Quelles courbes elliptiques pour la cryptographie ? - Institut de ...
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TRC (08) (Belding, Bröker, Enge, Lauter)<br />
Idée : calcul <strong>de</strong> H d (mod p) <strong>pour</strong> diérents p puis TRC.<br />
En pratique :<br />
Enumeration sur F p (Agashe, Lauter, Venkatesan) : Õ(d 3/2 ).<br />
Le cas p tot. décomposé (p > d) :<br />
1 trouver E avec End(E) = O K .<br />
2 calculer j(E) a <strong>pour</strong> a ∈ Cl(O K ).<br />
3 Retourner H d (mod p) = ∏ (X − j(E) a ).<br />
Le cas p inerte (p petit) :<br />
1 calcul <strong>de</strong> <strong>la</strong> liste <strong>de</strong>s j supersinguliers sur F p 2 avec leur anneau<br />
d'endomorphismes dans A p,∞ .<br />
2 calcul d'un plongement optimal s : O K → A p,∞ et R ⊃ s(O K ) un<br />
ordre maximal.<br />
3 trouver E dans <strong>la</strong> liste avec End(E) = R.<br />
4 retourner H d (mod p) = ∏ (X − j(E) a ).<br />
Complexité : GRH (O(d log 7+o(1) d)) ; heuristique (O(d log 3+o(1) d)).<br />
En chire : <strong>de</strong>g(H d ) = 100 : 14s (.3s analytique).<br />
Christophe Ritzenthaler () <strong>Quelles</strong> <strong>courbes</strong> <strong>elliptiques</strong> <strong>pour</strong> <strong>la</strong> <strong>cryptographie</strong> ? 19 mars 2008 28 / 31
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