Sonia Ben Nejma - Faculté des sciences de l'éducation

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simplifier madame ? /. E3 : On choisit des nombres / P1 : Donne-moi une façon pour passer au tableau / 63-E2 : La somme madame P1 : Chut…suivez, on obtient quoi, on fait 3N plus 4N égal R-3 plus R+4, 7N égal 2R +1, une équation qui a combien d’inconnue ? On veut obtenir R tout seul et N tout seul. C’est clair ou non ? / E : Non P1 : vous essayez de trouver une équation qui a une seule inconnue ou bien R ou bien N. Le commentaire de P1 : « donne-moi une façon pour passer au tableau » peut d’ailleurs être interprété comme une explicitation d’une règle du contrat didactique : les solutions attendues ou qui méritent d’être rendues publiques sont de nature algébrique. Une technique graphique dévalorisée Au sein du thème « système de deux équations à deux inconnues » envisagée par l’enseignante P1, une seule activité est destinée à introduire la résolution graphique d’un système d’équations. L’étude de l’épisode concerné révèle que P1 ne met pas en valeur la technique graphique : elle dicte à l’élève envoyé au tableau les sous-tâches isolées correspondantes qui convoquent des techniques étudiées au préalable au sein des thèmes d’étude « fonctions linéaires et affines », sans préciser au final qu’il s’agit d’une autre technique de résolution des systèmes. De plus, suite à des difficultés d’échelle rencontrées par les élèves dans la représentation graphique, l’enseignante sollicite d’emblée une résolution algébrique afin de valider la solution trouvée graphiquement : P1 dicte à Amel qui écrit au tableau : p(x) et p’(x) désignent les prix à payer pour x séances respectivement pour la 1 ère et la 2 ème option. p(x) = 5x p’(x) = 28 + 3x P1 : la première c’est une fonction ? / E : linéaire / P1 : la 2 ème ? / E : affine Amel écrit : p : est une fonction linéaire ; p’ : est une fonction affine / P1 : vous savez bien que la fonction linéaire se représente par une droite, bon on va faire des tableaux de valeurs. X 0 1 x 0 1 P(x) 0 5 P’(x) 28 31 P1 : ça suffit, 28 c’est trop ? Qu’est ce qu’on va faire, bon termine, chut… / E2 : On prend –7, Madame / E3: -5 ! P1: Quoi? On va payer des séances négatives? Le repère maintenant, commence en bas , il n’y a pas de valeurs négatives, chut… Le choix du repère, Bon termine de tracer, vous y pensez en même temps. Amel gradue les axes à l’aide de la règle. L’image de 0 c’est 28 comment on va placer 28 ? On peut se déplacer par 10 ! C’est mieux non ? Bon l’équation cartésienne de la première 1 ère droite, on représente graphiquement l’équation la droite : D : y = 5x, la 2 ème l’image de 0 est 28 attendez elles vont se couper en un point, est ce qu’on peut déterminer les coordonnées graphiquement puis par le calcul. (E : Brouhaha) Graphiquement ? Appelons A l’intersection. / E : 75. / E3 : Non, Madame c’est pas ça. / P1 : il faut être précis, on peut ajouter quelques valeurs de x et ajouter d’autres points. Qu’est ce que vous remarquez pour A ? Il doit vérifier la 1 ère et la 2 ème . Si x = 14 ? Silence ! P1 écrit au tableau : D : y = 5x D’ : y = 3x + 28 P1 : Il faut vérifier à la fois la 1 ère et la2ème, à la fois, les deux options sont équivalentes lorsque p(x) = p’(x). d. Un registre algébrique omniprésent Au final, le registre algébrique apparaît comme omniprésent. Au fil des activités mises en jeu par P1, les techniques algébriques de résolution font l’objet de diverses explicitations de la part de l’enseignante. Notamment, elle explicite systématiquement les sous-tâches à l’œuvre derrière les tâches convoquées par les énoncés ce qui minore certes le travail autonome des élèves à leur sujet (nous y reviendrons), mais lui permet de tenir un discours sur les techniques, en introduisant parfois des éléments de savoir qui justifient ces techniques (au niveau technologico-théorique). E1 : on prend 3Nsur 4N égal R-3 sur R +4. P1 : N disparaît, si on divise, peut être bien, on fait le rapport vous essayez, peut être bien. P écrit au tableau : N= (R-3)/3 N= (R+4)/4 P1 : on obtient deux équations équivalentes à la 1ére, N c’est le même N. Il continue à écrire : (R-3)/3 = (R+4)/4 P1 : par suite on fait./ 70-E : 3 fois…/ 71-P : produit des moyens égale produit des extrêmes ah.. 4(R-3)=3(R+4) 4R – 12 = 3R +12 P1 : on obtient alors une équation à une inconnue, on continue… 8
