MECANIQUE : TD n°3 - Les CPGE de Loritz

MECANIQUE : TD n°3
A – APPLICATIONS DU COURS
1°) Calculer l’expression de l’énergie potentielle de la force élastique F=-kxe x .
Rép : Ep=1/2kx²+cste
2°) Calculer l’énergie potentielle de pesanteur due à P=-mge z .
Rép : Ep=mgz+cste
3°) A l’aide de la conservation de l’énergie mécanique retrouvez l’équation différentielle régissant un
pendule simple.
Rép : d²θ/dt²+gsinθ/l=0
4°) Un palet de masse m est lancé sur une piste verglacée avec une vitesse initiale v 0 . A quelle condition
sur v 0 parviendra-t-il à franchir la bande de largeur d, où il existe, en l’absence de glace, une force de frottement de
norme fmg tant que la vitesse est non nulle ?
Rép : v 0>√(2fgd).
5°) A l’aide de la conservation de l’énergie mécanique, démontrer que le système ressort vertical est un
oscillateur harmonique.
Rép : E m=1/2kx²-mgx+1/2m(dx/dt)² ⇒ d²x/dt²+ω 0 2 x=g or à l’équilibre mg=k(l eq-l 0) et en posant X=l-l eq on obtient d²X/dt²+ω 0 2 X=0.
6°) On considère le régime pseudo-périodique d’un oscillateur harmonique amorti ayant pour conditions
initiales x(0)=x 0 et dx/dt(0)=0. Donner la solution x(t) d’un tel problème en fonction de ω 0 (pulsation propre du
système) et λ (coefficient d’amortissement).
Rép : Soit d²x/dt²+2λdx/dt+ω 0²x=0 ⇒ x(t)=Ae -λt cos(ωt+ϕ) où A=x 0/cosϕ, tanϕ=-λ/ω et ω=ω 0√(1-(λ/ω 0)²)
7°) Donner l’expression en fonction de Q (facteur de qualité)du décrément logarithmique δ=-Ln[x(t+T)/x(t)]
pour un régime pseudo-périodique.
Rép : δ=π/√(Q²-(1/2)²)
8°) A l’aide du résultat précédent donner la relation entre Q et E m /∆E m où E m est l’énergie mécanique.
Rép : Soit ∆E m=e -2δ -1≅-2δ d’où Q=-2πE m/∆E m.
B – TRAVAUX DIRIGES
I - POINT MOBILE A L’INTERIEUR D’UN CÔNE
Soit C un cône de sommet O, d’axe de révolution Oz confondu avec la verticale ascendante et de demiangle
au sommet α. Dans un système de coordonnées cylindriques (r,θ,z), C est décrit par l’équation r=ztanα.
Un point matériel M de masse repose sans frottement sur la surface interne de C, il est donc soumis à son
poids P=-mge z & à une action de contact normale à C telle que: N=-Ncosαe r +Nsinαe z où N>0.
M est initialement lancé du point de coordonnées cylindriques r o =a, θ o =0, z o =a/tanα avec une vitesse
horizontale et tangente à C: v o (0,rω,0).
On pose ω o ²=g/a & ω=λω o .
1°) Exprimer la loi de la dynamique en coordonnées cylindriques. En déduire
que pour une valeur particulière λ o de λ telle que λ o ² =1/tanα le mouvement de
C peut-être circulaire uniforme.
Dans toute la suite λ a une valeur quelconque.
2°) Etablir la loi des aires : r²θ & =cste à l’aide de la projection du PFD sur e θ .
3°) Etablir à l’aide du théorème de l’énergie mécanique l’équation différentielle
suivante: 1/2.(dr/dt)²(1+λ o 4 )=a²ω o ²[e-w(r)]
où l’on exprimera e & w(r) en fonction de λ,λ o & a.
4°) Par une méthode graphique, déduire de cette équation que r reste toujours
compris entre deux positions limites r 1 & r 2 .
5°) Montrer que deux allures différentes d’évolution de r se présentent selon
que λ est inférieur ou supérieur à λ o .
Rép : 1°) Pour un mouvement circuliare on a z=cste et r=cste d’où λ 0=1/√(tanα) 2°)
r²dθ/dt=cste=a²ω=a²λω 0
3°) Apres quelques calculs on trouve à l’aide du 2°) w(r)=λ 0².r/a+λ².a²/2r² et e=w(a). 4°) w(r) passe par un minimum en r m=a(λ/λ 0) 2/3 , on a
e=w(r) pour deux valeurs de r dont une est a.
