Modélisation et Commande des Systèmes Physiques - ResearchGate

N° d’ordre 2009 ISAL 0117 Année 2009 

Thèse 

Modélisation et Commande des Systèmes Physiques à 

Topologie Variable : Application au Convertisseur 

Multicellulaire. 

Présentée devant 

L’Institut National des Sciences Appliquées de Lyon 

Pour obtenir le grade de docteur 

Ecole Doctorale EEA 

Spécialité : Energie et Systèmes 

Par 

Mohamed Abdallah TRABELSI 

Soutenue le 16 Décembre 2009 devant la commission d’examen 

Jean BUISSON 

Mohamed DJEMAI 

Claire VALENTIN 

Malek GHANES 

Jean-Marie RETIF 

Xavier BRUN 

Xuefang LIN-SHI 

Jury 

Professeur 

Professeur des universités 


Maître de conférences 


Maître de conférences 


Rapporteur 

Rapporteur 

Examinatrice 

Examinateur 

Directeur de thèse 

Codirecteur de thèse 

Codirectrice de thèse 

(membre invité du jury)

INSA Direction de la Recherche - Ecoles Doctorales – 

Quadriennal 2007-2010 

SIGLE ECOLE DOCTORALE NOM ET COORDONNEES DU RESPONSABLE 

CHIMIE 

E.E.A. 

E2M2 

EDISS 

INFOMATHS 

Matériaux 

MEGA 

ScSo 

CHIMIE DE LYON 

http://sakura.cpe.fr/ED206 

M. Jean Marc LANCELIN 

Insa : R. GOURDON 

ELECTRONIQUE, 

ELECTROTECHNIQUE, AUTOMATIQUE 

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M. Alain NICOLAS 

Insa : C. PLOSSU 

ede2a@insa-lyon.fr 

Secrétariat : M. LABOUNE 

AM. 64.43 – Fax : 64.54 

EVOLUTION, ECOSYSTEME, 

MICROBIOLOGIE, MODELISATION 

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M. Jean-Pierre FLANDROIS 

Insa : H. CHARLES 

INTERDISCIPLINAIRE SCIENCES- 

SANTE 

Sec : Safia Boudjema 

M. Didier REVEL 

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INFORMATIQUE ET 

MATHEMATIQUES 

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M. Alain MILLE 

Secrétariat : C. DAYEYAN 

MATERIAUX DE LYON 

M. Jean Marc PELLETIER 

Secrétariat : C. BERNAVON 

83.85 

MECANIQUE, ENERGETIQUE, GENIE 

CIVIL, ACOUSTIQUE 

M. Jean Louis GUYADER 

Secrétariat : M. LABOUNE 

PM : 71.70 –Fax : 87.12 

ScSo* 

M. OBADIA Lionel 

Insa : J.Y. TOUSSAINT 

M. Jean Marc LANCELIN 

Université Claude Bernard Lyon 1 

Bât CPE 

43 bd du 11 novembre 1918 

69622 VILLEURBANNE Cedex 

Tél : 04.72.43 13 95 Fax : 

lancelin@hikari.cpe.fr 

M. Alain NICOLAS 

Ecole Centrale de Lyon 

Bâtiment H9 

36 avenue Guy de Collongue 

69134 ECULLY 

Tél : 04.72.18 60 97 Fax : 04 78 43 37 17 

eea@ec-lyon.fr 

Secrétariat : M.C. HAVGOUDOUKIAN 

M. Jean-Pierre FLANDROIS 

CNRS UMR 5558 


Bât G. Mendel 


69622 VILLEURBANNE Cédex 

Tél : 04.26 23 59 50 Fax 04 26 23 59 49 

06 07 53 89 13 

e2m2@biomserv.univ-lyon1.fr 

M. Didier REVEL 

Hôpital Cardiologique de Lyon 

Bâtiment Central 

28 Avenue Doyen Lépine 

69500 BRON 

Tél : 04.72.68 49 09 Fax :04 72 35 49 16 

Didier.revel@creatis.uni-lyon1.fr 

M. Alain MILLE 


LIRIS - INFOMATHS 

Bâtiment Nautibus 



Tél : 04.72. 44 82 94 Fax 04 72 43 13 10 

infomaths@bat710.univ-lyon1.fr - alain.mille@liris.cnrs.fr 

M. Jean Marc PELLETIER 

INSA de Lyon 

MATEIS 

Bâtiment Blaise Pascal 

7 avenue Jean Capelle 

69621 VILLEURBANNE Cédex 

Tél : 04.72.43 83 18 Fax 04 72 43 85 28 

Jean-marc.Pelletier@insa-lyon.fr 

M. Jean Louis GUYADER 

INSA de Lyon 

Laboratoire de Vibrations et Acoustique 

Bâtiment Antoine de Saint Exupéry 

25 bis avenue Jean Capelle 


Tél :04.72.18.71.70 Fax : 04 72 43 72 37 

mega@lva.insa-lyon.fr 

M. OBADIA Lionel 

Université Lyon 2 

86 rue Pasteur 

69365 LYON Cedex 07 

Tél : 04.78.69.72.76 Fax : 04.37.28.04.48 

Lionel.Obadia@univ-lyon2.fr 

*ScSo : Histoire, Geographie, Aménagement, Urbanisme, Archéologie, Science politique, Sociologie, 

Anthropologie

A mes parents pour ce qu’ils m’ont apporté et que je n’arrive pas à compter 

A ma femme qui m’a toujours soutenu et encouragé aux moments opportuns 

A mon frère et mes sœurs pour leurs intérêts envers mon travail 

A tous ceux qui me sont chers

Remerciements 

Une thèse a nécessité, trois ans de travail. Il est certain qu’on n’y arrive pas tout seul, 

mais avec l’aide et le soutien des personnes qui m’ont entouré. J’écris alors ces 

quelques paragraphes pour les remercier. 

Je tiens tout d’abord à remercier Jean-Marie RETIF, directeur de cette thèse. Il a su 

m’orienter dans ce monde de recherche et faire preuve de patience et compréhension 

dans les moments difficiles. Je le remercie pour ses conseils et son soutien 

inconditionnel durant toutes ses années. Il est pour beaucoup dans l’aboutissement de 

ce travail. C’était toujours agréable de discuter avec lui de ces sujets scientifiques. 

Ces remerciements s’adressent, également, à Xuefang LIN-SHI et Xavier BRUN, coencadrants 

de cette thèse pour leur disponibilité, leurs remarques, leurs critiques 

constructives et leurs soutiens précieux aides lors de la rédaction de ce manuscrit. 

Je tiens aussi à remercier M. Jean BUISSON, Professeur à l’Ecole Nationale Supérieure 

d’Electricité (SUPELEC), ainsi que M. Mohamed DJEMAI, Professeur à l’Université de 

Valenciennes et du Hainaut Cambrésis, pour avoir accepté d’être les rapporteurs de ce 

travail, malgré la charge de travail qu’ils assument actuellement. 

Je tiens, également, à remercier Claire VALENTIN, Professeur à l’Institut Universitaire 

de Technologie B (IUTB), ainsi que Malek GHANES, Maître de Conférences à l’Ecole 

Nationale Supérieure de l’Electronique et de ses Applications (ENSEA), pour avoir 

accepté de participer au jury de cette thèse. 

Je n’oublierai pas de remercier l’ensemble du personnel du laboratoire AMPERE, qui a 

contribué à instaurer un environnement de travail très cordial.

Résumé 

L’automatique est une science qui traite de la modélisation et la commande des systèmes dynamiques. Ces dernières 

années ont été marquées par l’essor d’une communauté étudiante les systèmes dynamiques hybrides (SDH). Un 

convertisseur statique (présentant un nombre fini de configurations) associé à une charge (procédé continu) est un 

exemple de (SDH). Pour étudier le comportement dynamique de ces systèmes, il est nécessaire de mettre en 

évidence l’aspect hybride (intéraction entre les variables continues et les variables discrètes). Dans ce contexte, 

nous présentons, dans le cadre de cette thèse, deux approches systématiques de modélisation, appliquées à un 

convertisseur série associé à une charge, dans le but d’établir un modèle hybride, qui englobe les variables 

continues et discrètes. La première approche est la méthode des graphes d’interconnexion des ports qui repose sur 

des interprétations mathématiques des graphes linéaires, en vue d’établir une formulation Hamiltonienne paramétrée 

en fonction des états des interrupteurs de puissance. La deuxième approche est l’approche à topologie variable des 

Bond Graph commutés qui permet de modéliser les interrupteurs de puissance (éléments en commutation) par des 

sources nulles suivant leurs états. Nous proposons, ensuite, deux lois de commande à aspect prédictif qui 

déterminent directement les configurations du convertisseur qui permettent de poursuivre, le plus rapidement 

possible, les références du courant dans la charge (objectif principal) et des tensions aux bornes des condensateurs. 

Les contraintes de temps de calcul étant sévères (quelques dizaines de microsecondes), un modèle simplifié, validé 

en simulation sur une période d’échantillonnage, est utilisé en temps réel. La première stratégie permet de prédire, 

sur l’horizon d’une période d’échantillonnage, l’évolution du système pour chaque configuration et de sélectionner 

celle qui minimise la distance entre l’état prédit et l’état de référence. Les résultats de simulation montrent l’intérêt 

de cette stratégie par rapport à une commande classique. Cette stratégie est associée, ensuite, à un observateur 

adaptatif dans le but d’estimer les tensions aux bornes des condensateurs. La deuxième méthode calcule directement 

les rapports cycliques permettant d’atteindre la référence, en effectuant une inversion de la matrice de commande. 

Les commandes proposées sont validées expérimentalement. Les résultats obtenus montrent l es performances et 

l’efficacité de ces méthodes. 

Abstract 

Automatic control deals with modelling and control of dynamic systems. The Hybrid Dynamic System (HDS) 

community has increased over last years. A static converter (having a finite number of configurations) associated to 

a load (continuous process) is an example of HDS. To analyse the dynamic behaviour of such system, it is 

necessary to emphasize and take into account the hybrid aspect. In this document, we propose two systematic 

modelling approaches which are applied on a multicellular converter associated to a load. The aim of these 

modelling approaches is to determine a model by taking into account both the discrete and the continuous variables. 

The first approach is based on a mathematical representation of the dynamic network graph. With this method, we 

synthesize a port-Hamiltonian representation parameterized by the discrete state of the switches. The second 

approach is the switching Bond Graph with variable topology. This method allows modelling the switching 

elements with null sources. Then we propose two predictive control laws which directly determine the 

configurations of the converter to use in order to track as soon as possible the references of the continuous state 

variables of the system. In this case, the real-time constraint is important (a few tens microseconds). This constraint 

leads us to propose a simplified model which is validated in simulation over a sampling period. Having predicted 

the behaviour of the system for each converter configuration, the first control method selects the converter 

switching state which minimizes the Euclidian distance between the predicted state and the reference state. This 

method is compared to a classic control approach by simulation. Then an interconnected adaptive observer based on 

this control method is designed in order to estimate the capacitor voltages. The second control approac h calculates 

directly the duty cycles of the discrete elements of the converter allowing to reach the reference state by inversing 

the control matrix in the model. The experimental results confirm the effectiveness of the proposed approaches.

Sommaire 

Table des matières 

INTRODUCTION GENERALE ......................................................................................................... 1 

CHAPITRE1 MODELISATION DES SYSTEMES DYNAMIQUES HYBRIDES (SDH)............. 5 

1 INTRODUCTION AUX SDH ET SES DIFFERENTES CLASSES ............................................................. 7 

2 APPROCHES DE MODELISATION DES SDH ................................................................................... 9 

2.1 Introduction aux différentes méthodes de modélisation ...................................................... 9 

2.2 Graphe d’interconnexion des ports ................................................................................. 12 

2.2.1 Méthode d’arbre et coarbre .................................................................................................... 13 

2.2.2 Méthode des matrices d’incidence paramétrées [VAL05] ......................................................... 19 

2.3 Bond Graph commuté .................................................................................................... 23 

2.3.1 Approche à topologie fixe ...................................................................................................... 24 

2.3.1.1 Modèle à résistance variable .......................................................................................... 24 

2.3.1.2 Modèle à transformateur ............................................................................................... 24 

2.3.2 Approche à topologie variable ................................................................................................ 24 

3 CONCLUSION ......................................................................................................................... 25 

CHAPITRE2 BOND GRAPH COMMUTE: APPROCHE A TOPOLOGIE VARIABLE .......... 27 

1 INTRODUCTION ...................................................................................................................... 29 

2 MODELISATION EXPLICITE PAR MODE DE CONFIGURATION ......................................................... 29 

2.1 Première configuration .................................................................................................. 29 

2.1.1 Etablissement de la relation structurelle .................................................................................. 29 

2.1.2 Détermination des éléments de la forme structurelle ................................................................ 31 

2.2 Changement de configuration ......................................................................................... 34 

3 MODELISATION IMPLICITE STANDARD [BUI96]......................................................................... 35 

3.1 Formulation implicite de l’équation de structure de jonction ........................................... 36 

3.2 Equation d’état de la configuration de référence ............................................................. 38 

3.3 Détermination des configurations acceptables ................................................................ 39 

3.4 Changement de configuration et conséquence sur la forme standard implicite .................. 40 

4 MODELISATION EXPLICITE STANDARD...................................................................................... 41 

4.1 Principe de la méthode .................................................................................................. 41 

4.2 Application à l’onduleur monophasé débitant sur une charge RL ..................................... 41 

4.3 Application à l’onduleur monophasé alimentant une MCC .............................................. 44 

5 CONCLUSION ......................................................................................................................... 47 

CHAPITRE3 COMMANDE PREDICTIVE DIRECTE D’UN ONDULEUR MONOPHASE ..... 49 

1 INTRODUCTION ...................................................................................................................... 51 

2 RAPPEL SUR LES APPROCHES DE COMMANDE DES CONVERTISSEURS MULTICELLULAIRES ............. 51 

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 

i

Sommaire 

3 COMMANDE MONOCOUP .......................................................................................................... 55 

3.1 Principe de la méthode .................................................................................................. 55 

3.2 Application : convertisseur à trois cellules de commutation débitant sur une charge RL ... 56 

3.2.1 Modèle simplifié et domaine de validité .................................................................................. 58 

3.2.1.1 Domaine de validité ...................................................................................................... 59 

3.2.1.2 Utilisation du modèle simplifié ...................................................................................... 63 

3.2.2 Stratégie de commande .......................................................................................................... 64 

3.2.2.1 Choix des tensions de référence ..................................................................................... 65 

3.2.2.2 Stratégie de choix ......................................................................................................... 71 

3.2.3 Etude comparative en simulation avec une méthode de commande classique ............................. 72 

3.2.4 Validation expérimentale ....................................................................................................... 77 

3.2.4.1 Description du banc expérimental .................................................................................. 77 

3.2.4.2 Résultats expérimentaux et interprétations ...................................................................... 79 

3.3 Synthèse d’un observateur adaptatif basé sur la commande monocoup ............................. 85 

3.3.1 Principe d’observation ........................................................................................................... 85 

3.3.2 Observation des convertisseurs multicellulaires ....................................................................... 86 

3.3.3 Conception de l’observateur adaptatif ..................................................................................... 88 

3.3.3.1 Rappel sur l’observateur adaptatif [HAM90] [GHA10] ................................................... 88 

3.3.3.2 Observateur adaptatif pour le convertisseur multicellulaire ............................................. 89 

a) Conception de l’observateur .............................................................................................. 94 

b) Analyse de convergence de l’observateur pour chacune des configurations ........................... 97 

c) Observateur à temps discret ..............................................................................................101 

d) Résultats de simulation .....................................................................................................103 

e) Validation expérimentale ..................................................................................................105 

3.4 Application : convertisseur à trois cellules de commutation alimentant une MCC ........... 110 

3.4.1 Validation expérimentale ......................................................................................................113 

3.4.1.1 Description du banc expérimental .................................................................................113 

3.4.1.2 Résultats expérimentaux et interprétations .....................................................................115 

4 COMMANDE A BASE D’INVERSION DE MODELE ........................................................................ 119 

4.1 Principe de la commande ............................................................................................. 120 

4.2 Application : convertisseur à trois cellules de commutations débitant sur une charge RL 121 

4.2.1 Stratégie de commande .........................................................................................................121 

4.2.2 Profils des commutations ......................................................................................................123 

4.2.3 Normalisation des rapports cycliques .....................................................................................126 

4.2.4 Résultats de simulation .........................................................................................................131 

4.3 Validation expérimentale ............................................................................................. 132 

4.3.1 Présentation du banc expérimental .........................................................................................133 

4.3.2 Résultats expérimentaux et interprétations .............................................................................133 

5 CONCLUSION ....................................................................................................................... 135 

BILAN ET PERSPECTIVES ......................................................................................................... 139 

BIBLIOGRAPHIE ......................................................................................................................... 145 

ANNEXE A : MODELISATION EXPLICITE PAR MODE DE CONFIGURATION.................... 159 

ANNEXE B : DEGRES DE LIBERTE DANS LE PLAN DES TENSIONS .................................... 163 

ANNEXE C : RESULTATS DE SIMULATION CM ..................................................................... 167 


ii

Table des figures 


Fig. 1 Système électromécanique à commutation ............................................................ 11 

Fig. 2 Système électropneumatique à commutation ......................................................... 12 

Fig. 3 Convertisseur électronique à commutation ............................................................ 12 

Fig. 4 Convertisseur à deux cellules de commutation ...................................................... 15 

Fig. 5 Affectation des nœuds V i et orientation des mailles ............................................... 16 

Fig. 6 Graphe d’interconnexion de ports ......................................................................... 16 

Fig. 7 Graphes primal et dual du convertisseur à 2 cellules de commutation .................... 20 

Fig. 8 Bond Graph générique .......................................................................................... 23 

Fig. 9 Représentation Bond Graph pour la configuration de référence choisie .................. 30 

Fig. 10 Représentation Bond Graph de la nouvelle configuration..................................... 34 

Fig. 11 Vue d’ensemble d’une représentation Bond Graph .............................................. 36 

Fig. 12 Convertisseur à 3 cellules de commutation débitant sur une charge RL ................ 42 

Fig. 13 Représentation Bond Graph du convertisseur à trois cellules de commutation ...... 42 

Fig. 14 Convertisseur à 3 cellules de commutation alimentant une MCC ......................... 44 

Fig. 15 Représentation Bond Graph d’une MCC ............................................................. 45 

Fig. 16 Bond Graph du convertisseur à trois cellules alimentant une MCC ...................... 46 

Fig. 17 Synoptique d’une commande classique ............................................................... 52 

Fig. 18 Schéma de principe d’une commande prédictive à base de modèle [BOU96] ........ 55 

Fig. 19 Schéma de principe de la commande monocoup .................................................. 56 

Fig. 20 Evolution des tensions avec le modèle simplifié et le modèle discret ................... 59 

Fig. 21 Erreur sur E 1 (V) en fonction de I(A) ................................................................... 60 

Fig. 22 Erreur sur E 2 (V) en fonction de I(A) ................................................................... 60 

Fig. 23 Erreur sur I(A) en fonction de I(A) ..................................................................... 61 

Fig. 24 Exemple des directions possibles à un point de mesure donné ............................. 63 

Fig. 25 Projection des 8 vecteurs d’évolution possibles sur le plan (E 1 , E 2 ), I=1A ............ 64 

Fig. 26 Enchaînement des actions dans l’algorithme de commande monocoup ................. 65 

Fig. 27 Iso accroissement du courant de charge ............................................................... 67 

Fig. 28 Evolution des tensions ........................................................................................ 68 

Fig. 29 Délimitation du plan des tensions ....................................................................... 68 

Fig. 30 Degrés de liberté pour les tensions de référence .................................................. 70 

Fig. 31 Volume d’évolution des variables d’état autour d’un point de mesure .................. 72 

Fig. 32 Synoptique de la commande avec MLI appliquée au convertisseur ...................... 73 


iii


Fig. 33 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) avec MLI ................................... 74 

Fig. 34 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) avec CM .................................... 74 

Fig. 35 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) avec MLI ..................... 75 

Fig. 36 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) avec CM ...................... 75 

Fig. 37 Niveaux de tension aux bornes de la charge (V) en fonction du temps (s) ............ 76 

Fig. 38 Convertisseur à trois cellules de commutation utilisé ........................................... 78 

Fig. 39 Charge RL ......................................................................................................... 78 

Fig. 40 Interface de connexion de la carte d-Space dS1104 ............................................. 78 

Fig. 41 Interface entre la carte d-Space et les drivers ...................................................... 79 

Fig. 42 Schéma complet de la plate-forme expérimentale ................................................ 79 

Fig. 43 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) ................................................... 80 

Fig. 44 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) .................................... 81 

Fig. 45 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) ................................................... 81 

Fig. 46 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) .................................... 82 

Fig. 47 Evolution des erreurs en fonction du facteur de pondération ................................ 82 

Fig. 48 Evolution des erreurs en fonction du courant de charge ....................................... 83 


Fig. 50 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) .................................................. 84 


Fig. 52 Schéma de principe d’un observateur .................................................................. 86 

Fig. 53 Convertisseur à 3 cellules de commutation avec charge liée à la masse ................. 87 

Fig. 54 Schéma de principe d’un observateur appliqué au convertisseur série .................. 88 

Fig. 55 1 er cas : Charge de C 1 (configuration U 7 )............................................................. 92 

Fig. 56 2 ème cas : Charge de C 2 (configuration U 5 ) .......................................................... 93 

Fig. 57 3 ème cas : Charge de C 2 et décharge de C 1 (configuration U 6 ) ............................... 93 

Fig. 58 4 ème cas : Le courant ne parcoure aucun condensateur (configuration U 1 ) ............. 94 

Fig. 59 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) ................................................. 104 

Fig. 60 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) (γ 1 = γ 2 =800) ............... 104 

Fig. 61 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) (γ 1 = γ 2 =1500) ............. 105 

Fig. 62 Niveaux de tension aux bornes de la charge (V) en fonction du temps (s) ........... 105 


Fig. 64 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) ................................... 107 





Fig. 69 Schéma bloc de la MCC .................................................................................... 111 

Fig. 70 Synoptique du système de simulation ................................................................. 112 


Fig. 72 Vitesse de rotation (tr/min) en fonction du temps (s) .......................................... 113 


Fig. 74 Machine à courant continu associée à sa charge ................................................. 114 

Fig. 75 Schéma complet de la plate-forme expérimentale ............................................... 115 

Fig. 76 Dissipation de l’énergie réinjectée à l’alimentation ............................................ 116 


Fig. 78 Vitesse de rotation (tr/min) en fonction du temps (s) .......................................... 117 



iv


Fig. 80 Courant (A) en fonction du temps (s) ................................................................. 118 


Fig. 82 Évolution de la mesure par rapport à la référence (CM) ...................................... 119 

Fig. 83 Évolution de la mesure par rapport à la référence (commande à base d’inversion de 

modèle) ......................................................................................................................... 120 

Fig. 84 Principe de la commande prédictive inverse ....................................................... 121 

Fig. 85 Grandeurs de commande sur une période de modulation ..................................... 123 

Fig. 86 Evolution des variables d’état avec des commandes centrées .............................. 124 

Fig. 87 Evolution des variables d’état avec des commandes à gauche ............................. 125 

Fig. 88 Evolution des variables d’état avec des commandes à droite ............................... 126 

Fig. 89 Principe de normalisation des rapports cycliques ................................................ 128 

Fig. 90 Evolution du courant en (A) .............................................................................. 128 

Fig. 91 Evolution des tensions en (V) ............................................................................ 129 

Fig. 92 Evolution des variables d’état dans l’espace à trois dimensions ........................... 129 

Fig. 93 Synoptique de la commande prédictive par inversion de modèle ......................... 130 

Fig. 94 Principe de commande par inversion de modèle ................................................. 130 




Fig. 98 Interface de commande entre les sorties MLI et les drivers ................................. 133 


Fig. 100 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) ................................. 134 

Fig. 101 Niveaux de tension aux bornes de la charge (V) en fonction du temps (s) ......... 135 

Fig. 102 Représentation Bond Graph de la nouvelle configuration .................................. 159 

Fig. 103 Représentation Bond Graph de la nouvelle configuration .................................. 161 

Fig. 104 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) ................................................ 167 







v

Liste des tableaux 

Liste des tableaux 

Tableau 1 Caractéristiques des différentes méthodes de modélisation appliquées ............. 48 

Tableau 2 Evolution des tensions en fonction des commutations de l’onduleur (I > 0) ..... 57 

Tableau 3 Erreurs moyennes sur les tensions en fonction des configurations.................... 62 

Tableau 4 Erreurs moyennes sur le courant en fonction des configurations ...................... 62 

Tableau 5 Variations des variables d’état ........................................................................ 66 

Tableau 6 Evolution du courant en fonction du code couleur ........................................... 69 

Tableau 7 Evolution des variables d’état en fonction des configurations .......................... 69 

Tableau 8 Evolution des variables d’état en fonction des configurations .......................... 70 

Tableau 9 Variation des erreurs moyennes en fonction de µ ........................................... 110 

Tableau 10 Caractéristiques de la machine à courant continu ......................................... 114 

Tableau 11 Variation des erreurs moyennes en fonction de µ ......................................... 119 

Tableau 12 Variation du THD i en fonction de µ ............................................................. 170 


vii

Nomenclature 

Nomenclature 

V : tension d'alimentation continue (convertisseur Buck) 

Cond: condensateur (convertisseur Buck) 

D: diode (convertisseur Buck) 

Sw: interrupteur de puissance (convertisseur Buck) 

E: tension d'alimentation continue (convertisseur à 3 cellules de commutation associé à une charge liée à 

un point milieu) 

E': tension d'alimentation continue (convertisseur à 3 cellules de commutation associé à une charge liée à 

un point milieu) 

E": tension d'alimentation continue (convertisseur à 3 cellules de commutation associé à une charge liée 

à la masse) 

C: condensateur (convertisseur à 2 cellules de commutation) 

C 1 : condensateur de la deuxième cellule de commutation (convertisseur à 3 cellules de commutation) 

C 2 : condensateur de la première cellule de commutation (convertisseur à 3 cellules de commutation) 

E 1 : tension aux bornes du condensateur C 1 

E 2 : tension aux bornes du condensateur C 2 

R: résistance de la charge 

L: inductance de la charge 

I: courant de charge 

n e : nombre de branches du graphe d’interconnexion de ports 

n et : nombre de branches de l’arbre 

n ec : nombre de branches du coarbre 

n v : nombre de nœuds du graphe 

q: charge du condensateur C 

q 1 : charge du condensateur C 1 

q 2 : charge du condensateur C 2 

Φ: flux magnétique dans l’inductance L 

IM(Gr): matrice d’incidence du graphe Gr (Incidence Matrix of Graph Gr) 

IM(Gr*): matrice d’incidence du graphe Gr* (Incidence Matrix of Graph Gr*) 

E Ω : force électromotrice induite (fem) de la machine à courant à continu (MCC) 

k : constante de la MCC 

C em : couple électromagnétique de la MCC 

U : tension aux bornes de connexion de l’induit de la MCC 

Ω : vitesse de rotation angulaire du rotor de la MCC 

f : coefficient du frottement visqueux 

J : moment d’inertie de l’axe du rotor de la MCC 

C r : couple résistant appliqué sur l’arbre de la MCC 

U i : configuration du système en fonction des états des interrupteurs 


ix

Nomenclature 

X ( k 1, U i ) : vecteur d’état calculé par le modèle discret pour la configuration U i 

X ( k 1, U i ) : vecteur d’état calculé par le modèle simplifié pour la configuration U i 

T e : période d’échantillonnage 

p: nombre de cellules de commutation 

Err _ E : erreur moyenne absolue entre les valeurs de consigne et les valeurs de mesure de E 1 

1 

Err _ E : erreur moyenne absolue entre les valeurs de consigne et les valeurs de mesure de E 2 

2 

ErrE 1 : erreur moyenne absolue entre les valeurs de E 1 calculées avec le modèle simplifié et le modèle 

discret 

ErrE 2 : erreur moyenne absolue entre les valeurs de E 2 calculées avec le modèle simplifié et le modèle 

discret 

ErrE 1 : erreur entre les valeurs de consigne et les valeurs de mesure de E 1 

ErrE 2 : erreur entre les valeurs de consigne et les valeurs de mesure de E 2 

THD i : taux de distorsion harmonique du courant 

µ: facteur de pondération 

γ 1 , γ 2 : constantes définies positives pour régler le temps de convergence de l’observateur 


x

Introduction générale 


L'automatique est une science pour l’ingénieur, qui traite essentiellement de l'étude du 

comportement dynamique et de la commande des systèmes physiques. Ces systèmes 

étaient généralement catalogués en deux grandes classes : les systèmes continus et les 

systèmes à événements discrets. 

Les systèmes continus sont des systèmes faisant intervenir des grandeurs 

physiques dont les variations sont des fonctions de type f(t) avec t une variable 

continue. Ces fonctions, évoluant dans un intervalle de nombres réels, peuvent être 

identifiées par la vitesse ou le déplacement d’un mobile (vitesse d’une voiture), la 

pression d’un gaz (pression de l’air), le débit d’un fluide (débit d’eau), la température 

d’un système (température d’un four), le courant (courant traversant un circuit 

inductif)…L’étude du comportement dynamique et la gestion de ces systèmes font 

appel à des outils mathématiques tels que les fonctions de transfert, les équations 

différentielles, les représentations graphiques (Bond Graph par exemple) et les 

représentations d’état sous forme matricielle ou sous forme de fonctions non linéaires. 

Les systèmes à événements discrets, notés SED, sont des systèmes dont les 

variations des grandeurs physiques les caractérisant ne peuvent prendre qu’un nombre 

fini de valeurs. Les éléments constitutifs de ces systèmes sont caractérisés par deux 

états (Tout Ou Rien) gérés par l’algèbre de Boole. La gestion et la modélisation de ces 

systèmes sont effectuées par le biais des méthodes états-transitions tels que les 

graphes d’état, les réseaux de Petri et les GRAFCET. 

Toutefois, cette répartition en deux classes de systèmes a été jugée 

incomplète au début des années 1980 avec la naissance d’une nouvelle classe des 

systèmes physiques, les systèmes dynamiques hybrides (SDH). La naissance de cette 

classe est provoquée par l’existence de nombreux ensembles industriels comportant 

des éléments ou des dynamiques des deux types décrits précédemment. Certains 

systèmes électropneumatiques sont un bon exemple de cette classe. L’asservissement 

de position d’une charge liée à un vérin électropneumatique piloté par des 

distributeurs TOR peut être vu comme un système dynamique hybride. En effet si la 

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des scienc es appliquées de Lyon 1


dynamique des distributeurs est très rapide devant la dynamique du système à piloter, 

le modèle de représentation comportera des phénomènes continus, d’une part, 

(évolution des pressions dans les chambres du vérin, positionnement de la masse) et 

des phénomènes discrets d’autre part (commutation des électro-distributeurs). Les 

systèmes électroniques de puissance peuvent aussi être modélisés par une partie 

continue, représentée par les courants et les tensions et une partie discrète 

correspondante aux différents états des interrupteurs de puissances (fermé - ouvert). 

Donc un SDH peut être défini comme un système comportant des évolutions continues 

et des phénomènes discrets qui leur sont liés. 

Il est, ainsi nécessaire d’élaborer et de mettre au point des techniques pour 

l’étude du comportement dynamique de ces systèmes et pour la synthèse des lois de 

commandes pour contrôler les évolutions des variables mises en jeu. Ces techniques 

présentent souvent un degré de complexité élevé, dû à l’interaction des dynamiques de 

natures différentes. 

Dans ce contexte, le travail effectué dans le cadre de cette thèse a été axé, 

principalement, autour de ces deux aspects de l’automatique des SDH : la 

modélisation et la commande. Un grand intérêt a été consacré à l’étude des grandes 

approches de modélisation dédiées aux SDH. L’objectif est de mettre en évidence 

l’aspect hybride de ces systèmes particuliers, en recherchant des modèles d’état 

englobant les variables continues et les variables discrètes, interagissant dans le 

fonctionnement du système. Le second objectif de ces travaux concerne l’élaboration 

des lois de commande conduisant à satisfaire les évolutions désirées des variables 

d’état et permettant de résoudre les problèmes de complexités dues à la gestion des 

signaux de natures différentes. 

