possibles du réseau. Pour réduire les besoins en moyens de calcul 

pour l’application dans un grand réseau, nous simulons les voyageurs par paquets en 

nous appuyant sur un nouveau modèle macroscopique de trafic en coordonnées 

Lagrangiennnes. Ce modèle permet de décrire la propagation des paquets 

conformément au modèle macroscopique du premier ordre. 

Mots clés : Affectation dynamique de transport, système multi-agent, système de transport 

multimodal, méthode entropie relative, modèle d’activités 

Abstract 

This thesis aims at developing a dynamical activity-based travel behaviour model in 

a multimodal network and solving the related dynamic user equilibrium problem. We 

propose a time-dependant Ant Colony algorithm and a Cross Entropy based 

algorithm for solving the non-derivative variational inequality problems. For the 

large scale multimodal network dynamics modelling, we propose a packet-based 

multi-agent approach using Lagrangian a discretization scheme providing a fast and 

realistic approximation of traffic flow trajectories. A multi-agent based approach 

modelling travellers’ adaptive behaviour and the dynamics of multimodal traffic flow 

has been proposed. 

Keywords: Dynamic traffic assignment, multi-agents systems, multimodal 

transportation systems, cross entropy method, activity-based modelling

Thèse Modèle dynamique de transport basé sur les activités

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