MECANIQUE : TD n°8 - Les CPGE de Loritz
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L.PIETRI – Mécanique - Lycée Henri <strong>Loritz</strong> – PCSI 2<br />
<strong>MECANIQUE</strong> : <strong>TD</strong> n°8<br />
A – APPLICATIONS DU COURS<br />
1°) Exprimer l’ordre <strong>de</strong> gran<strong>de</strong>ur <strong>de</strong> la norme <strong>de</strong> l’accélération a(G) R où G est le centre <strong>de</strong> la terre R le référentiel<br />
géocentrique.<br />
Rép : a(G) Rc=4π²R/T²=5,9.10 -3 ms -2<br />
2°) On définit la pério<strong>de</strong> solaire comme étant la durée entre <strong>de</strong>ux expositions successives <strong>de</strong> la même surface<br />
terrestre au soleil et la pério<strong>de</strong> sidérale comme la pério<strong>de</strong> <strong>de</strong> rotation propre <strong>de</strong> la terre. Calculer la pério<strong>de</strong><br />
sidérale sachant que T solaire =24h.<br />
Rép : T sidéral=T solaire*365,25/366,25=23h56min<br />
3°) Retrouvez le même résultat à l’ai<strong>de</strong> <strong>de</strong> la loi <strong>de</strong> composition <strong>de</strong> vecteurs rotations bien choisis.<br />
Rép : T sidéral=T RT/RC=(T RT/R’.T R’/Rc)/(T R’/Rc+T RT/R’)=23h56min<br />
4°) Déterminer en fonction <strong>de</strong> la latitu<strong>de</strong> λ l’angle α que fait la verticale du lieu avec le champ <strong>de</strong> gravitation<br />
terrestre, en un point M à la surface <strong>de</strong> la terre.<br />
Rép : sinα=ω²Rsin(2λ)/2g⇒α=6’<br />
5°) Un conducteur amène une jeune fille faire un tour en Z3. Atteignant une vitesse <strong>de</strong> 296km/h, il s’écrie : « J’ai<br />
réussi à annuler les forces d’inertie ». L’aventure se produisant dans l’hémisphère nord, déterminons la latitu<strong>de</strong> du<br />
lieu, la direction empruntée et le sens <strong>de</strong> marche <strong>de</strong> la Z3.<br />
Rép : cos λ=2v/Rω ⇒ λ=69,3° le véhicule se déplace vers l’ouest où λ=69,3° (ce n’est pas à Nancy).<br />
B – TRAVAUX DIRIGES<br />
I – MOUVEMENT D’UN PENDULE SIMPLE ETUDIE<br />
DANS UN REFERENTIEL TOURNANT<br />
Un observateur est <strong>de</strong>bout sur la plateforme d’un<br />
manège en rotation à la vitesse angulaire Ω=Ωe z constante<br />
autour <strong>de</strong> l’axe (Az) par rapport au référentiel terrestre<br />
supposé galiléen.<br />
Il observe le mouvement d’un point matériel M <strong>de</strong><br />
masse m, accroché par l’intermédiaire d’un fil <strong>de</strong> masse <strong>de</strong><br />
longueur L en B (B étant fixe lors <strong>de</strong> la rotation du manège) ; M<br />
effectue <strong>de</strong> petits mouvements autour <strong>de</strong> sa position d’équilibre A. On posera ω 0 ²=g/l.<br />
1°) Démontrer que la tension du fil et le poids peuvent se regrouper en une force qui grâce à quelques<br />
approximations peut se mettre sous la forme : T AM =-mgAM/l=-mω 0 ²AM.<br />
2°) Etablir l’équation différentielle du mouvement <strong>de</strong> M dans le référentiel <strong>de</strong> l’observateur R m défini par le<br />
repère (A,x,y,z).<br />
3°) Montrer que r=r 0 cos(ω 0 t) et θ=-Ωt peut-être solution <strong>de</strong> ce problème.<br />
Rép : 1°) En effet T=mg (approximation) et T AM=mgsinα... 2°) d²r/dt²=-(ω 0²-Ω).r-2Ω^(dr/dt) 3°) En calculant a r et a θ on retrouve la<br />
même équation différentielle qu’en 2°) cqfd.<br />