Ces études ont été menées sur un système électronique de puissance, dont la 

topologie a été imaginée par Meynard au début des années 90 [MEY91]. Il s’agit de la 

structure multicellulaire [PRI95] [CAR96], qui nécessite l’imbrication des cellules de 

commutations, afin de répartir la tension totale sur les cellules de commutations et 

limiter les contraintes en tensions subies par les composants semi-conducteurs, 

associées à une charge. Cette structure est composée de n cellules de commutations 

(les états des interrupteurs de puissance constituent la partie discrète du système) 

séparées deux par deux par des condensateurs dits à potentiels flottants, dont les 

tensions aux bornes (variables continues) doivent être maîtrisées et maintenues à des 

niveaux bien définis, pour assurer le bon fonctionnement de l'ensemble du système. 

L’intérêt de l’utilisation de cette structure réside dans l’obtention de plusieurs niveaux 

de tensions aux bornes de la charge, d’où l’appellation multiniveaux, ce qui permet 

d’avoir une meilleure qualité spectrale de la tension découpée (l’augmentation du 

nombre de niveaux intermédiaires permet de diminuer l’amplitude de chaque front de 

la tension de sortie et par conséquent de diminuer l’amplitude des raies harmoniques). 



Dans un premier temps, le premier chapitre propose une présentation générale 

des systèmes dynamiques hybrides et ses différentes classes, ainsi que les différentes 

méthodes de modélisation de ces systèmes. Dans cette partie, le système étudié est 

défini comme une des classes des systèmes dynamiques hybrides, en l’occurrence un 

système physique à topologie variable. Ensuite, deux méthodes de modélisation, à 

base des graphes d’interconnexion des ports, sont appliquées à un convertisseur série à 

deux cellules de commutation associé à une charge RL, dans le but de trouver une 

représentation Hamiltonienne à port paramétrée. Cette représentation décrit le 

comportement dynamique des variables continues en fonction des paramètres discrets 

mis en jeu (états des interrupteurs de puissance). Enfin, une présentation de la 

méthode des Bond Graph commutés est exposée, en mettant l’accent sur la différence 

entre la topologie fixe (généralement nommée topologie invariante) et la topologie 

variable de cette méthode graphique. 

Le deuxième chapitre propose une application détaillée de l’approche à 

topologie variable des Bond Graph commutés au système 1, puis à un convertisseur à 

trois cellules de commutation associé dans un premier temps à une charge passive de 

type RL, puis alimentant, dans un second temps, une machine à courant continu. 

Généralement les Bond Graph sont utilisés pour modéliser les systèmes physiques 

continus. Mais cette méthode s’adapte parfaitement à la représentation des 

convertisseurs statiques, lorsqu’on modélise les composants semi-conducteurs par des 

sources d’effort et de flux nuls. Donc le système physique étudié, dont la topologie 

d’interconnexion varie, sera vu comme un système continu avec des éléments de 

commutations. Le but est de trouver une méthode systématique qui permet de 

représenter le système sous la forme d’un modèle d’état dit hybride. Ce modèle 

comporte les variables continues et les variables discrètes interagissant dans le 

fonctionnement du système. 

Le troisième chapitre, après un rappel sur les méthodes de commande des 

convertisseurs multicellulaires, présente deux approches de commandes qui sont 

comparées, en simulation, à une commande classique de type Proportionnel Intégral 

(PI), associée à une Modulation à Largeur d’Impulsions (MLI) intersective. L’objectif 

principal des approches de commande proposées est d’asservir le courant à charge, 

tout en gardant, au mieux, les tensions aux bornes des capacités à potentiels flottants 

autour des valeurs de référence. La première méthode est une technique prédictive 

directe qui calcule, pour un état mesuré, les différentes évolutions possibles relatives 

aux différentes configurations. Ensuite, l’algorithme de commande sélectionne la 

configuration qui permet de se rapprocher, au maximum, de l’état de référence et 

l’applique au système, pendant la prochaine période d’échantillonnage (une seule 

configuration est appliquée durant une période d’échantillonnage, d’où l’appellation 

de commande monocoup). Cette stratégie de commande a été ensuite utilisée, en 



associant une technique adaptative d’observation des tensions aux bornes des 

condensateurs, à partir de la mesure du courant de charge et de la tension 

d’alimentation du bus continu. Enfin, cette stratégie de commande a été appliquée au 

convertisseur à trois cellules de commutation alimentant une machine à courant 

continu. La deuxième loi de commande présentée, est une technique, dont le principe 

est de calculer directement les rapports cycliques permettant au système d’atteindre un 

état de référence, en se basant sur l’inversion de la matrice de commande. Ceci est 

possible, suite à l’écriture d’un modèle d’état sous une forme affine de la commande. 

Ces lois de commande, ainsi que l’observateur basé sur la commande 

monocoup, sont testés en simulation et validées sur un banc expérimental. 

En conclusion, un bilan de ces travaux de thèse est présenté, ainsi que les 

perspectives de ce travail. 


Modélisation des Systèmes Dynamiques Hybrides 

Chapitre1 

Chapitre1 

Modélisation des Systèmes Dynamiques 

Hybrides (SDH) 

Mohamed TRABELSI / Thèse en Automatique / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 5


Chapitre1 

1 Introduction aux SDH et ses 

différentes classes 

Généralement, le terme « hybride » est employé lorsqu’un système ou un phénomène 

est constitué de deux composantes de natures différentes. 

Un système continu, par définition, est un système dont l’évolution de ses 

variables est continue en fonction du temps. Ces variables prennent un nombre infini 

de valeurs. L’évolution de ces systèmes est modélisée, dans les cas classiques, d’une 

part, par des équations différentielles, par des fonctions de transfert ou par des 

matrices, s’il s’agit d’un système linéaire et d’autre part par les équations aux dérivées 

partielles (EDP). 

Un système à évènements discrets, contrairement à un système continu, prend 

un nombre fini de valeurs ou d’états. Ces états représentent les modes de 

fonctionnement du système. Le passage d’un mode de fonctionnement ou d’une 

configuration à une autre constitue une séquence d’évènements. Ces systèmes sont 

généralement modélisés par des réseaux de Petri, des automates à états ou par des 

GRAFCET. 

Les Systèmes Dynamiques Hybrides (SDH) sont des systèmes dynamiques 

faisant intervenir, explicitement et simultanément, des phénomènes continus et 

événementiels. Un SDH peut être défini, aussi, comme : 

Définition 1 : un système dynamique qui comporte plusieurs dynamiques de natures 

différentes [MAN01]. 

Par exemple, dans le cas d’un réacteur, la dynamique d’une vanne, qui peut 

être de type Tout Ou Rien, est différente des dynamiques continues du débit, de la 

concentration ou de la température d’un produit 

Définition 2 : un système incluant des dynamiques lentes et rapides qui peuvent être 

observées comme une succession de modes de fonctionnement [VAN00]. 

Dans la pratique, les systèmes, incluant ces dynamiques, sont connus sous le 

nom des systèmes aux perturbations singulières. Les moteurs électriques, incluant une 

dynamique rapide (dynamique électrique) et une dynamique lente (dynamique 

mécanique), sont des exemples pour ces systèmes. 

Définition 3 : un système influencé par des événements qui provoquent des 

commutations entre différents modes d’évolution continue des variables réelles. 

Dans les systèmes à commutations (électronique de puissance), un 

franchissement de seuil d’une diode ou la commande d’un interrupteur de puissance 

peut provoquer des commutations entre les modes d’évolution continue des variables 

réelles d’une charge donnée. 

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 7


Chapitre1 

Ces SDH sont très présents dans la nature et sous plusieurs formes et aspects. 

Cependant, il est possible de distinguer plusieurs classes des SDH. Parmi ces classes, 

celles les plus citées dans la littérature sont: 

Systèmes à saut : la notion des systèmes à saut a été introduite la première fois au début 

des années quatre vingt. Ces systèmes étaient plutôt connus sous le nom des systèmes 

hybrides. Ces systèmes sont considérés comme des systèmes physiques dont la 

dynamique peut être modifiée ou influencée par des événements externes (non 

contrôlables). Cette classe de SDH est caractérisée par une interaction entre la 

dynamique ponctuelle et aléatoire appelée saut (associée à une variable discrète) et la 

dynamique continue du système [ALL98a] [VID02]. Parmi les exemples les plus 

rencontrés dans la littérature, citons, d’une part, celui d'un avion de chasse effectuant 

diverses manœuvres et d’autre part l’étude du trafic routier sur une autoroute, qui peut 

aussi être considéré comme un système à saut, les sauts, dans ce cas étant provoqués 

par un accident d’une voiture, par exemple (dynamique ponctuelle et aléatoire). 

Systèmes affines par morceaux : une grande partie des SDH peut être représentée par 

les systèmes affines par morceaux (Piecewise Affine systems ou PWA) [BEM00] 

[JOH03]. Ces systèmes sont aussi caractérisés par un état continu, régi par un système 

dynamique linéaire par morceaux et un état discret, régi par des transitions de type 

invariant. Ces systèmes ont la particularité de partager l’espace d’état en un nombre fini 

de régions et d’associer à chaque partie une dynamique affine différente [NEC04]. 

Systèmes à modèle mixte dynamique et logique ou (MLD ou Mixed Logical Dynamical 

systems) [BEM99]: ce sont des systèmes qui englobent des entrées, des sorties et des 

états mixtes. 

Ces notions de PWA et MLD sont utilisées pour la modélisation des systèmes 

dynamiques hybrides. Elles sont considérées comme des représentations ou des 

formulations particulières des SDH. De plus, pour une formulation MLD, il a été 

prouvé, dans [HEE01], qu’il existe toujours une représentation PWA équivalente. Ces 

formulations ont été appliquées à un convertisseur DC/DC abaisseur de tension dans 

[PAP04] 

Systèmes physiques à topologie variable : ce sont des SDH, dont la topologie 

d’interconnexion des éléments varie. Ces systèmes peuvent être aussi appelés multimodes 

[BRO84] [GEE96] ou systèmes commutés [LIB99] [LIB03]. Un des exemples 

illustratifs de ces systèmes est le convertisseur de puissance. La topologie 

d’interconnexion du convertisseur varie, selon les états des interrupteurs de puissance 

présents dans la structure. 



Chapitre1 

2 Approches de modélisation des SDH 

2.1 Introduction aux différentes méthodes de modélisation 

La modélisation des systèmes dynamiques hybrides est un thème de recherche qui a 

été abordé par plusieurs communautés scientifiques, de domaines d’intérêts très 

différents. Mais, les automaticiens restent les plus intéressés par la modélisation de 

ces systèmes particuliers, dans le but de synthétiser un modèle englobant tout les 

modes de fonctionnement du système. Les deux communautés « automatique des 

systèmes continus et des systèmes discrets », ont été amenées à collaborer étroitement 

pour modéliser l’aspect continu et discret des SDH. En effet, trois grandes approches, 

qui dépendent des origines scientifiques des auteurs, se sont mises en évidence pour 

modéliser les SDH et ses différentes sous-classes [ZAY01] : 

Approche continu / discret : c’est une approche basée sur des extensions des méthodes 

de modélisation des systèmes continus. Dans cette approche, le SDH est vu comme un 

système continu qui présente des discontinuités. Ces discontinuités sont provoquées par 

le changement d’état des éléments de commutations. Parmi les méthodes qui 

représentent les SDH sous cet angle, on cite : 

• La modélisation par équations différentielles. La dynamique continue est modélisée 

par les équations différentielles, tandis que la dynamique discrète est représentée par 

les équations aux différences [QUE94]. 

• La modélisation par Bond Graph commutés. Cette méthode repose sur les Bond 

Graph, méthode graphique pour modéliser les systèmes continus, pour modéliser les 

systèmes physiques contenant des éléments de commutation. Cependant, deux 

grandes approches de modélisation peuvent être distinguées : une appelée à 

topologie invariante, qui permet de modéliser les éléments de commutation, en 

utilisant des transformateurs modulés [DAU89], des résistances variables [CAS90], 

l’autre approche, appelée à topologie variable, utilise des sources nulles, pour 

modéliser les éléments en commutation [BUI93b] [STR94]. Ces deux approches ont 

été appliquées, successivement, à un hacheur dans [DAU00]. 

• La modélisation par formulation Hamiltonienne. Cette méthode repose sur une 

approche graphique, les graphes d’interconnexion des ports, pour modéliser les SDH 

[VAL06] [VAL07]. Cette approche a été appliquée dans [VAL06] à un 

convertisseur DC/DC abaisseur de tension (Buck), en utilisant la notion des matrices 

d’incidences. Elle sera appliquée, dans la section suivante, à un convertisseur série à 

2 cellules de commutation, associé à une charge passive de type RL. 



Chapitre1 

Approche discret / continu : cette approche repose sur les méthodes de modélisation des 

Systèmes à Evènements Discrets (SED). La dynamique continue sera modélisée par un 

ensemble fini de paramètres discrets. Parmi ces méthodes, citons l’existence des réseaux 

de Petri hybrides [LEB91] [ALL92] [ALL98b]. Cette méthode a été appliquée, pour la 

modélisation simultanée de flux des pièces, dans un atelier de fabrication et sur l’état 

opérationnel des machines qui le composent [LEB92]. Cette technique a été, 

également, utilisée pour la modélisation d’un système de ravitaillement d’eau dans 

[BIT03]. Le débit d’eau représente la dynamique continue du système et le basculement 

d’un état à un autre (partie discrète) est provoqué par l’actionnement de deux sources 

d’eau différentes. De plus, une analogie avec ce système a été effectuée pour modéliser 

un système de communication en réseau. 

Approche mixte : cette approche repose sur la combinaison des deux grandes approches 

précédemment décrites. Chaque aspect est alors décrit, sous sa forme classique, en 

associant les équations algèbro-différentielles aux modèles SED. Parmi ces méthodes 

qui abordent les SDH avec cette vision on cite : 

• La modélisation par automates hybrides. Il s’agit d’une extension de la modélisation 

par les automates à états finis. Cette méthode consiste à combiner un modèle SED 

avec les équations algèbro-différentielles associées à ses états discrets [ZAY01]. 

Tout automate hybride sera ainsi caractérisé par un état global, défini par une paire 

d’états en interaction représentant la dynamique continue et la dynamique discrète 

[LYG03]. En fait, un changement de l’état discret peut provoquer un changement 

d’évolution de l’état continu et une atteinte d’une valeur seuil de cet état peut induire 

un changement d’état discret. Cette technique a été appliquée sur un système de 

fontaines à deux bassins dans [BER04]. L’état discret est représenté par l’arrêt ou la 

mise ne marche d’une pompe et l’état continu par l’évolution des niveaux d’eau dans 

les deux bassins. 

• La modélisation par les réseaux de Petri mixtes. Cette méthode repose sur la 

modélisation par des réseaux de Petri, associés à des équations différentielles, pour 

synchroniser l’aspect continu et discret du SDH [VIB97] [VAL99]. Cette stratégie 

de modélisation a été appliquée dans [VAL02] à un processus chimique automatisé. 

• Le modèle unifié de Branicky : dans cette approche, l’intégration de la dynamique 

discrète à la dynamique continue est faite par le biais des fonctions de transition 

modélisant les sauts autonomes et les sauts commandés [BRA93]. Cette approche a 

été appliquée aux systèmes physiques avec des commutateurs ou des relais. 

L’objectif de nos travaux est d’expliciter les modèles continus pour une 

classe importante de systèmes dynamiques hybrides : les systèmes physiques avec 

éléments de commutation. Ces éléments sont présents dans diverses applications, 

telles qu’en électromécanique (embrayage), hydraulique (vanne tout-ou-rien), mais 

surtout dans le domaine du Génie Electrique (diodes, transistors, thyristors), en 

particulier, dans les dispositifs d’électronique de puissance. Suivant les cas, ces 



Chapitre1 

composants sont totalement commandés (transistors), partiellement commandés 

(thyristors) ou non commandés (diodes). Le changement de l’état d’un élément de 

commutation provoque un basculement d’une configuration à une autre du système. 

Ainsi, pour tout système de ce type, il existe N m configurations possibles, avec N le 

nombre d’états possibles pour chaque élément et m le nombre d’éléments de 

commutation. 

En électromécanique, le système, donné par la Fig. 1, peut être considéré 

comme un système physique à topologie variable. Le système est composé de deux 

moteurs continus couplés, par un embrayage. Deux états peuvent alors être identifiés 

(2 1 ). Les deux moteurs sont couplés si le système est embrayé, ou découplés, si le 

système est débrayé. Dans ce cas, ils sont considérés comme deux systèmes 

indépendants. Ainsi, l’aspect topologie variable du système est identifié. Cet aspect 

dépend de la valeur ou de l’état discret de l’embrayage. 

En électropneumatique, le système, représenté par la Fig. 2, est composé d’un 

vérin déplaçant une charge et piloté par deux électro-distributeurs. Il peut être 

considéré comme un système commuté. Les électro-distributeurs peuvent être 

considérés comme des éléments de commutation. Suivant leur état (les trois états 

possibles pour chaque électro-distributeur sont l’admission, l’échappement et le 

repos), le système change de configuration. Ainsi, neuf configurations sont possibles 

(3 2 ). 

Les circuits électroniques convertisseurs de puissance sont aussi d’excellents 

exemples pour les systèmes multi-modes, parce qu’ils ont une structure variable. Le 

changement de mode de fonctionnement peut être provoqué par une commande 

externe (commande sur l’interrupteur Sw) ou par un franchissement de seuil 

(franchissement de seuil de la diode D). Il s’agit d’un changement de mode autonome. 

Le simple convertisseur Buck (abaisseur de tension) (Fig. 3) peut résumer ce 

fonctionnement. Le changement d’état des éléments de commutations offre au système 

2 2 configurations possibles Cependant, la topologie d’interconnexion des éléments 

change, suivant le mode de fonctionnement. Ces modes de fonctionnement peuvent ne 

pas être réalisables physiquement ou acceptables, c’est le cas lorsque les deux 

éléments en commutation sont tous les deux fermés ou ouverts. 

Embrayage 

Moteur1 

Moteur2 

Fig. 1 Système électromécanique à commutation 



Chapitre1 

Fig. 2 Système électropneumatique à commutation 

Sw 

Éléments de 

commutation 

L 

E 

D 

Cond 

R 

Fig. 3 Convertisseur électronique à commutation 

Dans la suite de nos travaux, nous allons nous intéresser à la modélisation 

d’un convertisseur multiniveaux monophasé alimentant un processus continu par deux 

méthodes de l’approche continu / discret. Les méthodes de graphes d’interconnexion 

de ports et des Bond Graph commutés seront exposées pour la modélisation de ces 

systèmes. La première méthode est généralement utilisée pour les simples 

convertisseurs statiques de type « Buck » ou « Boost ». Dans ce qui suit, elle sera 

appliquée au convertisseur série à trois cellules de commutations. Quant à la méthode 

des Bond Graph commutés, elle sera détaillée et développée par une nouvelle 

approche qui permet de remédier aux calculs fastidieux des relations structurelles 

entre les différents éléments constitutifs du Bond Graph. 

2.2 Graphe d’interconnexion des ports 

C’est une méthode graphique qui permet de modéliser les systèmes physiques d’une 

façon générale et, en particulier, les systèmes en commutation. Le principe de la 



Chapitre1 

méthode repose sur l’utilisation des théories des graphes linéaires qui seront 

interprétés sous forme de représentations mathématiques. 

2.2.1 Méthode d’arbre et coarbre 

Le principe de cette méthode est de représenter un système ou un circuit par un graphe 

appelé graphe d’interconnexion de ports noté G = (V, E) où V est un ensemble non 

vide de n v nœuds et E un ensemble de n e couples d’éléments de V appelés branches. 

Ces branches seront orientées selon une convention de signe à poser. Chaque branche 

représente le port d’interconnexion d’un élément, sans tenir compte de sa nature, 

auquel on associe la paire pf ( t), pe( t) 

de variables de puissance (respectivement les 

variables flux et effort). Ce graphe peut être défini par les notions suivantes : 

Arbre : sous graphe formé par n n 1 

et v branches contenant tous les nœuds du graphe 

mais pas de chemins fermés. Cet arbre est choisi de manière à contenir toutes les 

sources de tensions et les condensateurs du système. 

Coarbre : sous graphe composé par nec ne nv 1 branches du graphe qui n’ont pas 

été incluses dans l’arbre. 

Cycle fondamental : cycle orienté, associé à un arbre et composé d’une seule branche du 

coarbre et tant qu’il soit nécessaire de l’arbre. L’orientation positive est celle de la 

branche du coarbre. 

Cocycle fondamental : cocycle orienté, associé à un arbre et composé d’une seule 

branche de celui-ci et tant qu’il soit nécessaire du coarbre. L’orientation positive est 

celle de la branche de l’arbre. Dans notre cas, il n’y a aucun cocycle déterminé. 

Le graphe d’interconnexion peut être, ensuite, représenté mathématiquement 

de plusieurs manières différentes. Le choix de la méthode de représentation dépendra, 

essentiellement, du type et de l’objectif de l’application. Une représentation 

matricielle sera plus naturelle. 

Parmi ces représentations matricielles, les notions de matrice fondamentale 

des cycles et de matrice fondamentale des cocycles qui mènent à une représentation 

minimale du système sont les plus citées. Ces matrices, utilisées pour écrire les lois de 

Kirchhoff, sont définies de la manière suivante : 

Matrice fondamentale des cycles notée B : matrice de dimension ( nec 

n e) 

qui 

représente les relations de connectivité entre les cycles et les branches du graphe. 

Chaque ligne représente un cycle et chaque colonne représente une branche du graphe. 

Si la branche en question appartient au cycle, on mettra 1, si elle est orientée dans le 

même sens que la branche du coarbre constitutive du cycle, ou -1, si elle est dans le sens 

inverse. Si elle n’est pas incluse dans le cycle, on mettra 0. 

Matrice fondamentale des cocycles notée Q : représente les liens entre les cocycles et 

les nœuds du graphe. Cette matrice peut être déduite directement à partir de la matrice 



Chapitre1 

fondamentale des cycles en identifiant la matrice Q c de dimension ( net 

n ec ) formée 

par les colonnes associées aux branches du coarbre. 

Ces matrices établissent les relations entre les variables de puissance 

associées aux branches du graphe d’interconnexion. Ces relations correspondent aux 

lois de Kirchhoff. Les relations entre les courants sont données par la matrice 

fondamentale des cocycles (Q), alors que les relations entre les tensions sont données 

par la matrice fondamentale des cycles (B). 

Si on applique les lois de Kirchhoff sur les cycles fondamentaux et les 

cocycles fondamentaux, on obtient : 

Bp . 0 I Q 0 0 

e 

c p ft 

p 

Qp . 0 t 

0 0 p Q I p 

f fc 

c 

ec 

t 

B Qc 

I 

c 

et 

avec 

Q I Q 

(1) 

avec I une matrice identité, p et et p ft les vecteurs de dimension n et 

respectivement des variables effort et flux des branches contenues dans l’arbre. On 

note aussi p ec et p fc les vecteurs de dimension n ec respectivement des variables effort et 

flux des branches contenues dans le coarbre. 

Cette relation permet d’en déduire la représentation entrée/sortie suivante 

appelée structure de Dirac: 

p 

p 

ft 

ec 

0 -Qc 

Q 0 

t 

c 

p 

p 

et 

fc 

0 

(2) 

A partir de cette relation, les différents modèles d’états explicites, 

correspondant aux différents modes de fonctionnement, peuvent être définis en faisant 

les simplifications nécessaires engendrées par l’annulation des tensions ou des 

courants au niveau des éléments en commutation. Ainsi, le modèle obtenu pour 

chaque configuration peut être écrit sous la forme d’une représentation d’un système 

n 

Hamiltonien à port avec dissipation [DAL98]. Ce système est défini sur par une 

matrice de structure J , antisymétrique, de dimension ( n n ) qui représente 

l’interconnexion directe entre les éléments de stockage d’énergie, une matrice 

symétrique positive R , qui représente l’interconnexion entre les éléments de stockage 

d’énergie par l’intermédiaire des éléments qui dissipent de l’énergie, une fonction 

n 

Hamiltonienne H : , qui représente l’énergie totale stockée dans le système, une 

matrice d’entrée g de dimension ( n m) 

et une équation dynamique de l’état noté 

x donnée par: 

. 

H 

x ( J R) g. 

E 

x 

(3) 



Chapitre1 

Cette méthode a été toujours appliquée sur de simples convertisseurs de 

puissance de type « Buck » et « Boost ». Dans cette partie, la méthode sera appliquée 

au système donné par la Fig. 4. Ce système est composé de sept nœuds et neuf dipôles 

(Fig. 5). L’orientation des courants et des tensions est choisie selon la convention 

récepteur. Son graphe d’interconnexion de ports est donné par la Fig. 6. 

Q2 

Q1 

E 

u2 

Uc 

C 

u1 

I 

E’ 

R 

Q’2 Q’1 

L 

Fig. 4 Convertisseur à deux cellules de commutation 



Chapitre1 

V2 

i Q2 

V3 

i Q1 

Q2 

Q1 

i E 

UQ2 

UQ1 

E 

V1 

u2 

Uc 

C 

u1 

V6 

E’ 

UR 

R 

i E’ 

i C 

UQ’2 

UQ’1 

Q’2 Q’1 

i Q’2 i Q’1 

i R 

i L 

L 

V7 

V4 

V5 

UL 

Fig. 5 Affectation des nœuds V i et orientation des mailles 

V3 

e3 

V5 

e9 

V6 

e5 

e2 

e6 

e8 

V2 

V7 

V4 

e7 

e4 

e1 

V1 

Fig. 6 Graphe d’interconnexion de ports 

A partir de ce graphe, nous identifions : 

Arbre : nv 7 et net n v -1 6 . L’arbre choisi ici est : e 1 e 2 e 3 e 5 e 6 e 4 . 

Coarbre : ne 9 et nv 7 n ec 3. Donc le coarbre trouvé est e 7 e 8 e 9 . 

Cycle fondamental : e1e 2e3e5 e6e7 , e1e 2e3e4e 8, 

e9e5 e 3 



Chapitre1 

Cocycle fondamental : les cocycles sont déduits à partir des cycles fondamentaux. 

Matrice fondamentale des cycles : nous identifions trois cycles et neufs branches. Cette 

matrice est donnée par : 

-1 1 1 0 -1 1 1 0 0 

B 1 -1 -1 1 0 0 0 1 0 

(4) 

0 0 -1 0 1 0 0 0 1 

T 

Q c 

Matrice fondamentale des cocycles : elle est donnée par : 

1 0 0 0 0 0 1 -1 0 

0 1 0 0 0 0 -1 1 0 

0 0 1 0 0 0 -1 1 1 

Q (5) 

0 0 0 1 0 0 0 -1 0 

0 0 0 0 1 0 1 0 -1 

0 0 0 0 0 1 -1 0 0 

Q c 

La représentation entrée/sortie de la structure de Dirac du système considéré 

peut être donc donnée par : 

i 

E 

Q2 Q2 

i 

i 

i 

i 

C 

E ' 

0 0 0 0 0 0 -1 1 0 

0 0 0 0 0 0 1 -1 0 

0 0 0 0 0 0 1 -1 -1 

0 0 0 0 0 0 0 1 0 

0 0 0 0 0 0 -1 0 1 

E' 

Q'1 Q'1 

i 

U 

U 

U 

R 

L 

0 0 0 0 0 0 1 0 0 

1 -1 -1 0 1 -1 0 0 0 

-1 1 1 -1 0 0 0 0 0 

Q'2 Q'2 

0 0 1 0 -1 0 0 0 0 

Q1 Q1 

U 

U 

U 

E 

U 

i 

i 

i 

C 

L 

R 

(6) 

Si on pose u 1 la commande de l’interrupteur Q 1 et u 2 la commande de 

l’interrupteur Q 2 (u i =1 si Q i est fermé et u i =0 si Q i est ouvert avec i= {1,2}), la 

formulation Hamiltonienne, correspondant à la configuration u1 u 2 1, est donnée 

par : 



Chapitre1 

. 

q 

. 

q 

0 0 0 0 C 0 0 

0 0 0 R 1 0 

L 

E 

E' 

Cette formulation peut être étendue à une formulation Hamiltonienne Hybride 

pour modéliser les systèmes physiques à commutations. Puisque le système considéré 

est un système physique à topologie variable, il peut être représenté sous la forme 

suivante : 

. 

H 

x ( J( u) R( u)) g( u). E avec u : discret 

x 

Pour ce faire, l’idée est d’exprimer les variables de puissance dans les 

interrupteurs en fonction des variables de puissance des éléments de stockage et des 

entrées à partir de la représentation entrée/sortie de la structure de Dirac donnée par 

(6). Ceci est possible en passant par les équations constitutives des interrupteurs. Si on 

pose u2 0, u 1 1, on aura les relations suivantes : 

(7) 

(8) 

i 

Q2 

Q'2 

L 

q 

UQ1 0 UQ'1 

C 

U '2 0 q 

Q UQ2 

E E ' 

C 

i 

Q'1 

0 

0 

i 

i 

Q1 

L 

(9) 

Si on passe à la configuration u1 0, u 2 1, on aura la nouvelle relation donnée 

par (10). 

U 

i 

i 

U 

Q2 

Q1 

Q'2 

Q '1 

0 

0 

0 

0 

La relation (11) donne la liaison entre (9) et (10), moyennant les variables 

discrètes u 1 et u 2 . Cette relation est valable pour toutes les configurations du système. 

(10) 

i 

(1 u ) 

Q'2 2 

q 

Q'1 u1. 

C 

U 

UQ2 (1 u2)( E E ' ) 

C 

i u . 

Q1 1 L 

L 

q 

(11) 

Ensuite, en remplaçant (11) dans (6) et en utilisant l’équation constitutive de 

la résistance R, on obtient la formulation Hamiltonienne paramétrée suivante : 



Chapitre1 

. 

q 

. 

q 

0 u2 u1 

C 0 0 E 

u1 u2 -R u2 u2 

1 E' 

J ( u) R( u) L g( u) 

H 

x 

(12) 

Ainsi, les interrupteurs ne représentent pas des entrées/sorties pour le système 

mais ils servent à paramétrer le modèle d’état standard. Cette méthode présentée dans 

[MAG03] a permis d’obtenir un modèle d’état explicite standard pour tous les modes 

de fonctionnement du système considéré. Ce système est une application intéressante 

pour cette méthode. 

2.2.2 Méthode des matrices d’incidence paramétrées [VAL05] 

Dans ce paragraphe, une autre méthode de représentation mathématique du graphe 

d’interconnexion de ports sous forme de matrices d’incidence paramétrées est 

exposée. Cette formulation est appliquée au système à topologie variable donné par la 

Fig. 4. Ce système présente des variations dans son interconnexion qui dépendent des 

états des interrupteurs. 

Objectif : méthode systématique pour obtenir une forme d’état implicite et 

paramétrée par des variables discrètes, caractérisant toutes les configurations du 

système physique à commutations. 

L’idée est de procéder à la mise en équations sous forme de matrice 

d’incidence, en mettant en évidence la notion de déconnexion-reconnexion associée à 

la fermeture ou l’ouverture d’un interrupteur. Cette notion est traduite par des 

matrices paramétrées en fonction des états de chaque interrupteur. Ces matrices 

permettront, par la suite, de définir une matrice de transformation du graphe par 

rapport à une configuration de référence qui doit être choisie en considérant que tous 

les interrupteurs du système sont ouverts. 

Cette méthode sera définie, en s’inspirant du principe de dualité ou de 

symétrie entre les concepts effort-flux. En effet, à chaque élément, possédant des 

propriétés en effort (respectivement en flux), est associé un autre élément possédant 

les mêmes propriétés en flux (respectivement en effort) par le biais d’une relation de 

bijection. Cette relation est traduite par l’association d’un nouveau graphe appelé dual 

au graphe précédemment défini. Cependant, chaque cycle du graphe dual correspond à 

un cocycle du graphe primal et vice versa. Ces graphes (Fig. 7) sont définis donc de la 

façon suivante : 

Notion du graphe primal: c’est un graphe G = (V, E) dessiné sur un plan (en trait plein) 

de telle façon que ses branches ne se croisent qu’au niveau des nœuds. 



