Étude et résolution exacte de problèmes de transport à la demande ...

tel-00534894, version 1 - 10 Nov 2010
Chapitre 2. Optimisation du calcul des tournées de véhicules : « Dial-A-Ride
Problem »
un très grand nombre de colonnes. On peut ainsi espérer obtenir une solution optimale
en ayant considéré qu’un sous-ensemble des colonnes.
2.2.2 Contexte d’utilisation – Calcul de bornes inférieures pour des programmes
linéaires en nombres entiers
La génération de colonnes est naturellement adaptée aux problèmes ayant un grand
nombre de variables. Cependant, dans le cadre de la résolution de programme linéaires
en nombre entiers, même lorsque le problème se modélise avec un nombre raisonnable
de variables (modèle compact) – permettant une résolution directe – il peut être intéressant
d’utiliser un modèle équivalent, dit étendu, possédant un grand nombre de variables.
En effet, ce dernier peut fournir une meilleure relaxation linéaire.
Considérons le programme linéaire en nombres entiers compact IP et P sa relaxation
linéaire, possédant deux types de contraintes A, que nous qualifions de globales, et D,
que nous qualifions de locales. Nous supposons x et c des vecteurs de réels de taille n
et A, D, b et d à valeurs rationnelles.
s.c.q.
(IP)
L’optimisation de P se fait sur le polyèdre
min c T x (2.5)
Ax ≥ b, (2.6)
Dx ≥ d, (2.7)
x ∈ N n . (2.8)
QP = {x ∈ R n + : Ax ≥ b} ∩ {x ∈ R n + : Dx ≥ d} .
Le passage de P à un programme linéaire possédant un grand nombre de variables (MP)
se fait par une transformation basée sur un changement de variables appelé « décomposition
de Dantzig-Wolfe » qui introduit les colonnes λω comme des objets complexes
composés d’éléments de {x ∈ N n : Dx ≥ d}. Les colonnes de MP restent soumises aux
contraintes A. L’optimisation de MP se fait donc sur le polyèdre
QMP = {x ∈ R n + : Ax ≥ b} ∩ conv({x ∈ N n : Dx ≥ d}),
où conv(E) désigne l’enveloppe convexe de E, qui est inclus dans QP car on a
conv({x ∈ N n : Dx ≥ d}) ⊂ {x ∈ R n + : Dx ≥ d} .
On dit qu’un polyèdre (sur R n +) possède la propriété d’intégralité s’il est équivalent à l’enveloppe
convexe de sa restriction sur N n . On en déduit que MP fournit une meilleure
borne inférieure à IP que P si les contraintes locales forment un polyèdre ne vérifiant
pas la propriété d’intégralité.
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