II – LIMITE DE ROCHE<br />
La comète Shoemaker-Lévy 9 est passée en juillet 1992 suffisamment près <strong>de</strong> Jupiter pour se fragmenter<br />
en morceaux à cause <strong>de</strong>s « forces <strong>de</strong> marées » dues à Jupiter. On se propose, dans cet exercice, <strong>de</strong> déterminer,<br />
par un modèle simple, la distance en <strong>de</strong>ssous <strong>de</strong> laquelle la comète se disloque en s'approchant <strong>de</strong> Jupiter. On fait<br />
les hypothèses suivantes :<br />
- Jupiter est sphérique et homogène, <strong>de</strong> rayon Rj=71 400 km, <strong>de</strong> masse M=1,9l.10 27 kg et <strong>de</strong> masse<br />
volumique µj ;<br />
- la comète est sphérique et homogène, <strong>de</strong> rayon Rc , <strong>de</strong> masse volumique µc=1,00.10 3 kg.m -3 ;<br />
- le référentiel « Jupiterocentrique » est galiléen ;<br />
- la comète n'est soumise qu'à l'action gravitationnelle <strong>de</strong> Jupiter ;<br />
- la comète est en orbite circulaire <strong>de</strong> rayon d autour <strong>de</strong> Jupiter (avec Rc
C – EXERCICES SUPPLEMENTAIRES<br />
I - LE PENDULE DE FOUCAULT<br />
a - Rappel <strong>de</strong> cours :<br />
En 1852, L.Foucault mis en évi<strong>de</strong>nce la rotation <strong>de</strong> la terre en étudiant soigneusement le mouvement d’un<br />
pendule simple, par rapport au référentiel terrestre R T . Le PFD s’écrit donc dans le R T :ma=mg+T-2mω e^v.<br />
Le comportement d’un pendule s’interprète aisément au pôle nord. En effet, dans le référentiel<br />
géocentrique R g , le pendule écarté <strong>de</strong> sa position d’équilibre et abandonné à son poids et à la tension du fil, par<br />
conséquent il a un mouvement oscillatoire dans un plan fixe par rapport à R g (ce plan étant déterminé par les<br />
conditions initiales).<br />
Dans R T qui tourne, qui tourne par rapport à R g avec la vitesse angulaire ω e , ce plan semble donc effectuer<br />
une rotation autour <strong>de</strong> l’axe polaire, dans le sens est-ouest avec une pério<strong>de</strong> <strong>de</strong> révolution T p <strong>de</strong> 24h.<br />
En effet r ω =− r ω , par conséquent le plan du pendule tourne en sens inverse, que la terre sur elle-même.<br />
e RT / Rg e Rg / RT<br />
b - Mise en équation du mouvement :<br />
Soit un pendule simple, constitué d’une cor<strong>de</strong> <strong>de</strong> très gran<strong>de</strong><br />
longueur L <strong>de</strong> masse négligeable, suspendue en un point fixe B du<br />
repère terrestre, et au bout <strong>de</strong> laquelle oscille un point matériel M dans<br />
le référentiel terrestre lié au repère (Oxyz) centré sur la position<br />
d’équilibre O du point M.<br />
<strong>Les</strong> oscillations étant <strong>de</strong> faible amplitu<strong>de</strong>, le mouvement peutêtre<br />
considéré comme s’effectuant dans le plan horizontal xOy<br />
1°) Dans le cas où x & y sont très inférieurs à l, démontrer que l’on peut<br />
décomposer la tension du fil en <strong>de</strong>ux composantes tels que T x =-mgx/l & T y =-mgy/l<br />
2°) Ecrire les <strong>de</strong>ux équations différentielles du mouvement dans le plan (xOy). En posant u=x+jy, retrouver<br />
l’équation suivante: d 2<br />
u j du 2<br />
+ 2 ω<br />
esinλ + ω u<br />
2<br />
dt<br />
dt<br />
0<br />
= 0 où ω 0 ²=g/l dont la solution générale est<br />
−i<br />