Chapitre1 

Notion du graphe dual: si le graphe G = (V, E) est planaire, on peut toujours lui associer 

un graphe dual G* = (V*, E*) (en pointillés) où V* remplace une face définie par le 

graphe primal et E* une branche qui relie deux nœuds du graphe dual. 

V1* 

eu1* 

eu1 

V4* 

V3 

eu2* 

eu2 

V2 

e4 

V2* 

e4* 

eu’2* 

V5 

eu’2 

V4 

eu’1* 

V3* 

eu’1 

V7 

e5 

e5* 

V6 

e1 

e2* 

e2 

e3 

e3* 

V1 

Fig. 7 Graphes primal et dual du convertisseur à 2 cellules de commutation 

Il faut, maintenant, définir les notions de matrice d’incidence du graphe de 

référence noté G r , de matrice de déconnexion-reconnexion du graphe dynamique noté 

G u et de matrice de transformation. Le graphe de référence est associé à la 

configuration de référence et ne contient pas les branches modélisant les interrupteurs 

qui seront considérées comme virtuelles. Le graphe dynamique est un graphe complet 

qui contient celles-ci. Ces branches sont illustrées par de traits fins sur le graphe 

donné par la Fig. 7. 

Matrice d’incidence : c’est une matrice de dimension ( nv 

n e) 

(avec n v le nombre de 

nœuds et n e le nombre de branches) où chaque ligne de la matrice correspond à un nœud 

et indique les branches qui y sont connectées. On mettra un 1 si le nœud vi 

est un point 

de départ pour la branche en question ou -1 s’il est le point d’arrivée. Si la branche n’est 

pas connectée à ce point, on mettra 0. En l’occurrence, chaque colonne de la matrice 

représente une branche qui relie deux nœuds différents. Fatalement, une colonne ne peut 

contenir que deux éléments non nuls. Cette définition est illustrée par la relation 

suivante : 

-1 si eGj ( vk , vi ) avec vi vk 

IM ( Gr) 1 si e ( v , v ) avec v v i 1,...., n et j 1,...., n 

0 sinon 

Gj i k i k v e 

Ainsi, les matrices d’incidence relatives aux graphes primal et dual sont 

illustrées respectivement par les relations (14) et (15). 

(13) 



Chapitre1 

-1 1 -1 0 0 

1 0 0 0 0 

0 0 0 1 0 

IM ( Gr ) 0 -1 0 0 0 

(14) 

0 0 0 -1 0 

0 0 0 0 1 

0 0 1 0 -1 

1 0 -1 0 -1 

IM ( Gr *) 

-1 -1 0 1 0 

0 1 1 0 1 

(15) 

0 0 0 -1 0 

Matrice de déconnexion-reconnexion : c’est une matrice notée M DR ( G , ) 

k 

u u k de 

dimension ( nv 

n v) 

(avec n v le nombre de nœuds et n e le nombre de branches) qui 

dépend de l’état uk 

de l’interrupteur Q k avec k 1,..., n Q . Elle est définie par la 

relation (16). 

u si e = v , v 

k u j i 

M DR ( G , ) , 

= ,. 

k 

u uk i j uk si i j et eu v 

k 

j 

0 sinon 

k 

(16) 

Cette matrice représente l’opération de déconnexion-reconnexion traduite par 

le changement d’état d’un interrupteur donné. Cependant, il y aura autant de matrices 

que d’interrupteurs. Les éléments de cette matrice seront tous nuls, sauf deux 

composantes au niveau des deux lignes qui représentent les nœuds de départ et 

d’arrivée de la branche modélisant l’interrupteur en question. Dans notre cas, la 

matrice de déconnexion-reconnexion associée à l’interrupteur Q 2 est donnée par : 

2 

0 0 0 0 0 0 0 

0 0 u 0 0 0 0 

2 

0 0 -u 

0 0 0 0 

2 

M DR 0 0 0 0 0 0 0 

(17) 

0 0 0 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 0 0 

Ainsi, toutes les matrices de déconnexion-reconnexion seront déterminées de 

la même façon. 



Chapitre1 

Matrice de transformation : c’est une matrice qui dépend de u k et qui représente la 

transformation du graphe de la configuration de référence noté G r à un graphe G u dans 

une autre configuration donnée par l’état des interrupteurs. 

M ( G )( u) I M ( G )( u ) 

si k n 

Tk u nv DRk u k Q 

n 

n 

T 

Q 

I M ( G , u) M ( G , u ) M ( G , u) 

sinon 

nv Ti u DRk u k Tj 

u 

i k 1 j k 1 

Q 

(18) 

La matrice de transformation totale sera le produit des matrices de 

transformation relatives aux différents interrupteurs. Elle est définie par : 

M ( G , u ) M ( G , u ) 

(19) 

T u Tk 

u 

k 1 

n 

Q 

La matrice d’incidence paramétrée du graphe primal est alors donnée par la 

relation suivante : 

-1 1 -1 0 0 

1-u u 0 0 u (1- u ) 0 

1 2 2 1 

0 0 0 (1 u )(1 u ) 0 

1 2 

IM ( G )( u) M ( G )( u). IM ( G ) = 0 -1 0 u -1 (1 u )(1- u ) 

u T u r 

2 2 1 

0 0 0 - u u (1- u ) 

2 2 1 

u u 0 0 u u 

2 1 1 1 

0 0 1 0 -1 

(20) 

De la même manière on peut déterminer la matrice d’incidence paramétrée du 

graphe dual. 

IM ( Gu*)( u) 

u 0 - u u ( u -1) -u 

2 2 2 1 2 

0 u -1 u -1 (1- u ) u u -1 

2 2 2 1 2 

-u 1-u 1 u -u 

1 

2 2 2 1 

0 0 0 0 0 

(21) 

Ensuite, la structure de Dirac correspondante est donnée par : 

IM ( Gu)( u) pf 

0 pe 

0 IM ( Gu*)( u) 

0 

(22) 

. 

T 

. 

q 

f E E' R ; e ' 

L 

R C 

avec p i i i q p E E u 

T 



Chapitre1 

Cette représentation est appelée structure de Dirac hybride paramétrée. C’est 

une représentation globale non minimale du système physique considéré. Cette 

représentation devient minimale par mode de fonctionnement. A chaque commutation, 

un modèle d’état explicite peut être déterminé en remplaçant les états des interrupteurs 

dans la structure par leurs valeurs. 

Ces deux méthodes partent donc du principe de représenter le système 

physique à commutations par un ou des graphes qui seront interprétés 

mathématiquement par des méthodes différentes qui conduisent : 

• soit à une représentation minimale explicite paramétrée en fonction des états des 

interrupteurs, pour l’ensemble des configurations pour lesquelles c’est possible, 

• soit à une représentation non minimale paramétrée pour toutes les configurations, 

dont la dimension et les vecteurs p e et p f sont communs. Pour chaque mode de 

fonctionnement, une représentation minimale est obtenue en éliminant les équations 

redondantes. 

2.3 Bond Graph commuté 

Généralement, le formalisme Bond Graph est utilisé pour modéliser les systèmes 

physiques continus [DAU00] [KAR90]. Il s’agit d’une représentation graphique 

[PAY61], indépendante du domaine d’application pour être un support de 

communication entre des spécialistes de disciplines différentes, qui permet de 

modéliser le système physique en se basant sur les considérations énergétiques. Cette 

approche de modélisation est de plus en plus utilisée pour représenter les SDH et ses 

différentes classes, en l’occurrence les systèmes physiques à topologie variable. D’où 

l’appellation de Bond Graph commuté pour désigner la modélisation par Bond Graph 

des systèmes en commutation [KAR85]. Ainsi, tout système physique à topologie 

variable peut être modélisé par le Bond Graph générique donné par la Fig. 8. 

Se,Sf 

I 

C 

Structure de jonction 

(0,1,MTF,MGY) 

R 

Sw 

Fig. 8 Bond Graph générique 



Chapitre1 

2.3.1 Approche à topologie fixe 

Dans cette approche, les éléments en commutation sont modélisés, soit par des 

résistances variables, soit par des transformateurs. L’équation d’état du système reste 

inchangée, quelque soit la configuration du système. Il s’agit d’une équation d’état 

unique à paramètres variables. A chaque commutation, il n’y a que les lois 

caractéristiques des éléments en commutation qui changent [MOS97]. 

2.3.1.1 Modèle à résistance variable 

Pour ce modèle, l’élément en commutation a une caractéristique double qui dépend de 

l’état de l’élément à chaque commutation. Il est modélisé par une résistance variable 

qui passe instantanément d’une très faible valeur (considérée comme nulle), lorsque 

l’interrupteur est fermé, à une très grande valeur (considérée comme infinie), lorsqu’il 

passe à l’état ouvert [CAS90]. Cependant, deux types de causalité peuvent être définis 

pour cet élément : la causalité résistance ou source d’effort, traduite par la relation 

e Rf et la causalité conductance ou source de flux traduite par la relation f 1 e 

R . 

2.3.1.2 Modèle à transformateur 

Dans ce modèle, l’interrupteur est représenté par une résistance de valeur inchangée R 

associée avec un transformateur de rapport m qui change à la commutation [DAU89]. 

Comme le modèle précédent, deux causalités différentes sont envisageables : une 

2 

causalité source d’effort, traduite par la relation e m Rf et une causalité source de 

flux, traduite par f 1 e 

2 

mR . 

Ces deux modèles ont l’avantage de conduire à un modèle d’état unique, 

quelle soit la configuration choisie des éléments en commutation. Toutefois, leur 

inconvénient réside dans les difficultés numériques qu’ils peuvent poser en simulation 

et dans le fait qu’ils ne permettent pas de modéliser les interrupteurs idéaux. 

2.3.2 Approche à topologie variable 

Dans cette approche, l’interrupteur est considéré comme une source. Toutefois, la 

causalité de l’interrupteur change selon son état. Ce changement peut provoquer un 

changement au niveau des équations d’état et de leur ordre. Pour éviter ce changement 

d’ordre, les chercheurs ont pensé à associer, à l’interrupteur modélisé par une source 

d’effort ou de flux, une résistance [ASH89], pour permettre aux éléments de stockage 

de garder leur causalité intégrale et donc ne pas changer l’ordre du système. Dans le 

chapitre suivant, nous allons nous intéresser à l’application de cette approche à un 

système électronique de puissance, en l’occurrence un convertisseur statique. 



Chapitre1 

3 Conclusion 

Dans ce chapitre, après un rappel sur les systèmes dynamiques hybrides (SDH) et ses 

différentes classes, deux grandes approches de modélisation ont été exposées. Ce sont 

deux approches formelles qui reposent sur une démarche systématique, permettant de 

synthétiser un modèle paramétré en fonction des états des éléments en commutation. 

Pour la méthode des graphes d’interconnexion des ports, ce modèle est, soit explicite 

standard paramétré, soit implicite standard paramétré et qui devient explicite par mode 

de fonctionnement. En ce qui concerne la méthode des Bond Graph commutés, il faut 

bien noter que la topologie de l’approche utilisée est différente de la topologie du 

système physique considéré qui est, dans notre cas, à topologie variable. L’approche à 

topologie fixe permet de modéliser le système avec un seul modèle à topologie 

invariante, en utilisant des éléments qui caractérisent le changement d’une 

configuration à une autre (la valeur de la résistance change d’un mode de 

fonctionnement à un autre), d’où l’appellation de topologie fixe. La deuxième 

approche, est détaillée dans le chapitre suivant. 


Bond Graph commuté : approche à topologie variable 

Chapitre2 

Chapitre2 

Bond Graph commuté: approche à 

topologie variable 



Chapitre2 

1 Introduction 

Dans ce chapitre, différentes méthodes de l’approche des Bond Graph commutés à 

topologie variable seront présentés. Elles permettent d’analyser et modéliser les SDH 

par les formalismes Bond Graph, en représentant les éléments en commutation, qui 

modifient la topologie du système, par des sources d’efforts ou de flux nuls, selon le 

mode de fonctionnement du système [STR94]. 

Cette approche sera appliquée, respectivement sur le convertisseur à deux 

cellules de commutation donné par la Fig. 4, le convertisseur à trois cellules de 

commutation, débitant sur une charge passive RL (Fig. 12) et sur le même 

convertisseur, alimentant une machine à courant continu (Fig. 14). Pour chaque mode 

de fonctionnement, le modèle Bond Graph correspondant est tout d’abord donné, puis 

le modèle sera calculé à partir des relations liant les différents composants du modèle. 

2 Modélisation explicite par mode de 

configuration 

Cette méthode sera appliquée sur le convertisseur à deux cellules de commutation 

donné par la Fig. 4. 

2.1 Première configuration 

Dans la suite, on notera u j 0,1 , l’état des interrupteurs Q 

j 

. Lorsque l’interrupteur 

Qj est fermé u 

j 

1, dans le cas où l’ interrupteur Q 

j 

est ouvert u 

j 

0 . 

2.1.1 Etablissement de la relation structurelle 

Pour la configuration 1 2 1 u u , le Bond Graph du système est donné par la Fig. 9. 

On note que les interrupteurs Q 2 et Q 1 sont modélisés par des sources 

d’efforts nuls (état fermé) alors que les interrupteurs Q’ 2 et Q’ 1 sont modélisés par des 

sources de flux nuls (état ouvert). Dans la suite, on va identifier les différents 

éléments qui vont nous permettre de modéliser le système étudié. 

Pour ce faire, on note [BUI93a] : 



Chapitre2 

Q2:1 Q1:1 

2 

12 

Se:E 

E 

1 

1 

5 

7 

O 

10 

1 

15 

R:R 

17 

1 

9 

C:C 0 

16 

1 

8 

14 

18 

Se:E' 

3 

E' 

1 

6 

O 

11 

1 

I:L 

4 

13 

Q'2:0 

Q'1:0 

Fig. 9 Représentation Bond Graph pour la configuration de référence choisie 

Pour les éléments de stockage : 

• X i 

p 

q 

18 

9 

; vecteur d’état composé des variables d’énergie en causalité intégrale 

(moment généralisé noté p dans les éléments I et le déplacement généralisé noté q 

dans les éléments C). 

f18 

• Z ; vecteur d’état complémentaire composé des variables de puissance (flux 

i e9 

f dans les éléments I et l’effort e dans les éléments C). 

. 

• X 

i 

e 

18 

f 

9 

• La relation Z 

i 

F. 

X 

i 

décrit les composants de stockage d’énergie. Dans notre cas, 

1 

f 0 p 

cette relation est décrite par : 18 L . 18 

e 1 q 

9 0 9 

C 

Pour les éléments dissipatifs : 

D f et Dout 

e 17 représentent respectivement les variables en entrée et en 

sortie des éléments R. 

• in 17 



Chapitre2 

• Dout 

d. 

D in . Dans notre cas, cette relation est décrite par : e 17 R. 

f 17 

Pour l’entrée : 

• U 

E 

E ' 

; vecteur composé des sources du système physique. 

Pour les cellules de commutation : 

out 

• Sm 

e 

e 

2 

12 

f 

f 

4 

13 

La méthode consiste à exprimer 

: vecteur composé des variables des sources d’effort ou de flux nuls. 

Z 

i 

Xi 

D en fonction de Dout 

out 

S 

in 

m 

U 

. Pour obtenir le modèle 

d’état, on peut identifier les matrices d’état et de commande à partir de la forme 

structurelle suivante : 

. 

X 

D 

in 

S11 S12 T13 S13 

D 

. 

S S T S S 

21 22 23 23 

Z 

i 

out 

out 

m 

U 

(23) 

Avec 

T 

T 

T 

13 

23 

une matrice qui dépend de l’état des interrupteurs. 

2.1.2 Détermination des éléments de la forme structurelle 

L’étape suivante est donc de déterminer les éléments de la forme structurelle. 

Généralement, ces éléments sont déduits à partir des équations mathématiques liant les 

variables d’entrée et de sortie. Ce travail est à refaire pour chaque mode de 

fonctionnement du système physique. Pour remédier à ces calculs fastidieux, l’idée est 

de chercher un moyen plus rapide pour retrouver la forme structurelle à chaque 

commutation, pour pouvoir identifier les matrices d’état et de commande à partir des 

matrices de jonctions calculées. Pour ce faire, une nouvelle approche a été développée 

dans cette thèse [TRA08a], dont le principe est d’établir, entre deux éléments reliés 

par un chemin causal, les relations effort-effort et flux-flux de la manière suivante : 

Relation entre source et élément de stockage : 



Chapitre2 

• Si on raisonne sur la variable effort : on part de la source vers l’élément en question 

et on compte le nombre de changements n 1 de sens de la causalité par rapport au 

sens du transfert de puissance (sens des demi-flèches) sur les jonctions 1. 

• Si on raisonne sur la variable flux : on part de la source vers l’élément en question et 

on compte le nombre de changements n 2 de sens de la causalité par rapport au sens 

du transfert de puissance (sens des demi-flèches) sur les jonctions 0. 

n 

n 

1 2 

e ( 1) E et f ( 1) I (24) 

Relation entre les éléments de stockage : 

• Si on raisonne sur la variable effort : on part de l’élément C vers l’élément I et on 

compte le nombre de changements n 3 de sens de la causalité par rapport au sens du 

transfert de puissance sur les jonctions 1. 

( 1) n 3 

e e (25) 

I 

C 

• Si on raisonne sur la variable flux : on part de l’élément I vers l’élément C et on 



( 1) n 4 

f f (26) 

C 

I 

Relation entre l’élément de stockage C et l’élément résistif R: 

• Si on raisonne sur la variable effort : on part de l’élément C vers l’élément R et on 



( 1) n 5 

e e (27) 

R 

C 

• Si on raisonne sur la variable flux : on part de l’élément R vers l’élément C et on 



( 1) n 6 

f f (28) 

C 

R 

Relation entre l’élément de stockage I et l’élément résistif R: 

• Si on raisonne sur la variable effort : on part de l’élément R vers l’élément I et on 



( 1) n 7 

e e (29) 

I 

R 



Chapitre2 

• Si on raisonne sur la variable flux : on part de l’élément I vers l’élément R et on 



( 1) n 8 

f f (30) 

R 

I 

Ainsi, on peut déterminer les éléments S ij de la relation structurelle. Dans 

notre cas, on trouve la relation suivante : 

e 

f 

0 0 -1 1 1 0 0 1 0 

18 2 

f 

0 0 0 0 0 -1 1 0 0 . 

9 12 

1 0 0 0 0 0 0 0 0 

17 4 

f 

e 

e 

18 

9 

17 

e 

e 

f 

f 

13 

E 

E ' 

(31) 

. 

out 

i 11 i 12 out 13 m 13 

X S Z S D T S S U 

out 

in 21 i 22 out 23 m 23 

D S Z S D T S S U 

(32) 

Si on remplace Z i par FX . i dans (32) et on utilise Dout 

d. 

D in pour exprimer 

out 

D en fonction de X , S et U , on aura un modèle d’état sous la forme suivante : 

out 

m 

out 

Xi AXi BU Bout S m 

(33) 

Avec : 

1 

11 12. . . 21 . , . 22 , 13 12. . . 23 

A S S K d S F K I d S B S S K d S 

Donc on aura : 

A 

R 

0 1 0 ; ; 

out 

L B Bout 

Sm 

0 0 

0 0 

0 

Donc pour cette configuration, en permutant l’ordre des variables d’état, on 

aura le modèle d’état explicite suivant : 

. 

0 0 

q q 0 0 E 

R 

(34) 

. 0 - 1 0 E' 

L 

Ce modèle peut être exprimé sous forme de la formulation Hamiltonienne 

hybride donnée par (8) avec u1 u 2 1. 



Chapitre2 

2.2 Changement de configuration 

Pour la configuration u1 1, u 2 0, le Bond Graph du système est donné par la Fig. 

10. 

On note que les interrupteurs Q 1 et Q’ 2 sont modélisés par des sources 

d’efforts nuls (état fermé), alors que les interrupteurs Q 2 et Q’ 1 sont modélisés par des 

sources de flux nuls (état ouvert). Le seul champ, qui présente des modifications par 

out 

rapport à la première configuration, est le champ S m 

. Le nouveau vecteur est défini 

par : 

f 

S 

out 

m 

e 

2 

12 

e 

f 

4 

13 

Q2:0 Q1:1 

2 

12 

Se:E 1 

O 1 

1 

5 

10 

7 

14 

17 

R:R 

1 C:C 0 1 

9 

16 

15 

18 

8 

Se:E' 1 

O 1 

3 

6 

11 

4 

13 

I:L 

Q'2=1 

Q'1=0 

Fig. 10 Représentation Bond Graph de la nouvelle configuration 

Pour cette configuration, la relation structurelle est donnée par : 



Chapitre2 

e 

f 

0 1 -1 0 1 1 0 0 -1 

18 2 

f 

-1 0 0 1 0 0 1 0 0 . 

9 12 

1 0 0 0 0 0 0 0 0 

17 4 

f 

e 

e 

18 

9 

17 

f 

e 

e 

f 

13 

E 

E ' 

(35) 

En appliquant la même démarche pour cette configuration, on obtient le 

modèle d’état suivant : 

. 1 

0 - 

q L q 0 0 E 

. 1 R 0 -1 

E' 

- 

C L 

(36) 

Ainsi, tous les modèles d’états relatifs aux différentes configurations peuvent 

être déterminés (voir Annexe A). Ceci présente un inconvénient majeur pour cette 

méthode surtout lorsque le nombre de modes de fonctionnement est grand 

(convertisseurs série à plusieurs cellules de commutation). Dans la suite on va 

s’intéresser à une approche des Bond Graph commutés qui permet d’éviter ces calculs 

fastidieux. 

3 Modélisation implicite standard 

[BUI96] 

Dans cette partie, le travail de modélisation consiste à rechercher une forme implicite 

qui englobe tous les modes de fonctionnement du système et d’en déduire l’équation 

d’état, suivant la configuration du circuit électrique en commutation. Cette méthode 

est basée sur les changements de causalités des éléments de stockages d’énergie, les 

interrupteurs et les éléments dissipatifs. Donc, on peut tolérer le passage de certains 

éléments de stockage de la causalité intégrale à la causalité dérivée. Mais dans le cas 

des convertisseurs statiques, les éléments de stockage d’énergie seront toujours en 

causalité intégrale, indépendamment de la configuration du système. En effet, partant 

du principe que la configuration de référence doit maximiser les éléments de stockage 

en causalité intégrale, tout mode de fonctionnement peut être considéré comme une 

configuration de référence. 



Chapitre2 

3.1 Formulation implicite de l’équation de structure de jonction 

Les éléments constitutifs d’une représentation Bond Graph générale d’un circuit 

électrique peuvent être regroupés en cinq ensembles appelés champs conformément à 

la Fig. 11. Ce sont : 

Un champ d’éléments produisant l’énergie et constitué des sources d’effort ou de flux 

(Se et Sf). 

Un champ d’éléments stockant l’énergie et constitué des éléments capacitifs C et 

inductifs I (représentée par les deux blocs : Causalité intégrale et causalité dérivée). 

Un champ d’éléments dissipant de l’énergie et constitué des éléments résistifs R. 

Un champ d’éléments de commutation constitué des interrupteurs Sw. 

Un champ d’éléments répartissant l’énergie et constitué des jonctions de type 0 ou 1, 

ainsi que des éléments de type transformateur ou gyrateur modulés (MTF et MGY) ou 

non (TF et GY). Ce champ est appelé structure de jonction. 

Fig. 11 Vue d’ensemble d’une représentation Bond Graph 

Avec, pour les circuits électriques : 

X i : vecteur composé des variables d’énergie dans les éléments en causalité intégrale (le 

flux magnétique dans les éléments I et la charge pour les éléments C). 

Z i : vecteur composé des variables de puissance conjugués (tension pour les éléments C 

et courant pour les éléments I). 



Chapitre2 

X d : vecteur composé des variables d’énergie dans les éléments en causalité dérivée. 

Z d : vecteur composé des variables de puissance conjuguées. 

D i et D o représentent les variables de puissance sortant et rentrant dans le champ R. 

U : vecteur composé des variables imposées par les sources. 

V : vecteur composé par les autres variables de puissance de telle sorte que V T U 

représente la puissance fournie par les sources. 

T i : composé des variables imposée par les interrupteurs dans la configuration choisie : 

les flux quand ils sont ouverts et les efforts quand ils sont fermés. 

T o : composé des autres variables de puissance dans les interrupteurs : les efforts quand 

ils sont ouverts et les flux quand ils sont fermés. 

A chaque commutation, les variables imposées par les interrupteurs changent. 

Ce changement provoque le changement de causalité, pour certains éléments, mais pas 

pour les éléments de stockage, dans le cas des convertisseurs statiques, comme il a été 

déjà mentionné. 

Les interrupteurs étant dans une configuration donnée, chaque sortie de la 

. 

. 

jonction ( Xi, Zd , Do , To 

) peut s’écrire en fonction de toutes les entrées ( X d , Zi, Di , T i ) . 

Ces relations peuvent être regroupées dans l’équation implicite suivante: 

Z 

I S S 0 S 0 S 0 S 

Z 

0 0 

i 

12 

11 13 14 15 

d 

. 

T 

12 0 0 24 0 D 

X S I S S25 

i 

i 

. 

D 

T 

o 

X S13 S33 I S34 S35 

T 

d 

i 

T T T T 

24 

o 

14 34 44 45 

0 0 0 0 

0 S S 0 S 0 S I S 

Cette équation est appelée forme standard implicite. La relation liant le 

vecteur d’entrée au vecteur de sortie peut contenir des matrices identités, nulles ou 

quelconques. Ces dernières sont composées de 0, ±1 et des coefficients des gyrateurs 

et des transformateurs. 

. 

La matrice identité de la première ligne permet de définir le vecteur X i , celle 

de la deuxième ligne définit Z d , celle de la troisième D o et celle de la quatrième T o . 

Ainsi cette équation peut être simplifiée, vu que les composantes des éléments en 

causalité dérivée sont toutes nulles, et écrite de la manière suivante : 

. 

Xi 

S11 S13 S14 S15 

Do 

T 

S13 S33 S34 S35 

To 

T T 

S14 S34 S44 S45 

Z 

i 

D 

T 

i 

U 

i 

On note que cette équation est algébriquement correcte pour toutes les 

configurations du système en commutation. Cette relation sera différente d’un mode 

U 

(37) 

(38) 



Chapitre2 

de fonctionnement à un autre et elle permettra de déduire le modèle d’état explicite 

pour chaque configuration. 

En se référant à la représentation Bond Graph donné par la Fig. 9 et en 

considérant la configuration u1 u 2 1 comme configuration de référence, on définit : 

e f 

2 2 

p f f e E 

Xi ; Zi ; D e ; D f ; T ; T ; U 

q e e f E ' 

18 18 4 4 

i 17 o 17 i o 

9 9 12 12 

f 

e 

13 13 

Les éléments S ij sont déduits en appliquant la méthode définie précédemment. 

Donc, on obtient la relation suivante : 

e 

f 

18 

f 

9 

17 

f 

e 

f 

e 

2 

4 

12 

13 

0 0 -1 1 0 1 0 1 0 

0 0 0 0 -1 0 1 0 0 

1 0 0 0 0 0 0 0 0 

1 0 0 0 -1 0 0 0 0 

0 -1 0 1 0 0 0 1 1 

1 0 0 

0 0 0 -1 0 0 

0 1 0 0 0 1 0 0 0 

f 

e 

e 

18 

9 

17 

e 

f 

e 

f 

2 

4 

12 

13 

E 

E ' 

(39) 

3.2 Equation d’état de la configuration de référence 

Pour trouver l’équation d’état de la configuration de référence, on définit la relation 

constitutive du champ R et la relation constitutive des champs I et C (stockage). 

La relation constitutive du champ R (éléments résistifs) s’écrit : 

D d. 

D 

i 

o 

Avec d une matrice diagonale positive qui représente la relation entrée/sortie 

du champ R. 

Dans un cas linéaire, la loi constitutive pour les champs de stockage I et C 

s’écrit : 

Z 

Z 

i 

d 

F 

F 

i 

T 

F 

F 

d 

X 

X 

i 

d 

. 

Avec F une matrice symétrique positive. 

En effectuant les simplifications nécessaires, on peut déduire l’équation 

suivante pour la configuration de référence choisie : 

(40) 



Chapitre2 

I S X 

12 

. 

i i i 

. 

T T T 

S12Fi 

F S12F d 

Fd 

Xd 

1 

H d I dS33 

T 

K ( S11 S13HS13) 

0 0 

X 

Avec ( ) 

KF KF X S S HS 

15 13 35 

S 

25 

U 

(41) 

Vu que tous les éléments de stockage sont en causalité intégrale, l’équation 

d’état peut être écrite sous la forme suivante : 

. 

Xi K. F X ( S S HS ) U (42) 

i 

i 

15 13 35 

Pour le convertisseur à deux cellules de commutations, le modèle d’état pour 

la configuration de référence choisie est donné par : 

. 

0 0 

q q 0 0 E 

R 

. 0 

1 0 E ' 

L 

(43) 

Donc, on retrouve le modèle d’état obtenu par la première méthode pour la 

même configuration de référence. 

3.3 Détermination des configurations acceptables 

Partant de la configuration de référence qui peut être choisie d’une façon aléatoire, il 

est nécessaire de vérifier pour chaque commutation, si la nouvelle configuration est 

physiquement réalisable. En général, dans un système, toutes les configurations ne 

sont pas acceptables. Certaines ne respectent pas les lois de Kirchhoff. Pour vérifier 

cette acceptabilité, il faut tout d’abord définir une matrice des états des interrupteurs 

qui changera à chaque commutation. Ensuite, un test de rang permettra de conclure 

quant à l’acceptabilité de la configuration. 

La matrice des états des interrupteurs est définie en établissant la relation 

entre les nouveaux vecteurs T i ’ et T o ’ après chaque changement de mode en fonction 

de T i et T o . Cette relation est définie par : 

T 

T 

i 

o 

I 

I 

T ' 

T 

i 

o 

' 

On définit comme une matrice carrée diagonale 

SW 

R 

SW 

Ses éléments 

diagonaux valent 1 si l’interrupteur correspondant a commuté 0 sinon. 

Si k est le nombre d’interrupteurs ayant commuté, la nouvelle configuration 

peut aussi être définie par 

k nSW 

R , issue de par suppression de toutes ses lignes 

nulles. Donc on aura : 

n 

n 

(44) 



Chapitre2 

T 

T 

I 

(45) 

Une fois la matrice est définie, une configuration n’est considérée 

acceptable que si et seulement si : 

T T T 

rang( ( S14 

S34 

S44 

)) k 

Ce test de rang permet aussi de préciser les éléments qui vont changer de 

T 

causalité. Si rang de S44 

k , la causalité n’est modifiée que pour les 

T 

T T 

interrupteurs. Si rang de S44 

k mais rang de ( ( S34 S44 

)) k , alors la 

causalité d’éléments R change également. Dans les autres cas, certains éléments de 

stockage perdent leur causalité intégrale. 

Ce principe va être appliquée pour tester l’acceptabilité de la configuration 

choisie dans la section 1.2 ( u 1 1, u 2 0). Pour cette configuration, on note la 

commutation des interrupteurs Q 2 et Q’ 2 . Donc, la matrice des états des interrupteurs 

sera définie par : 

1 0 0 0 

0 1 0 0 

0 0 0 0 

0 0 0 0 

T T T 

Cette configuration est acceptable puisque rang ( ( S14 S34 S 44 )) 2 

qui est le nombre des interrupteurs qui ont commuté. 