On voit comment l’enseignant cadre fortement le travail effectué par un élève voire par luimême au tableau tout en rajoutant des commentaires : « on obtient deux équations équivalentes à la 1ére, N c’est le même N. », « produit des moyens égale produit des extrêmes », etc. qui visent à décontextualiser les techniques mises en œuvre ou à en justifier l’usage en se plaçant à un niveau technologique. Ce discours enseignant qui renforce les techniques algébriques est récurrent au fil des observations conduites la première année dans la classe de P1. Le topos de l’élève lié aux connaissances anciennes, devenues mobilisables En ce qui concerne la mise en œuvre des techniques de résolution algébrique des équations à deux inconnues ou des système d’équations, l’enseignante accorde un topos qui reste restreint pour l’ensemble des élèves de la classe : ceux-ci peuvent se contenter a minima de suivre les explications données au tableau. Mais l’élève presque systématiquement envoyé au tableau se voit accorder davantage d’autonomie dans le travail mathématique. Pour une technique algébrique nouvelle, le découpage en sous-tâches reste pris en charge par le professeur qui dicte les différentes étapes correspondantes à cet élève. Mais si ces sous-tâches correspondent à la mobilisation de connaissances anciennes (comme la résolution d’une équation à une inconnue, représentation graphique de fonctions par exemple, traitement des expressions algébriques), l’élève est censé les accomplir sans l’aide de P1. L’épisode retranscrit cidessous illustre bien cette répartition du travail algébrique entre l’enseignante et l’élève au tableau : charge au professeur d’indiquer les techniques en jeu (« vous simplifiez », « puis on regroupe les m et n », etc.), et à l’élève d’exécuter les tâches indiquées rencontrées auparavant au sein du domaine algébrique. P fait passer un élève au tableau qui écrit : 1/3(m-n) - (m +n ) = 0 P1 : ça s’écrit aussi…continue E3 écrit : m/3 – n/3 –m – n = 0 P1 : vous simplifiez jusqu’à la fin puis on regroupe les m et n E3 écrit m/3 – 3m/3 –n/3 – 3n/3 = 0 -2m/3 – 4n/3 = 0 P1 : on aurait pu écrire m-n = 3 (m + n ) c’est plus facile encore bon alors ça s’écrit encore… E3 écrit 2m + 4n = 0 / P1 : simplifie encore Le rajout d’ostensifs symboliques avec une illusion de transparence L’omniprésence du registre algébrique se traduit également par le rajout d’ostensifs sans en problématiser l’introduction ou en préciser la fonctionnalité. Comme si les non-ostensifs ainsi convoqués allaient de soi pour les élèves. C’est particulièrement visible dans la première activité autour des équations à deux inconnues déjà citée : P1 se saisit des réponses à caractère numérique des élèves concernant des paires solutions de l’équation symétrique : x + y = 6, en les restituant sous formes de couples solutions sans aucune justification : notamment sans s’attarder sur les « couples symétriques » qu’elle rajoute d’elle-même à la liste de nombres donnée par les élèves : E2 : x égal 3 y égal3/ E3 : x égal 2 y égal 4 P1 : bon on va compter tous les couples Maroua écrit au tableau ce que P1 lui dicte : (3 ; 3), (5 ; 1), (2 ; 4), (1 ; 5), (4 ; 2) / P1 : il y a cinq couples, à votre place, on passe à la 2 ème question essayez de répondre D’après notre analyse a priori, la nature même de cette activité pouvait inciter à ce type d’effets didactiques : puisqu’il s’agissait bien d’écrire les couples solutions de cette équation, sur la base d’un travail qui pouvait être mené dans le cadre numérique sans se préoccuper de la nature symétrique de la relation reliant les données. Toutefois, à partir de cette activité, P1 considère visiblement que l’ostensif couple peut être manipulé de façon naturelle par les élèves. Ainsi plus tard, l’enseignante sollicite la mise en forme des réponses d’élèves sous la forme de couples solutions, comme en atteste le très bref extrait suivant: P1 allons y on passe aux couples, par exemple … E1 : m égal –2, n égal 1 / 5-P1 : donc le couple de coordonnées vous avez dit ! / 6-E1 : (-2,1) 9
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