u= e Ω t<br />
−iΩt<br />
[ Acosω<br />
0t+<br />
Bsin ω<br />
0<br />
t]<br />
= e q où Ω=ω e sinλ.<br />
A l’ai<strong>de</strong> <strong>de</strong>s CI suivantes exprimer x & y. x(0)=a, y(0)=0, v x (0)=v y (0)=0.<br />
3°) En déduire que q est l’équation d’une ellipse très aplatie et que e -iΩt est le terme responsable <strong>de</strong> la révolution du<br />
pendule.<br />
4°)Calculer la pério<strong>de</strong> <strong>de</strong> rotation <strong>de</strong> la terres sachant que latitu<strong>de</strong> <strong>de</strong> Paris est <strong>de</strong> 48°51’ et que la pério<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
révolution du pendule <strong>de</strong> Foucault est <strong>de</strong> 31h52mn.<br />
Rép : 1°) cf B-1 2°) on applique le pfd sans oublier la force d’inertie <strong>de</strong> coriolis... 3°) q x=acosω 0t et q y=aΩ/ω 0.sinω 0t 4°)T=T psinλ=24h...<br />
II - PENDULE DE SCHÜLER<br />
On transporte dans un véhicule, un pendule simple O’A (longueur l) dont le point <strong>de</strong> suspension O’ est fixe<br />
par rapport au véhicule R’. Par rapport au référentiel terrestre R T , le véhicule a une trajectoire circulaire dont le<br />
centre est celui G <strong>de</strong> la terre et dont le rayon est approximativement son rayon R=6400km.<br />
1°) Ecrire vectoriellement le théorème du moment cinétique pour le pendule, au point <strong>de</strong> suspension O’.<br />
Quelle doit-être la vitesse <strong>de</strong> rotation angulaire ω <strong>de</strong> R’ par rapport à R T pour que la direction O’A soit fixe dans R’?<br />
2°) Quelle est la pério<strong>de</strong> <strong>de</strong> ce pendule dans R T ?<br />
Rép : 1°) ω=(g/R) 1/2 2°) T=2π.(R/g) 1/2 =84,5min.<br />
III – PHENOMENE DES MAREES - MASSE DU SOLEIL, DE LA TERRE<br />
Données numériques: - le rayon terrestre R T =6400km, g 0 =9,81ms -2 , distance Terre-Soleil: D TS =150.10 6<br />
pério<strong>de</strong> <strong>de</strong> l’orbite terrestre T=365 jours, G=6,67.10 -11 SI.<br />
1°) Déterminer la masse M T <strong>de</strong> la terre<br />
2°) Déterminer la masse M s du soleil.<br />
3°) Le phénomène <strong>de</strong>s marées sur la terre est dû au fait que<br />
l’attraction gravitationnelle <strong>de</strong> la lune (ou le soleil) n’est pas uniforme sur la<br />
terre . On notera D TL la distance entre le centre <strong>de</strong> la terre et le centre <strong>de</strong> la<br />
lune , r=TP , et θ=(TL,TP).<br />
A l’ai<strong>de</strong> <strong>de</strong>s données, démontrer que le potentiel <strong>de</strong>s marées peut<br />
s’écrire:<br />
GM<br />
2<br />
L<br />
V<br />
r r<br />
2<br />
=− ( 1+ cos θ + ( 3cos θ − 1) + ...)<br />
D D<br />
2<br />
2D<br />
TL TL TL<br />
4°) En déduire le champ <strong>de</strong> pesanteur g, par l’expression g=-gradV.<br />
Rép : 1°) M T=g 0R T²/G=6.10 24 kg<br />
2°) M s=4π².D 3 TS /GT²=2.10 30 kg 3°) Soit V(P)=Ep(P)/M T=-GM L/x dont on obtient<br />
l’expression grâce à un développement limité poussé jusqu’au <strong>de</strong>uxième ordre 4°)<br />
r GM<br />
L<br />
GM<br />
L<br />
2 r GM<br />
L<br />
GM<br />
L<br />
g = [ cosθ<br />
+ r(3 cos θ −1)]<br />
e [ sin θ r.3sin<br />
θ cosθ<br />
]<br />
2 3<br />
r<br />
−<br />
−<br />
2<br />
3<br />
D D<br />
D D<br />
TL<br />
TL<br />
TL<br />
TL<br />
km,<br />
L.PIETRI – Mécanique - Lycée Henri <strong>Loritz</strong> – PCSI 2