(46) 

3.4 Changement de configuration et conséquence sur la forme 

standard implicite 

Pour chaque commutation, les interrupteurs changent de causalité. Ce changement se 

répercute sur les autres éléments du Bond Graph. Pour les convertisseurs statiques, ce 

changement de causalité n’est présent qu’au niveau des jonctions, des éléments 

résistifs, des transformateurs et des gyrateurs. Donc, les éléments S ij , constitutifs de 

l’équation d’état, vont changer en fonction des nouveaux vecteurs. Ces matrices 

peuvent être déduites directement, en utilisant la matrice des états des interrupteurs 

qui correspond à la nouvelle configuration, à partir des équations suivantes : 

1 T 

1 T 

1 

11( ) 11 14 14 ; 13( ) 13 14 34 ; 15( ) 15 14 45 

1 T 

1 

33( ) 33 34 34 ; 35( ) 35 34 45 

1 T T 1 

I ( I S44) ( S44 

) 

S S S S S S S S S S S S 

S S S S S S S S 

(47) 

Si on applique ces équations pour la configuration u1 1, u 2 0, on trouve le 

modèle d’état explicite suivant : 



Chapitre2 

. 1 

0 - 

q L q 0 0 E 

. 1 R 0 -1 

E' 

- 

C L 

(48) 

Ceci rejoint le résultat obtenu dans (36). Ainsi, on peut déterminer les 

différents modèles explicites correspondants aux différents modes de fonctionnement 

du système étudié. 

4 Modélisation explicite standard 

4.1 Principe de la méthode 

Le principe de cette méthode est de définir une équation d’état standard qui permet 

d’expliciter un modèle d’état hybride. Le terme hybride signifie que les matrices 

d’état et de commande sont exprimées en fonction de la commande des éléments en 

commutation. 

4.2 Application à l’onduleur monophasé débitant sur une charge 

RL 

Cette méthode sera appliquée sur le convertisseur à trois cellules de commutation 

débitant sur une charge RL (Fig. 12). 

La première étape consiste à choisir une configuration de référence qui 

maximise les éléments de stockage en causalité intégrale. La configuration choisie est 

telle que les interrupteurs Q 3 , Q 2 et Q 1 sont ouverts. La représentation Bond Graph, 

correspondant à cette configuration, est donnée par la Fig. 13. 



Chapitre2 

E 

Q3 

Q2 

Q1 

I 

E2 

E1 

C2 

C1 

u3 u2 u1 

L 

E’ 

Q’3 Q’2 Q’1 

R 

Fig. 12 Convertisseur à 3 cellules de commutation débitant sur une charge RL 

Q3:0 Q2:0 

Q1:0 

2 

12 21 

Se:E 

1 

1 

5 10 14 19 

O 1 

O 

1 

R 

7 

1 

9 

23 

16 

18 

C:C2 1 

C:C1 

0 

25 

I 

I 

26 

1 

Ic 

8 

17 

24 

I 27 

3 

6 

11 15 20 

Se:E' 1 

O 1 

O 

1 

I:L 

4 

13 22 

Q'3=1 

Q'2=1 

Q'1=1 

Fig. 13 Représentation Bond Graph du convertisseur à trois cellules de commutation 

Ensuite, il faut déterminer les vecteurs en entrée et en sortie de la structure de 

jonction. Ces vecteurs sont donnés par : 

e f 

2 2 

4 4 

p27 f27 

12 12 

i 9 i 9 i 26 o 26 o i 

13 13 

q18 e18 

e21 f21 

e f E 

X q ; Z e ; D e ; D f ; T ; T ; U 

f e E ' 

f 

f 

e 

e 

22 22 



Chapitre2 

L’étape suivante consiste à déterminer la relation liant les vecteurs d’entrée 

aux vecteurs de sortie de la structure de jonction. Cette relation est donnée par: 

f 27 

e e 27 

9 

f 0 0 0 -1 0 1 0 1 0 1 0 -1 e 9 

18 

0 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 0 0 

f e 18 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 26 

f f 26 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 

e 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 -1 e 2 4 

= 

f 4 

1 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 f 12 

e 0 -1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 e 12 

13 

1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 

f f 13 

0 0 -1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 21 

e e 21 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 22 

f E 

22 

E' 

(49) 

L’originalité de l’idée proposée dans cette partie, est de pouvoir déterminer 

un modèle d’état explicite standard englobant toutes les configurations du système. Ce 

modèle est déduit à partir d’une équation d’état calculée en fonction des données de la 

configuration de référence et de la matrice des états des interrupteurs. En effet, il faut 

exprimer cette équation d’état en fonction des commandes appliquées sur les éléments 

en commutation. Pour ce faire, l’idée est d’exprimer la matrice des états des 

interrupteurs, en fonction de ces commandes. Habituellement, un élément diagonal de 

cette matrice prend un 1, si l’élément correspondant a commuté, ou 0, sinon. Donc, 

pour l’exemple du convertisseur à trois cellules de commutation, si on prend comme 

configuration de référence u1 u2 u 3 0, on peut mettre directement la commande 

appliquée sur les interrupteurs au niveau des éléments diagonaux de la matrice. En 

conséquence, lorsqu’un interrupteur commute, l’élément prend un 1 qui correspond à 

la commande appliquée sur cet élément de commutation. Donc pour cette 

configuration de référence, la matrice est définie comme suit : 

u 

3 

0 0 0 0 0 

0 u 0 0 0 0 

3 

0 0 u 0 0 0 

2 

0 0 0 u 0 0 

2 

0 0 0 0 u 0 

0 0 0 0 0 

1 

u 

1 

Ensuite, l’équation d’état sera écrite en fonction de cette matrice de la 

manière suivante : 

. 

Xi K. F X ( S ( ) S ( ) HS ( )) U (51) 

i 

i 

15 13 35 

(50) 



Chapitre2 

Cette équation est valable pour toutes les configurations du système. Pour 

chaque mode de fonctionnement, il suffit de remplacer les commandes u j appliquées 

sur les interrupteurs par leurs valeurs pour trouver le modèle d’état correspondant. A 

partir de cette équation, on peut donc déduire le modèle d’état explicite standard 

suivant : 

u 

. 

2 - 1 

0 0 

1 

L 

. q1 

0 0 

u3 - u2 

2 = 0 0 q2 

+ 0 0 

. L 

u3 u3 

-1 

u1- 

u2 

u2 - u3 

R 

- 

C1 C2 

L 

q 

q 

u 

E 

E ' 

(52) 

Ce modèle englobe les variables continues et discrètes du système. Il 

représente l’aspect hybride du système considéré. 

4.3 Application à l’onduleur monophasé alimentant une MCC 

Dans cette partie, la modélisation explicite standard sera appliquée au convertisseur à 

trois cellules de commutation, alimentant une MCC donné par la Fig. 14. 

Q3 

Q2 

Q1 

E 

I 

E2 

E1 

C2 

u3 u2 u1 

L 

E’ 

Q’3 Q’2 Q’1 

R 

kΩ 

Fig. 14 Convertisseur à 3 cellules de commutation alimentant une MCC 

La MCC sera ensuite utilisée en fonctionnement moteur et sera alimentée par 

la tension de sortie du convertisseur. Les équations caractéristiques de la machine à 

courant continu, pour ce fonctionnement, sont données par : 



Chapitre2 

E k. 

Cem k. 

I 

dI 

U R. I L. 

E 

dt 

d 

J Cem f . Cr 

dt 

Généralement, la représentation Bond Graph d’une machine à courant continu 

est donnée par la Fig. 15. 

Pour le moteur considéré, la constante de temps mécanique (J/f) est de l’ordre 

de 175ms alors que la constante de temps électrique (L/R) est de l’ordre de 10ms. 

Donc la dynamique du courant est très rapide par rapport à celle de la vitesse dans le 

régime transitoire et la séparation des modes mécaniques et électriques est possible. 

Par conséquent, on peut considérer que la vitesse du moteur varie peu sur un pas de 

calcul. Pour cette raison, la vitesse du moteur sera considérée comme constante sur 

une période. 

Ainsi, lors de la modélisation, on va considérer que l’équilibre mécanique est 

établi et on ne prendra pas compte de l’inertie J et du frottement f. La vitesse du 

moteur sera considérée comme une entrée et elle sera présentée par une source de 

flux. Le modèle Bond Graph de l’ensemble convertisseur-moteur est donné par la Fig. 

16. 

R:R 

R:f 

(53) 

Se:U U 1 

E Ω 

Gy 

Cem 1 

Cr 

I I k Ω Ω 

Se:Cr 

I:L 

I:J 

Fig. 15 Représentation Bond Graph d’une MCC 



Chapitre2 

Q3:1 Q2:1 

Q1:1 

Se:E 

2 

12 

1 1 5 O 10 1 

14 

21 

O 

19 

1 

R:R 

7 

1 

9 

C:C2 

16 

1 

18 

C:C1 

23 26 

25 

O 1 

Gy:k 

Sf:Ω 

Se:E' 

3 1 6 O 11 1 

8 

15 

17 

O 

20 

1 

24 

27 

I:L 

4 

13 

22 

Q'3:0 

Q'2:0 

Q'1:0 

Fig. 16 Bond Graph du convertisseur à trois cellules alimentant une MCC 

Cette représentation permet de définir les vecteurs suivants : 

e f 

2 2 

f e 

p f E 

4 4 

27 27 

e12 f12 

i 9 i 9 i 26 o 26 o i 

f13 e13 

q18 e18 

e21 f21 

X q ; Z e ; D e ; D f ; T ; T ; U E ' 

f 

e 

22 22 

L’étape suivante consiste à définir les relations entre les vecteurs d’entrée de 

la structure de jonction et les vecteurs de sortie. Ces relations sont donnée par : 

e27 0 0 0 -1 0 1 0 1 0 1 0 -1 -k 

f 9 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 0 0 0 

f 18 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 0 

f 26 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 

e 2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 -1 0 

= 

f 4 1 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 

e 12 

0 -1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 

f 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 

13 

e 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 

21 

f 

1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 

22 

f 

e 

e 

e 

27 

9 

18 

26 

f 

e 

f 

e 

f 

e 

2 

4 

12 

13 

21 

22 

E 

E ' 

(54) 



Chapitre2 

Cette relation permettra de déterminer, à partir de l’équation d’état 

paramétrée en fonction de la matrice des interrupteurs, le modèle d’état explicite 

standard suivant : 

. 

2 - 1 

0 0 

1 

L 

. q1 

u3 - u2 

2 = 2 + 

. 

L 

u1- 

u2 

u2 - u3 

R 

- 

C1 C2 

L 

q 

u 

u 

0 0 0 E 

q 0 0 q 0 0 0 E ' 

u u 1 k 

3 3 

(55) 

5 Conclusion 

L’approche présentée dans ce chapitre est applicable aux dispositifs composés d’un 

système continu commandé par un modulateur d’énergie possédant un nombre fini de 

configurations. Ces configurations sont déterminées, selon l’état des éléments en 

commutation du modulateur. Dans le cas des convertisseurs statiques, ces éléments 

sont composés de diodes, transistors et de thyristors. Dans le contexte du formalisme 

Bond Graph exposé, ces éléments sont modélisés par des sources nulles. A chaque 

mode de fonctionnement, ces sources changent de causalité et ce changement se 

répercute sur la causalité des autres éléments constitutifs de la représentation Bond 

Graph. Selon les méthodes, ces changements peuvent alors avoir des répercussions sur 

l’équation d’état du système. 

Dans ce contexte, la première méthode exposée permet de définir une 

équation d’état pour chaque mode de fonctionnement. Ceci représente un 

inconvénient, puisqu’on est obligé d’établir un Bond Graph pour chaque configuration 

et de refaire les calculs pour chaque représentation. Dans le cas des convertisseurs 

multicellulaires à n cellules de commutation, il existe 2 n configurations possibles, ce 

qui rend cette méthode peu utilisable pour ces structures. 

La deuxième méthode propose une forme standard implicite calculée 

formellement après une mise en équations tenant en compte de la causalité affectée 

pour une configuration appelée configuration de référence. Cette configuration est 

choisie pour qu’elle maximise le nombre d’éléments de stockage en causalité 

intégrale. A partir de cette forme standard, l’équation d’état paramétrée est calculée à 

chaque commutation, en fonction d’une matrice des états des interrupteurs définie, 

pour en déduire le modèle d’état explicite correspondant. 

La troisième méthode proposée présente une extension de la méthode de 

formalisation standard implicite. L’idée proposée est de paramétrer la matrice des 

états des interrupteurs directement en fonction de la commande appliquée aux bornes 

des éléments en commutation. Ceci permet d’avoir une équation d’état paramétrée 

standard et par conséquence un modèle explicite standard paramétrée en fonction de la 



Chapitre2 

commande appliquée aux interrupteurs, ce qui reflète la nature hybride du système 

considéré. 

Les avantages et les inconvénients de chaque méthode sont résumés par le 

tableau suivant : 

Modélisation 

explicite par mode 


implicite standard 


explicite standard 

Avantages 

• Simple 

• Un seul Bond Graph 

• Forme implicite standard 

• Un seul Bond Graph 

• Modèle explicite standard 

Inconvénients 

• Un Bond Graph par 

configuration 

• Longue 

• Un modèle pour chaque 

configuration 

• Calculs complexes 

• Calculs complexes 

Tableau 1 Caractéristiques des différentes méthodes de modélisation appliquées 


Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé 

Chapitre3 

Chapitre3 

Commande prédictive directe d’un 

onduleur monophasé 



Chapitre3 

1 Introduction 

Le chapitre précédent a traité de la modélisation des SDH par la méthode des Bond 

Graph commutés. Cette méthode a été appliquée sur un convertisseur multiniveaux 

associé à une charge passive de type RL, puis alimentant un moteur à courant continu. 

Dans ce chapitre, le but est de proposer des lois de commande permettant le contrôle 

de ces dispositifs. 

Tout d’abord, un tour d’horizon des commandes les plus utilisées pour le 

contrôle des convertisseurs multicellulaires est effectué. Ensuite, après un rappel sur 

les principales approches de la commande prédictive, deux techniques de commande à 

aspect prédictif sont proposées et détaillées, en l’occurrence une commande 

monocoup et une commande à base d’inversion de modèle. La première technique est 

comparée, en simulation, avec une commande classique de type PI faisant appel à une 

stratégie de MLI intersective. Elle est ensuite associée à un observateur adaptatif 

interconnecté pour l’estimation des tensions aux bornes des condensateurs. Ces deux 

lois de commandes sont testées en simulation et validées sur un banc expérimental. 

2 Rappel sur les approches de 

commande des convertisseurs 

multicellulaires 

Comme nous l’avons évoqué dans les paragraphes précédents, les convertisseurs 

multicellulaires constituent une classe particulière des SDH. Pour commander ces 

systèmes, les automaticiens se sont basés sur les approches développées pour les 

systèmes continus et les systèmes à événements discrets. 

Les commandes les plus classiques pour contrôler les convertisseurs 

multicellulaires demeurent les commandes faisant appel à la modulation à largeur 

d’impulsions (MLI) [BHA96]. Dans ces approches, le signal modulant est donné par 

un correcteur et les ordres de commande des composants de puissance (interrupteurs) 

sont produits par une stratégie de modulation de largeur d’impulsions (Fig. 17). Ces 

ordres de commande sont générés par l’intersection entre une porteuse triangulaire et 

le signal modulant dans le cas d’une MLI intersective. Le signal de commande change 

donc d'état à chaque intersection de la porteuse et de la modulante. 

D’autres approches de commande ont été proposées en considérant les 

valeurs des rapports cycliques comme grandeurs de commande des convertisseurs. 

Parmi ces méthodes, deux approches de commande découplante [GAT97] [TAC98], 

qui reposent donc sur des modèles aux valeurs moyennes, dont le principe est de 

découpler les grandeurs d’entrée (rapports cycliques) et les grandeurs de sortie 



Chapitre3 

(variables d’état) afin de limiter l’influence de la variation d’une entrée à la variation 

d’une seule variable d’état. La première approche est une commande découplante avec 

retour d’état linéaire [TAC98]. L’autre approche est une commande découplante non 

linéaire [GAT97]. Les deux approches partent sur le même principe de découplage, 

mais une linéarisation autour d’un point de fonctionnement est nécessaire pour la 

première méthode. Cette méthode représente un inconvénient majeur dans le cas où le 

courant à la sortie du convertisseur est alternatif (fonctionnement en onduleur). Dans 

ce cas, le domaine de validité de l’approximation linéaire sera restreint. Pour la 

deuxième méthode, aucune linéarisation autour d’un point de fonctionnement n’est 

faite. En effet, le principe est de trouver des matrices de découplage qui permettent le 

découplage total entre les entrées et les sorties dans le cas d’un système carré. Le 

problème qui peut être rencontré avec ce type de commande, est que ces matrices de 

découplage sont en fonction de l’état et peuvent alors présenter des problèmes de 

singularité lors de l’inversion dans le cas où les variables d’états s’annulent (courant 

de charge lors d’un fonctionnement onduleur). 

Consigne 

Correcteur 

Stratégie de 

commutation: 

MLI 

Modulateur de 

Puissance 

Système 

continu 

Grandeur de 

sortie 

Signal 

modulant 

Ordres de 

commande 

Fig. 17 Synoptique d’une commande classique 

Différents algorithmes de commande optimale ont été aussi proposés pour 

contrôler les SDH. Par définition, la commande optimale est une commande qui 

minimise un critère de choix donné. D’une façon plus concrète, optimiser une 

trajectoire revient à chercher le chemin le plus court entre un point de départ (état du 

système à un instant donné) et un point d’arrivée correspondant à une référence 

imposée. Dans ce sens, différents algorithmes ont été proposés, en se basant sur la 

résolution de l’équation d’Hamilton-Jacobi-Bellman, dans le but de synthétiser une 

trajectoire optimale de commande des SDH [BRA95]. D’autres travaux ont été menés 

pour étendre le principe du maximum de Pontryagin [PON64], proposé par des 

chercheurs russes, aux SDH pour traiter des problématiques de l’optimalité temporelle 

et de l’optimalité quadratique [RIE99]. Des travaux plus récents ont traité du 

problème de la commande optimale pour une classe des systèmes commutés affines à 

fonctionnement cyclique. La commande proposée est de type retour d’état et elle a été 

illustrée sur un convertisseur à quatre niveaux de tension [PAT08a]. 



Chapitre3 

Par ailleurs, une approche de commande stabilisante a été appliquée sur des 

convertisseurs de puissance avec des éléments de commutation [BUI05]. Cette 

méthode est basée sur une fonction de Lyapunov, déduite du modèle physique, qui 

permet de définir des séquences de commutation assurant la stabilisation du système 

considéré autour d’une référence donnée. Une deuxième approche de commande 

passive PBC (Passivity Based Control) a été exposée dans [COR05]. Cette technique, 

connue comme une méthode continue efficace pour le contrôle des systèmes 

physiques commutés, requiert la connaissance d’un modèle moyen. Ce modèle est 

déterminé par l’intermédiaire des équations d’états, déduites à partir de la 

représentation Bond Graph du système, qui vont être mises sous forme d’une 

formulation Hamiltonienne à ports. Ensuite, la méthode consiste à calculer les 

rapports cycliques, en fonction des variables d’état et des paramètres du système, qui 

permettent d’annuler l’écart entre la consigne et la mesure. Ces deux approches ont 

été comparées avec une troisième technique de commande prédictive utilisant des 

procédures d’optimisation [POT05] [DEF08] dans [BAJ07] et appliquées au 

convertisseur à trois cellules de commutation associé à une charge passive de type RL. 

D’autres techniques de commandes par mode de glissement ont été proposées 

dans [PIN00] pour la commande des convertisseurs multicellulaires. 

Dans ce chapitre, nous allons nous intéresser à une technique de commande 

prédictive. La commande prédictive est l’une des commandes les plus utilisées dans le 

milieu industriel derrière les commandes classiques de type PID. L’idée directrice 

étant de prédire ou d’anticiper le comportement ou l’état futur du système, au moins 

sur un certain horizon, en s’appuyant sur un modèle dynamique. Cette idée a pour 

objectif de minimiser l’écart entre une trajectoire à poursuivre ou une référence 

donnée au préalable et l’estimation de l’état futur du système, sur un horizon fini 

appelé horizon de prédiction, en tenant compte de l’état actuel du système étudié (Fig. 

18). Le résultat de la prédiction sera un vecteur de commande ou une séquence dont le 

premier élément est injecté au système. Durant l’intervalle de temps suivant, une 

nouvelle séquence est calculée et l’ancienne séquence sera donc décalée. Ainsi, la 

commande prédictive est également appelée commande à horizon glissant ou fuyant 

[BOU96]. La première génération de la commande prédictive a été appliquée dans le 

milieu industriel en 1978 [RIC78] sous la nomination de MPHC (Model Predictive 

Heuristic Control). Le principe de cette technique est de poursuivre une référence 

mais sans tenir compte des contraintes d’exploitation du système considéré. A partir 

de cette technique, qui représente la base des techniques des commandes prédictives, 

d’autres stratégies permettant la prise en compte des contraintes sur les entrées et les 

sorties du système sont apparues à partir des années 80 comme la commande 

prédictive généralisée connue sous le nom de GPC (Generalized Predictive Control) 

[CLA87] et la commande prédictive fonctionnelle nommée PFC (Predictive 

Functional Control) [RIC87] [RIC93]. Ces deux techniques se réunissent dans la 

philosophie de ralliement de la sortie du processus vers une référence dans le futur. Ce 



Chapitre3 

principe repose sur l’utilisation d’un modèle numérique (modèle interne) qui va 

permettre de calculer la sortie prédite. Ensuite, la minimisation d’un critère 

quadratique d’erreur entre la sortie souhaitée et la sortie prédite va permettre au 

régulateur prédictif de synthétiser une séquence de commande dont le premier élément 

sera appliqué au processus. Cependant, la différence entre les deux méthodes réside 

dans la mise en œuvre de cette philosophie. Par exemple, le critère quadratique à 

minimiser dans le cas de GPC comprend un terme sur l’erreur entre la sortie prédite et 

la sortie souhaitée calculée sur un horizon de prédiction de la sortie, et un autre terme 

sur l’incrémentation de la commande. On peut aussi noter l’utilisation d’un facteur de 

pondération qui permet de donner plus ou moins du poids de la commande par rapport 

à la sortie dans le cas d’introduction de contraintes sur la commande. En revanche, 

avec le technique PFC, il s’agit d’un critère quadratique de l’erreur entre la sortie 

prédite et la sortie mesurée à des instants bien déterminés définis par les points de 

coïncidence. Cette notion de points de coïncidence remplace la notion d’horizon de 

prédiction de la technique GPC. Il est à noter que l’inconvénient principal de ces 

techniques est le fait qu’ils demandent un temps calcul assez important même si 

plusieurs opérations peuvent être effectuées hors ligne, comme lorsqu’il faut 

déterminer le modèle numérique par identification. C’est pour cette raison que ces 

techniques sont généralement appliquées dans le domaine de génie des procédés ou le 

temps de calcul peut durer des secondes. 

Toutefois, d’autres techniques de commande prédictive sont utilisées, souvent 

pour le contrôle des systèmes électroniques de puissance. Elles ont été appliquées 

pour la commande des moteurs [LIN07a], en tenant compte de la nature hybride du 

modèle. Elles ont été aussi appliquées à une machine à induction, alimentée par un 

convertisseur matriciel [VAR08]. 

Cette diversité dans les champs applicatifs part d’un principe unique du 

phénomène de prédiction. Ce principe s’articule autour de quatre axes principaux 

communs à toutes les approches : 

La première étape consiste à trouver un modèle permettant de prédire le comportement 

du système. Ce modèle est généralement dynamique (tient compte des variables 

continues et discrètes du système électronique de puissance). 

Minimisation d’un critère de choix sur un horizon fini. Ce critère est généralement une 

fonction quadratique des erreurs entre la consigne ou la trajectoire de référence et la 

sortie prédite. 

Définition d’une séquence de commandes optimale à appliquer sur le système. Cette 

étape n’est valable que si l’approche de commande adoptée nécessite plusieurs 

configurations sur un pas de calcul ou un horizon fini. 

Application de la première commande calculée à la prochaine période d’échantillonnage 

et réitération des étapes précédentes. 



Chapitre3 

Perturbations 

w:référence 

+ 

- 

Régulateur 

u 

Processus 

y:sorties mesurées 

Régulateur 

prédictif à 

base de 

modèle 

Modèle 

Sorties prédites 

ŷ 

Fig. 18 Schéma de principe d’une commande prédictive à base de modèle [BOU96] 

Cette commande présente des performances dynamiques intéressantes. Elle a 

été appliquée récemment sur les convertisseurs multicellulaires [PAT08b]. Dans la 

suite du chapitre, deux approches de commandes prédictives directes seront exposées 

et appliquées sur un convertisseur multiniveaux à trois cellules de commutation 

débitant sur une charge. Cette appellation de commande prédictive directe est due au 

fait qu’une unique commande est toujours appliquée pour un écart donné entre la 

référence et la mesure. Ceci n’est pas toujours le cas des commandes classiques où on 

peut avoir une multitude de solutions pour la commande pour une seule erreur entre la 

mesure et la consigne. 

3 Commande monocoup 

Dans cette partie, une approche de commande à aspect prédictif est présentée. Dans la 

suite du manuscrit, cette commande est appelée commande monocoup (CM). Cette 

appellation est due au fait que, durant une période, une seule configuration est 

appliquée au convertisseur, quel que soit l’écart entre la référence et la mesure. 

3.1 Principe de la méthode 

Le principe de la commande monocoup proposée est illustré par la Fig. 19. Cette 

technique de commande a été utilisée dans [HOL99] pour la régulation et le suivi de 

trajectoire. Elle peut être aussi appelée commande hybride [LIN07b]. L’aspect 

hybride réside dans le fait que l’on ne dissocie plus le modulateur de puissance et le 

système lors de la modélisation; on modélise l’ensemble modulateur de puissance - 

système à commander. C'est-à-dire que la modélisation comporte à la fois des 

variables continues et discrètes. Cette combinaison est illustrée par le modèle donné 

en (52). 



Chapitre3 

Ce type de modélisation peut être réalisé sur plusieurs systèmes physiques 

qui peuvent être considérés comme des SDH. Parmi ces systèmes, on peut citer : 

Système relais – four : 

• Modulateur de puissance : relais à deux états 

• Système à commander : four électrique 

Système distributeur – vérin pneumatique : 

• Modulateur de puissance : distributeur 

• Système à commander : vérin pneumatique 

Système onduleur triphasé – moteur asynchrone triphasé 

• Modulateur de puissance : onduleur 

• Système à commander : moteur asynchrone 

Consigne 

Commande 

prédictive 

directe 

Modulateur de 

puissance 

Système 

dynamique 

Hybride (SDH) 

Système 

continu 

Grandeur de 

sortie 

Nombre fini de 

configurations possibles 

Fig. 19 Schéma de principe de la commande monocoup 

Dans notre cas, l’actionneur correspond à l’onduleur multiniveau à trois 

cellules de commutation et le système continu à commander est représenté par une 

charge RL passive dans un premier temps et par le moteur à courant continu (MCC) 

dans un deuxième temps. 

3.2 Application : convertisseur à trois cellules de commutation 

débitant sur une charge RL 

Le système considéré est celui donné par (Fig. 12). 

Les interrupteurs (Q1, Q’1), (Q2, Q’2), et (Q3, Q’3) sont commandés en opposition. Sur 

un même bras, si Qi est fermé, Q’i est ouvert et réciproquement. La commande des 

interrupteurs associé à chaque cellule de commutation (Qj, Q’j) est noté 

uj 

0,1 , j 1,2,3 . Lorsque u j 1, l’interrupteur en haut de la cellule j est fermé et 

celui qui est en bas sera ouvert et réciproquement. Lors du changement d’état d’un bras 



Chapitre3 

de l’onduleur, il est impératif d’appliquer un temps mort de quelques centaines de 

nanosecondes, durant lesquelles les deux interrupteurs Qi et Q’i sont ouverts, afin 

d’éviter tout court-circuit. Ce temps mort est déporté de l’unité de calcul sur une 

interface réalisée par un circuit FPGA. 

Les condensateurs C 1 et C 2 sont des condensateurs polypropylènes. 

L’alimentation continue est assurée par deux sources de tension continue reliées par un 

point milieu. 

Les diodes en antiparallèle sur les interrupteurs permettent le passage de courants 

inverses. 

Condition de fonctionnement: lorsque la condition donnée par (56) n’est pas respectée, 

des courants inverses apparaissent au sein de la structure. Ils se rebouclent par 

l’intermédiaire des diodes montées en antiparallèle sur les commutateurs de puissance. 

0 E1 E2 

E E ' 

(56) 

Les commandes u j déterminent les différents états de l’onduleur de manière à 

avoir des niveaux de tension en sortie dépendant des valeurs de E 1 et E 2 . Les 8 

configurations possibles du convertisseur sont notées ( Ui 

t , i 1,..., 8) 

. Chaque 

configuration conduit à la charge, la décharge ou le maintien des tensions aux bornes 

des condensateurs C 1 et C 2 . Le tableau ci-dessous montre les sens de variations des 

tensions E 1 et E 2 en fonction des huit configurations possibles de l’onduleur, pour un 

courant I>0. 

Les signes +/- correspondent respectivement à des dérivées positives ou 

négatives des tensions E 1 et E 2 . Le symbole 0 correspond à une dérivée nulle. 

u 3 u 2 u 1 C 1 C 2 E 1 E 

U 1 0 0 0 Rien Rien 0 0 

U 2 0 0 1 Décharge Rien - 0 

U 3 0 1 0 Charge Décharge + - 

U 4 0 1 1 Rien Décharge 0 - 

U 5 1 0 0 Rien Charge 0 + 

U 6 1 0 1 Décharge Charge - + 

U 7 1 1 0 Charge Rien + 0 

U 8 1 1 1 Rien Rien 0 0 

. 

. 

2 

Tableau 2 Evolution des tensions en fonction des commutations de l’onduleur (I > 0) 



Chapitre3 

L’ensemble convertisseur-charge est modélisé par un modèle englobant les 

variables continues et discrètes. Ce modèle va être déduit du modèle donné par (52) en 

remplaçant les variables de flux et de charge par les variables de tension et de courant. 

En choisissant les deux tensions des condensateurs et le courant de charge comme 

variables d’état notés X( t) E1( t) E2( t) I( t) T et les états des interrupteurs comme 

T 

variables de commande notés Ui( t) 

u3 u2 u 1 , le modèle d’état est donné par : 

u 

2 - 1 

0 0 0 0 

C1 

1 i 

E1 

() t 

u3 - u2 

1 i = 0 0 2() 

+ 0 0 

C2 

It () 

i 

1- 

2 u2 - u 

u 

3 

3 u3 

-1 

- 

E (t,U ) 

E (t,U ) E t 

I(t,U ) 

u u R E 

L L L 

L L 

E' 

u 

(57) 

Le modèle de ce système hybride donné par (57) peut être exprimé par : 

. 

X ( t , Ui ) A ( Ui ). X ( t ) B ( U i ) 

(58) 

Pour une configuration U i donnée, les matrices A et B sont constantes. La 

solution générale de l’équation d’état continue est donnée par : 

Te 

i e i 0 

0 

i i 

X ( t, U ) ( T , U ) X ( , U ). d . B( U ) 

Avec ( T , U ) e 

e 

i 

A( U ) T 

i 

e 

( T , U ) 

e 

i 

Donc le modèle d’état discret pour des commandes constantes durant un pas 

de calcul peut être donné par : 

X ( k 1, Ui) ( Te , Ui ). X ( k) ( Te , Ui ). B( U i) 

(59) 

3.2.1 Modèle simplifié et domaine de validité 

Comme la contrainte de calcul en temps réel est importante pour le système étudié, la 

recherche d’un modèle simplifié s’impose. 

En choisissant une période d’échantillonnage assez petite, la rectitude des 

trajectoires dans l’espace d’état peut être vérifiée. Avec cette hypothèse, les 8 états 

possibles à l’instant ( k 1) peuvent être approximés par le modèle simplifié donné 

par : 

. 

