Cours de Mécanique II : Chapitre IV - Les CPGE de Loritz

Chapitre IV : Changements de référentiel
I – Vocabulaire et position du probleme
I-1) Position du problème
I-2) Notion de point coïncident
I-3) Définitions
II – Relations newtoniennes de composition
II-1) La vitesse
II-2) L’accélération
III – Exemples de mouvement d’entraînement
III-1) Le mouvement d’entraînement est une translation
III-1-1 Définition
III-1-2 Vitesse d’entraînement
III-1-3 Accélération d’entraînement
III-1-4 Accélération de Coriolis
III-2) Le mouvement d’entraînement est une rotation autour d’un axe fixe
III-2-1 Présentation du problème
III-2-2 Dérivée dans R des vecteurs unitaires
III-2-3 Expression de ve
III-2-4 Expression de ae
III-2-5 Expression de ac
III-3) Mouvement général
III-3-1 Théorème de Chasles
III-3-2 Expressions générales
IV – Le vecteur rotation
IV-1) Dérivée d’un vecteur dans R
IV-2) Propriétés du vecteur rotation
IV-3) Applications aux coordonnées cylindriques
V – Dynamique en référentiel non galiléen
V-1) Référentiel galiléens
V-2) Principe fondamental de la dynamique en référentiel non galiléen
V-3) Exemples de mouvement d’entraînement
V-3-1 Translation
V-3-2 Rotation uniforme
V-4) Théorème du moment cinétique en référentiel non galiléen
V-5) Théorèmes énergétiques en référentiel non galiléen
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Chapitre IV : Changements de référentiel
Introduction
Dans la pratique on a souvent besoin de connaître le mouvement d’un point dans un certain
référentiel lorsqu’on connaît déjà ce mouvement dans un autre référentiel lui-même en mouvement
dans un autre référentiel par rapport au premier. Ainsi un corps lâché dans un train en marche décrit
une droite verticale pour un observateur assis dans le train, tandis que, vue du quai, la trajectoire est
une parabole.
Le fait de calculer les lois du changement de référentiel n’est pas une simple formalité. En
particuliers en mécanique du solide et du point on devra introduire le référentiel barycentrique qui
n’est pas forcément le référentiel d’étude.
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IV-3) Applications aux coordonnées cylindriques
Déterminons le vecteur rotation de R’ (O,e r ,e θ ,e z ) par rapport à R(O,e x ,e y ,e z ) :
On a donc Ω R’/R =dθ/dt.e z
Or
ur
r ur de ur
r
v = re &
r
+ r + z&
. ez
dt
ur ur
der
de uuuuur r ur r uur
r
Or = + Ω
R'/
R
^ er
= & θ ez
^ er
= & θ eθ
dt dt
R R'
r ur uur ur
⇒ v = re & + r & θ e + ze &
r
θ
z
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V – Dynamique en référentiel non galiléen
V-1) Référentiel galiléens
Le principe d’inertie postule l’existence de référentiels galiléens dans lesquels un point matériel
isolé à une accélération nulle. Nous cherchons à obtenir une relation entre tous les référentiels
galiléens.
Supposons que le point matériel M soit isolé, dans deux référentiels galiléens R g et R’ g , on a
alors :
uuuuuur uuuuuur r
a( M ) = a( M ) = 0
Rg
Rg
'
uuuuuur uuuuuur uuuuuuur ur uuuuur
Or a M a M a M v M
( ) = ( ) +
e( ) + 2ΩRg
'/ Rg
^ ( )
Rg '
Rg Rg Rg
'
uuuuuuur ur uuuuur r
⇒ a M + Ω =
D où
e( ) 2 Rg
'/ Rg
^ v( M ) 0
Rg
Rg
'
ur r uuuuuuur r
Ω = =
' : Rg
'/ Rg
0 et ae
( M ) 0
Rg
Tous les référentiels galiléens sont en translation rectiligne uniforme les uns par rapport
aux autres.
Si on applique le PFD à un pt matériel M de masse m dans deux référentiels galiléens R g et R’ g .
r r
Dans R : F=m a(M)
g
ur r
Dans R ' : F'=m a(M)
g
Rg
'
Rg
Rg
'
r r r r
Or a(M) = a(M) ⇒ F = F'
Rg
Les forces sont les mêmes dans tous les référentiels galiléens. Cette propriété porte le nom de
relativité galiléenne.
Les lois de la physique sont invariantes par changement de référentiel galiléen.
V-2) Principe fondamental de la dynamique en référentiel non galiléen
r r uur uur uur
Dans R : F=m a(M) = m[a + a + a ]
g
Rg
r
e
r uur r uur uur
Dans R : ma(M) = ma
r
= F − mae
− mac
R
uur r r r
⇒ ma
r
= F + Fe
+ Fc
ur
r uur r dΩR / R
uuuuur ur ur uuuuur
g
où Fe = − m ae
= − m[ a( O ') + ^ O ' M + ΩR / Rg
^ ( ΩR / Rg
^ O ' M )
Rg
dt
uur uur ur
FC
= − mac
= −2mΩR / Rg
^ v r
( M )
R
où F e est la force d’inertie d’entrainement
et F c la force d’inertie de Coriolis
c
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V-3) Exemples de mouvement d’entraînement
V-3-1 Translation
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V-3-2 Rotation uniforme
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V-4) Théorème du moment cinétique en référentiel non galiléen
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V-5) Théorèmes énergétiques en référentiel non galiléen
• PEC en RNG :
uur r r r
Dans R : ma = F + Fe
+ F
g
r
d mv²
r r r r r r r uuur uur ur r
⇒ = v M + + = v M + car F = − a = − mΩ
v M
dt
d mv²
r r r
⇒ ( ) = v( M ) .(F + F e) = P( F) + P( Fe
)
R
R
dt 2
R
( ) ( ) .(F Fe F c) ( ) .(F F e) C
m
c
2 R / Rg
^ ( )
2
R R R
R
R
d
⇒ ( E
k
( M )) = P ( F ) + (
e)
R P F
dt
R
• TEC en RNG :
ur ur
∆ E = E ( t ) − E ( t ) = W ( F) + W ( F )
k k 2 k 1
ie
R R R R R
c
• TEM en RNG
uuur
∆ Em = Em( t2) − Em( t1) = W ( FNC
)
R R R R
• Expression de W ( ur
F ie)
pour une rotation uniforme
R
ur ur uuuur uuuur uuuur uuuur
δW ( F ie) = F ie. dOM = mω
² HM.( dOH + d HM )
R
Soit uuuur
d HM ²
= mω
²( ) = −dEpe
2
D’où si Ep e (0)=0 alors E pe =-1/2mω²r²
R
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