Chapître II - Les CPGE de Loritz

Chapitre II : Dipôles électrocinétiques :assocations et théorèmes généraux
I – Dipôles électrocinétiques - Exemples
I-1) Convention d’orientation
I-2) Caractéristiques d’un dipôle
I-2-1 Caractéristique statique tension/courant
I-2-2 Caractéristique dynamique tension/courant
I-3) Exemples et types de dipôles
I-3-1 Exemples
I-3-2 Dipôles symétriques ou non
I-3-3 Dipôles actifs et passifs/ linéaires ou non
II – Dipôles modèles R-L-C
II-1) Résistances pures (résistors)
II-1-1 Association de résistances
II-1-2 Diviseur de tension
II-1-3 Diviseur de courant
II-2) Les condensateurs
II-2-1 Présentation
II-2-2 Association en série
II-2-3 Association en parallèle
II-3) Les bobines
II-3-1 Inductances et bobines
II-3-2 Association en série
II-3-3 Association en parallèle
III – Dipôles actifs
III-1) Sources indépendantes
III-2) Sources commandées
IV – Groupement de générateurs
IV-1) Modèle de Thévenin
IV-2) Modèle de Norton
IV-3) Liens entre deux modèles
IV-4) Groupement série
IV-5) Groupement parallèle
V – Théorèmes généraux
V-1) Théorème de superposition d’Helmholtz
V-1-1) Extinction de sources libres
V-1-2) Théorème de superposition d’états linéaires
V-1-3) Exemple
V-2) Théorème de Millman
V-2-1 Loi des nœuds en termes de potentiel
V-2-2 Théorème de Millman
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Chapitre II : Dipôles électrocinétiques : association et théorèmes généraux
Introduction
La théorie des réseaux linéaires repose dans l’ARQS sur les deux lois de Kirchhoff et sur
le concept de modèles linéaires. Après avoir défini les différents types de dipôles, on
s’intéressera plus particulièrement aux dipôles modèles RLC et à leur association :
- série
- parallèle
- diviseur de courant
- diviseur de tension
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I – Dipôles électrocinétiques - Exemples
I-1) Convention d’orientation
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II-3) Les bobines
II-3-1 inductances et bobines
Pour une bobines il faut tenir compte en plus de la résistance interne d’où : U=ri+Ldi/dt
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IV – Groupement de générateurs
IV-1) Modèle de Thévenin
On a déjà vu la caractéristique d’un générateur.
On a u=e-r.i pour un dipôle actif linéaire. Celui-ci peut-être modélisé par un générateur
de tension dit générateur de thévenin : (e,r)
IV-2) Modèle de Norton
On a i=η-gu pour un dipôle actif linéaire. Celui-ci peut-être modélisé par un générateur
de courant dit générateur de norton : (η,g)
IV-3) Liens entre les deux modèles
Soit u=e-ri ⇔
i=-u/r+e/r= η-gu
donc η=e/r et g=1/r
IV-4) Groupement série
On peut remplacer un groupement série de générateurs par un générateur équivalent en
faisant intervenir la modélisation de Thévenin.
Par exemple :
a)
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)
Ainsi pour un groupement de générateurs D k (e k ,r k ) est équivalent à un générateur D eq :
- de fem : e eq =Σε k e k (ε k positif si orienté suivant e eq )
- de résistance interne : r eq =Σr k
IV-5) Groupement Parallèle
On peut remplacer un groupement parallèle de générateurs par un générateur équivalent
en faisant intervenir la modélisation de Norton.
Par exemple :
a)
b)
où g eq =g 1 +g 2
Ainsi pour un groupement de générateurs D k (η k ,g k ) est équivalent à un générateur D eq :
- de cem : η eq =Σε k η k (ε k positif si orienté suivant η eq )
- de conductance interne : g eq =Σg k
V – Théorèmes généraux
V-1) Théorème de superposition d’Helmholtz
V-1-1 Extinction d’une source libre
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V-1-2 Théorème de superposition d’états linéaires
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V-2) Théorème de Millman
V-2-1 Loi des nœuds en termes de potentiel
vB − vA + e
BA
vC
− vA
( vD − vA)
Soit i
BA
= , iCA = , iDA = ηDA
+
R R R
Or i + i + i = 0
BA
CA
DA
BA CA DA
1 1 1
⇔ ( vB − vA + e
BA) + ( vC − vA) + ( vD − vA) + ηDA
= 0
R R R
BA CA DA
On appelle cette écriture la loi des noeuds en termes de potentiels.
V-2-2 Théorème de Millman
On peut aussi l'écrire sous la forme dite de Millman
1 1 1 1 1 1 e
BA
vA( + + ) = vB + vC + vD + ηDA
+ = 0
RBA RCA RDA RBA RCA RDA RBA
Sa forme générale est le théorème de Millman :
⎛ 1 ⎞ ⎛ vk
+ e ⎞
kj
. v
j
= + ηkj
avec
⎜ k≠
j R ⎟ ⎜ kj
k≠
j R ⎟
⎝ ⎠ ⎝ kj ⎠
vers le noeud d'étude.
∑ ∑ les fem et cem comptés positivement quand ils sont dirigés
Le théorème de Millman devient très intéressant en absence de sources, en effet dans ce cas
on a directement le potentiel du nœud.
v
j
⎛ v ⎞
k
⎜∑
k≠
j R ⎟
kj
=
⎝ ⎠
⎛ 1 ⎞
⎜∑
k≠
j R ⎟
⎝ kj ⎠
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