( 1, i ) = ( ) + ( , i ). e 

X k U X k X t U T (60) 



Chapitre3 

3.2.1.1 Domaine de validité 

Dans le but de valider le modèle simplifié utilisé, une étude en simulation a été menée 

en comparant le modèle discret donné par (59) développé par l’approximation de 

Taylor à l’ordre 5 et le modèle simplifié utilisé illustré par (60). La simulation a été 

effectuée (Fig. 20), pour la configuration U 3 et un courant de 0.5A, en utilisant les 

paramètres suivants : 

( E E') 300 V, C C 33 F, R 33 , L 50 mH , T 100 s (61) 

1 2 

Il est à noter que la trajectoire sur la période T e , dans le plan (E 1 , E 2 ), partant 

du point de mesure E 1 ( k) 100V 

et E2 ( k ) 200 V , demeure pratiquement rectiligne et 

le module de l’accroissement de l’état est proportionnel au temps d’application. En 

revanche, le point d’arrivée, calculé à partir du modèle simplifié, est différent de celui 

obtenu par le modèle discret. Cette erreur varie en fonction du courant de charge. 

Donc pour valider le modèle simplifié, un calcul d’erreurs sur les différentes 

variables d’état est effectué en faisant varier le courant de charge. 

e 

200 

199.8 

199.6 

199.4 

E2 

199.2 

199 

198.8 

modèle exact 

198.6 

modèle simplifié 

198.4 

100 100.2 100.4 100.6 100.8 101 101.2 101.4 101.6 

E1 

Fig. 20 Evolution des tensions avec le modèle simplifié et le modèle discret 



Chapitre3 

0.8 

0.4 

U 3 

7 

U 

0.6 

Erreur sur E1 

0.2 

0 

-0.2 

U 1 

U 8 

U 4 U 5 

-0.4 

U 6 

-0.6 

U 2 

-0.8 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 

I 

Fig. 21 Erreur sur E 1 (V) en fonction de I(A) 

0.8 

0.6 

U 5 

0.4 

U 6 

Erreur sur E2 

0.2 

0 

-0.2 

U 1 

U 8 

U 2 

U 7 

U 4 

-0.4 

-0.6 

U 3 

-0.8 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 

I 

Fig. 22 Erreur sur E 2 (V) en fonction de I(A) 



Chapitre3 

0.025 

U 6 

U 3 

0.02 

Erreur sur I 

0.015 

0.01 

0.005 

0 

-0.005 

-0.01 

U 8 

U 7 

U 4 

U U 

5 

2 

U 1 

-0.015 

-0.02 

-0.025 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 

I 

Fig. 23 Erreur sur I(A) en fonction de I(A) 

Pour un courant de 0.5A et en sélectionnant la configuration U 3 , l’erreur sur 

la tension E 1 peut être identifiée par la Fig. 20 et la Fig. 21 et elle vaut (0.2V). 

Toutefois, dans ces mêmes conditions, l’erreur sur la tension E 2 peut être calculée par 

la Fig. 20 et la Fig. 22 et elle est de (-0.2V). 

Nous pouvons noter aussi que ces erreurs sont proportionnelles à la variation 

du courant. Cette proportionnalité peut être démontrée en analysant les expressions 

algébriques des modèles simplifié et discret. Nous allons prendre l’exemple de la 

valeur estimée de E 1 , à juste titre, calculée par les deux modèles. On note 1 ( T e , Ui 

) la 

première ligne de la matrice ( T e, Ui) 

et 1 ( T e , Ui 

) la première ligne de la matrice 

( T e, Ui) 

. 

Les expressions sont données par : 

E ( 1, ) = ( T , ). X ( k) + ( , ). B ( ) 

(62) 

1 k Ui 1 e Ui 1 Te Ui Ui 

. 

1( 1, Ui ) 1( ) 1( Ui ). e 

E k + E k E T (63) 

En appliquant par exemple la configuration U 3 , on obtient les expressions 

suivantes: 

E k + 1, β(E k E k δ.I(k) T , B ( ) 

(64) 

1( U 3 ) = 1( ), 2( ))+ + 1( e U 3 ). U3 

Te 

E1 ( k + 1, U3) E1 

( k) . I( k) 

C 

1 

(65) 

Il est à noter que β et δ sont des constantes qui dépendent de l’ordre de 

A( U3) 

Te 

développement de série de Taylor de ( T , U ) e . Cette expansion doit être 

e 3 



Chapitre3 

suffisamment développée pour permettre de se rapprocher au maximum du modèle 

réel. Pendant la simulation, cette expansion est développée à l’ordre 5. Dans ce cas la 

valeur du coefficient δ sera différente de la constante calculée par le modèle 

simplifiée qui est égale à T e /C 1 . Par conséquent, le coefficient de courant ne sera 

pas nul dans l’expression de l’erreur sur E 1 (66) et l’erreur sera proportionnelle au 

courant de charge. 

ErrE ( ) E ( k + 1, ) E k +1, 

1 U3 1 U3 1( U3) 

E ( k) E k E k Ψ T , B( ) . I( k) 

= 1 ( 1( ), 2 ( )) - 1( e U3). 

U3 

constante 

0 

(66) 

avec 

C 

e 

1 

Ainsi, pour conclure sur la validité du modèle simplifié, les erreurs moyennes 

des variables d’état sont calculées (somme des valeurs absolues des erreurs divisée par 

le nombre des erreurs). Les erreurs moyennes sur les tensions sont données par : 

ErrE 1 (V) ErrE 2 (V) 

U 2 0.4002 0 

U 3 0.4075 0.4075 

U 4 0 0.1495 

U 5 0 0.4002 

U 6 0.1557 0.1557 

U 7 0.1495 0 

Tableau 3 Erreurs moyennes sur les tensions en fonction des configurations 

Les erreurs moyennes sur le courant de charge sont données par : 

ErrI (A) 

U 1 

0.0150 

U 2 0.0015 

U 3 0.0064 

U 4 0.0052 

U 5 0.0015 

U 6 0.0126 

U 7 0.0052 

U 8 

0.0045 

Tableau 4 Erreurs moyennes sur le courant en fonction des configurations 

D’après ces tableaux, le modèle simplifié peut être validé et adopté dans 

l’algorithme de commande. 



Chapitre3 

3.2.1.2 Utilisation du modèle simplifié 

Pour un état mesuré X(k), en utilisant la relation (60), les 8 directions possibles dans 

l’espace d’état à l’instant ( k 1) peuvent être déterminées. Un exemple de ces 

directions est donné par la Fig. 24. 

Pour les configurations U 1 et U 8, les tensions aux bornes des capacités sont 

constantes et seul le courant varie au niveau de la charge. 

Pour les configurations de U 2 à U 7 , le courant de charge traverse une ou 

deux capacités. 

Donc, pour un état de commutation donné, c’est toujours le même 

condensateur qui se charge et/ou qui se décharge. Par conséquent, l’orientation des 

vecteurs sur le plan (E 1 , E 2 ) ne change pas (Fig. 25). Cette remarque conduit à ce que 

l’amplitude des vecteurs varie linéairement avec la valeur du courant I; E 1 et E 2 

varient beaucoup, pour des valeurs de courant élevées et peu, pour des valeurs de 

courant faibles. Ceci s’explique physiquement : il transite plus de charges dans les 

capacités à fort courant qu’à faible courant, pour un horizon de calcul constant. 

10 

I (A) 

9 

8 

U6 

U5 

O 

U8 

U7 

7 

194 

U3 

193 

192 

191 

190 

E2 (Volt) 

189 

U2 

188 

187 

U1 

102 

103 

U4 

105 

104 

E1 (Volt) 

106 

107 

Fig. 24 Exemple des directions possibles à un point de mesure donné 



Chapitre3 

203 

U 5 

U 6 

U 2 

U 4 U 3 

202 

201 

200 

U 1 

U 8 

U 7 

199 

198 

197 

97 98 99 100 101 102 103 

Fig. 25 Projection des 8 vecteurs d’évolution possibles sur le plan (E 1 , E 2 ), I=1A 

Cette amplitude peut être calculée par : 

1 

Ei 

.. I t 

C 

i 

(67) 

3.2.2 Stratégie de commande 

La stratégie de commande monocoup présentée repose sur trois étapes essentielles. En 

fait, vu l’aspect prédictif de cette stratégie, ces étapes sont inspirées du principe de la 

commande prédictive déjà présenté au début de ce chapitre. Ainsi, durant chaque 

période d’échantillonnage, l’algorithme de commande procède comme suit : 

Mesure des tensions des capacités E 1 ( k ), E2 ( k ) et du courant de charge Ik ( ) . 

Prédiction du vecteur d’état 

X ( k 1, U ) 1( 1, ) 2( 1, ) ( 1, ) T 

i E k Ui E k Ui I k Ui 

pour les 8 configurations 

possibles en utilisant la relation (60). 

Choix de la configuration minimisant la distance euclidienne entre X( k 1, U i ) et 

T 

X E E I . 

c 

1c 2c c 

Application de la configuration sélectionnée à la prochaine période d’échantillonnage. 

Cet enchaînement d’actions est donné par : 



Chapitre3 

Xɶ 

( k + 1, Ui 

) 

Fig. 26 Enchaînement des actions dans l’algorithme de commande monocoup 

3.2.2.1 Choix des tensions de référence 

Dans le cas classique, la combinaison E1c 

= ( E + E ') /3, E2c 

= 2( E + E ') /3 est 

choisie comme référence pour les tensions des capacités dans le but de répartir 

également les tensions aux bornes des cellules de commutation. Ce choix mène à 

quatre niveaux de tension à la sortie du convertisseur. Pour augmenter ce nombre, qui 



Chapitre3 

ne peut en aucun cas être supérieur à huit, plusieurs travaux ont démontré qu’il suffit 

de choisir d’autres tensions de référence pour les condensateurs [KOU02]. Le choix 

des tensions de référence dépendra essentiellement du type de l’application et des 

objectifs fixés. Cependant, les références permettant d’obtenir quatre niveaux de 

tension en sortie du convertisseur sont considérées dans les applications de commande 

des moteurs [HUA06]. 

Dans le cas du système considéré, une étude a été menée dans le but de 

trouver les tensions de référence qui offrent au système le maximum de degrés de 

liberté [TRA08b]. Un degré de liberté est défini comme la possibilité d’augmentation 

ou de diminution de la valeur d’une variable d’état. 

Tout d’abord, les évolutions des différentes variables d’état doivent être 

étudiées à partir du modèle (57). Ces évolutions sont données par le Tableau 5. 

Le but de la commande étant d’asservir le courant de charge tout en 

maintenant le plus possible constantes les tensions aux bornes des condensateurs, il 

est important de choisir une référence qui permet le plus de degrés de liberté pour ce 

courant. L’idée est donc d’analyser les sens de variations de courant dans le plan des 

tensions pour un courant de 1A (Fig. 27) en se référant au Tableau 5. 

Configuration 

. 

E 

1 

. 

E 

2 

. 

I 

U 1 0 0 (E E') 2.R.I 

2.L 

U 2 

I 

C 

1 

0 2.E 

1 

(E E') 2.R.I 

2L 

U 3 

U 4 0 

U 5 0 

I 

I 

C1 

C2 

I 

C 

I 

C 

2 

2 

(E E') 2.E1 2.E 

2 

2.R.I 

2L 

(E E') 2.E 

2 

2.R.I 

2L 

(E E') 2.E 

2 

2.R.I 

2L 

U 6 

I 

I 

C 

C1 

2 

(E E') 2.E1 2.E 

2 

2.R.I 

2L 

U 7 

I 

C 

1 

0 (E E') 2.E1 

2.R.I 

2L 

U 8 0 0 (E E') 2.R.I 

2.L 

Tableau 5 Variations des variables d’état 



Chapitre3 

E1 

U2=001 

300 

zone interdite 

U3=010 

300 


U4=011 

300 


200 

+ 200 

200 

_ 

_ 

100 

100 

100 

_ 

+ 

+ 

0 

0 

0 

0 100 200 300 0 100 200 300 0 100 200 300 

E2 

E2 

E2 

E1 

E1 

E1 

U5=100 

U6=101 

U7=110 

300 

300 

300 

zone interdite zone interdite zone interdite 

200 

200 

200 

_ 

100 

100 + 

100 

_ 

_ 

+ 

+ 

0 

0 

0 

0 100 200 300 0 100 200 300 0 100 200 300 

E2 

E2 

E2 

E1 

E1 

Fig. 27 Iso accroissement du courant de charge 

Sur la Fig. 27, les configurations U 1 et U 8 ne sont pas représentées parce que 

les tensions sont constantes. La condition de fonctionnement précédemment définie 

par (56) est représentée par le domaine appelé zone interdite. Les segments en bleu 

délimitent les deux domaines de variations du courant de charge (équations 

algébriques obtenues en posant I . 0 données par Tableau 5). Cependant, les zones 

indiquées par le signe (+) représentent une variation positive du courant tandis que 

celles marquées par le signe (-) représentent une variation négative. A partir de la Fig. 

27, on cherche à superposer les figures qui permettent d’avoir des variations de 

tensions dans le même sens. Par exemple, pour avoir une variation positive de la 

tension E 2 , le Tableau 5 montre qu’il faut superposer les figures d’iso-accroissement 

de courant de la configuration U 5 et celle de la configuration U 6 . Ces évolutions sont 

données par la Fig. 28. 



Chapitre3 

300 

200 

DeltaE2>0 

U5 

U6 

300 

200 

DeltaE2


Chapitre3 

Maintenant, nous allons définir les degrés de liberté de chaque zone de la Fig. 

29. Pour ce faire, la logique suivante est à suivre. 

+ 

Tout d’abord, nous notons E i (i=1,2) la direction qui illustre un 

- 

accroissement de la tension E i et E i celle qui représente une diminution de E i . 

L’augmentation du courant quant à elle est notée par I + et la diminution est notée par 

I - . Ensuite, nous définissons pour chaque direction les configurations permettant 

l’évolution du courant dans un sens donné en fonction du code couleur défini 

précédemment. Cette évolution est donnée par le tableau suivant : 

I + I - I + I - I + I - I + I - 

Rouge 

(R) 

U 5 U 6 . U 3 U 4 . U 6 U 2 . U 3 U 7 . 

Bleu 

(B) 

U 6 U 5 U 4 U 3 U 6 U 2 U 7 U 3 

Vert 

(V) 

. U 5 U 6 . U 3 U 4 . U 6 U 2 . U 3 U 7 

E 2 

+ 

E 2 

- 

E 1 

- 

E 1 

+ 

Tableau 6 Evolution du courant en fonction du code couleur 

Maintenant, nous prenons des exemples de ces zones et nous déterminons les 

degrés de liberté possibles pour chaque zone. 

Zone 10 : VE 2 + + RE 2 - + RE 1 + + VE 1 - = U 5 U 6 +U 3 U 4 +U 3 U 7 +U 6 U 2 . 

Pour cette zone, l’évolution des variables d’état en fonction des 

configurations est donnée par : 

U 5 U 6 U 3 U 4 U 3 U 7 U 6 U 2 

- 

E 1 

+ 

E 1 

+ 

E 1 

- 

E 1 

I - I + I + I - 

+ 

E 2 

- 

E 2 

- 

E 2 

+ 

E 2 

Tableau 7 Evolution des variables d’état en fonction des configurations 

Donc pour cette partie du plan des tensions, seuls deux degrés de liberté sont 

possibles. 



Chapitre3 

Zone 7 : BE 2 + + BE 2 - + BE 1 + + BE 1 - = U 5 +U 6 +U 3 +U 4 +U 3 +U 7 +U 6 +U 2 . 

Pour cette zone, l’évolution des variables d’état en fonction des 

configurations est donnée par : 

U 6 U 5 U 4 U 3 U 3 U 7 U 6 U 2 

- 

E 1 

+ 

E 2 

I + + 

E 2 

I - - 

E 2 

I + + 

E 1 

- 

E 2 

I - + 

E 1 

- 

E 2 

I - + 

E 1 

I + - 

E 1 

+ 

E 2 

I + - 

E 1 

I - 

Tableau 8 Evolution des variables d’état en fonction des configurations 

Donc six degrés de liberté peuvent être identifiés pour cette zone du plan des 

tensions. 

Ainsi, nous identifions les degrés de liberté de chaque zone du domaine 

physique des tensions aux bornes des condensateurs (voir Annexe B). Ces degrés sont 

donnés par la Fig. 30. 

Par conséquent, le meilleur choix des tensions de référence aux bornes des 

condensateurs est celui qui maximise les degrés de liberté. Donc, en toute évidence, 

pour une tension d’alimentation E E' 300V , il faut prendre 

E1c 

( E + E') /3 100 V, E2c 

2( E + E') /3 200V comme tensions de référence qui 

permet d’avoir six degrés de liberté. 

300 

250 

200 


4° 

E1 

150 

4° 5° 3° 

100 

4° 5° 6° 4° 2° 

50 

3° 

0 

0 50 100 150 200 250 300 

E2 

Fig. 30 Degrés de liberté pour les tensions de référence 



Chapitre3 

3.2.2.2 Stratégie de choix 

A chaque période d’échantillonnage, l’algorithme de commande calcule la distance 

entre le point de référence et le point atteignable pour chaque configuration. La 

configuration qui correspond à la distance minimale est sélectionnée. Cette distance 

est calculée en fonction de l’écart entre les valeurs de courant mesuré et désiré et en 

fonction de l’écart entre les tensions des condensateurs mesurées et celles de 

référence. Donc, vu que les valeurs des composantes sont très différentes (des 

centaines de Volt pour les tensions et quelques Ampère pour le courant), l’algorithme 

de commande a tendance à privilégier les tensions des condensateurs (il choisit la 

configuration qui permet de réduire, au maximum l’écart entres les valeurs mesurées 

et celles de référence des tensions des condensateurs), alors que l’objectif principal est 

d’asservir le courant dans la charge. 

Pour remédier à cette contrainte, les variables d’état seront normées. Pour 

effectuer cette normalisation, il est indispensable de calculer les variations maximales 

que subissent les variables d’état sur un pas de calcul. Ces accroissements sont donnés 

par : 

2. I 2. I E E ' 

E . T , E . T , I . T 

1max e 2max e max 

e 

C1 C2 

L 

Ces excursions, autour d’un point de mesure X( k ) donné, forment un 

parallélépipède (Fig. 31) dont la hauteur est définie par les configurations U 1 et U 8 qui 

assurent la variation maximale du courant de charge. 

La commande à l’instant k sera définie par la configuration assurant le 

minimum de la distance Euclidienne dans l’espace d’état normalisé entre le point de 

consigne et les extrémités des vecteurs correspondant aux 8 configurations du 

convertisseur. 

(68) 

disti 

E1c E1 ( Ui ) 2 E2c E2 

( Ui ) 2 Ic I ( Ui 

) 2 

( ) ( ) ( ) 

E1max E2max . Imax 

(69) 



Chapitre3 

I 

deltaE2max 

deltaImax 

E2 

deltaE1max 

E1 

Fig. 31 Volume d’évolution des variables d’état autour d’un point de mesure 

On note µ un paramètre de réglage qui permet de pondérer entre la poursuite 

de courant et le maintien des tensions aux bornes des condensateurs. En fait, les 

variables d’état sont liées et l’évolution d’une variable dépend de la variation des 

autres composantes du vecteur d’état. Donc si on donne plus de liberté à la poursuite 

des tensions, la poursuite de courant sera meilleure. Une amélioration de la poursuite 

des tensions E 1 et E 2 provoque plus d’oscillations sur le courant de charge. Donc il 

faut trouver un compromis pour ajuster la valeur du facteur de pondération µ de façon 

à réduire les oscillations sur le courant (objectif principal) tout en assurant une 

évolution raisonnable des tensions. Cette valeur est déterminée expérimentalement et 

sera maintenue constante, durant l’exécution de l’algorithme. Quand µ est petit, la 

priorité est donnée à la poursuite de courant. Si µ augmente, la priorité est donnée à la 

poursuite des tensions. 

3.2.3 Etude comparative en simulation avec une méthode de commande 

classique 

Afin de montrer les avantages de la méthode proposée de commande monocoup, une 

étude comparative en simulation a été effectuée avec une méthode classique de 

commande de type (PI) avec une stratégie de MLI intersective. 

Généralement, la stratégie MLI consiste à comparer une modulante à une 

porteuse triangulaire. Cette approche de modulation nécessite autant de porteuses 

triangulaires que des cellules de commutation à commander. Les trois grandeurs de 

commande, dans le cas du convertisseur série à trois cellules de commutations, sont 

donc générées en comparant directement un signal modulant sinusoïdal avec trois 



Chapitre3 

porteuses triangulaires déphasées entre elles d’un tiers de la période de modulation. 

Ces déphasages entre les porteuses conduisent à avoir un courant moyen nul au niveau 

des condensateurs ce qui permettra de maintenir les références des tensions aux bornes 

de celles-ci. 

Le signal modulant est généré à la sortie d’un correcteur de type PI et il 

permet d’asservir le courant au niveau de la charge. 

Les simulations ont été effectuées pour les deux types de commande à 

comparer avec : C1 C2 33 F, R 33 , L 50 mH ,( E E') 300V . Les tensions de 

références aux bornes des condensateurs ont été fixées à 

E1c 

( E E ')/3, E2c 

2( E E ')/3 avec une référence de courant sinusoïdale 

d’amplitude 3A et de fréquence 50Hz. Pour la stratégie MLI, la période de modulation 

est fixée à 1ms avec une période de calcul de 10 s. Pour la commande monocoup, la 

période d’échantillonnage a été fixée à 70 s et un facteur de pondération égal à 0.1. 

# 

I Correcteur 

MLI 

I PI 

intersective 

E 

Q3 

Q2 

Q1 

E2 

E1 

I 

L 

E’ 

Q’3 Q’2 Q’1 

R 

Fig. 32 Synoptique de la commande avec MLI appliquée au convertisseur 



Chapitre3 

4 

3 

I 

Ic 

2 

1 

0 

-1 

-2 

-3 

-4 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 

Fig. 33 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) avec MLI 

4 

3 

I 

I# 

2 

1 

0 

-1 

-2 

-3 

-4 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 

Fig. 34 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) avec CM 



Chapitre3 

120 

110 

E1 

E1c 

100 

90 

80 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 

220 

210 

E2 

E2c 

200 

190 

180 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 

Fig. 35 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) avec MLI 

120 

110 

E1 

E1# 

100 

90 

80 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 

220 

210 

E2 

E2# 

200 

190 

180 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 

Fig. 36 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) avec CM 



Chapitre3 

150 

Vo 

100 

50 

0 

-50 

-100 

-150 

-200 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 

Fig. 37 Niveaux de tension aux bornes de la charge (V) en fonction du temps (s) 

On note le déphasage entre la référence et la mesure de courant avec la 

commande PI associée à une stratégie de MLI intersective (Fig. 33). Ce déphasage est 

dû à l’action du correcteur PI qui induit un retard de phase. De plus, il est à noter que 

le taux de distorsion harmonique du courant (THDi) est de 0.93% avec la commande 

classique alors qu’il est de 0.53% avec la commande monocoup. On note aussi une 

erreur de 10V sur les tensions aux bornes des condensateurs avec la méthode 

classique (Fig. 35) alors qu’elle est de 4V pour la commande monocoup (Fig. 36). 

Les niveaux de tension obtenus aux bornes de la charge obtenus par les deux 

méthodes sont donnés par la Fig. 37. Chaque front montant ou descendant de la 

tension de sortie est d’une amplitude égale à E/p avec p le nombre de cellules de 

commutation du convertisseur. Dans notre cas, p=3, on peut distinguer quatre niveaux 

de tension différents {(E+E’)/2, (E+E’)/6, -(E+E’)/6, -(E+E’)/2}. 

Pour réaliser de manière expérimentale une commande faisant appel à une 

stratégie de MLI, deux solutions sont possibles. La première solution, entièrement 

analogique, consiste à utiliser trois comparateurs entre le signal modulant et les 

porteuses triangulaires. La deuxième solution consiste à utiliser un signal modulant 

numérique. Les trois porteuses triangulaires sont générées par trois compteursdécompteurs 

cadencés par une horloge. La précision sur l'amplitude et le déphasage 

des porteuses est alors bien meilleure que dans le cas d’une réalisation analogique. Par 

ailleurs, vu que la comparaison numérique entre les porteuses triangulaires et le signal 

modulant nécessite une fréquence d'échantillonnage très élevée de ce dernier (100 

KHz dans le cas de la commande à base de MLI présentée dans ce paragraphe), elle 

sera effectuée à l'intérieur d'un FPGA, par exemple. Cependant, cette méthode de 

comparaison peut induire un problème de coût. 



Chapitre3 

Pour ces deux solutions, des temps morts doivent être obligatoirement 

introduits au niveau des signaux de commande afin d’éviter les courts-circuits des 

sources de tensions dans le cas de fermeture des deux interrupteurs d’une cellule de 

commutation. 

3.2.4 Validation expérimentale 

3.2.4.1 Description du banc expérimental 

Le convertisseur utilisé (Fig. 38) comprend trois cellules de commutations qui 

contiennent chacune les deux MOSFET et les deux diodes. Deux drivers sont utilisés 

pour commander les transistors de chaque bras. Les condensateurs à potentiels 

flottants sont de 33μF chacun alors que la charge est composée d’une résistance de 

33Ω et d’une inductance d’une valeur de 50mH. Le bus continu est alimenté par deux 

sources de tensions Xantrex réglée chacune à 150V. 

Pour tous les résultats expérimentaux présentés dans ce document, les calculs 

sont effectués à l’aide d’une carte d-Space dS1104. Elle inclut un processeur PPC 

603e cadencé à 250MHz ainsi qu’un processeur esclave TMS320F240 à 20MHz. Les 

algorithmes présentés ont été codés en langage C. Les durées d’exécution des 

algorithmes sont mesurées grâce aux commandes RTLIB_TIC_START() et 

RTLIB_TIC_READ() inclues dans les bibliothèques fournies par d-Space. 

Le logiciel ControlDesk est utilisé comme panneau de contrôle, afin de 

visualiser des valeurs mesurées ou calculées (courant de charge, tensions aux bornes 

des condensateurs, tension au niveau de la charge, états des interrupteurs, rapports 

cycliques…) et d’imposer des consignes (références pour le courant et les tensions aux 

bornes des condensateurs). 

La période d’échantillonnage a été fixée à 70μs pour un temps de calcul de la 

commande de 32μs. 

A chaque période de calcul, une interruption est déclenchée permettant à la 

T 

loi de commande de déterminer l’état de commutation U t u3 u2 u 1 à 

appliquer en fonction de l’état mesuré et du point de consigne à suivre. Les sorties 

utilisées sur la carte d-Space sont les sorties numériques. Ces sorties vont piloter une 

carte FPGA (Fig. 41) qui permet de gérer les temps morts et de faire la liaison au 

moyen des fibres optiques avec les drivers. 

Les fibres optiques sont utilisées afin de réaliser une isolation galvanique 

entre la partie commande et la partie puissance. Le schéma global de la maquette 

expérimentale est donné par Fig. 42. 



Chapitre3 

Fig. 38 Convertisseur à trois cellules de commutation utilisé 

Fig. 39 Charge RL 

Fig. 40 Interface de connexion de la carte d-Space dS1104 



Chapitre3 

Fig. 41 Interface entre la carte d-Space et les drivers 

Fig. 42 Schéma complet de la plate-forme expérimentale 

3.2.4.2 Résultats expérimentaux et interprétations 

Plusieurs tests ont été effectués pour montrer l’influence du facteur de pondération µ. 

La valeur de ce facteur est fixée en ligne. Un premier essai a été effectué, pour une 

consigne de courant sinusoïdal d’amplitude 3A et de fréquence 50Hz, avec une valeur 



Chapitre3 

de µ fixée à 0.3. Durant cet essai, on peut noter une poursuite de la consigne de 

courant avec une erreur moyenne de 48mA (Fig. 43), alors que les tensions des 

références des condensateurs sont maintenues avec des erreurs moyennes de 1.4V sur 

E 1 et 1.3V sur E 2 (Fig. 44) 

Un deuxième test a été effectué avec la même consigne de courant, en 

diminuant la valeur µ qui sera fixée à 0.1. Ce test a révélé une poursuite de courant 

avec une erreur moyenne de 46mA (Fig. 45) alors que les tensions aux bornes des 

condensateurs sont maintenues autour des valeurs de référence avec des erreurs 

moyennes de 1.52V sur E 1 et 1.4V sur E 2 (Fig. 46). Ainsi, plusieurs essais ont été 

effectués afin de trouver un compromis permettant d’assurer la poursuite convenable 

des trois variables d’état. 

4 

3 

Ic 

I 

2 

1 

0 

-1 

-2 

-3 

-4 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 

Fig. 43 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) 



Chapitre3 

110 

105 

E1c 

E1 

100 

95 

90 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 

210 

205 

E2c 

E2 

200 

195 

190 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 

Fig. 44 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) 

4 

3 

Ic 

I 

2 

1 

0 

-1 

-2 

-3 

-4 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 




Chapitre3 

110 

105 

E1c 

E1 

100 

95 

90 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 

210 

205 

E2c 

E2 

200 

195 

190 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 


Cette influence du facteur de pondération µ sur les différentes d’état peut être 

illustrée par la Fig. 47. Il est à remarquer que l’erreur moyenne sur le courant de 

charge varie peu en fonction de µ (15mA), ce qui explique la bonne stabilité de 

courant pour différentes valeurs de µ. 

Erreurs moyennes (V) 

1,8 

1,6 

1,4 

1,2 

1 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0 

0,1 0,2 0,4 0,5 0,6 0,7 

0,07 

0,06 

0,05 

0,04 

0,03 

0,02 

0,01 

0 

Erreur moyenne (A) 

E1 

E2 

I 

mu 

Fig. 47 Evolution des erreurs en fonction du facteur de pondération 

Il est à noter aussi que les erreurs sur les tensions aux bornes des 

condensateurs sont dépendantes du courant de charge. En effet, pour une valeur du 

facteur de pondération fixée, plus que le courant circulant dans la charge est grand 

plus que les erreurs sur ces tensions sont importantes (Fig. 48). 



Chapitre3 

Les niveaux de tension aux bornes de la charge sont donnés par la Fig. 49. On 

peut distinguer quatre niveaux de tension différents {(E+E’)/2, (E+E’)/6, -(E+E’)/6, - 

(E+E’)/2}. 

ErrE 1 ( V ) 

10 

0 

e r r e u r E 1 

- 1 0 

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 

ErrE 2 ( V ) 

10 

0 

e r r e u r E 2 

- 1 0 

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 

ErrI( A) 

0 . 5 

0 

e r r e u r I 

- 0 . 5 

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 

I( A) 

Fig. 48 Evolution des erreurs en fonction du courant de charge 

150 

Vao 

100 

50 

0 

-50 

-100 

-150 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 


Le dernier essai a été effectué en appliquant une consigne de courant en 

créneau d’amplitude avec 2.5A. La mesure de courant de charge atteint la référence 

avec un temps de réponse lié à la constante de temps L/R (Fig. 50). Cette mesure 

oscille en régime permanent autour de la référence avec une erreur moyenne de 70mA. 



Chapitre3 

Les niveaux de tension de la charge sont donnés par Fig. 51. On peut toujours 

distinguer les quatre niveaux atteints par la tension aux bornes de la charge. Il est 

aussi à noter que les niveaux {(E+E’)/2, -(E+E’)/2} sont atteints lorsque le courant de 

consigne bascule sur l’une de ses valeurs limites. Ce phénomène correspond à la 

sélection des configurations U 1 et U 8 qui permettent de varier le courant sans toucher 

aux tensions aux bornes des condensateurs. 

3 

2 

Ic 

I 

1 

0 

-1 

-2 

-3 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 


200 

150 

Vao 

100 

50 

0 

-50 

-100 

-150 

-200 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 




Chapitre3 

3.3 Synthèse d’un observateur adaptatif basé sur la commande 

monocoup 

L’implémentation numérique de la technique de commande monocoup présentée 

nécessite les mesures de la tension d’entrée du convertisseur, des tensions aux bornes 

des condensateurs à potentiels flottants et du courant qui circule dans la charge liée au 

convertisseur considéré. 

