Modélisation et Commande des Systèmes Physiques - ResearchGate

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Modélisation des Systèmes Dynamiques Hybrides Chapitre1 méthode repose sur l’utilisation des théories des graphes linéaires qui seront interprétés sous forme de représentations mathématiques. 2.2.1 Méthode d’arbre et coarbre Le principe de cette méthode est de représenter un système ou un circuit par un graphe appelé graphe d’interconnexion de ports noté G = (V, E) où V est un ensemble non vide de n v nœuds et E un ensemble de n e couples d’éléments de V appelés branches. Ces branches seront orientées selon une convention de signe à poser. Chaque branche représente le port d’interconnexion d’un élément, sans tenir compte de sa nature, auquel on associe la paire pf ( t), pe( t) de variables de puissance (respectivement les variables flux et effort). Ce graphe peut être défini par les notions suivantes : Arbre : sous graphe formé par n n 1 et v branches contenant tous les nœuds du graphe mais pas de chemins fermés. Cet arbre est choisi de manière à contenir toutes les sources de tensions et les condensateurs du système. Coarbre : sous graphe composé par nec ne nv 1 branches du graphe qui n’ont pas été incluses dans l’arbre. Cycle fondamental : cycle orienté, associé à un arbre et composé d’une seule branche du coarbre et tant qu’il soit nécessaire de l’arbre. L’orientation positive est celle de la branche du coarbre. Cocycle fondamental : cocycle orienté, associé à un arbre et composé d’une seule branche de celui-ci et tant qu’il soit nécessaire du coarbre. L’orientation positive est celle de la branche de l’arbre. Dans notre cas, il n’y a aucun cocycle déterminé. Le graphe d’interconnexion peut être, ensuite, représenté mathématiquement de plusieurs manières différentes. Le choix de la méthode de représentation dépendra, essentiellement, du type et de l’objectif de l’application. Une représentation matricielle sera plus naturelle. Parmi ces représentations matricielles, les notions de matrice fondamentale des cycles et de matrice fondamentale des cocycles qui mènent à une représentation minimale du système sont les plus citées. Ces matrices, utilisées pour écrire les lois de Kirchhoff, sont définies de la manière suivante : Matrice fondamentale des cycles notée B : matrice de dimension ( nec n e) qui représente les relations de connectivité entre les cycles et les branches du graphe. Chaque ligne représente un cycle et chaque colonne représente une branche du graphe. Si la branche en question appartient au cycle, on mettra 1, si elle est orientée dans le même sens que la branche du coarbre constitutive du cycle, ou -1, si elle est dans le sens inverse. Si elle n’est pas incluse dans le cycle, on mettra 0. Matrice fondamentale des cocycles notée Q : représente les liens entre les cocycles et les nœuds du graphe. Cette matrice peut être déduite directement à partir de la matrice Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 13
Modélisation des Systèmes Dynamiques Hybrides Chapitre1 fondamentale des cycles en identifiant la matrice Q c de dimension ( net n ec ) formée par les colonnes associées aux branches du coarbre. Ces matrices établissent les relations entre les variables de puissance associées aux branches du graphe d’interconnexion. Ces relations correspondent aux lois de Kirchhoff. Les relations entre les courants sont données par la matrice fondamentale des cocycles (Q), alors que les relations entre les tensions sont données par la matrice fondamentale des cycles (B). Si on applique les lois de Kirchhoff sur les cycles fondamentaux et les cocycles fondamentaux, on obtient : Bp . 0 I Q 0 0 e c p ft p Qp . 0 t 0 0 p Q I p f fc c ec t B Qc I c et avec Q I Q (1) avec I une matrice identité, p et et p ft les vecteurs de dimension n et respectivement des variables effort et flux des branches contenues dans l’arbre. On note aussi p ec et p fc les vecteurs de dimension n ec respectivement des variables effort et flux des branches contenues dans le coarbre. Cette relation permet d’en déduire la représentation entrée/sortie suivante appelée structure de Dirac: p p ft ec 0 -Qc Q 0 t c p p et fc 0 (2) A partir de cette relation, les différents modèles d’états explicites, correspondant aux différents modes de fonctionnement, peuvent être définis en faisant les simplifications nécessaires engendrées par l’annulation des tensions ou des courants au niveau des éléments en commutation. Ainsi, le modèle obtenu pour chaque configuration peut être écrit sous la forme d’une représentation d’un système n Hamiltonien à port avec dissipation [DAL98]. Ce système est défini sur par une matrice de structure J , antisymétrique, de dimension ( n n ) qui représente l’interconnexion directe entre les éléments de stockage d’énergie, une matrice symétrique positive R , qui représente l’interconnexion entre les éléments de stockage d’énergie par l’intermédiaire des éléments qui dissipent de l’énergie, une fonction n Hamiltonienne H : , qui représente l’énergie totale stockée dans le système, une matrice d’entrée g de dimension ( n m) et une équation dynamique de l’état noté x donnée par: . H x ( J R) g. E x (3) Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 14
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Annexe A . 0 0 q q 0 0 E R (130) .
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Annexe B Zone 4 : VE2 BE2 VE1 VE1
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