MECANIQUE : TD n°7 - Les CPGE de Loritz

MECANIQUE : TD n°7
A – APPLICATIONS DU COURS
1°) Démontrer les théorèmes de Koenig.
Rép : L 0=L * +OG^mv(G) et E k=E k * +1/2.mv(G)².
2°) Démontrer la loi de la résultante cinétique.
Rép : Pour M 1 : dp 1/dt=f 2→1+f ext→1 et pour M 2 : dp 2/dt=f 1→2+f ext→2d’où pour S dp/dt=Σf ε→Mi=R ext⇒ma(G)=R ext
3°) Déterminer l’accélération de M 1 en fonction de g, m 1 et m 2 de cette machine
d’Atwood.
Rép : (d²z 1/dt²)=g(m 2-m 1)/(m 2+m 1).
4°) Démontrer que la puissance des forces intérieures est nulle pour un système
indéformable.
Rép : … P int=F 1T2.dr/dt=0 car dr/dt=0 pour un système rigide
B – TRAVAUX DIRIGES
I – L’OSCILLATEUR
Soit le dispositif ci-contre. Le ressort est idéal et de raideur k. Les points matériels M 1
et M 2 , de masses m 1 et m 2 peuvent se déplacer verticalement. La poulie accrochée en M 1 et le
fil sont idéaux.
1°) Etablir une relation entre dz 2 /dt et dz 1 /dt.
2°) Calculer E p et E k .
3°) Déterminer la pulsation propre des oscillations de M 1 .
Rép : 1°) dz 2/dt=2dz 1/dt
3°) ω 2 0 =k/(m 1+4m 2)
2°) E p=1/2k(z 1-z 10)²+gz 1(m 1+2m 2)+cste et E k=1/2.(m 1+4m 2).(dz 1/dt)²
II – ETATS DE DIFFUSION
On considère dans le référentiel galiléen R L du laboratoire deux particules M 1 et M 2 de masse m 1 et m 2 et
de charge q 1 et q 2 de même signe. A l’instant initial, ces deux particules sont lâchées sans vitesse initiale à la
distance r 0 l’une de l’autre.
En négligeant le poids des particules, calculer leur vitesse limite v 1∞ et v 2∞ :
1°) En utilisant l’intégrale première de l’énergie dans R L .
2°) En étudiant le mouvement de la particule M dans le référentiel barycentrique R*.
Rép : 1°) 2km
⎛
1
1 1 ⎞ 2km
⎛
2
1 1 ⎞ 2°)
v2 = ⎜ − ⎟ et v1
= − ⎜ − ⎟
m2 ( m1 + m2 ) ⎝ r0 r ⎠ m1 ( m1 + m2 ) ⎝ r0
r ⎠
2km
⎛
1
1 ⎞ 2km
⎛
2
1 ⎞
⇒ v2∞
= ⎜ ⎟ et v1
∞
= −
⎜ ⎟
m2 ( m1 + m2) ⎝ r0 ⎠ m1 ( m1 + m2 ) ⎝ r0
⎠
2km
⎛
1
1 ⎞ 2km
⎛
2
1 ⎞
⇒ v2∞
= ⎜ ⎟ et v1
∞
= −
⎜ ⎟
m2 ( m1 + m2) ⎝ r0 ⎠ m1 ( m1 + m2 ) ⎝ r0
⎠
C – EXERCICES SUPPLEMENTAIRES
I – ETOILE DOUBLE
Une étoile double est un ensemble isolé de deux étoiles composantes M 1 & M 2 en interaction
gravitationnelle. Ces étoiles, observées dans le référentiel de Copernic, décrivent des ellipses dont les grands axes
sont dans le rapport a 2 /a 1 =X, leur distance extrême variant entre d min & d max . Sachant, en outre, que la période de
révolution du système est T, déterminer :
1°) La masse totale du système en fonction de X, T, G, d min & d max .
2°) Les masses m 1 et m 2 des deux étoiles en fonction de α, T, G, d min & d max .
Rép : 1°) m 1+m 2=4π²(d min+d max) 3 /8GT² 2°) m 1=Xπ²(d min+d max) 3 /2GT²(1+X) et m 2=m 1/X=π²(d min+d max) 3 /2GT²(1+X).
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II – SYSTEME DE DEUX MASSES RELIEES PAR UN FIL
On fixe deux points matériels M 1 et M 2 de même masse m : le premier, M 1 , au milieu d’un fil inextensible de
longueur l et le second, M 2 , à l’une des extrémités de ce fil. L’ensemble tourne sans frottement dans un plan
horizontal, avec la vitesse angulaire ω autour du point fixe constitué par l’autre extrémité du fil.
1°) Calculer les tensions T 1 et T 2 des deux brins du fil.
2°) A t=0, le fil casse entre O et M 1 . Décrire le mouvement ultérieur du système constitué par les deux
points matériels. Calculer la tension T’ du fil reliant M 1 à M 2 dans ce nouveau mouvement.
Rép : 1°) T 1=3/2.mlω² T 2=mlω²
vitesse de rotation ω. b) T’=1/4.mlω²
2°) a) v G=3/4.lω.e θ(0)…Les deux particules ont un mouvement circulaire de rayon l/4 à la
III – PENDULE SIMPLE MOBILE
Une tige AB de longueur l, de masse négligeable, porte à son extrémité A une surcharge ponctuelle de
masse m, et à son extrémité B une surcharge ponctuelle de masse M. Au cours du mouvement, la tige reste dans
le plan vertical xOy. L’extrémité A de la tige peut se mouvoir sans frottement sur l’axe horizontal Ox. A l’instant t=0,
A est en O, et la tige qui fait un angle θ 0 avec l’axe Oz est immobile. On introduira deux paramètres:
- l’angle θ que fait la tige AB avec la verticale descendante (Remarque : B est en bas).
- l’abscisse x=OA de l’extrémité A.
1°) Donner l’expression de l’énergie mécanique en fonction des deux paramètres et de leurs dérivées par rapport
au temps.
2°) A l’aide de la conservation de la quantité de mouvement sur l’axe Ox (on expliquera pourquoi), donner
E m =f(θ,dθ/dt).
3°) En déduire la période des petites oscillations du pendule.
Rép : 1°) E m=-mglcosθ+1/2.(m 1(dx/dt)²+m 2((dx/dt)²+l².(dθ/dt)²+2l.dx/dt.cosθ.dθ/dt))
2°) dx/dt=-m 2lcosθ/(m 1+m 2).dθ/dt 3°) En effectuant des DL de sinθ et cosθ on obtient : d²θ/dt²+ω 0²θ=0 où ω 0 2 =g(m 1+m 2)/lm 1.
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