Cependant, la mesure la plus délicate à effectuer est celle des tensions 

flottantes. Les capteurs utilisés mesurent la différence de potentiel aux bornes des 

condensateurs. Ensuite, la grandeur de sortie est conditionnée et numérisée par un 

convertisseur analogique/numérique. Ceci peut engendrer des contraintes 

technologiques ou de coût qui peuvent être importants, si le nombre de cellules de 

commutation du convertisseur augmente. Mais la connaissance de l’évolution de ces 

grandeurs reste une information capitale pour élaborer les lois de commande. 

Donc l’idée développée dans ce chapitre est de reconstruire l’évolution de ces 

tensions flottantes par l’utilisation d’un observateur. Ce travail d’observation a été 

effectué en collaboration avec Malek GHANES et Jean-Pierre BARBOT, chercheurs à 

ECS (Equipe Commande de Systèmes) de l’ENSEA (Ecole Nationale Supérieure de 

l’Electronique et de ses Applications). 

3.3.1 Principe d’observation 

Un observateur est un système bouclé qui permet de reconstruire en temps réel l'état à 

partir des grandeurs de commandes appliquées sur le système et des mesures possibles 

d'autres grandeurs (Fig. 52). 

L’action d’observation nécessite la connaissance de deux informations 

essentielles. La première information réside dans les grandeurs de commande 

appliquées au système et la deuxième information est constituée de l’erreur entre les 

grandeurs observées (variables d’état) et leurs mesures réelles. Cependant, on peut 

souvent distinguer deux modules différents dans un observateur (Fig. 52). Le premier 

module permet d'estimer les grandeurs d'états en fonction des grandeurs de commande 

appliquées au système en se servant du modèle du système. Le deuxième module, 

nommé gain d'observation, sert pour la mesure de l'erreur entre les grandeurs réelles 

du système et celles reproduites par le modèle. Cette erreur sera d’une importance 

primordiale pour la détermination du gain d’observateur afin de pouvoir injecter dans 

le premier module les informations et les conditions nécessaires à la convergence du 

modèle vers le système réel. 



Chapitre3 

Consigne 


Système 

X 

Grandeurs 

mesurées 

Gain 

d’observation 

+ 

- 

Observateur 

Grandeurs 

observées 

ˆX 

Fig. 52 Schéma de principe d’un observateur 

Actuellement, la théorie de l’observation d’état a atteint une grande maturité 

dans les domaines des systèmes continus et des systèmes à événements discrets. En 

revanche, beaucoup de points et de problématiques méritent d’être traités sur le 

concept de l’observabilité et de la synthèse d’observateurs de l’état discret conjoint à 

l’état continu. 

En effet, les premiers travaux ayant comme objectif la caractérisation de 

l’observabilité des systèmes dynamiques hybrides ont été publiés dans [EZZ89]. 

Depuis, plusieurs travaux ont été réalisés dans le but de concevoir des observateurs 

pour ces systèmes [BAL02]. Ces systèmes, bien particuliers, qui font intervenir des 

phénomènes continus et événementiels, suscitent un traitement spécial pour réaliser 

des observateurs qui tiennent compte de la nature hybride de ces systèmes et de la 

différence de dynamiques entre les différentes variables interagissant dans le système. 

Cependant, les chercheurs se sont intéressés à plusieurs classes de SDH. Des travaux 

ont traité de la problématique d’observation des systèmes commutés [DAA03] 

[DAA04]. Alessandri s’est intéressé particulièrement aux systèmes linéaires 

commutés à temps discret par la conception des observateurs pour ces systèmes dans 

[ALE03] et par l’application du principe d’observation de Luenberger dans [ALE05] 

D’autres chercheurs ont collaboré pour la conception d’un observateur pour les 

systèmes linéaires par morceaux [BIR06a]. Des travaux de recherches doctorales ont 

fait le point sur les théories d’observabilité et de synthèse d’observateurs pour trois 

classes de SDH, à savoir les systèmes linéaires à saut, les systèmes affines par 

morceaux et les systèmes linéaires à commutation [BIR06b]. 

3.3.2 Observation des convertisseurs multicellulaires 

Pour les convertisseurs multicellulaires, l’action d’observation consiste généralement 

à observer en temps réel les tensions des condensateurs à potentiels flottants à partir 

de la mesure du courant de charge et de la tension d’alimentation du bus continu. Le 

contrôle de ces tensions est très important parce que d’une part il conditionne la survie 



Chapitre3 

du convertisseur en garantissant une répartition équilibrée des contraintes en tensions 

pour éviter les surtensions aux bornes des semi-conducteurs de puissance de chaque 

cellule de commutation, d’autre part il améliore la qualité spectrale de la tension à la 

sortie du convertisseur. Ce contrôle nécessite donc la connaissance de ces tensions aux 

bornes des condensateurs. 

Plusieurs travaux ont été réalisés dans le but d’observer ces tensions. Deux 

observateurs non linéaires discrets ont été exposés dans [BEN01] en l’occurrence un 

observateur déterministe de Luenberger et un filtre de Kalman récursif. Une autre 

technique d’observation à modes glissants a été présentée dans [BEN08]. 

Dans ce contexte, un observateur adaptatif interconnecté basé sur la 

commande monocoup sera présenté et appliqué à un convertisseur série à trois cellules 

de commutation, associé à une charge passive de type RL liée à la masse (Fig. 53). Le 

schéma de principe de l’observateur appliqué sera donné par la Fig. 54. 

Q3 

Q2 

Q1 

I 

E’’ 

E2 

E1 

u3 u2 u1 

L 

Q’3 Q’2 Q’1 

R 

Fig. 53 Convertisseur à 3 cellules de commutation avec charge liée à la masse 



Chapitre3 

Consignes 

Algorithme de 

commande 

u3 u2 u1 

Modèle du système 

I observé 

Injection des 

variables observées 

Observateur 

Gain d’observation 

I mesuré 

Q3 

Q2 

Q1 

I 

E’’ 

E2 

E1 

u3 u2 u1 

L 

Q’3 Q’2 Q’1 

R 

Fig. 54 Schéma de principe d’un observateur appliqué au convertisseur série 

3.3.3 Conception de l’observateur adaptatif 

3.3.3.1 Rappel sur l’observateur adaptatif [HAM90] [GHA10] 

Soit le système affine en l’état suivant : 

SA 

: 

. 

x ( t ) A ( u ( t )) x ( t ) g ( u ( t ), y ( t )) 

y( t) Cx( t) 

(70) 

n 

p 

On note x l’état du système, u la commande et y la sortie. 

La matrice A est dépendante de la commande u et la fonction g(u(t), y(t)) est une 

injection entrée-sortie. 

m 



Chapitre3 

Si l’entrée u est persistante, dans le sens qu’il existe , , T 0 et t 0 0 et tel 

que pour toute condition initiale x 0 on a : 

t T 

T 

T 

u, x 

u, 

x 

I ( , t) C C ( , t) 

d I (71) 

t 

0 0 

avec Φ u,x0 la matrice de transition du système : 

. 

x 

y 

A( u) 

x 

Cx 

Alors un observateur exponentiel pour le système affine est donné par : 

(72) 

. 

xˆ ( t) A( u( t)) xˆ ( t) g( u( t), y( t)) P C ( yˆ 

( t) y( t)) 

. 

O : P( t) P( t) A ( u( t)) P( t) P( t) A( u( t)) 2C C 

SA 

yˆ( t) Cxˆ( t) 

T 

1 

T 

T 

(73) 

On note que γ doit être positif constant et suffisamment large tel que pour 

toute matrice symétrique positive P(0), la condition suivante est vérifiée : 

0 0, 0, t0 0 : t t0, I P( t) 

I (74) 

Pour prouver la convergence exponentielle de l’observateur, on considère 

l’erreur d’estimation ( t) xˆ 

( t) x( t ) . Sa dynamique est donnée par : 

. 

1 

T 

( A( u( t)) P C C) ( t ) 

(75) 

Considérons maintenant la fonction candidate de Lyapunov 

T 

V ( ( t)) ( t) P ( t ) , sa dérivée tout au long de la dynamique d’erreur est donnée par : 

. 

V ( ( t)) V ( ( t )) 

(76) 

Alors on peut conclure que l’observateur considéré converge 

exponentiellement. 

3.3.3.2 Observateur adaptatif pour le convertisseur multicellulaire 

Tout d’abord, il faut étudier l’observabilité du système considéré [BEJ10]. Pour ce 

faire, on va se référer au modèle d’état donné par (57) qui va être adapté à la structure 

du convertisseur donnée par la Fig. 53 de la façon suivante : 



Chapitre3 

. 

1 

0 0 

1 C1 

0 

. 

E1 

r2 

2 = 0 0 

2 + 0 1 2 1, 

2 3 2 

. 

C2 

I E '' 

I -r1 -r2 R u 

- 

3 

E 

I 0 0 1 

1 

2 

r 

E E avec r u u r u u 

L L L 

E 

E 

I 

L 

(77) 

Ce modèle peut être alors écrit sous la forme : 

. 

X A( r) X G( u3) 

y CX 

(78) 

Pour les différentes configurations, les condensateurs ne sont pas toujours 

parcourus par le courant de charge. Le courant peut passer par un ou deux 

condensateurs comme il peut ne parcourir aucun condensateur dans le cas où les 

interrupteurs du haut de chaque cellule sont tous fermés ou tous ouverts. Donc, 

certaines configurations posent un problème d’observabilité du système étudié. Ceci 

peut être prouvé en effectuant le test de rang [HER77] suivant, dans les cas où, au 

moins, un condensateur est parcouru par le courant de charge: 

rang 

C 

T 

( CA( q)) 2 3 

2 

T 

( CA( q) ) 

T 

(79) 

Dans le cas où les tensions aux bornes des condensateurs restent constantes et 

seul le courant de charge varie (configurations U 1 et U 8 ), le rang de la matrice 

d’observabilité défini par (79) sera égal à 1 (r 1 =r 2 =0) et il ne sera pas possible 

d’observer ces tensions à partir de la mesure du courant de charge et du calcul de ses 

dérivées. 

Donc le convertisseur n’est pas observable pour n’importe quelle 

configuration de commandes. Cependant, afin d’étudier les conditions pour lesquelles 

les tensions aux bornes des condensateurs sont observables à partir de la mesure de 

courant de charge, il faut analyser le fonctionnement du convertisseur pour les 

différentes configurations possibles. 

1 er cas : r 1 =1, r 2 =0 

Pour cette configuration, le courant parcourt le condensateur C 1 dans le sens de la 

charge (Fig. 55). 

Donc la tension E 1 va varier, alors que la tension E 2 reste constante (80). 



Chapitre3 

. 

1 

E () t 

. 

2 

I 

C 

1 

E ( t) 0 

. 

R 1 E'' 

I( t) I( t) E1 

( t) 

L L L 

(80) 

Donc la variable E 1 est observable en mesurant le courant de charge et en 

calculant sa dérivée alors que la tension E 2 ne l’est pas. 

2 ème cas : r 1 =0, r 2 =1 

Pour ce mode de fonctionnement, le courant parcoure le condensateur C 2 en le 

chargeant (Fig. 56). 

Cette charge va provoquer la variation de la tension E 2 alors que la tension E 1 

reste constante (81). 

. 

1 

E ( t) 0 

. 

2 

E () t 

I 

C 

2 

. 

R 1 E'' 

I( t) I( t) E2( t) 

L L L 

Donc en mesurant le courant de charge, la variable E 2 est observable alors 

que la tension E 1 ne l’est pas. 

3 ème cas : r 1 = -1, r 2 = 1 

Pour cette configuration, le courant parcoure les deux condensateurs en provocant la 

charge de C 2 et la décharge de C 1 (Fig. 57). 

Cette configuration va provoquer l’augmentation de la tension E 2 alors que la 

tension E 1 va diminuer (82). 

(81) 

. 

1 

E () t 

. 

2 

E () t 

I 

C 

I 

C 

2 

1 

. 

R 1 E'' 

I( t) I( t) ( E1( t) E2( t)) 

L L L 

(82) 

Dans ce cas, seule la quantité E 1 -E 2 est observable à partir de la mesure du 

courant de charge et du calcul de sa dérivée. 

4 ème cas : r 1 = r 2 = 0 



Chapitre3 

Pour cette configuration, le courant ne parcoure aucun condensateur (Fig. 58). Ainsi, 

les deux tensions E 1 et E 2 restent constantes (83) 

. 

1 

E ( t) 0 

. 

2 

E ( t) 0 

. 

R 

I( t) I( t) 

L 

E'' 

L 

(83) 

Dans ce cas, aucune des tensions aux bornes des condensateurs n’est 

observable. 

Ainsi on peut déterminer l’observabilité des tensions aux bornes des 

condensateurs pour les différentes configurations [BEJ10] 

Q3 

Q2 

Q1 

I 

E’’ 

E2 

E1 

u3 u2 u1 

L 

Q’3 Q’2 Q’1 

R 

Fig. 55 1 er cas : Charge de C 1 (configuration U 7 ) 



Chapitre3 

Q3 

Q2 

Q1 

I 

E’’ 

E2 

E1 

u3 u2 u1 

L 

Q’3 Q’2 Q’1 

R 

Fig. 56 2 ème cas : Charge de C 2 (configuration U 5 ) 

Q3 

Q2 

Q1 

I 

E’’ 

E2 

E1 

u3 u2 u1 

L 

Q’3 Q’2 Q’1 

R 

Fig. 57 3 ème cas : Charge de C 2 et décharge de C 1 (configuration U 6 ) 



Chapitre3 

Q3 

Q2 

Q1 

I 

E’’ 

E2 

E1 

u3 u2 u1 

L 

Q’3 Q’2 Q’1 

R 

Fig. 58 4 ème cas : Le courant ne parcoure aucun condensateur (configuration U 1 ) 

En résumé, pour n’importe quelle configuration active (le courant de charge 

parcoure au moins un condensateur) du système considéré, seule la quantité r 1 E 1 +r 2 E 2 

est observable. 

a) Conception de l’observateur 

Après l’analyse du fonctionnement du système pour différentes configurations, on 

peut conclure que, sur une période d’échantillonnage, les deux tensions ne sont pas 

observables en même temps. Pour que ça soit le cas, il faut raisonner, au moins, sur 

deux périodes d’échantillonnage. Il n’est pas possible donc de construire un 

observateur adaptatif sur la base du modèle du convertisseur donné par (77). 

Pour remédier à ce problème, l’idée est de considérer deux modèles affines 

d’ordre 2 interconnectés et construire l’observateur sur la base de ces modèles. Ceci 

va nous ramener à écrire le modèle du système de la façon suivante : 



Chapitre3 

I 

. 

E1() 

t r1 

C 1 

. 

E1 t R E'' 

E2 

t 

I( t) r1 I( t) 

u3 r2 

( ) ( ) 

L L L L 

I 

. 

E2() 

t r2 

C 2 

. 

E2 t R E'' 

E1 

t 

I( t) r2 I( t) 

u3 r1 

( ) ( ) 

L L L L 

Cependant, pour ces deux systèmes, on peut distinguer deux vecteurs d’états 

notés X 1 (t) et X 2 (t) et la forme affine compacte du convertisseur à trois cellules de 

commutations sera donnée par : 

(84) 

H 

(3) 

. 

X ( t) A( r ) X ( t) B ( r, u, y) H ( r , X ) 

1 1 1 1 1 2 2 

. 

: X ( t) A( r ) X ( t) B ( r, u, y) H ( r , X ) 

2 2 2 2 2 1 1 

y( t) CX ( t), i 1,2 

i 

(85) 

X 

i 

Ar ( ) 

i 

ri 

0 

L 

0 0 

avec r E 

r E 

H r X H r X 

L 0 L 0 

2 2 1 1 

1( 2, 2) , 2( 1, 1) 

B ( r, u, y) 

i 

I 

E 

C 1 0 

i 

R E'' 

I u 

L L 

I 

ri 

C 

i 

3 

Pour construire l’observateur sur la base de ces modèles, il faut vérifier les 

conditions suivantes : 

La première étape consiste à vérifier que les entrées q i sont régulièrement 

persistantes [BES99] [GHA10] pour le système donné par (85). Si une entrée est 

régulièrement persistante, elle permet d’exciter suffisamment le système pour obtenir 

les informations nécessaires à la reconstruction des variables non mesurées à l’aide de 

l’observateur conçu. Ce nouveau concept de persistance régulière pour les systèmes 

dynamiques hybrides est équivalent à la notion d’observabilité Z(T N ) [KAN09]. 



Chapitre3 

Cette notion de Z(T N ) observabilité a été définie dans [BEN09] comme suit : 

Considérons la classe de systèmes hybrides suivante : 

x f ( t, x, q), q Q, 

x 

y h( t, x, q) 

n 

(86) 

où x est l’état continu, q est présenté par la séquence de commande prenant 

uniquement des valeurs discrètes. Q est un ensemble fini, les fonctions f et h sont deux 

champs de vecteurs suffisamment dérivables. Pour cette classe de système, la notion 

d’observabilité est fortement liée à la séquence de commande q, nous avons alors 

besoin de définir la notion suivante : 

La fonction z=Z(t,x,u) est Z(T N ) observable le long de la trajectoire de temps 

hybride T N si pour toutes les trajectoires (t,x i (t),u i (t)), (i=1,2) définies dans l’intervalle 

de temps [t ini ,t end ], l’égalité h 1 (t,x 1 ,u 1 )= h 2 (t,x 2 ,u 2 ) implique Z(t,x 1 )=Z(t,x 2 ). 

La deuxième étape revient à vérifier que les fonctions H 1 (q 2 ,X 2 ) et H 2 (q 1 ,X 1 ) 

sont globalement Lipschitz par rapport à X 2 et X 1 respectivement. Cette condition est 

vérifiée car ces deux fonctions sont linéaires. 

L’observateur sera ensuite donné par: 

. 

1 

1 1 1 1 1 2 2 1 1 

. 

T 

T 

1 1 1 1 ( 1) 1 1 ( 1) 2 

Z ( t) A( r ) Z ( t) B ( r, u, y) H ( r , Z ) r P C ( y yˆ 

) 

P r P A r P P A r C C 

T 

O 

H 

(3) 

: 

. 

Z ( t) A( r ) Z ( t) B ( r, u, y) H ( r , Z ) r P C ( y yˆ 

) 

2 2 2 2 2 1 1 2 2 

. 

T 

T 

2 2 2 2 ( 2) 2 2 ( 2) 2 

P r P A r P P A r C C 

1 

T 

(87) 

yˆ CZ () t 

i 



Chapitre3 

avec 

Z 

i 

Ar ( ) 

i 

Iˆ 

Eˆ 

ri 

0 

L 

0 0 

r Eˆ 

r Eˆ 

H r Z H r Z 

L 0 L 0 

2 2 1 1 

1( 2, 2) , 2( 1, 1) 

B ( r, u, y) 

i 

1 

C 

0 

i 

T 

R E'' 

I u 

L L 

I 

ri 

C 

, 0, 0 

1 2 

i 

3 

1 

T 

1 

T 

On note P1 

C et P2 

C les gains de l’observateur des deux systèmes 

interconnectés (P 1 et P 2 sont deux matrices définies symétriques positives [GHA10]). 

Ces gains sont multipliés par |r 1 | et |r 2 | comme le montre (87). 

Remarque1 

Donc, dans le cas où r 1 =0 (respectivement r 2 =0), la tension E 1 

(respectivement E 2 ) est constante et par conséquence inobservable, l’observateur est 

figé et fonctionne en estimateur (sans gains de correction). 

Remarque2 

Dans le cas où r 1 =r2=0, les deux tensions aux bornes des condensateurs sont 

constantes et par conséquent non observables et les estimations de ces tensions 

demeurent constantes, durant l’application de ces configurations (U 1 et U 8 ). Dans ce 

cas, les deux entrées ne sont pas persistantes. 

b) Analyse de convergence de l’observateur pour chacune des configurations 

On considère e 1 =X 1 -Z 1 et e 2 =X 2 -Z 2 les erreurs d’estimation entre le modèle du système 

donné par (85) et l’observateur défini par (87). 

Leurs dynamiques sont données par : 

. 

1 T 

e1 A r1 r1 P1 C C e1 H1 r2 X 2 H1 r2 Z2 

( ) ( , ) ( , ) 

. 

1 T 

e2 A r2 r2 P2 C C e2 H2 r1 X1 H2 r1 Z1 

( ) ( , ) ( , ) 

(88) 



Chapitre3 

avec 

H ( r , X ) H ( r , Z ) 

1 2 2 1 2 2 

H ( r , X ) H ( r , Z ) 

2 1 1 2 1 1 

r E Eˆ 

L 0 

2 2 2 

r E Eˆ 

L 0 

1 1 1 

Proposition : soit une séquence d’intervalle {t 0 ….t N }. Pour une séquence de commande 

[Q 0 ….Q N ] régulièrement persistante avec Q N la valeur de Q=[r 1 ,r 2 ] dans l’intervalle de 

temps [t N t N+1 ], l’observateur interconnecté donné par (87) est un observateur adaptatif 

hybride du modèle interconnecté du convertisseur à 3 cellules de commutation donné 

par (85) pour γ1 et γ 2 positifs et suffisamment grands. 

Preuve : pour chaque période d’échantillonnage [t i t i+1 ], il existe une séquence d’entrée 

Q i =[r 1 ,r 2 ]. 

On considère la fonction de Lyapunov candidate suivante : 

T 

T 

1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 

V r e Pe r e P e r V r V (89) 

Hypothèse : pour chaque période d’échantillonnage, il faut vérifier que le temps de 

convergence de l’observateur est plus petit que le temps de séjour dans un état donné. 

• 1 ère période d’échantillonnage : r 1 =1, r 2 =0 

Dans cette première période d’échantillonnage, seule la tension E 1 est observable. 

Donc on reconstruit uniquement E 1 et E 2 reste constante. La fonction de Lyapunov 

candidate sera donc donnée par : 

T 

V e1 Pe 1 1 V 1 

(90) 

Sa dynamique sur cette période sera donnée par : 

. 

T T 1 1 1 1 1 1 1 1 

T 

1 1 1 1 

V e Pe e Pe e Pe V (91) 

La solution de V 1 est donnée par : 

( t t ) 

1 0 

V ( t) V ( e (0)) e (92) 

1 1 1 

Ensuite, puisque q 1 est persistante, il sera facile de prouver que : 

( t t ) 

1 0 

e ( t) K e ( t ) e (93) 

1 1 1 0 

Donc pour γ 1 suffisamment grand, il existe t i < τ i < t i+1 tel que : 

e1 ( t ) , t i 

(94) 

où est une petite erreur (acceptable) après convergence. 

Puisque q est constante durant une période d’échantillonnage, τ i doit être plus 

petite que t i+1 . D’après (93), ce temps de convergence τ i est donné par : 



Chapitre3 

log K e ( t ) log 

t t t (95) 

1 1 0 

i i i 1 i 

1 

D’où en choisissant γ 1 suffisamment grand, on peut vérifier que τ i < t i+1 

(hypothèse vérifiée). 

Donc pendant cette période, la convergence exponentielle de la dynamique de 

l’erreur d’estimation est prouvée. On doit choisir γ 1 suffisamment grand pour faire 

converger la tension E 1 alors que la tension E 2 reste constante puisque le courant ne 

traverse pas le condensateur C 2 . 

• 2 ème période d’échantillonnage : r 1 =0, r 2 =1 

Durant cette période, on ne peut observer que la tension E 2 puisque le courant ne 

traverse que le condensateur C 2 et par la suite la tension E 1 reste constante. La 

fonction de Lyapunov candidate sera donc exprimée par : 

T 

V e2 P2 e2 V 2 

(96) 


. 

T T T 

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 

V e P e e P e e P e V (97) 

La solution de V 2 est donnée par : 

( t t ) 

2 0 

V ( t) V ( e (0)) e (98) 

2 2 2 

Ensuite, puisque q 2 est persistante, il sera facile de prouver que : 

( t t ) 

2 0 

e ( t) K e ( t ) e (99) 

2 2 2 0 

e2 ( t ) , t i 

(100) 

Donc pour γ 2 suffisamment large, il existe t i < τ i < t i+1 tel que : 

où δ est une petite erreur (acceptable) après convergence. 

Puisque q est constante durant une période d’échantillonnage, τ i doit être plus 

petite que t i+1 . D’après (99), ce temps de convergence τ i est donné par : 

log K e ( t ) log 

t t t (101) 

2 2 0 

i i i 1 i 

2 

D’où en choisissant γ 2 suffisamment grand, on peut vérifier que τ i < t i+1 

(hypothèse vérifiée). 

La convergence exponentielle de la dynamique de l’erreur d’estimation est 

prouvée encore une fois et γ 2 doit être choisi suffisamment grand pour faire converger 

la tension E 2 alors que la tension E 1 ne varie pas puisque le courant ne traverse pas le 

condensateur C 1 . 



Chapitre3 

• 3 ème période d’échantillonnage : r 1 =-1, r 2 =1 

Durant cette période, on ne peut estimer que la somme des deux tensions. La fonction 

de Lyapunov candidate sera donnée par : 

T T 

1 1 1 2 2 2 1 2 

V e Pe e P e V V (102) 

. 


T 

T 

1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 

V V V 2 e P[ H ( r , X ) H ( r , Z )] 2 e P [ H ( r , X ) H ( r , Z )] (103) 

En raisonnant sur les normes et en tenant compte du fait que les fonctions H i 

sont globalement Lipschitz linéaires, on peut écrire : 

1 

Hi ( rj, X j ) Hi ( rj, Z j ) K e j avec K , i 1,2, j 1,2, i j 

L 

. 

Il en découle : 

V 1V 1 2V2 2 K ' e1 e 2 

(105) 

avec K ' K( K1 K 2) 

Maintenant, on considère les inégalités suivantes : 

min 

2 2 2 2 T 

i i i P max i i i P i i i 

( P ) e e ( P ) e avec e e Pe , i 1,2 

(106) 

i 

avec λ min (P i ) et λ max (P i ) sont respectivement les valeurs propres minimales et 

maximales de P i . 

En écrivant la relation (105) avec les termes des fonctions V 1 et V 2 , il s’en 

suit : 

. 

V V V 2( ) V V avec 

1 1 2 2 1 2 1 2 

Ensuite en utilisant l’inégalité suivante : 

1 

2 

i 

2 K ' 

( P) ( P) 

min 1 max 1 

2 K ' 

( P ) ( P ) 

min 2 max 2 

1 

V1 V2 V1 V 2, 0,1 

(108) 

2 2 

On obtient alors : 

. 

( ) 

V V V V V (109) 

1 2 

1 1 ( 1 2) 

1 2 2 2 

Finalement, on définit : 

(104) 

(107) 



Chapitre3 

1 1 1 2 

2 2 

( ) 0 

( ) 

1 2 

0 

(110) 

. 

Il s’en suit: 

V ( V1 V2 ) V avec min( 1, 2) 

(111) 

Selon (111) et en suivant la même procédure dans (94) et (100), il existe un 

temps τ i > t i tel que : 

e1 ( t) e2 ( t) , t t i 1 

(112) 

où ∆ est une petite erreur (acceptable) après convergence. 

Ainsi, γ 1 et γ 2 doivent être choisis suffisamment grands pour vérifier 

l’hypothèse sur le temps de convergence τ i < t i+1 . 

La convergence exponentielle de la dynamique de l’erreur d’estimation est 

prouvée encore une fois et γ 1 et γ 2 doivent être choisi suffisamment grand pour faire 

converger les tensions E 1 et E 2 . Comme cela était indiqué lors de l’analyse de 

fonctionnement du système, durant cette configuration, seule la somme des deux 

tensions est observable. 

• 4 ème période d’échantillonnage : r 1 =r 2 =0 

Durant cette période, les deux tensions aux bornes des condensateurs ne sont pas 

observables puisque le courant de charge ne passe par aucun condensateur. Donc les 

tensions aux bornes des condensateurs restent constantes et l’observateur reste figé. 

Donc après deux périodes d’échantillonnage (configurations actives), les 

deux tensions aux bornes des condensateurs sont estimées à partir de la mesure du 

courant de charge. 

c) Observateur à temps discret 

Pour implémenter l’observateur adaptatif conçu (87) sur un banc expérimental, nous 

avons opté pour l’utilisation d’une représentation en temps discret de l’observateur. 

Sachant que les entrées r 1 et r 2 sont constantes durant une période 

d’échantillonnage, les fonctions A(r 1 ), A(r 2 ) et B(r,y) sont aussi constantes durant une 

période. Toutefois, les matrices H 1 (r 2 ,Z 2 ) et H 2 (r 1 ,Z 1 ) sont variables en fonction de Z 2 

et Z 1 . Si on suppose que ces matrices varient peu en fonction de Z 2 et Z 1 , les équations 

de l’observateur interconnecté discrétisées avec une approximation de Taylor à l’ordre 

2 avec une période d’échantillonnage T e fixe seront données par : 



Chapitre3 

1 T 

1(( 1) e) 1 1( e) 1[ ( , ) 1( 2, 2)] 1 1 1( e) ( ( e) ˆ( e)) 

1 T 

2 e 2 2 e 2 2 1 1 2 2 2 e e 

ˆ 

e 

Z k T F Z kT G B r y H r Z G r P kT C y kT y kT 

Z (( k 1) T ) F Z ( kT ) G [ B( r, y) H ( r , Z )] G r P ( kT ) C ( y( kT ) y( kT )) 

yˆ( kT ) CZ ( kT ) 

e i e 

(113) 

2 

e 

A( ri) T 

2 T 

e 

Fi e I A( ri )* Te A( ri 

) * 2 

Te 

2 3 

A( ri 

) s Te 2 Te 

i e i i 

2 6 

0 

avec G e dsB ( I * T A( r )* A( r ) * ) B 

Z ( kT ) 

i 

e 

Iˆ 

Eˆ 

i 

Pour discrétiser les matrices P 1 et P 2 , on a procédé comme suit. On pose une 

matrice symétrique P 1 de la façon suivante : 

P 

1 

a 

a 

a 

11 12 

a 

12 22 

On considère maintenant le vecteur w1 a11 a12 a 22 

constitué des 

composants de la matrice P 1 définie symétrique positive. En se référant à (87), la 

dérivée par rapport au temps de w 1 est donnée par : 

w A w B (115) 

1 P 1 

P 

1 1 

T 

(114) 

avec 

A 

B 

P 

1 

P 

1 

R r1 

( 1 2 ) 2 0 

L C 

2 0 0 

r 

R r 

L L C 

1 

( 1 ) 

1 

1 

r1 

0 2 

L 

T 

1 

1 

Donc la représentation en temps discret de P 1 est donnée par : 

w (( k 1) T ) F w ( kT ) G 

1 e w 1 e w 

1 1 

11 12 

1 e 1 

1(( 1) e) 

12 22 

1 e 1 

P k T 

w (( k 1) T ) w (( k 1) T ) 

w (( k 1) T ) w (( k 1) T ) 

e 

e 

(116) 



Chapitre3 

avec 

P1 

e 

Fw e I A 

1 

P T 

1 

e AP 

1 

T 

2 

e 

2 3 

e 

As 

P1 

e 2 e 

Gw e dsB ( * * * ) 

1 

P I T 

1 

e AP A 

1 

P B 

1 

P1 

0 

AT 

2 T 

* * 2 

T T 

2 6 

On procède de la même manière pour donner la représentation en temps 

discret de P 2 . 

w (( k 1) T ) F w ( kT ) G 

2 e w 2 e w 

2 2 

11 12 

2 e 2 

2(( 1) e) 

12 22 

2 e 2 

P k T 

w (( k 1) T ) w (( k 1) T ) 

w (( k 1) T ) w (( k 1) T ) 

e 

e 

(117) 

avec 

A 

B 

P 

2 

P 

2 

R r2 

( 2 2 ) 2 0 

L C 

2 0 0 

A T 

r 

R r 

L L C 

2 

( 2 ) 

2 

2 

r2 

0 2 

L 

P2 

e 

Fw e I A 

2 

P T 

2 

e AP 

2 

T 

2 

2 

e 

2 T 

* * 2 

2 

T 

2 3 

e 

AP 

s 

2 

e 2 e 

Gw e dsB ( * * * ) 

2 

P I T 

2 

e AP A 

2 

P B 

2 

P2 

0 

T T 

2 6 

d) Résultats de simulation 

Les simulations ont été effectuées avec : 

C1 C2 33 F, R 33 , L 50 mH, E'' 120V . Les tensions de références aux bornes 

des condensateurs ont été fixées à E1c 

E /3, E2c 

2 E /3 avec une référence de 

courant sinusoïdale d’amplitude 0.7A avec une composante continue de 1.1A et de 

fréquence 50Hz. Les valeurs de γ 1 et γ 2 ont été fixés à 800 chacun pour un premier test 

puis à 1500 chacun lors d’un deuxième test pour mettre en évidence leur influence sur 

le temps de convergence de l’observateur. La valeur du facteur de pondération a été 

fixée à 0.3. 