5°) - si λa⇒le mobile commence à descendre il s’agit d’un lancement lent.
- si λ>λ 0 alors r m

II – MOUVEMENT AU VOISINAGE D’UNE POSITION
D’EQUILIBRE STABLE
Un pendule simple (point matériel M de masse m au bout
d’un fil inextensible, de masse négligeable et de longueur l) est lié à
deux ressorts accrochés en A et B. Les deux ressorts sont
identiques : longueur à vide l 0 et raideur k. Quand le pendule est
vertical, les deux ressorts sont au repos. Les élongations angulaires
du pendule sont faibles de façon à pouvoir considérer en
permanence les deux ressorts horizontaux.
On posera ω 1 2 =g/l et ω 2 2 =2k/m.
1°) Exprimer l’énergie potentielle du système en utilisant le fait que si θ est petit : sinθ=θ et cosθ=1-θ²/2.
2°) Etudier le mouvement de la masse m au voisinage θ=0.
Rép : 1°) E p=θ²/2.(mgl+2kl²) 2°) d²θ/dt²+(ω 1 2 +ω 2 2 )θ=0
III – MOUVEMENT D’UNE PERLE SUR UNE HELICE
On enfile des perles sur un fil métallique matérialisant une hélice circulaire d’axe (Oz) vertical ascendant et
d’équations x=Rcosθ, y=Rsinθ et z=pθ où p>0. La perle étant abandonnée sans vitesse initiale en un point de côte
z=h=pθ 0 , étudier son mouvement ultérieur an l’absence de frottements.
1°) Calculer son énergie cinétique.
2°) Calculer son énergie potentielle.
3°) En déduire θ(t).
Rép : 1°) E k=m/2.(dθ/dt)².(R²+p²) 2°) Ep=mgpθ 3°) La conservation de l’Em entraîne θ(t)=θ 0-1/2.gpt²/(R²+p²)
C – EXERCICES SUPPLEMENTAIRES
I – PENDULE SIMPLE ENTRAINE
Une tige AB de longueur l, de masse négligeable, porte à son extrémité A une surcharge ponctuelle de
masse m, et à son extrémité B une surcharge ponctuelle de masse m. Au cours du mouvement, la tige reste dans
le plan vertical xOy. L’extrémité A de la tige peut se mouvoir sans frottement sur l’axe horizontal Ox. A l’instant t=0,
A est en O, et la tige qui fait un angle α 0 avec la verticale est immobile. On introduira deux paramètres:
- l’angle α que fait la tige AB avec la verticale ascendante.
- l’abscisse x=OA de l’extrémité A.
1°) Donner l’expression de l’énergie potentielle
2°) Donner l’expression de l’énergie cinétique.
3°) En déduire l’énergie mécanique du système.
Rép : 1°) Ep=-mglcosα (Ep=0 en x=x(A)) 2°) Ek=m(dx/dt)²+1/2.ml.(l(dα/dt)²+2.dα/dt.dx/dt.cosα) 3°) Em=Ek+Ep
II – PENDULE ELASTIQUE « SPECIAL »
Déterminer la période T 0 des petites oscillations d’un point matériel M de
masse m, assujetti à se déplacer sans frottement sur une droite horizontale, sous
l’action d’un ressort (k,l 0 ) dont l’autre extrémité est fixe en A de côte a>l 0 .
Rép : Pour de petites oscillations d²x/dt²+ω 0 2 x=0 où ω 0=2π/T 0=√(k/m.(1-l 0/a))
III – ASSOCIATION DE RESSORTS
Une masse m est reliée de trois façons différentes à deux ressorts de raideur k 1 et k 2 , de longueur à vide
l 01 et l 02 .
On mettra sous la forme suivante l’équation différentielle : d²x/dt²+ω 0 2 x=ω 0 ²L 0 où l’on donnera les expressions de
ω 0 ² et L 0 .
Rép : 1°) ω 0 2 =k 1k 2/(k 1+k 2)m et L 0=l 01+l 02 2°) ω 0 2 =(k 1+k 2)/m et L 0=(k 1l 01-k 2l 02+k 2L)/(k 1+k 2) 3°) ω 0 2 =(k 1+k 2)/m et
L 0=(k 1l 01+k 2l 02)/(k 1+k 2)
L.PIETRI – Mécanique I, Chapitre 4 - Lycée Henri Loritz – PCSI 2