Chapitre I Introduction : Objectif de l'étude - OATAO (Open Archive ...

Dans un schéma implicite, chaque nœud interagit a priori avec l’ensemble des autres
nœuds de la structure. La résolution du système nécessite à chaque itération l’inversion d’une
matrice pleine, ce qui se révèle très coûteux en temps de calcul.
Dans un schéma explicite, en revanche, un nœud n’interagit qu’avec ses voisins
immédiats. Cela implique qu’au cours de la résolution, seule la matrice [M] des masses doit
être inversée. La méthode des masses concentrées permettant de construire une matrice [M]
diagonale, cette inversion est évidente et donc très rapide.
Par contre, la stabilité du calcul explicite, conditionnée par une bonne propagation de
l’information d’élément à élément, impose au calcul un pas de temps réduit dépendant du
maillage et des propriétés du matériau. Au contraire, certains schémas implicites sont
inconditionnellement stables, ce qui autorise l’utilisation d’un pas de temps plus grand et
réduit d’autant le nombre d’itérations nécessaires à la résolution du calcul. Cependant, l’usage
montre que, en dynamique rapide, on obtient, à précision équivalente, des résultats à moindre
coût temporel en explicite qu’en implicite.
Les principaux avantages et inconvénients de ces deux schémas d’intégration sont
repris dans le Tableau I-3 :
EXPLICITE
☹ Conditionnellement stable
☹ pas de temps réduit
☺ précision en Δt²
☺ inversion de [M], diagonale
☺ taille mémoire réduite
☺ résolution élément par élément
☺ robuste
☺ faible coût CPU
IMPLICITE
☺ inconditionnellement stable
☺ pas de temps géré par l’utilisateur
☺ précision en Δt²
☹ inversion de [M]+α[K], non diagonale
☹ taille mémoire importante
☹ Résolution globale, nécessite la
convergence à chaque itération
☹ pivots nuls, divergence
☹ coût CPU important
Tableau I-3 : Comparaison explicite-implicite
Il existe aussi plusieurs techniques numériques pour représenter l’évolution de la
structure.
- La formulation lagrangienne : Les nœuds sont fixes par rapport à la matière. Le
maillage se déforme avec la structure. Plus les distorsions sont importantes, moins
les résultats sont précis, car quand les éléments s’écartent de leur géométrie de
référence, les fonctions de formes représentent mal la réalité.
- La formulation Eulérienne : Les nœuds sont fixes dans l’espace et la matière
s’écoule d’une maille à l’autre. Cette formule est adaptée à la gestion des grandes
déformations mais pose problème lorsque les conditions limites sont mobiles.
- Les formulations enrichies La méthode ALE (Arbitrary lagrangian eulerian) est un
intermédiaire entre les deux précédentes formulations. La méthode XFEM
(eXtended Finite Element Method) permet d’enrichir les éléments avec des fonctions
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