Le courant de charge est estimé avec une erreur moyenne entre la mesure et 

l’estimation de 19mA (Fig. 59). 

Les tensions aux mesurées aux bornes des condensateurs et estimées sont 

données par (Fig. 60 et Fig. 61) pour des valeurs de (γ 1 ,γ 2 ) différentes. 

Les niveaux de tension aux bornes de la charge sont donnés par Fig. 62. 



Chapitre3 

2 

1.8 

1.6 

I 

Ic 

I est 

1.4 

1.2 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 


50 

40 

30 

E1 

E1c 

E1 est 

20 

10 

0 

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 

80 E2 

60 

40 

E2c 

E2 est 

20 

0 

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 

Fig. 60 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) (γ 1 = γ 2 =800) 



Chapitre3 

50 

40 

30 

E1 

E1c 

E1 est 

20 

10 

0 

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 

80 E2 

60 

E2c 

E2 est 

40 

20 

0 

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 

Fig. 61 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) (γ 1 = γ 2 =1500) 

90 

tension de sortie Vo 

80 

70 

60 

50 

40 

30 

20 

10 

0 

-10 

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 


e) Validation expérimentale 

L’étude expérimentale de l’observateur interconnecté basé sur la commande 

monocoup a été menée sur le convertisseur illustré par la Fig. 38 avec deux 

condensateurs à potentiels flottants (C 1 =C 2 =33μF) associé à une charge passive de 

type RL (R=33Ω, L=50mH, L/R=1.5ms). Le bus continu est alimenté par une source 

de tension Xantrex réglée à 120V ( E'' 120V ). L’algorithme de l’ensemble 

commande-observateur a été implémenté en langage C et les calculs sont toujours 



Chapitre3 

effectués à l’aide d’une carte d-Space dS1104. Le temps de calcul de l’ensemble 

commande-observateur a été de 120μs. Cette nette augmentation par rapport au temps 

de calcul de la commande monocoup (32μs) est due au calcul en temps réel des 

matrices de discrétisation. Pour remédier à ce problème, nous avons procédé à un 

calcul formel hors ligne de ces matrices et le temps de calcul de l’ensemble 

commande-observateur a été réduit à 58μs (le temps de calcul de l’observateur a passé 

de 88μs à 26μs). Ainsi, la période d’échantillonnage a été fixée à 85μs. 

Comme lors des résultats expérimentaux de la commande monocoup, une 

amélioration de la poursuite des valeurs désirées des tensions aux bornes des 

condensateurs à potentiels flottants conduit à des oscillations plus importantes au 

niveau du suivi de courant qui circule dans la charge. Pour améliorer cette poursuite, 

on est contraint de diminuer la performance du suivi des tensions. 

Plusieurs tests ont été effectués dans ce sens afin de pouvoir trouver un 

compromis pour garder des suivis convenables. Ces tests ont permis de fixer la valeur 

du facteur de pondération μ à 0.3. 

Pour satisfaire les conditions de convergence de l’observateur conçu, les 

paramètres γ 1 et γ 2 ont été fixés à 1500 chacun. 

Les tests expérimentaux ont été effectués en considérant deux consignes de 

courant de charge différentes. 

Cas 1 : courant sinusoïdal 

Dans ce cas, une consigne de courant sinusoïdal d’amplitude 0.8A avec une 

composante continue de 1A et de fréquence 50Hz a été appliquée (Fig. 63). Le courant 

de charge est estimé avec une erreur moyenne entre la mesure et l’estimation de 

29mA. 

Les tensions aux bornes des condensateurs à potentiels flottants sont estimées 

avec des erreurs moyennes entre la mesure et l’estimation de 1.54V sur E 1 et 1.39V sur 

E 2 (Fig. 64). 

Les niveaux de tensions à la sortie du convertisseur sont donnés par la Fig. 

65. On peut remarquer que seulement trois niveaux de tensions sont distinguables 

alors que normalement en considérant les valeurs de références des tensions aux 

bornes des condensateurs prises lors de ce test expérimental, cette structure permet 

d’en avoir quatre niveaux de tensions à la sortie du convertisseur. Ceci est du au fait 

que la consigne de courant n’est pas suffisamment grande, donc elle peut être atteinte 

sans que la configuration U 8 (qui présente une dynamique de courant plus importante 

que les autres configurations) ne soit appliquée. 



Chapitre3 

2 

1.8 

1.6 

Ic 

I 

I est 

1.4 

1.2 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 


50 

45 

40 

E1c 

E1 est 

E1 

35 

30 

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 

90 

85 

80 

E2c 

E2 est 

E2 

75 

70 

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 




Chapitre3 

90 

80 

Vao 

70 

60 

50 

40 

30 

20 

10 

0 

-10 

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 


Cas 1 : courant en créneaux 

Lors de ce test, une consigne de courant en créneaux d’amplitude 0.8A avec 

une composante continue de 1A et de fréquence 50Hz a été appliquée. 

Il est à remarquer que le courant de charge mesuré et celui estimé atteignent 

la consigne de courant en régime permanent après un retard de 1.5ms et avec une 

erreur moyenne entre la mesure et l’estimation de 37mA (Fig. 66). 

2 

1.8 

1.6 

Ic 

I 

I est 

1.4 

1.2 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 


Les tensions estimées aux bornes des condensateurs (Fig. 67) sont très 

similaires à celles illustrées dans le premier cas et ils gardent presque les mêmes 



Chapitre3 

performances dynamiques, avec des erreurs moyennes entre la mesure et l’estimation 

de 1.27V sur E 1 et 1.18V sur E 2 . 

Cependant, quatre niveaux de tensions peuvent être distingués (Fig. 68) à la 

sortie du convertisseur à 3 cellules de commutation. Le niveau de tension E qui 

manquait, dans le premier cas, est cette fois distinguable. Ceci est dù à un saut 

instantané de courant d’une valeur de 0.2A à une valeur de 1.8A. Ce saut ne peut être 

assuré que lorsque la configuration U 8 est sélectionnée et par conséquent le courant au 

niveau de la charge augmente sans passer par les condensateurs. 

On note aussi que le temps de montée de courant est plus petit que celui de la 

descente. Ceci est dù au fait que le convertisseur est en roue libre pendant le temps de 

descente. 

50 

45 

40 

E1c 

E1 est 

E1 

35 

30 

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 

90 

85 

80 

E2c 

E2 est 

E2 

75 

70 

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 




Chapitre3 

120 

100 

Vao 

80 

(V) 

60 

40 

20 

0 

-20 

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 

temps (s) 


Cette variation des erreurs moyennes entre la mesure et l’estimation pour 

chaque consigne est résumée par : 

I sinusoïdal 

I en créneaux 

Err _ est _ E 1 (V) 1.54 1.27 

Err _ est _ E 2 (V) 1.39 1.18 

Err _ est _ I (A) 0.029 0.037 

Tableau 9 Variation des erreurs moyennes en fonction de µ 

3.4 Application : convertisseur à trois cellules de commutation 

alimentant une MCC 

L’approche de commande monocoup, présentée précédemment a été appliquée sur le 

convertisseur à trois cellules de commutations alimentant un moteur à courant continu 

(Fig. 14). Cette commande repose donc sur le modèle d’état hybride de l’ensemble 

convertisseur-moteur donné par : 

. 

u2 - u1 

0 0 

E1 C1 

0 0 0 

. E 

E 

1 

u3 - u2 

E2 = 0 0 E2 

+ 0 0 0 E ' 

. 

C2 

I u3 u3 

-1 

-k 

I u1- 

u2 

u2 - u3 

R 

- L L L 

L L L 

(118) 



Chapitre3 

L’objectif de la commande est toujours d’assurer l’asservissement de courant 

et le maintien des tensions aux bornes des condensateurs autour de leurs valeurs de 

référence. Au cours de la simulation, la constante de temps mécanique de la machine 

(J/f) a été prise en compte pour calculer la vitesse de rotation du moteur à partir de la 

valeur de couple. Donc dans la suite on va distinguer deux modèles différents de 

l’ensemble convertisseur-machine. Un modèle de commande donné en (118) qui ne 

prend pas en compte le mode mécanique de la machine à courant continu et un modèle 

de simulation qui tiendra en comptes les deux modes mécaniques et électriques de la 

MCC. 

Les équations caractéristiques de la machine à courant continu, pour un 

fonctionnement moteur, sont données par. 

E k. 

Cem k. 

I 

dI 

U R. I L. 

E 

dt 

d 

J Cem f . 

dt 

Avec k la constante de proportionnalité entre la f.e.m induite et la vitesse de 

rotation du moteur qui dépend des paramètres de construction de la machine. 

Ces équations peuvent être illustrées par le schéma bloc donné par la Fig. 69. 

Donc on peut bien distinguer les deux modes mécanique et électrique de la 

machine à courant continu. Vu que le mode électrique de la machine à courant continu 

est pris en compte dans le modèle donné par (118), la synoptique du système de 

simulation sera donnée par la Fig. 70. 

Les tests de simulation ont été effectués en injectant une consigne de courant 

nominal (10.5A) avec une valeur du facteur de pondération fixée à 0.1. Dans ces 

conditions, le courant de mesure au niveau de la charge suit la consigne avec une 

erreur moyenne de 0.33A (Fig. 71). Les tensions aux bornes des condensateurs sont 

maintenues autour des références avec une erreur moyenne de 3.4V sur E 1 et de 3V sur 

E 2 (Fig. 73). 

(119) 

U 

+ 

- 

E 

1 

R+Lp 

I 

k 

Cem 

1 

f+Jp 

k 

Fig. 69 Schéma bloc de la MCC 



Chapitre3 

E1 # 

u3 

Modèle de simulation 

E2 # 

u2 

E1 


prédictive directe 

u1 

Modèle de 

commande 

E2 

I # 

k 

E 

I 

Cem 

k 

1 

f+Jp 

Fig. 70 Synoptique du système de simulation 

La vitesse de rotation du moteur atteint en régime permanent la valeur 

nominale avec une constante de temps mécanique de 175ms (Fig. 72). 

20 

18 

I 

I# 

16 

14 

12 

10 

8 

6 

4 

2 

0 

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 




Chapitre3 

2500 

vitesse de rotation omega 

2000 

1500 

1000 

500 

0 

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 

Fig. 72 Vitesse de rotation (tr/min) en fonction du temps (s) 

110 

100 

E1 

E1# 

90 

80 

70 

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 

200 

190 

E2 

E2# 

180 

170 

160 

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 


3.4.1 Validation expérimentale 

3.4.1.1 Description du banc expérimental 

Le convertisseur utilisé est celui donné par la Fig. 38. Le bus continu est alimenté par 

deux sources de tension continue Xantrex réglée à 135V chacune. 



Chapitre3 

La maquette d’essais (Fig. 74) se compose d’une machine à courant continu 

de marque Parvex de 1.4kW (caractéristiques données par Tableau 10) accouplée à une 

machine synchrone à aimants permanents de marque Leroy Somer de 1.6kW. La MCC 

est commandée par le convertisseur à trois cellules de commutations. La MSAP sert 

de charge, elle débite dans un pont de diodes connecté à une résistance de dissipation. 

Fig. 74 Machine à courant continu associée à sa charge 

Courant nominal(A) 10.5 

Tension nominale(V) 134 

Vitesse nominale 2400 

(tr/min) 

K(Nm/A) 0.49 

R(Ω) 0.49 

L(H) 4.3 10 -3 

J(kg.m 2 ) 350 10 -5 

Tableau 10 Caractéristiques de la machine à courant continu 



Chapitre3 

A chaque période de calcul, une interruption est déclenchée permettant à la 

T 

loi de commande de déterminer l’état de commutation U t u3 u2 u 1 à 

appliquer en fonction de l’état mesuré et du point de consigne à suivre. Les sorties 

utilisées sur la carte d-Space sont toujours les sorties numériques. 

Le schéma global de la maquette expérimentale est donné par Fig. 75. 

La mesure de vitesse de rotation des machines a été effectuée, en utilisant un 

codeur incrémental 4096 points placé en bout d’arbre de la machine synchrone à 

aimants permanents qui permet de mesurer la position du rotor. 

Gestion des temps 

morts et interface 

fibres optiques 

Drivers 

Convertisseur 

Mesures du courant 

et des tensions 

Carte d-Space 

dS1104 

MCC 

Mesure de 

vitesse 

MSAP 

Ordinateur 

Logiciel ControlDesk 

Fig. 75 Schéma complet de la plate-forme expérimentale 

3.4.1.2 Résultats expérimentaux et interprétations 

L’essai expérimental a été effectué en considérant une consigne de courant constante 

(Fig. 77). Pour des contraintes expérimentales, cette consigne de courant ne peut pas 

atteindre la valeur de courant nominal qui est de 10.5A. En fait, le problème réside 

dans la réversibilité de l’alimentation du bus continu (alimentation Xantrex). Durant 

l’étude expérimentale, on a été contraints à brancher des résistances en parallèle avec 

l’une des sources d’alimentation afin de dissiper l’énergie qu’envoie le système sur la 

source (Fig. 76). 

Cependant, la valeur maximale de consigne de courant qui permet d’assurer 

un fonctionnement normal du système était de l’ordre de 6.5A (Fig. 77). Dans ces 

conditions, la MCC tourne à une vitesse qui avoisine 1000tr/min (Fig. 78). 



Chapitre3 

Pour une valeur du facteur de pondération fixée à 0.3, le courant oscille 

autour de cette valeur de consigne avec une erreur moyenne de 0.75A et les références 

des tensions sont maintenues avec une erreur moyenne de 1.92V sur E 1 et 2.39V sur E 2 

(Fig. 79). 

Redressement 

Courant alternatif 

Fig. 76 Dissipation de l’énergie réinjectée à l’alimentation 

10 

9 

Ic 

I 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 




Chapitre3 

1500 

Vitesse 

1000 

500 

0 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 

Fig. 78 Vitesse de rotation (tr/min) en fonction du temps (s) 

110 

100 

E1c 

E1 

90 

80 

70 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 

200 

190 

E2c 

E2 

180 

170 

160 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 


Un deuxième test a été effectué avec la même consigne de courant en 

diminuant la valeur de µ à 0.1 dans le but d’améliorer la poursuite de courant qui 

représente l’objectif principal de cette application. Plusieurs essais ont été effectués 

afin de trouver un compromis permettant d’assurer des poursuites acceptables des 

trois variables d’état. Avec la nouvelle valeur de µ, une amélioration de la poursuite 

de courant est notée (Fig. 80) avec une erreur moyenne de 0.62A alors qu’une 

remarquable détérioration est notée pour le maintien des références de tensions aux 



Chapitre3 

bornes des condensateurs avec des erreurs moyennes de 4.55V sur E 1 et 4.84V sur E 2 

(Fig. 81) 

10 

9 

Ic 

I 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 

Fig. 80 Courant (A) en fonction du temps (s) 

110 

100 

E1c 

E1 

90 

80 

70 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 

200 

190 

E2c 

E2 

180 

170 

160 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 


Cette influence du facteur de pondération µ sur les différentes poursuites des 

variables d’état peut être résumée par : 



Chapitre3 

µ=0.3 µ=0.1 

Err _ E 1 (V) 1.92 4.55 

Err _ E 2 (V) 2.39 4.84 

Err _ I (A) 0.75 0.62 

Tableau 11 Variation des erreurs moyennes en fonction de µ 

4 Commande à base d’inversion de 

modèle 

Dans l’approche de la commande monocoup précédemment exposée, l’algorithme de 

commande détermine, à chaque pas de calcul, le point d’arrivée pour chaque 

configuration à partir d’un point de mesure. Ensuite il choisit la configuration qui 

permet de se rapprocher le plus d’un point de référence donné dans l’espace d’état à 

trois dimensions. Cette configuration sera, par la suite, appliquée au prochain pas de 

calcul. 

Cependant, cette approche de commande ne permet pas d’atteindre 

parfaitement un point de référence donné sur chaque période d’échantillonnage (Fig. 

82). D’autre part, ce type de commande implique des périodes de commutations 

variables qui peuvent conduisent à des oscillations indésirables. Par conséquent, l’idée 

qui sera développée dans cette partie sera de trouver une loi de commande qui permet 

d’atteindre exactement la consigne à chaque instant de calcul avec une fréquence de 

commutation fixe. 

Mesure 

Référence 

0 Te 2Te 3Te 4Te 

Fig. 82 Évolution de la mesure par rapport à la référence (CM) 



Chapitre3 

4.1 Principe de la commande 

Le principe de cette approche de commande (Fig. 84) est de déterminer les valeurs des 

rapports cycliques qui permettent d’annuler l’écart entre la consigne et la mesure (Fig. 

83). 

Mesure 

Référence 

0 Te 2Te 3Te 

ρ1 

ρ2 

ρ3 

Fig. 83 Évolution de la mesure par rapport à la référence (commande à base d’inversion de modèle) 

D’une façon plus explicite, pour toute condition initiale des variables d’état, 

il est possible de trouver une séquence de commande à longueur finie qui permet au 

système d’atteindre l’état désiré. Ce principe est donné généralement sous le nom de 

« Deadbeat control ». Cette approche a été utilisée pour déterminer les tensions 

appliquées à la charge permettant d’atteindre les consignes de courant. Ensuite, une 

stratégie de modulation est utilisée pour traduire ce vecteur de tensions en 

configurations de l’onduleur. Ce principe a été appliqué pour une machine 

asynchrone à aimants permanents [MOO03]. 

Le terme « Deadbeat controllability » est utilisé pour définir la faisabilité de 

cette stratégie sur une période finie. 

La technique de commande présentée dans cette partie repose sur un modèle 

d’état affine en la commande (120). 



Chapitre3 

. 

X A. X B X . U D (120) 

A partir de ce modèle, les rapports cycliques peuvent être déterminés en 

effectuant une opération d’inversion sur la matrice de commande et ils seront donnés 

par : 

1 

. 

U B X X AX D (121) 

Consigne 


inverse 

Interface 

de 

commande 

Modulateur de 

puissance 

Système 

dynamique 

Hybride (SDH) 

Système 

continu 

Grandeur de 

sortie 

Rapports 

cycliques 

Nombre fini de 

configurations 

possibles 

Fig. 84 Principe de la commande prédictive inverse 

Il est à noter que le passage entre (120) et (121) n’est possible qu’après une 

vérification de la condition de non singularité de la matrice de commande. 

4.2 Application : convertisseur à trois cellules de commutations 

débitant sur une charge RL 

L’approche de commande inverse est appliquée sur le convertisseur à trois cellules de 

commutation donné par la Fig. 53. Le modèle simplifié correspondant est donné par : 

u2( k) u1( k) 

0 0 

C1 

E1 

( k) 

0 

u3( k) u2( k) 

X ( k 1 ) = X ( k) + 0 0 

E2( k) + 0 . Te 

C2 

Ik ( ) E '' 

u1( k) u2( k) u2( k) u3( k) 

R u3( k) 

- 

L 

L L L 

(122) 

4.2.1 Stratégie de commande 

Pour la structure considérée, l’objectif de la loi de commande est d’asservir le 

courant de charge. L’algorithme de commande doit donc déterminer à chaque pas de 

calcul les rapports cycliques permettant d’atteindre un état de référence. Pour 



Chapitre3 

déterminer ces grandeurs, on va considérer un modèle prédictif valide pour une 

commande définie par sa moyenne. 

On note Rk ( ) la valeur moyenne calculée entre les instants d’échantillonnage 

(k) et (k+1) de la grandeur fonction du temps Rt () donnée par : 

1 ( k 1) Te 

R( k) R( t) 

dt 

T kTe 

e 

On peut donc considérer que la valeur moyenne d’un état d’interrupteur u i (t) 

est égale au rapport cyclique noté ρ i (k) (i=1,2,3). 

Ainsi, on peut écrire les équations différentielles reliant les variables d’état 

aux valeurs des rapports cycliques. Par conséquent, le modèle simplifié donné par 

(122) peut être écrit sous la forme suivante : 

(123) 

2( k) 1( k) 

0 0 

C1 

E1 

( k) 

0 

3( k) 2( k) 

X ( k 1 ) = X ( k) + 0 0 

E2( k) + 0 . Te 

C2 

Ik ( ) E '' 

1( k) 2( k) 2( k) 3( k) 

R 3( k) 

- 

L 

L L L 

(124) 

En écrivant (124) sous la forme d’un modèle affine en la commande et en se 

référant au modèle donné par (120), on obtient le modèle suivant : 

I( k) I( k) 

0 

C1 C1 

0 0 0 E1( k) 1( k) 

I( k) I( k) 

X ( k 1) = X ( k) + 0 0 0 E2( k) . Te 

0 2( k) 

C2 C2 

R I( k) 3( k) 

0 0 E1 ( k) E2( k) E1 ( k) E '' E2( k) 

L X(k) 

U( k) 

L L L 

A 

B( X ( k)) 

(125) 

. T e 

U(k) représente le vecteur d’entrée regroupant les valeurs des rapports 

cycliques des trois cellules de commutation. A est une matrice à coefficients constants 

et B(X) est une matrice dont les coefficients dépendent à la fois des composantes du 

vecteur d’état et de la tension d’alimentation E du bus continu. 

L’objectif est de déterminer les rapports cycliques qui permettent d’atteindre 

l’état de référence X c à l’instant (k+1). Donc cet état de référence doit être égal à 

l’état du système à l’instant (k+1). Ainsi, le vecteur d’entrée qui regroupe les rapports 

cycliques est donné, lorsque la matrice B(X) est inversible (pour des valeurs de 

courant de charge non nulles), par : 

1 1 

U( k) B X ( k) ( X ( k 1) X ( k)) AX ( k) 

T 

e 

(126) 



Chapitre3 

4.2.2 Profils des commutations 

Afin de valider le modèle donné par (124), l’idée est de comparer, sur une période 

d’échantillonnage, le vecteur d’état X(k+1) calculé à partir de (124) et celui calculé 

par (122). Pour ce faire, une stratégie de modulation va être appliquée aux rapports 

cycliques calculés afin d’obtenir les états des interrupteurs des trois cellules de 

commutations pour chaque période. Cependant, trois cas peuvent se présenter. Les 

profils de commutations peuvent être centrés, à gauche ou à droite sur une période de 

modulation. Par exemple, pour 3 0.25, 2 0.5 et 1 0.75, ces profils sont donnés 

par la Fig. 85. 

Ces trois cas ont été étudiés en simulation. Pour chaque profil, on compare 

les variations du courant de charge et des tensions aux bornes des condensateurs avec 

celles obtenues avec l’application directe des rapports cycliques sur le modèle de 

l’ensemble convertisseur-charge (Fig. 86 à Fig. 88). Les courbes en rouge 

correspondent à l’évolution des variables d’état donnée par (124) et celles en bleu 

représentent leurs évolutions calculées à partir de (122) avec les trois profils de 

commutation. 

Impulsions 

Impulsions à 

u3 

centrés 

u3 

gauche 

u3 

Impulsions à 

droite 

1 

U1 U2 U4 U8 U4 U2 U1 U8 U4 U2 U1 U1 U2 U4 U8 

0 

u2 

Tmod 

u2 

Tmod 

u2 

Tmod 

1 

0 

Tmod 

Tmod 

u1 u1 u1 

Tmod 

1 

0 

Tmod 

Tmod 

Tmod 

Fig. 85 Grandeurs de commande sur une période de modulation 



Chapitre3 

40 

39.98 

E1 

E1 centre 

39.96 

0 1 2 3 4 5 6 7 

x 10 -5 

80 

79.99 

E2 

79.98 E2 centre 

79.97 

0.1 

0 1 2 3 4 5 6 7 

x 10 -5 

0.05 

I 

I centre 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 

2 

1 

x 10 -5 

u3 

u2 

u1 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 

x 10 -5 

Fig. 86 Evolution des variables d’état avec des commandes centrées 



Chapitre3 

40 

39.98 

39.96 

39.94 

39.92 

E1 

E1 gauche 

0 1 2 3 4 5 6 7 

x 10 -5 

80 

79.99 

E2 

79.98 

E2 gauche 

79.97 

0 1 2 3 4 5 6 7 

x 10 -5 

0.1 

I 

0.05 

I gauche 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 

2 

1 

x 10 -5 

u3 

u2 

u1 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 

x 10 -5 

Fig. 87 Evolution des variables d’état avec des commandes à gauche 



Chapitre3 

40 

E1 

39.98 

E1 droite 

39.96 

0 1 2 3 4 5 6 7 

x 10 -5 

80 

79.99 

E2 

79.98 E2 droite 

79.97 

0.1 

0 1 2 3 4 5 6 7 

x 10 -5 

0.05 

I 

I droite 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 

2 

1 

u3 

u2 

u1 

x 10 -5 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 

x 10 -5 

Fig. 88 Evolution des variables d’état avec des commandes à droite 

Il est à remarquer que les trois profils permettent au courant de charge de 

rejoindre la valeur obtenue avec le modèle (124), alors que seules les impulsions 

centrées permettent aux tensions aux bornes des condensateurs de rejoindre les valeurs 

calculées par le même modèle. 

Ceci peut être expliqué par le fait que seul le courant varie linéairement sur 

une période de modulation. Donc pour n’importe quelle position des rapports 

cycliques, le modèle considéré est prédictif pour le courant de charge. 

Par contre, pour les tensions données par l’intégrale du courant, l’évolution 

n’est pas linéaire et le modèle ne sera prédictif, pour ces tensions, que si les 

impulsions sont centrées. 

Par conséquent, cette stratégie centrée sera ensuite adoptée pour la génération 

des profils de commutations. 

4.2.3 Normalisation des rapports cycliques 

Le problème majeur rencontré en simulation réside dans la détermination des 

rapports cycliques permettant d’annuler l’écart entre la mesure et le vecteur de 

consigne. Ces rapports doivent satisfaire la condition i ( k) 0 1 , i 1,2,3 . Cette 



Chapitre3 

condition est vérifiée si la distance entre le point de référence et le point de mesure est 

dans un intervalle bien précis. 

Comme cela a été évoqué dans l’équation (68) de la section de la commande 

monocoup, les variations des variables d’état dépendent de la période 

d’échantillonnage. Cependant, les variations maximales que subissent les variables 

d’état entre deux instants d’échantillonnage peuvent ne pas être suffisantes pour 

atteindre le point objectif. Dans ce cas, l’algorithme de commande va calculer les 

rapports qui vont permettre d’atteindre le point de référence et ces rapports cycliques 

ne seront plus compris entre 0 et 1 ce qui n’est pas réalisable physiquement. 

Pour remédier à ce problème, deux solutions s’imposent. Soit on applique 

deux rampes de consignes lentes pour les tensions aux bornes des condensateurs en 

respectant les variations maximales possibles de ces tensions sur une période 

d’échantillonnage, soit on cherche une stratégie de normalisation des rapports 

cycliques. Dans le cadre de cette thèse, la deuxième solution a été choisie et appliquée 

lors de l’implémentation expérimentale. Cette stratégie de normalisation doit assurer 

une évolution des variables d’état vers leurs valeurs de référence tout en respectant la 

condition posée sur les rapports cycliques. 

Cette stratégie (Fig. 89) consiste à effectuer des tests sur les valeurs des 

rapports cycliques et d’appliquer des opérations mathématiques pour que les rapports 

soient dans le domaine physique défini par i ( k) 0 1 , i 1,2,3 . Cette technique a 

été testée en simulation afin de juger de sa validité. La simulation consiste à 

comparer, pour des valeurs de référence données, l’évolution des variables d’état avec 

ou sans application de la stratégie de normalisation. Le test a été effectué avec les 

conditions suivantes : C1 C2 33 F, R 33 , L 50 mH , E '' 120 V, Tmod 

200 s . 

Ce test de simulation montre que la normalisation des rapports cycliques 

permet, d’une part, à partir d’un point de mesure donné, au courant de charge 

d’évoluer dans le même sens de son évolution normale (sans application de stratégie 

de normalisation sur les rapports cycliques) (Fig. 90), et d’autre part aux tensions aux 

bornes des condensateurs d’évoluer dans la même direction et dans le même sens, 

dans le plan des tensions, de leurs évolutions normales et de se rapprocher des valeurs 

de références (Fig. 91) tout en garantissant la satisfaction de la condition sur ces 

rapports. Par contre, dans plan d’état à trois dimensions, le vecteur d’état calculé avec 

la stratégie de normalisation n’évolue pas dans la même direction de celui calculé sans 

appliquer la normalisation des rapports cycliques (Fig. 92). 

Toutefois, l’écart entre la mesure et la référence est lié à la période 

d’échantillonnage. Plus cette période est grande plus les valeurs de mesure des 

variables d’état se rapprochent de leurs valeurs de référence vu que le taux 

d’accroissement de ces variables est proportionnel à la période d’échantillonnage. 

Cette stratégie de normalisation sera testée, par la suite, en simulation afin de pouvoir 

l’appliquer lors de l’implémentation de cette loi de commande à base d’inversion de 

modèle. 


I 


Chapitre3 

U ( k) 

ρ ( ) > 0 

i k 

i = {1,2,3} 

min( U ( k)) 

max( U ( k)) 

ρ ( k) = ρ ( k) − min( U ( k)) 

i 

i 

max( U ( k )) < 1 

U ( k) 

ρi 

( k) 

ρ i ( k) 

= 

max( U ( k)) 

Fig. 89 Principe de normalisation des rapports cycliques 

0.702 

0.7 

0.698 

sans normalisation 

avec normalisation 

0.696 

0.694 

0.692 

0.69 

0.688 

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

Fig. 90 Evolution du courant en (A) 



Chapitre3 

80 

79.5 

79 

78.5 

I 

sans normalisation 

avec normalisation 

78 

E2 

77.5 

77 

76.5 

76 

75.5 

75 

40 40.5 41 41.5 42 42.5 43 43.5 44 44.5 45 

E1 

Fig. 91 Evolution des tensions en (V) 

0.7 

X(k+1) avec 

normalisation 

0.695 

X(k+1) sans 

normalisation 

0.69 

0.685 

80 

X(k) 

78 

E2 

76 

74 

40 

41 

42 

E1 

43 

44 

45 

Fig. 92 Evolution des variables d’état dans l’espace à trois dimensions 

La synoptique complète de cette stratégie de commande à base d’inversion de 

modèle est donnée donc par la Fig. 93. 



Chapitre3 

Fig. 93 Synoptique de la commande prédictive par inversion de modèle 

Ainsi, les différentes étapes de l’algorithme de commande peuvent être 

résumées par : 

Mesurer E1(k), E2(k), I(k) 

Calculer B(X(k)) 

Calculer les rapports 

cycliques 

( ) ρ i k 

ρ ( ) ∈[0 1] 

i k 

Non 

Oui 

Moduler les rapports 

cycliques (profil centré) 

Normaliser les rapports 

cycliques 

Appliquer les 

configurations Ui à 

l’instant (k+1) 

Fig. 94 Principe de commande par inversion de modèle 



Chapitre3 

4.2.4 Résultats de simulation 

Les tests de simulation ont été effectués avec les conditions suivantes : 

C1 C2 33 F, R 33 , L 50 mH, E '' 120 V, Tmod 

70 s . Les références des 

tensions aux bornes des condensateurs ont été fixées à E ''/3 pour E 1 et 2 E ''/3 pour E 2 . 

Pour contourner le problème de singularité de la matrice de commande, la 

consigne de courant appliquée doit assurer des valeurs non nulles. Une consigne de 

courant sinusoïdal d’amplitude 0.6A avec une composante continue de 0.8A et de 

fréquence 50Hz (Fig. 95) a été appliquée. 

Par ailleurs, un autre problème a été rencontré lors du test de simulation. En 

fait, une fois les références des tensions sont atteintes par les mesures, l’objectif de 

courant peut être atteint en appliquant les configurations U 1 et U 8 qui permettent de 

varier le courant au niveau de la charge sans toucher aux tensions aux bornes des 

condensateurs. Dans ce cas, le convertisseur considéré revient à un onduleur à deux 

niveaux de tensions aux bornes de la charge. 

Donc, pour conserver les propriétés du convertisseur multiniveau, l’idée est 

de rajouter des signaux de bruit sur les tensions mesurées et par conséquence d’assurer 

des charges et des décharges sur les condensateurs (Fig. 96). Ainsi, le courant au 

niveau de la charge suit la référence (Fig. 95) avec une erreur moyenne de 9.8mA et un 

THDi de 0.02%. Trois niveaux de tensions sont distingués au niveau de la charge (Fig. 

97). Le quatrième niveau de tension possible E '' n’est atteint que lorsqu’on augmente 

la consigne de courant. 

1.5 

I 

Ic 

1 

0.5 

0 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 




Chapitre3 

42 

41 

E1 

E1c 

40 

39 

38 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 

82 

81 

E2 

E2c 

80 

79 

78 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 


90 

tension de sortie Vo 

80 

70 

60 

50 

40 

30 

20 

10 

0 

-10 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 


4.3 Validation expérimentale 

L’étude expérimentale a été menée pour le convertisseur illustré par la Fig. 53. 



Chapitre3 

4.3.1 Présentation du banc expérimental 

Le convertisseur utilisé est celui donné par la Fig. 38. Le bus continu est alimenté par 

une source de tension Xantrex réglée à 120V. 

L’algorithme de commande proposé est implémenté en langage C sur la carte 

d-Space d-S1104. La période d’échantillonnage a été fixée à 70μs. A chaque période 

de calcul, une interruption est déclenchée permettant à la loi de commande de 

déterminer les rapports cycliques à appliquer en fonction de l’état mesuré et des 

valeurs de référence à suivre. Par la suite, la stratégie de normalisation (résultats 

satisfaisants en simulation) sera appliquée à ces rapports. Enfin, la mise en œuvre des 

profils de commutations est assurée grâce aux sorties MLI de la carte d-Space. Ces 

sorties vont piloter une carte de commande (Fig. 98) qui permet de commander les 

drivers à partir des fibres optiques. 

Fig. 98 Interface de commande entre les sorties MLI et les drivers 

4.3.2 Résultats expérimentaux et interprétations 

L’essai expérimental a été effectué, en considérant une consigne de courant sinusoïdal 

(Fig. 99) avec les mêmes caractéristiques que celle appliquée lors de la simulation. Le 

courant mesuré suit la consigne avec une erreur moyenne de 11mA. Il est à noter 

qu’une mesure de précaution supplémentaire a été prise dans l’algorithme de 

commande qui consiste à rajouter des constantes très petites (de l’ordre de 10 -6 ) sur les 

composantes de courant de la matrice de commande. Cette mesure permet d’assurer la 

non singularité de cette matrice. Dans ces conditions, les références des tensions sont 

maintenues autour des valeurs de référence avec des erreurs moyennes de 0.21V sur E 1 

et 0.13V sur E 2 (Fig. 100). 



Chapitre3 

Les niveaux de tension aux bornes de la charge sont donnés par la Fig. 101. 

Chaque front montant ou descendant de la tension de sortie est d’une amplitude égale 

à E ''/3. Il est à noter que ces niveaux sont atteints sans une intervention sur les 

références des tensions aux bornes des condensateurs vu qu’il y a toujours des 

perturbations sur ces tensions qui empêchent un fonctionnement à deux niveaux de 

tensions. 

1.5 

Ic 

I 

1 

0.5 

0 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 


42 

41 

E1c 

E1 

40 

39 

38 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 

82 

81 

E2c 

E2 

80 

79 

78 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 




Chapitre3 

90 

80 

Vao 

70 

60 

50 

40 

30 

20 

10 

0 

-10 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 


5 Conclusion 

Dans ce chapitre, deux approches de commande à aspect prédictif ont été présentées, 

dans le but de contrôler deux dispositifs à topologie variable composés d’un processus 

continu (charge passive de type RL puis une machine à courant continu) associé à un 

modulateur de puissance (convertisseur série à trois cellules de commutation) ayant un 

nombre fini de configurations. 

Après une introduction aux différents aspects des commandes utilisées pour 

contrôler les convertisseurs multicellulaires, les différentes étapes des deux approches 

utilisées ont été exposées. 

Le principe de la commande monocoup est le suivant : pour chaque période 

de calcul, l’évolution dans l’espace d’état pour les différentes configurations possibles 

du système est prédite, à partir d’un modèle simplifié hybride qui a été validé en 

simulation. Ensuite, un critère de choix minimisant la distance entre le point de 

mesure et le point de référence permet de sélectionner la configuration qui sera 

appliquée durant la prochaine période d’échantillonnage. Cette approche a été 

implémentée sur un banc expérimental pour commander un convertisseur à trois 

cellules de commutation lié à une charge passive de type RL après avoir effectué une 

étude comparative en simulation avec une commande PI classique associée à une 

stratégie de MLI intersective. Cette étude a révélé une meilleure poursuite du courant 

de charge (objectif principal) avec un THDi de 0.53% pour la CM contre un THDi de 

0.93% pour la commande classique. Cette commande PI faisant appel à la stratégie 

MLI pose un problème d’implémentation numérique (fréquence d’échantillonnage très 



Chapitre3 

élevée du signal modulant). Par la suite, une technique adaptative d’observation a été 

appliquée sur le système considéré en se basant sur la stratégie de CM, dont le 

principe est de reconstruire les tensions aux bornes des condensateurs à partir des 

mesures de courant de charge et de la tension d’alimentation du bus continu. Cette 

technique a été testée en simulation puis validée sur le banc expérimental et elle a 

présenté des erreurs moyennes d’estimation inférieures à 2V pour deux consignes de 

courant différentes. Enfin, la stratégie monocoup a été utilisée pour contrôler le 

convertisseur série alimentant une MCC. Ce contrôle a été aussi testé en simulation et 

validé sur le banc expérimental. Toutefois, tous les tests effectués avec cette stratégie 

ont montré l’utilité du facteur de pondération, constante introduite dans la fonction 

coût, pour améliorer le suivi de courant qui est l’objectif principal dans les 

applications considérées, 

Pour la deuxième méthode de commande prédictive inverse présentée, aucune 

sélection de configuration n’est faite. Ceci permet d’éviter de calculer les différentes 

évolutions possibles du vecteur d’état (risque d’explosion combinatoire quand le 

nombre de configurations augmente comme dans le cas de 512 configurations possible 

pour le convertisseur triphasé). Les rapports cycliques sont déterminés directement en 

fonction de l’écart entre l’état mesuré et l’état de référence. Ceci est possible en 

reformulant le modèle d’état considéré avec la stratégie monocoup et en le présentant 

sous forme d’un modèle, affine en la commande, qui permet de calculer l’état du 

système en fonction des rapports cycliques. Toutefois, l’écart entre la mesure et la 

référence peut nécessiter l’application des rapports cycliques non réalisables 

physiquement (état de référence trop loin de l’état mesuré). Pour remédier à ce 

problème, une normalisation du vecteur de commande a été proposée. Ensuite, ces 

rapports cycliques sont appliqués suivant un profil de modulation précis qui garantit 

que le modèle d’état soit prédictif pour les différentes variables d’état. Les tests de 

simulation sont venus par la suite pour prouver l’intérêt de cette normalisation pour 

assurer les suites désirées. En effet, la mesure de courant de charge a présenté un suivi 

de la consigne appliquée avec un THDi de 0.02% pour cette technique de commande 

contre un THDi de 1.59% pour la commande monocoup avec une valeur de µ de 0.1 

(voir résultats pour la commande monocoup avec différentes valeurs de µ en Annexe 

C). 

Donc l’avantage principal de cette méthode est le fait qu’elle calcule 

directement les rapports cycliques qui permettront d’atteindre la référence. Une fois 

cet objectif atteint, le convertisseur considéré bascule sur une structure à deux niveaux 

de tensions. Ceci est dù au fait que les références des tensions sont constantes alors 

que le courant de consigne varie en fonction du temps. Pour garder l’aspect 

multiniveau, les résultats expérimentaux ont permis de quantifier le bruit sur les 

tensions aux bornes des condensateurs qui assure des actions de charge et de décharge 

de ces condensateurs. Ce taux d’oscillation des tensions permet ainsi de régler le taux 

d’ondulation du courant plus facilement. Ce réglage se faisait, dans le cadre de la 



Chapitre3 

commande monocoup, par le biais du facteur de pondération dont la valeur varie 

suivant la poursuite désirée. 


Bilan et perspectives 


Le travail présenté dans ce mémoire constitue une étude d’une classe des systèmes 

dynamiques hybrides. Cette étude s’est intéressée, principalement, à la modélisation et 

la commande d’un système physique à topologie variable, sous classe des SDH. Le 

système en question est un convertisseur multicellulaire à potentiels flottants, dont la 

caractéristique principale est la délivrance de plusieurs niveaux de tensions à sa sortie 

en fonction des potentiels aux bornes des condensateurs qui séparent les cellules de 

commutation. Pour ce convertisseur, la topologie d’interconnexion entre ses différents 

constituants varie en fonction des états des interrupteurs de puissances présents sur 

chaque bras de la structure. Le deuxième volet de l’étude a traité de la problématique 

d’observation des tensions aux bornes des condensateurs à potentiels flottants 

Dans la communauté automaticienne, les systèmes dynamiques hybrides 

suscitent un intérêt de plus en plus grandissant. Cet intérêt est provoqué par 

l’existence de nombreux systèmes physiques dans lesquels les deux aspects continu et 

discret interagissent. Toutefois, ces systèmes bien particuliers nécessitent un 

traitement bien spécifique. Dans ce contexte, après une présentation générale des 

systèmes dynamiques hybrides et de ses principales classes, le premier chapitre a 

porté sur la présentation de deux méthodes de modélisation des SDH. Il s’agissait de 

la modélisation par graphes d’interconnexion et celle par la méthode des Bond Graph 

commutés. Ces deux méthodes graphiques, de topologies différentes, se réunissent sur 

le principe de synthétiser un modèle d’état dit hybride qui englobe les variables 

continues et discrètes qui interagissent dans le système. La première méthode, 

modélisation par graphes d’interconnexion des ports, est basée sur l’utilisation des 

théories des graphes linéaires qui seront, par la suite, illustrés par des représentations 

mathématiques qui mèneront à l’élaboration du modèle du système étudié. Cette 

méthode a été utilisée en appliquant deux notions différentes, une appelée notion 

d’arbre et coarbre qui permet d’obtenir un modèle explicite paramétré qui représente 

tous les modes de fonctionnement du système, et une deuxième par matrices 



d’incidences paramétrées qui mène à une représentation paramétrée dite structure de 

Dirac qui est non minimale et qui le devient en remplaçant les états des interrupteurs 

dans la structure par leurs valeurs. La deuxième méthode de modélisation présentée 

dans ce chapitre a été celle des Bond Graph commutés. Cette partie a constitué une 

brève introduction à la méthode et ces deux approches à topologie fixe et à topologie 

variable. 

Le deuxième chapitre est venu pour appliquer l’approche à topologie variable 

des Bond Graph commutés aux systèmes considérés dans cette thèse, à savoir le 

convertisseur série à trois cellules de commutation qui a été associé à une charge 

passive de type RL en premier temps puis alimentant une machine à courant continu 

en deuxième temps. Comme dans le premier chapitre, l’application de cette méthode a 

été illustrée par deux démarches différentes. La première technique, appelée 

modélisation explicite par mode de configuration, utilise le formalisme Bond Graph 

dans lequel les éléments de commutation sont représentés par des sources d’effort ou 

de flux selon l’état de l’interrupteur de puissance en question. Cette technique, comme 

son nom l’indique, permet d’établir un modèle explicite non paramétré par mode de 

fonctionnement. La deuxième technique présentée dans cette partie a été celle appelée 

modélisation implicite standard. Cette démarche part du même principe de 

représentation des éléments en commutation et mène à une forme standard implicite. 

A partir de cette forme, l’équation d’état paramétrée peut être calculée à chaque 

commutation pour en déduire le modèle d’état explicite correspondant. Donc cette 

méthode ne permet pas, elle aussi, d’avoir un modèle d’état explicite paramétré en 

fonction des états des éléments de commutation. Pour remédier à cette imperfection, 

une extension de cette méthode a été présentée à la fin du chapitre. Le résultat est un 

modèle dit hybride qui englobe les variables continues et celles discrètes qui 

caractérisent le système étudié. 

En se référant à ce modèle dit hybride, deux approches de commandes 

prédictives directes ont été exposées et détaillées dans le troisième chapitre. Après un 

rappel sur les approches de commandes des convertisseurs multicellulaires les plus 

utilisées, une première méthode à aspect prédictif, en l’occurrence la commande 

monocoup, a été présentée. Pour des raisons de contraintes temps réel, cette technique 

de commande a reposé sur un modèle simplifié qui a été validé en simulation en le 

comparant au modèle discret. Le principe de cette technique est de prédire pour 

chaque période d’échantillonnage, l’évolution des variables d’état, dans l’espace à 

trois dimensions, pour les différents modes de fonctionnement possibles du 

convertisseur considéré. Ensuite, en fixant un critère de choix, l’algorithme de 

commande sélectionne la configuration qui minimise la distance entre le point prédit 

et le point de référence. Enfin, la configuration sélectionnée sera appliquée pendant la 

prochaine période d’échantillonnage. Cette technique, appliquée sur le convertisseur à 



trois cellules de commutation associé à une charge RL a été comparée en simulation 

avec une méthode classique de commande PI faisant appel à une stratégie MLI puis 

elle a été testée sur un banc expérimental. Les résultats expérimentaux exposés sont 

venus pour confirmer l’utilité de la normalisation des variables d’état et de 

l’introduction de la notion du facteur de pondération dans la fonction coût à 

minimiser. Toutefois, l’implémentation numérique de cette approche de commande a 

nécessité l’utilisation d’un certain nombre de capteurs, afin de contrôler l’évolution 

des différentes variables d’état. Parmi ces capteurs, deux capteurs ont été utilisés afin 

d’effectuer le contrôle des tensions aux bornes des condensateurs à potentiels 

flottants. Ce contrôle, primordial pour conditionner la survie du convertisseur, peut 

être très coûteux, si le nombre de cellules de commutation augmente. Donc pour 

remédier à ce problème, un observateur adaptatif interconnecté, basé sur la stratégie 

de commande monocoup développée, permet l’observation de ces tensions à partir de 

la mesure du courant qui circule dans la charge et de la mesure de la tension 

d’alimentation du bus continu, a été conçu et appliqué au système considéré (travail 

effectué en collaboration avec les chercheurs de l’équipe ECS de l’ENSEA). Un 

premier travail a consisté à analyser l’observabilité de ces tensions pour les différentes 

configurations possibles du système. Puis, la conception de l’observateur en temps 

continu a été exposée. Ensuite, après avoir analysé la convergence des valeurs 

estimées vers leurs valeurs de mesure, les équations de l’observateur ont été 

discrétisés pour respecter les contraintes temps réels imposées lors de 

l’implémentation numérique. Enfin, l’observateur a été validé sur un banc 

expérimental. De plus le convertisseur à trois cellules alimentant une MCC a constitué 

une dernière application de la commande monocoup dans ce chapitre. 

Une autre technique de commande à base d’inversion de modèle a été 

également exposée et appliquée au convertisseur à trois cellules de commutation 

associé à une charge RL. L’application de cette stratégie a nécessité la recherche d’un 

modèle d’état affine en la commande qui va permettre, après avoir effectué un test de 

non singularité de la matrice de commande, d’exprimer les rapports cycliques en 

fonction de la distance à parcourir pendant une période d’échantillonnage entre la 

mesure et la consigne. Donc, contrairement à la commande monocoup, plusieurs 

configurations peuvent être appliquées durant une période d’échantillonnage. Pour 

remédier au problème de saturation de la grandeur de commande, une normalisation 

de ces rapports a été proposée et effectuée, avant d’appliquer la stratégie de 

modulation adéquate qui permet d’atteindre l’objectif à chaque période. Les résultats 

de simulation sont venus, par la suite, montrer l’intérêt de cette commande par rapport 

à la commande monocoup, pour mieux suivre la consigne de courant de charge. Cette 

technique a été par la suite validée sur le banc expérimental et elle a montré de bonnes 

performances dynamiques. 



Donc au cours de cette thèse, on s’est intéressé aux méthodes de 

modélisation, à l’élaboration des lois de commande et au traitement de la 

problématique d’observation d’un système physique baptisé à topologie variable. 

Toutefois, plusieurs idées et travaux de recherche peuvent venir compléter ce 

travail. 

Pour la modélisation, une mise en œuvre logicielle peut être envisagée, afin 

de mettre en valeur et d’automatiser l’idée, développée dans le cadre de cette thèse, de 

déterminer les éléments de la forme structurelle. Cette mise en œuvre peut être 

effectuée sur des logiciels de simulation qui utilisent l’outil Bond Graph comme MS1 

et 20Sim, en introduisant l’ensemble des règles décrites dans le chapitre2 

(Détermination des éléments de la forme structurelle). Le développement à effectuer 

devra permettre au logiciel d’établir les liens entre les variables mises en jeu, après 

avoir effectué des tests de faisabilité (existence de chemin causal entre deux 

variables). 

Dans le volet de la commande, la commande à base d’inversion de modèle 

peut être appliquée au convertisseur alimentant la machine à courant continu. Cette 

stratégie de commande pourrait être aussi envisagée pour une application à un 

onduleur triphasé alimentant une machine synchrone à aimants permanents, par 

exemple, dans le but de piloter le couple du moteur. Dans ce cas, il y a 8 variables 

d’état à gérer à chaque période d’échantillonnage (6 tensions aux bornes des 

condensateurs et deux courants dans le repère diphasé) en fonction de 9 états des 

interrupteurs de puissance présents dans la structure. En s’appuyant sur le principe de 

la méthode, la première étape consiste à mettre le modèle d’état sous une forme affine 

en la commande. Donc la matrice de commande sera une matrice rectangulaire ce qui 

posera une contrainte sur l’inversibilité de cette matrice. L’ajout d’une heuristique 

dans le modèle d’état peut être une piste à explorer pour résoudre ce problème. 

Toutefois, cette application peut présenter un grand intérêt par rapport à l’application 

d’une commande monocoup au même système (il y a 512 configurations à explorer 

avant de sélectionner celle qui doit être appliquée pour se rapprocher de l’état de 

référence dans le cas de la commande monocoup). 

Par ailleurs, la recherche d’une autre stratégie de normalisation des rapports 

cycliques, qui permet d’assurer une évolution des vecteurs d’état (calculés avec 

normalisation et sans normalisation) dans la même direction, peut améliorer les 

performances de cette stratégie de commande. 

En ce qui concerne l’observation, une perspective envisagée, à court terme, 

consiste à démontrer la convergence globale commande-observateur. De plus, l’idée 

développée dans ce mémoire peut être étendue à la reconstruction de la vitesse en 

présence de la force électromotrice induite dans le cas où le convertisseur alimente 

une machine à courant continu. Cette estimation sera réalisable à partir de la mesure 

du courant continu et de la tension d’alimentation du bus continu. Une autre 

perspective, qui peut être envisageable, réside dans l’adaptation de l’observateur 



adaptatif interconnecté synthétisé à la commande prédictive à base d’inversion de 

modèle. 


Bibliographie 

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Annexes 

Annexes 


Annexe A 

Annexe A : modélisation explicite par 

mode de configuration 

Configuration : u1 0, u 2 1 

Pour cette configuration, le Bond Graph du système est donné par la Fig. 102. 

Q2:1 Q1:0 

2 

12 

1 

5 

10 

Se:E 1 

O 1 

7 

14 

17 

R:R 

9 

16 

1 C:C 0 1 

8 

15 

18 

3 

6 

11 

Se:E' 1 

O 1 

I:L 

4 

13 

Q'2=0 

Q'1=1 


On note que les interrupteurs Q 2 et Q’ 1 sont modélisés par des sources 

d’efforts nuls (état fermé) alors que les interrupteurs Q 1 et Q’ 2 sont modélisés par des 

sources de flux nuls (état ouvert). Le seul champ qui présente des modifications par 

rapport à la première configuration est le champ S 

par : 

out 

m 



Annexe A 

S 

out 

m 

e 

f 

e 

f 

f 

e 

2 

4 

12 

13 


0 -1 -1 1 0 0 1 1 0 

18 2 

f 

1 0 0 0 -1 -1 0 0 0 . 

9 4 

1 0 0 0 0 0 0 0 0 

17 12 

f 

e 

e 

18 

9 

17 

e 

f 

f 

e 

13 

E 

E ' 

(127) 



. 1 

0 

q L q 0 0 E 

. 1 R 1 0 E' 

- - 

C L 

(128) 

Configuration : u1 0, u 2 0 

Pour cette configuration, le Bond Graph du système est donné par la Fig. 103. 


Annexe A 

Q2:0 Q1:0 

2 

12 

1 

5 

10 

Se:E 1 

O 1 

R:R 

14 

7 

17 

9 

16 

1 C:C 0 1 

8 

15 

18 

3 

6 

11 

Se:E' 1 

O 1 

I:L 

4 

13 

Q'2=1 

Q'1=1 


On note que les interrupteurs Q’ 2 et Q’ 1 sont modélisés par des sources 

d’efforts nuls (état fermé) alors que les interrupteurs Q 1 et Q 2 sont modélisés par des 

sources de flux nuls (état ouvert). Le seul champ qui présente des modifications par 

rapport à la première configuration est le champ S 

par : 

f 

S 

out 

m 

e 

f 

e 

f 

e 

2 

4 

12 

13 

out 

m 



18 2 

f 

0 0 -1 0 1 0 1 0 -1 

0 0 0 1 0 -1 0 0 0 . 

9 4 

1 0 0 0 0 0 0 0 0 

17 12 

f 

e 

e 

18 

9 

17 

f 

e 

f 

e 

13 

E 

E ' 



(129) 


Annexe A 

. 

0 0 

q q 0 0 E 

R 

(130) 

. 0 - 0 -1 

E' 

L 


Annexe B 

Annexe B : degrés de liberté dans le plan 

des tensions 

Zone 1 : RE1 BE2 BE2 VE1 UU 

6 2 

U6 U5 U4 U3 U3U 

7 

U 6 U 2 U 6 U 

5 

U 

4 

U 3 UU 

3 7 

- 

E 1 

- 

E 1 

+ 

E 2 

- 

E 2 

+ 

E 1 

+ 

E 1 

I + I + I - I - 

+ 

E 2 

+ 

E 2 

I - I + - 

E 2 

- 

E 2 

Zone 2 : BE2 VE2 BE1 VE1 U6 U5 U3U 4 

U6 U2 U3U 

7 

U 

6 

5 

U U 3 U 4 U 6 U 

2 

U 3 U 7 

- 

E 1 

+ 

E 2 

I + + 

E 2 

I - + 

E 1 

- 

E 2 

I - - 

E 1 

+ 

E 2 

I + - 

E 1 

I - + 

E 1 

- 

E 2 

I - 

Zone 3 : BE2 BE2 BE1 VE1 U6 U5 U4 U3 U2 U6 U3U 

7 

U 6 U 5 U 4 U 3 U 2 U 6 U 3 U 7 

- 

E 1 

+ 

E 2 

I + + 

E 2 

I - - 

E 2 

I + + 

E 1 

- 

E 2 

I - - 

E 1 

I - - 

E 1 

+ 

E 2 

I + + 

E 1 

- 

E 2 

I - 


Annexe B 

Zone 4 : VE2 BE2 VE1 VE1 U5U6 U4 U3 U6U2 U3U 

7 

UU 

5 6 

U 

4 

3 

E 1 

- 

E 2 

+ 

I - E 2 

- 

I + E 1 

+ 

E 2 

- 

U U 6 U 2 U 3 U 7 

I - I - I - 

- 

E 1 

+ 

E 1 

+ 

E 2 

- 

E 2 

Zone 5 : RE2 VE2 BE1 BE1 U5U6 U3U 4 

U6 U2 U7 U 

3 

UU 

5 6 

U 3 U 4 U 6 U 

2 

U 

7 

U 

3 

E 1 

- 

E 2 

+ 

+ 

E 1 

- 

E 1 

- 

E 2 

+ 

E 2 

I + E 1 

- 

I - I + - 

E 2 

+ 

E 1 

+ 

E 1 

I - 

Zone 6 : BE2 VE2 BE1 BE1 U6 U5 U3U 4 

U6 U2 U7 U 

3 

U 

6 

U 

5 

3 4 

E 1 

- 

E 2 

+ 

I + E 2 

+ 

I - E 1 

+ 

E 2 

- 

UU U 6 U 

2 

U 

7 

U 3 

I - I + I - 

- 

E 1 

- 

E 1 

+ 

E 1 

+ 

E 1 

+ 

E 2 

I - I + - 

E 2 

Zone 7 : BE2 BE2 BE1 BE1 U6 U5 U4 U3 U6 U2 U7 U 

3 

U 

6 

U 

5 

U 

4 

U 

3 

U 6 U 

2 

U 

7 

U 3 

- 

E 1 

+ 

E 2 

I + + 

E 2 

I - - 

E 2 

I + + 

E 1 

- 

E 2 

I - - 

E 1 

+ 

E 2 

I + - 

E 1 

I - + 

E 1 

I + + 

E 1 

- 

E 2 

I - 

Zone 8 : VE2 BE2 VE1 BE1 U5U 6 

U4 U3 U6U2 U7 U 

3 

UU 

5 6 

U 

4 

3 

E 1 

- 

E 2 

+ 

I - E 2 

- 

I + E 1 

+ 

E 2 

- 

U U 6 U 2 U 

7 

U 3 

I - I - I - 

- 

E 1 

+ 

E 1 

+ 

E 1 

+ 

E 2 

I + - 

E 2 


Annexe B 

Zone 9 : VE2 VE2 VE1 BE1 U5U6 U3U 4 

U6U2 U7 U 

3 

UU 

5 6 

UU 

3 4 

U 6 U 2 U 

7 

U 3 

- 

E 1 

+ 

E 2 

I - + 

E 1 

- 

E 2 

I - - 

E 1 

+ 

E 2 

I - + 

E 1 

I + + 

E 1 

- 

E 2 

I - 

Zone 10 : VE2 RE2 VE1 RE1 U5U 6 

U3U 4 

U6U 2 

U7U 

3 

U 5 U 6 U 3 U 4 U 3 U 7 U 6 U 2 

- 

E 1 

+ 

E 2 

I - + 

E 1 

- 

E 2 

I + + 

E 1 

- 

E 2 

I + - 

E 1 

+ 

E 2 

I - 


Annexe C 

Annexe C : résultats de simulation CM 

Une consigne de courant sinusoïdal d’amplitude 0.6A avec une composante continue de 

0.8A et de fréquence 50Hz a été appliquée alors que les références des tensions sont 

fixées à E ''/3 pour E 1 et 2 E ''/3 pour E 2 . Plusieurs tests ont été effectués pour des 

valeurs de µ différentes. 

• 1 ère test : µ =0.1 

1.5 

I 

I# 

1 

0.5 

0 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 



Annexe C 

50 

45 

E1 

E1# 

40 

35 

30 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 

90 

85 

E2 

E2# 

80 

75 

70 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 

• 2 ème test : µ =0.3 


1.5 

I 

I# 

1 

0.5 

0 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 



Annexe C 

50 

45 

E1 

E1# 

40 

35 

30 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 

90 

85 

E2 

E2# 

80 

75 

70 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 

• 3 ème test : µ =0.5 


1.5 

I 

I# 

1 

0.5 

0 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 



Annexe C 

50 

45 

E1 

E1# 

40 

35 

30 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 

90 

85 

E2 

E2# 

80 

75 

70 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 


THD i 

µ =0.1 1.59 

µ =0.3 1.63 

µ =0.5 1.83 

Tableau 12 Variation du THD i en fonction de µ 


FOLIO ADMINISTRATIF 

THESE SOUTENUE DEVANT L'INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES 

DE LYON 

NOM : TRABELSI DATE de SOUTENANCE : 16 Décembre 2009 

(avec précision du nom de jeune fille, le cas échéant) 

Prénoms : Mohamed Abdallah 

TITRE : MODELISATION ET COMMANDE DES SYSTEMES PHYSIQUES A TOPOLOGIE VARIABLE : 

APPLICATION AU CONVERTISSEUR MULTICELLULAIRE 

NATURE : DOCTORAT Numéro d'ordre : 2009 ISAL 0117 

Ecole doctorale : EEA 

Spécialité : Energie et Systèmes 

Cote B.I.U. - Lyon : et bis CLASSE : 

RESUME : 

L’automatique est une science qui traite de la modélisation et la commande des systèmes dynamiques. Ces dernières années 

ont été marquées par l’essor d’une communauté étudiante les systèmes dynamiques hybrides (SDH). Un convertisseur statique 

(présentant un nombre fini de configurations) associé à une charge (procédé continu) est un exemple de (SDH). Pour étudier le 

comportement dynamique de ces systèmes, il est nécessaire de mettre en évidence l’aspect hybride (interaction entre les 

variables continues et les variables discrètes). Dans ce contexte, nous présentons dans le cadre de cette thèse, deux approches 

systématiques de modélisation, appliquées à un convertisseur série associé à une charge, dans le but d’établir un modèle 

hybride qui englobe les variables continues et discrètes. La première approche est la méthode des graphes d’interconnexion 

des ports qui repose sur des interprétations mathématiques des graphes linéaires en vue d’établir une formulation 

Hamiltonienne paramétrée en fonction des états des interrupteurs de puissance. La deuxième approche est l’approche à 

topologie variable des Bond Graph commutés qui permet de modéliser les interrupteurs de puissance (éléments en 

commutation) par des sources nulles suivant leurs états. Nous proposons ensuite deux lois de commande à aspect prédictif qui 

déterminent directement les configurations du convertisseur qui permettent de poursuivre, le plus rapidement possible, les 

références du courant dans la charge (objectif principal) et des tensions aux bornes des condensateurs. Les contraintes de 

temps de calcul étant sévères (quelques dizaines de microsecondes), un modèle simplifié, validé en simulation sur une période 

d’échantillonnage, est utilisé en temps réel. La première stratégie permet de prédire sur l’horizon d’une période 

d’échantillonnage l’évolution du système pour chaque configuration et de sélectionner celle qui minimise la distance entre 

l’état prédit et l’état de référence. Les résultats de simulation montrent l’intérêt de cette stratégie par rapport à une commande 

classique. Cette stratégie est associée ensuite à un observateur adaptatif dans le but d’estimer les tensions aux bornes des 

condensateurs. La deuxième méthode calcule directement les rapports cycliques permettant d’atteindre la référence en 

effectuant une inversion de la matrice de commande. Les commandes proposées sont validées expérimentalement. Les résultats 

obtenus montrent les performances et l’efficacité de ces méthodes. 

MOTS-CLES : Systèmes dynamiques hybrides, systèmes physiques à topologie variable, graphes d’interconnexion de ports, 

Bond Graph commutés, commande prédictive directe, observateur adaptatif interconnecté. 

Laboratoire (s) de recherche : AMPERE UMR CNRS 5005 

Directeur de thèse: Jean-Marie RETIF 

Président de jury : Jean BUISSON 

Composition du jury : Jean BUISSON, Mohamed DJEMAI, Claire VALENTIN, Malek GHANES, Jean-Marie RETIF, Xavier 

BRUN, Xuefang LIN-SHI.

Modélisation et Commande des Systèmes Physiques - ResearchGate

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